Как найти диагональную форму матрицы

Подобие числовых матриц

Квадратные матрицы и n-го порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица S~(det{S}ne0) , что

$B=S^{-1}cdot Acdot S.$

Преобразование матрицы по формуле $S^{-1}AS$ называется преобразованием подобия, а матрица — преобразующей.

Свойства подобных матриц

1. Каждая квадратная матрица подобна самой себе: $A=E^{-1}AE$ .

2. Если матрица подобна матрице , то и подобна

$B=S^{-1}cdot Acdot S~~Leftrightarrow~~A=T^{-1}cdot Bcdot T$ при $T=S^{-1}$ .

3. Если матрица подобна матрице , а подобна , то подобна

$left.{begin{gathered}A=S^{-1}cdot Bcdot S\ B=T^{-1}cdot Ccdot Tend{gathered}}right}~ Rightarrow~~A=P^{-1}cdot Bcdot P$ , где P=Tcdot S .

4. Подобие является частным случаем эквивалентных преобразований.

5. В случае ортогональности преобразующей матрицы подобные матрицы являются конгруэнтными.

Поясним свойства 4, 5. Напомним, что эквивалентные матрицы связаны соотношением B=SAT , где и — невырожденные (элементарные) матрицы. Если $T=S^{-1}$ , то получаем преобразование подобия $B=SAS^{-1}Leftrightarrow A=S^{-1}BS$ . Если же матрица ортогональная $(S^{-1}=S^T)$ , то подобные матрицы, связанные равенством $B=S^{-1}AS$ , оказываются конгруэнтными, так как B=S^TAS .

Подобные матрицы возникают во многих алгебраических задачах при замене переменных. Например, при решении системы уравнений Ax=b с невырожденной квадратной матрицей можно сделать линейную замену неизвестных: ввести столбец — новых неизвестных (x=Sy) и новый столбец свободных членов с (b=Sc) , для которых система уравнений будет выглядеть так

Acdot Scdot y=Scdot c или $S^{-1}cdot Acdot Scdot y=c$ .

Матрица $S^{-1}AS=Lambda$ полученной системы подобна матрице исходной системы. Например, если в результате преобразования подобия полученная матрица Lambda имеет диагональный вид: $Lambda=operatorname{diag} (lambda_1,ldots,lambda_n)$ , то решение системы Lambda y=c находится просто: $y_1=frac{c_i}{lambda_i}$ i=1,ldots,n , после чего нетрудно вычислить и решение исходной системы x=Sy .

Приведение матрицы к диагональному виду при помощи преобразования подобия

Рассмотрим задачу приведения квадратной матрицы к диагональному виду $Lambda=operatorname{diag} (lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n)$ при помощи преобразования подобия.

Теорема 7.5 о приведении матрицы к диагональному виду. Для того чтобы квадратная матрица n-го порядка приводилась к диагональному виду $Lambda=S^{-1}AS$ , необходимо и достаточно, чтобы она имела линейно независимых собственных векторов.

Действительно, запишем равенство $Lambda=S^{-1}AS$ в виде SLambda=AS , т.е.

$ScdotLambda=begin{pmatrix}s_{11}&cdots&s_{1n}\vdots&ddots&vdots\s_{n1}&cdots&s_{nn}end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix} lambda_1&cdots&0\ vdots&ddots&vdots\ 0&cdots&lambda_n end{pmatrix}= begin{pmatrix} a_{11}&cdots&a_{1n}\ vdots&ddots&vdots\ a_{n1}&cdots&a_{nn} end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix} s_{11}&cdots&s_{1n}\ vdots&ddots& vdots\ s_{n1}&cdots&s_{nn}end{pmatrix}= Acdot S$

или $begin{pmatrix}s_1&cdots& s_nend{pmatrix}! cdotLambda=Acdot! begin{pmatrix} s_1&cdots&s_n end{pmatrix}$ , где s_1,ldots,s_n — столбцы матрицы . Отсюда получаем систему уравнений для столбцов s_i матрицы

Acdot s_i=lambda_icdot s_i,quad i=1,2,ldots,n.

(7.18)

Поэтому, если матрицу можно привести преобразованием подобия к диагональному виду $Lambda=S^{-1}AS$ , то для столбцов матрицы выполняются равенства (7.18), т.е. столбцы s_i являются собственными векторами матрицы , причем они линейно независимы, так как матрица невырожденная. Необходимость доказана. Пусть, наоборот, матрица имеет линейно независимых собственных векторов s_i , удовлетворяющих (7.18). Тогда, составив из них матрицу , получим для нее равенство SLambda=AS , равносильное (7.18). Учитывая, что матрица невырожденная (из-за линейной независимости ее столбцов), получаем $Lambda=S^{-1}AS$ , т.е. матрица подобна диагональной. Достаточность доказана.

Следствие 1. Если матрица имеет простой спектр, то она приводится к диагональному виду.

Действительно, в этом случае по свойству 1 собственных векторов все собственные векторы будут линейно независимы.

