Как найти диаметр конической поверхности

Фигура конус является объектом изучения стереометрии. Основными свойствами конуса являются наличие у него объема и площади поверхности, которые можно вычислить с помощью линейных параметров. Одним из них является диаметр конуса. В данной статье покажем, как этот диаметр можно рассчитать по другим известным