Следствие 2. Если матрица приводится к диагональному виду $Lambda=S^{-1}AS=operatorname{diag}(lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n)$ , то числа (среди которых могут быть равные) являются собственным значениями матрицы , а столбцы s_1,ldots,s_n преобразующей матрицы $S=begin{pmatrix}s_1&cdots&s_nend{pmatrix}$ являются соответствующими собственными векторами матрицы .

Следствие 3. Если s_1,ldots,s_n — линейно независимые собственные векторы матрицы , соответствующие ее собственным значениям lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n (среди которых могут быть равные), то матрица приводится к диагональному виду $Lambda=S^{-1}AS= operatorname{diag} (lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n)$ при помощи преобразующей матрицы $S=begin{pmatrix}s_1&cdots&s_nend{pmatrix}$ , составленной из собственных векторов.

Чтобы привести квадратную матрицу (n-го порядка) к диагональному виду при помощи преобразования подобия $Lambda=S^{-1}AS$ и найти преобразующую матрицу , нужно выполнить следующие действия.

1. Найти л линейно независимых собственных векторов s_1,ldots,s_n матрицы (при этом использовать алгоритм в разд. 7.2.1 с учетом пункта 2 замечаний 7.5).

2. Из собственных векторов s_1,ldots,s_n составить преобразующую матрицу $S=begin{pmatrix}s_1&cdots&s_nend{pmatrix}$ (см. следствие 3 теоремы 7.5).

3. По собственным значениям матрицы составить матрицу $Lambda= operatorname{diag} (lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n)$ — диагональный вид матрицы . Иначе матрицу Lambda можно найти, выполняя преобразование подобия $Lambda=S^{-1}AS$ .

Пример 7.9. Привести данные матрицы к диагональному виду и найти соответствующие преобразующие матрицы:

$A=begin{pmatrix}1&-2\3&8end{pmatrix}!,qquad B=begin{pmatrix} 1&-4\1&1 end{pmatrix}!,qquad C=begin{pmatrix}4&4\-1&0end{pmatrix}!.$

Решение. Матрица . 1. Собственные векторы и собственные значения этой матрицы были найдены в примере 7.8. Для собственных значений lambda_1=2 и lambda_2=7 возьмем соответствующие собственные векторы (полагая C_1=1,~C_2=3 ): $s_1=begin{pmatrix}-2\1end{pmatrix}!,~ s_2=begin{pmatrix}-1\3end{pmatrix}$ . Эти столбцы линейно независимы (по свойству 1 собственных векторов).

2. Составляем из собственных векторов преобразующую матрицу $S=begin{pmatrix} s_1&s_2end{pmatrix}=begin{pmatrix} -2&-1\1&3 end{pmatrix}$ .

3. Находим диагональный вид Lambda матрицы , выполняя преобразование подобия:

$begin{aligned}Lambda=S^{-1}AS&= begin{pmatrix}-2&-1\1&3end{pmatrix}^{-1}cdot! begin{pmatrix}1&-2\3&8end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}-2&-1\1&3end{pmatrix}= frac{1}{-5}!begin{pmatrix}3&1\-1&-2end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}1&-2\3&8 end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}-2&-1\1&3end{pmatrix}=\[2pt] &= -frac{1}{5}! begin{pmatrix} 6&2\-7&-14end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}-2&-1\1&3end{pmatrix}= begin{pmatrix}2&0\0&7end{pmatrix}!.end{aligned}$

На главной диагонали (согласно следствию 2 теоремы 7.5) стоят собственные значения матрицы .

Преобразующую матрицу можно было составить по-другому: $S'=begin{pmatrix}s_2&s_1 end{pmatrix}=begin{pmatrix}-1&-2\3&1end{pmatrix}$ . Тогда в результате преобразования подобия получили бы диагональную матрицу $Lambda'=(S')^{-1}AS'=operatorname{diag}(7;2)$ .

Матрица . 1. Собственные векторы и собственные значения этой матрицы были найдены в примере 7.8. Для собственных значений lambda_1=1+2i и lambda_2=1-2i возьмем соответствующие собственные векторы (полагая C_1=1,~ C_2=1 ): $s_1=begin{pmatrix}2i\1end{pmatrix}!,~s_2=begin{pmatrix}-2i\1 end{pmatrix}$ . Эти столбцы линейно независимы, поэтому матрицу можно привести к диагональному виду.

2. Составляем из собственных векторов преобразующую матрицу $S=begin{pmatrix} s_1&s_2end{pmatrix}=begin{pmatrix} 2i&-2i\1&1 end{pmatrix}$ . Выполняем преобразование подобия

$begin{aligned}Lambda=S^{-1}BS&= begin{pmatrix}2i&-2i\1&1end{pmatrix}^{-1}cdot! begin{pmatrix}1&-4\1&1end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}2i&-2i\1&1end{pmatrix}= frac{1}{4i}! begin{pmatrix}1&2i\-1&2iend{pmatrix}! cdot! begin{pmatrix}1&-4\1&1end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}2i&-2i\ 1&1end{pmatrix}= \[2pt] &=frac{1}{4i}! begin{pmatrix}1&2i\-1&2iend{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}-4+2i&-4-2i\ 1+2i&1-2i end{pmatrix}= frac{1}{4i}! begin{pmatrix}-8+4i&0\0&8+4iend{pmatrix}= begin{pmatrix}1+2i&0\0&1-2iend{pmatrix}!.end{aligned}$

На главной диагонали матрицы Lambda стоят (согласно следствию 2 теоремы 7.5) собственные значения матрицы .

Матрица . Найдем собственные векторы матрицы , используя алгоритм, изложенный в разд.7.2.1.

1. Составляем характеристический многочлен $Delta_{C}(lambda)= begin{vmatrix}4-lambda&4\-1&-lambdaend{vmatrix}= lambda^2-4 lambda+4=(lambda-2)^2$ .

2. Решаем характеристическое уравнение (lambda-2)^2=0~Rightarrow~lambda=2 .

3. Для собственного значения lambda=2 составляем однородную систему уравнений (C-2E)x=o , которую решаем методом Гаусса. Приводим расширенную матрицу системы к упрощенному виду

$begin{pmatrix}C-2Emid oend{pmatrix}= begin{pmatrix}2&4!!&vline!!&0\ -1&-2!!&vline!!&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&2!!&vline!!&0\ -1&-2!!&vline!!&0end{pmatrix}sim begin{pmatrix}1&2!!&vline!!&0\ 0&0!!&vline!!&0end{pmatrix}!.$

Ранг матрицы равен единице (r=1) , количество неизвестных n=2 . Поэтому фундаментальная система решений содержит n-r=1 решение. Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: x_1=-2x_2 . Полагая x_2=1 , находим решение $varphi_1=begin{pmatrix}-2\1end{pmatrix}$ .

4. Все собственные векторы, соответствующие собственному значению lambda=2 , имеют вид $s=C_1varphi_1=C_1! begin{pmatrix}-2\1end{pmatrix}$ , где C_1 — произвольная постоянная. отличная от нуля.

Как видим, матрица второго порядка имеет только один линейно независимый собственный вектор, поэтому ее нельзя привести к диагональному виду при помощи преобразования подобия.

Пример 7.10. Привести матрицу $A=begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\ 1&1&1 end{pmatrix}$ к диагональному виду и найти соответствующую преобразующую матрицу. Найти выражение для степени A^m с натуральным показателем minmathbb{N} .

Решение. 1. Собственные векторы и собственные значения этой матрицы были найдены в примере 7.8. Выберем три линейно независимых собственных вектора (см. пример 7.8):

$s_1=begin{pmatrix}1\0\-1end{pmatrix}!,qquad s_2=begin{pmatrix}1\-1\0 end{pmatrix}!,qquad s_3=begin{pmatrix}1\1\1end{pmatrix}!.$

Векторы s_1 и s_2 соответствуют собственному значению lambda=0 , вектор s_3 -собственному значению lambda=3 .

2, 3. Составляем из этих собственных векторов преобразующую матрицу , при помощи которой матрица приводится к диагональному виду Lambda:

$Lambda=S^{-1}cdot Acdot S= begin{pmatrix}0&0&0\ 0&0&0\ 0&0&3 end{pmatrix}!,qquad S=begin{pmatrix}1&1&1\0&-1&1\ -1&0&1end{pmatrix}!.$

Найдем m-ю степень матрицы , учитывая, что $A=SLambda S^{-1}:$

$A^m=begin{pmatrix}ScdotLambdacdot S^{-1}end{pmatrix}^m= underbrace{SLambda S^{-1}cdot SLambda S^{-1}cdotldotscdot SLambda S^{-1}}_{m}= ScdotLambda^mcdot S^{-1}.$

Нетрудно получить степень Lambda^m диагональной матрицы, так как произведение диагональных матриц является диагональной матрицей:

$Lambda^m= begin{pmatrix} 0&0&0\0&0&0\0&0&3^m end{pmatrix}!.$

Следовательно,

$begin{aligned}A^m&=ScdotLambda^mcdot S^{-1}= begin{pmatrix}1&1&1\0&-1&1\-1&0&1end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}0&0&0\0&0&0\0&0&3^m end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}1&1&1\0&-1&1\-1&0&1end{pmatrix}^{-1}=\[2pt] &=begin{pmatrix} 0&0&3^m\0&0&3^m\ 0&0&3^mend{pmatrix} !cdotfrac{1}{3}! begin{pmatrix}-1&-1&2\ -1&2&-1\ -1&-1&-1end{pmatrix}= frac{1}{3}! begin{pmatrix}3^m&3^m&3^m\ 3^m& 3^m&3^m\ 3^m&3^m&3^mend{pmatrix}= 3^{m-1}! begin{pmatrix}1&1&1\1&1&1\ 1&1&1 end{pmatrix}!.end{aligned}$

Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью их характеристических матриц

Получим необходимое и достаточное условие подобия числовых квадратных матриц и n-го порядка. Напомним, что с этими числовыми матрицами связаны λ-матрицы (A-lambda E) и (B-lambda E) , которые называются характеристическими. Две λ-матрицы называются эквивалентными, если одна из них получена из другой при помощи элементарных преобразований. Согласно пункту 6 замечаний 7.4, если λ-матрицы A(lambda) и B(lambda) эквивалентны, то существуют такие обратимые λ-матрицы S(lambda) и T(lambda) , что B(lambda)= S(lambda)A(lambda)T(lambda) .

Критерий подобия числовых матриц

Теорема 7.6 (критерий подобия числовых матриц). Для того чтобы числовые матрицы и были подобными необходимо и достаточно, чтобы их характеристические λ-матрицы (A-lambda E) и (B-lambda E) были эквивалентны.

В самом деле, если числовые матрицы подобны, т.е. $B=S^{-1}AS$ , то

$B-lambdacdot E=S^{-1}cdot Acdot S-lambdacdot S^{-1}cdot Ecdot S=S^{-1}cdot(A-lambdacdot E)cdot S.$

Значит, характеристические матрицы эквивалентны, так как числовую матрицу можно считать частным случаем λ-матрицы, а невырожденная числовая матрица является элементарной (следствие 3 теоремы 3.3). Необходимость доказана.

Для доказательства достаточности запишем условие эквивалентности λ-матриц (A-lambda E) и (B-lambda E) :

B-lambdacdot E=S(lambda)cdot(A-lambdacdot E)cdot T(lambda).

Перепишем равенство в виде

$S^{-1}(lambda)cdot(B-lambdacdot E)=(A-lambdacdot E)cdot T(lambda).$

(7.19)

Разделим λ-матрицу $S^{-1}(lambda)$ слева на (A-lambda E) , а λ-матрицу T(lambda) справа на (B-lambda E):

$S^{-1}(lambda)=(A-lambda E)cdot S_1(lambda)+S_0;quad T(lambda)=T_1(lambda)cdot (B-lambda E)+T_0.$

(7.20)

Здесь остатки S_0 и T_0 — обратимые числовые матрицы, так как $S^{-1}(lambda)$ и T(lambda) — обратимые λ-матрицы (см. пункт 3 замечаний 7.3). Подставим выражения (7.20) в (7.19):

Bigl[(A-lambda E)cdot S_1(lambda)+S_0Bigr]cdot(B-lambda E)= (A-lambda E)cdotBigl[T_1(lambda)cdot(B-lambda E)+T_0Bigr].

Преобразуем равенство

(A-lambda E)cdotBigl[S_1(lambda)-T_1(lambda)Bigr]cdot(B-lambda E)= (A-lambda E)cdot T_0-S_0cdot(B-lambda E).

Отсюда следует, что S_1(lambda)=T_1(lambda) , в противном случае равенство ложное, так как степень многочлена в левой части не менее второй, а в правой части — не более первой. При получаем

S_0cdot(B-lambdacdot E)=(A-lambdacdot E)cdot T_0

(7.21)

Сравнивая это равенство с (7.19), делаем вывод, что λ-матрицы $S^{-1}(lambda)$ и T(lambda) в (7.19) можно заменить числовыми матрицами S_0 и T_0 . Приравнивая в (7.21) коэффициенты при одинаковых степенях lambda , находим

S_0=T_0,qquad Acdot T_0=S_0cdot B.

(7.22)

Следовательно, $B=S_0^{-1}AS_0$ , т.е. матрицы и подобны.

Следствие. Если матрицы и подобны, т.е. $B=S_0^{-1}AS_0$ , то в качестве преобразующей матрицы S_0 можно взять матрицу $S_0=S_{text{left}}^{-1}(B)=T_{text{right}}(B)$ — левое или правое значения соответствующих λ-матриц из равенства

B-lambdacdot E=S(lambda)cdot(A-lambdacdot E)cdot T(lambda).

(7.23)

В самом деле, из доказательства теоремы следует, что λ-матрицы в (7.23) можно заменить числовыми матрицами:

$B-lambdacdot E=S_0^{-1}cdot(A-lambdacdot E)cdot T_0,$

где преобразующая матрица T_0 согласно (7.20) равна правому остатку при делении T(lambda) на (B-lambda E) , который по теореме Безу равен правому значению $T_{text{right}}(B)$ . Учитывая (7.22), получаем $S_0=T_0=T_{text{right}}(B)$ . Равенство $S_0=S_{text{left}}^{-1}(B)$ доказывается аналогично на основании теоремы Безу.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Prerequisite: Eigenvalues and eigenvectors

Let A and B be two matrices of order n. B can be considered similar to A if there exists an invertible matrix P such that B=P^{-1} A P This is known as Matrix Similarity Transformation.

Diagonalization of a matrix is defined as the process of reducing any matrix A into its diagonal form D. As per the similarity transformation, if the matrix A is related to D, then

$D = P ^{-1} A P$ and the matrix A is reduced to the diagonal matrix D through another matrix P. Where P is a modal matrix)

Modal matrix: It is a (n x n) matrix that consists of eigen-vectors. It is generally used in the process of diagonalization and similarity transformation.

In simpler words, it is the process of taking a square matrix and converting it into a special type of matrix called a diagonal matrix.

Steps Involved:

Step 1: Initialize the diagonal matrix D as:

$D=left[begin{array}{ccc} lambda_{1} & 0 & 0 \ 0 & lambda_{2} & 0 \ 0 & 0 & lambda_{3} end{array}right]$

where λ_{1, λ2, λ3 ->} eigen values

Step 2: Find the eigen values using the equation given below.

where, A -> given 3×3 square matrix. I -> identity matrix of size 3×3. λ -> eigen value.

Step 3: Compute the corresponding eigen vectors using the equation given below.
$begin{array}{l} A t, lambda=i \ {[A-lambda I] X_{i}=0} end{array}$
where, λ_{i ->} eigen value. X_{i ->} corresponding eigen vector.

Step 4: Create the modal matrix P.

$P=left[X_{0} X_{1} . . X_{n}right]$

Here, all the eigenvectors till X_i have filled column-wise in matrix P.

Step 5: Find P^-1 and then use the equation given below to find diagonal matrix D.

$D=P^{-1} A P$

Example Problem:

Problem Statement: Assume a 3×3 square matrix A having the following values:

$A=left[begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \ 1 & 2 & 1 \ 2 & 2 & 3 end{array}right]$

Find the diagonal matrix D of A using the diagonalization of the matrix. [ D = P^-1AP ]

Solution:
Step 1: Initializing D as:

$D=left[begin{array}{ccc} lambda_{1} & 0 & 0 \ 0 & lambda_{2} & 0 \ 0 & 0 & lambda_{3} end{array}right]$

Step 2: Find the eigen values. (or possible values of λ)

$begin{array}{l} Longrightarrow operatorname{det}(A-lambda I)=operatorname{det}left(left[begin{array}{ccc} 1-lambda & 0 & -1 \ 1 & 2-lambda & 1 \ 2 & 2 & 3-lambda end{array}right]right)=0 \ Longrightarrowleft(lambda^{3}-6 lambda^{2}+11 lambda-6right)=0 & \ Longrightarrow(lambda-1)(lambda-2)(lambda-3)=0 \ Longrightarrow & lambda=1,2,3 end{array}$

Step 3: Find the eigen vectors X₁, X₂, X₃ corresponding to the eigen values λ = 1,2,3.

$At $lambda=1$ A - $(1) I$ $X_{1}=0$ $Longrightarrowleft[begin{array}{ccc}1-1 & 0 & -1 \ 1 & 2-1 & 1 \ 2 & 2 & 3-1end{array}right]left[begin{array}{l}x_{1} \ x_{2} \ x_{3}end{array}right]=left[begin{array}{l}0 \ 0 \ 0end{array}right]$ $Longrightarrowleft[begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \ 1 & 1 & 1 \ 2 & 2 & 2end{array}right]left[begin{array}{l}x_{1} \ x_{2} \ x_{3}end{array}right]=left[begin{array}{l}0 \ 0 \ 0end{array}right]$ On solving, we get the following equations: $x_{3}=0left(x_{1}right)$ $x_{1}+x_{2}=0 Longrightarrow x_{2}=-x_{1}$ $therefore X_{1}=left[begin{array}{c}x_{1} \ -x_{1} \ 0left(x_{1}right)end{array}right]$ $Longrightarrow X_{1}=left[begin{array}{c}1 \ -1 \ 0end{array}right]$ Similarly, for $lambda=2$ $X_{2}=left[begin{array}{c}-2 \ 1 \ 2end{array}right]$ and for $lambda=3$ $X_{3}=left[begin{array}{c}1 \ -1 \ -2end{array}right]$$

$Similarly, \ for lambda = 2 \ X_2 = begin{bmatrix} -2\1\2 end{bmatrix} \ and \ for lambda = 3 \ X_3 = begin{bmatrix} 1\-1\-2 end{bmatrix}$

Step 5: Creation of modal matrix P. (here, X₁, X₂, X₃ are column vectors)

$P=left[X_{1} X_{2} X_{3}right]=left[begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \ -1 & 1 & -1 \ 0 & 2 & -2 end{array}right]$

Step 6: Finding P^-1and then putting values in diagonalization of a matrix equation. [D = P^-1AP]

We do Step 6 to find out which eigenvalue will replace λ₁, λ_2,and λ₃in the initial diagonal matrix created in Step 1.

$begin{array}{l} begin{array}{l} quad P=left[begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \ -1 & 1 & -1 \ 0 & 2 & -2 end{array}right] \ operatorname{det}(P)=(1)[(-2)(1)-(-1)(2)]-(-2)[(-2)(-1)-(0)(-1)]+(1)[(2)(-1)- \ (0)(1)] \ =[0+(4)+(-2)] \ =2 end{array}\ text { Since } operatorname{det}(P) neq 0 Longrightarrow text { Matrix } P text { is invertible. } end{array}$

We know that $P^{-1}=frac{operatorname{adj}(P)}{operatorname{det}(P)}$

On solving, we get $P^{-1}=frac{1}{2}left[begin{array}{ccc} 0 & -2 & 1 \ -2 & -2 & 0 \ -2 & -2 & -1 end{array}right]$

Putting in the Diagonalization of Matrix equation, we get

$begin{array}{l} quad D=P^{-1} A P \ D=frac{1}{2}left[begin{array}{ccc} 0 & -2 & 1 \ -2 & -2 & 0 \ -2 & -2 & -1 end{array}right]left[begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \ 1 & 2 & 1 \ 2 & 2 & 3 end{array}right]left[begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1 \ -1 & 1 & -1 \ 0 & 2 & -2 end{array}right] \ D=left[begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{array}right] end{array}$

Matlab

clear all

clc

disp("MATLAB Implementation for Diagonalization

of a Square Matrix | GeeksforGeeks")

A = input("Enter a matrix A : ");

[P , D] = eig(A);

D1 = inv(P)*(A)*(P);

disp("Diagonal form 'D' of Input Matrix 'A' is:")

disp(D1)

Output:

For the Matrix: $A = begin{bmatrix} 1 & 3\ 3 & 9\ end{bmatrix}$

For the Matrix: $A = begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \ 1 & 2 & 1 \ 2 & 2& 3\ end{bmatrix}$

Last Updated :
27 Apr, 2022

Like Article

Save Article

Источник

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю:

${displaystyle D={begin{bmatrix}d_{11}&0&cdots &0\0&d_{22}&cdots &0\cdots &cdots &cdots &cdots \0&0&cdots &d_{nn}end{bmatrix}}}$

Диагональная матрица с элементами $(d_{{1}},d_{{2}},dots ,d_{{n}})$ , стоящими на главной диагонали, обозначается ${displaystyle mathrm {diag} ,{d_{1},d_{2},dots ,d_{n}}}$ .

Является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной. Диагональная матрица симметрична: ${displaystyle D^{intercal }=D}$ . Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.

Диагональные матрицы можно складывать и перемножать почленно:

${displaystyle mathrm {diag} ,{a_{1},a_{2},dots ,a_{n}}+mathrm {diag} ,{b_{1},b_{2},dots ,b_{n}}=mathrm {diag} ,{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},dots ,a_{n}+b_{n}}}$ ,

${displaystyle mathrm {diag} ,{a_{1},a_{2},dots ,a_{n}}mathrm {diag} ,{b_{1},b_{2},dots ,b_{n}}=mathrm {diag} ,{a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},dots ,a_{n}b_{n}}}$ .

Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: ${mathrm {det}},D=d_{{11}}d_{{22}}dots d_{{nn}}$ .

Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть:

${displaystyle D_{ij}={begin{cases}0,&ineq j\prod limits _{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=jend{cases}}}$

Обратная матрица для диагональной матрицы равна:

${displaystyle D^{-1}={begin{bmatrix}d_{11}^{-1}&0&cdots &0\0&d_{22}^{-1}&cdots &0\cdots &cdots &cdots &cdots \0&0&cdots &d_{nn}^{-1}end{bmatrix}}=mathrm {diag} ,{d_{11}^{-1},d_{22}^{-1},dots ,d_{nn}^{-1}}}$

Диагональными являются нулевая матрица, единичная матрица, скалярная матрица (все элементы главной диагонали равны).

В некоторых случаях недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса; достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы (в общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме).

Источник

Во
многих практических задачах бывает
важно привести матрицу линейного
преобразования к простейшей форме.
Очевидно, простейшей формой для матрицы
является диагональная форма. В настоящей
главе мы рассмотрим достаточные условия
того, чтобы, за счет выбора базы линейного
пространства, можно было получить
диагональную матрицу линейного
преобразование
.

Для
решения этой задачи сначала докажем
теорему, непосредственно использующую
определение собственных значений и
собственных векторов линейного
преобразования:

Теорема:

(10.5)

Линейное
преобразование
,
тогда и только тогда задаётся в базе
e=(e₁,e₂,…,e_n)
диагональной
матрицей, если все векторы этой базы
являются собственными векторами этого
преобразования.

►Действительно,
равенство:

==
равносильно тому, что в
–
ой строке матрицы преобразования

в указанной базе, равны нулю все элементы,
стоящие вне главной диагонали, а на
главной диагонали стоит число
:

·.

◄

Следующая теорема
устанавливает важное отношение между
собственными векторами:

Теорема:

(10.6)

Собственные
векторы

и

линейного преобразования
,
относящиеся к разным собственным
числам

и
,
линейно независимы.

►Допустим,
что всё-таки нашлись такие, не равные
нулю, числа

и
,
что выполняется равенство: +=0. (16)

Применим
к (16) преобразование
:

+=0,
и вычтем из этого равенства равенство
(16), умноженное на число
.
Получим невозможное равенство:

(–)=0,

так
как по условию собственные числа

и

– различны.

◄

Следствие:
Всякая матрица, все
характеристические корни которой
действительны, подобна
диагональной матрице, то есть матрица
преобразования

приводится
к диагональной форме,
если существует база
,
составленная из собственных векторов
линейного преобразования
.
Рассмотренные примеры достаточно полно
иллюстрируют особенности поиска
диагональной матрицы для разных линейных
преобразований
.

☺☺

Пример
10–15:Найти собственные
векторы линейного преобразования
,
заданного в некотором базисе
матрицей:
.

Решение:

1).
Составляем характеристический многочлен
и находим его корни, используя свойства
определителя и правила нахождения
корней многочлена:

===,

откуда
корни многочлена
:

=
-1,

= 6.

2).
Записываем систему уравнений для
нахождения собственных векторов
линейного преобразования, соответствующим
найденным собственным значениям:
(A)

3).
Для собственного значения
=
-1 система (A)
принимает вид:

Так
как определитель системы равен нулю,
то независимых уравнений только одно.
Назначаем свободной неизвестной
=–,
тогда

=
,
получаем собственный вектор:
=(1,
-1).

4).
Для собственного значения
=
6 система (A)
принимает вид:

Так
как определитель системы равен нулю,
то независимых уравнений только одно.
Назначаем свободной неизвестной
=5,
тогда

=2,
получаем собственный вектор:
=(2,
5).

3)
Построим базис из собственных векторов

и составляем для этого базиса диагональную
матрицу линейного преобразования:
=.

Ответ:
собственные значения:
=
-1,

= 6; собственные векторы:
=
-1 имеем:
=(1,
-1), для
=
6
имеем:

=(2,
5).
Диагональная
форма матрицы линейного преобразования
в базисе

имеет простейший вид:
.

Пример
10–16:Линейное
преобразование
,
заданного матрицей:
в некотором базисе пространства
.Можно ли привести матрицу преобразования
к диагональному виду. Если можно, найти
базис, в котором такая запись возможна.

Решение:

==
(1)
==
(2)
→

=(1–)·=
(3)
=(1–)·=
(4)
→

=(1–)·=
(5)
=–(1–)·(1+)·=

Выполнены
операции:
(1):
[R1]+[R2]+[R3]+[R4].
(2):
вынесен общий множитель первой строки.
(3):
[R4]–[R1].
(4):
разложим определитель по первому
столбцу. (5):
разложим
определитель по третьему столбцу.

Получены
характеристические корни: ==1,
==–1.

3).
Для собственного значения =
1 система (A)
принимает вид:

или

(B)

Ранг
системы уравнений (B)
равен двум. Это значит, что ФСР этой
системы уравнений содержит два независимых
решения. Примем: =,=.
Найдём
фундаментальную систему решений для
системы (B):

	x₁	x₂	x₃	x₄
α₁	0	1	1	0
α₂	1	0	0	1

Векторы-решения
иесть ФСР для=1,
тогдасобственные
векторы: =(0,1,1,0),
=(1,0,0,1).

4).
Для собственного значения =–1
система (A)
принимает вид:

или

(C)

Ранг
системы уравнений (C)
равен двум. Это значит, что ФСР этой
системы уравнений содержит два независимых
решения. Примем: =,=.
Найдём
фундаментальную систему решений для
системы (C):

	x₁	x₂	x₃	x₄
α₁	0	1	-1	0
α₂	1	0	0	-1

Векторы-решения
иесть ФСР для=–1,
тогдасобственные
векторы: =(0,1,-1,0),
=(1,0,0,-1).

5).
В соответствии с теоремой 10.4 совокупность
векторов ,
,
,

независима, и её достаточно, чтобы
построить базу линейного пространства
.
Это значит: матрица заданного линейного
преобразования к диагональному виду
приводится.

Ответ:
матрица
приводится к диагональному виду:

в базе: =(0,1,1,0),
=(1,0,0,1),
=(0,1,-1,0),
=(1,0,0,-1).

☻

Набор поясняющих
примеров иллюстрирует наиболее сложные
теоретические вопросы и предлагает
рациональные схемы вычислений участвующих
величин.

Соседние файлы в папке ЛА и АГ пособие

Источник

Приведение квадратной матрицы к диагональному виду. Критерии приводимости квадратной матрицы к диагональному виду

Страницы работы

Фрагмент текста работы

§ 2. Приведение квадратной матрицы к диагональному
виду

Говорят, что квадратная матрица А с элементами
из поля P приводится к диагональному виду над P, если
существует невырожденная квадратная матрица Т с элементами из P такая,
что матрица – диагональная.

Критерии приводимости квадратной матрицы к диагональному виду. 1. Если А – квадратная матрица -го порядка с элементами из
поля P, – линейное пространство над Р,
– тот линейный оператор,
матрица которого в некотором базисе пространства совпадает
с А, то для приводимости матрицы А к диагональному виду над полем
Р необходимо и достаточно, чтобы в существовал
базис, состоящий из собственных векторов оператора f.

2. Для того
чтобы квадратная матрица А n-го порядка приводилась к
диагональному виду над полем Р необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического
уравнения принадлежали этому полю и для каждого из них выполнялось условие

, (7)

где
– кратность корня характеристического уравнения
матрицы А.

При решении задач первый критерий, пожалуй, проще в
применении, хотя студенты обычно предпочитают второй.

В том случае, когда все характеристические числа
матрицы А различны и принадлежат полю Р, эта
матрица приводится к диагональному виду над Р.
Если матрица А приводится к диагональному
виду – матрице , то диагональными
элементами последней являются собственные значения матрицы А, а матрица Т,
приводящая А к диагональному виду, есть не что иное, как матрица
перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов.

Из всего вышесказанного вытекает, что для
приведения квадратной матрицы к диагональному виду над полем Р следует:

1) составить характеристический многочлен матрицы А
и найти его корни. Если какой-либо из них не принадлежит полю Р,
то А к диагональному виду не приводится;

2) если все корни характеристического уравнения
принадлежат полю Р, то для кратных корней проверить условие (7)
(для однократных оно выполняется всегда). Если для какого-то из корней (7) не
выполняется, то А к диагональному виду не приводится;

3) если для каждого из собственных значений условие (7)
выполняется, то А к диагональному виду приводится. Записываем этот
диагональный вид – матрицу , располагая
на ее главной диагонали собственные значения в
произвольном порядке, причем каждое из значений повторяется столько раз, какова
его кратность;

4) для
каждого из найденных собственных значений находим собственные векторы и
составляем из них базис;

5) записываем
матрицу Т, приводящую А к диагональному виду, – матрицу перехода
от исходного базиса к базису из собственных векторов, сохраняя порядок,
установленный матрицей .

Пример 1. Найти диагональный вид матрицы А над полем
действительных чисел и невырожденную матрицу Т, приводящую к этому диагональному
виду, если

►Проводим решение по
намеченному плану.

2.Все корни
действительны и однократны, поэтому матрица А приводится к диагональному
виду.

3. .

4. Все
собственные векторы можно найти с помощью алгебраических дополнений. Кроме
того, вспомним, что, если мы нашли один собственный вектор, то любой вектор,
ему коллинеарный, также является собственным с тем же самым собственным значением.

: ; ,

(алгебраические
дополнения к элементам первой строки);

: ; =

(алгебраические
дополнения к элементам второй строки);

: ; ,

(алгебраические
дополнения к элементам первой строки).

5. Составляем матрицу перехода от исходного базиса к,
построенному базису , записывая в столбцы
матрицы координатные столбцы векторов , и
соответственно:

.◄

Пример 2. Проверить, приводится ли матрица А к
диагональному виду. Если приводится, найти этот диагональный вид и
невырожденную матрицу Т, приводящую нему.

►Составляем и решаем
характеристическое уравнение:

Матрица
имеет только одно собственное значение ,
но его кратность равна трем. Проверяем выполнение условия (4.58):

Условие
не выполняется, значит, матрица к диагональному виду не приводится.◄

Пример 3. Проверить, приводится ли матрица А к
диагональному виду. Если приводится, найти этот диагональный вид и
невырожденную матрицу Т, приводящую нему.

► Решение опять проводим по
намеченному плану.

–

2. Проверяем выполнение
условия (7) для кратного корня:

.
(8)

Таким образом, , условие
выполняется, матрица к диагональному виду приводится.

3. .

4. Так
как , то , т. е для первого собственного
значения можно найти два линейно независимых собственных вектора. По одной из
строк матрицы (8), разделив все ее элементы на общий множитель, выписываем
единственное уравнение для отыскания координат собственных векторов и решаем
его: , .
В качестве двух линейно независимых решений можно взять, например

Информация о работе

Источник

Подобие числовых матриц

Свойства подобных матриц

Приведение матрицы к диагональному виду при помощи преобразования подобия

Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью их характеристических матриц

Критерий подобия числовых матриц

Example Problem:

Matlab

Приведение квадратной матрицы к диагональному виду. Критерии приводимости квадратной матрицы к диагональному виду

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Похожие материалы

Информация о работе

Добавить комментарий Отменить ответ

Подобие числовых матриц

Свойства подобных матриц

Приведение матрицы к диагональному виду при помощи преобразования подобия

Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью их характеристических матриц

Критерий подобия числовых матриц

Example Problem:

Matlab

Приведение квадратной матрицы к диагональному виду. Критерии приводимости квадратной матрицы к диагональному виду

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Похожие материалы

Информация о работе

Вам также может понравиться

Как найти поставщика по мебели

Как найти скорость 2 пешехода формула

Как найти код для магнитол опель

Добавить комментарий Отменить ответ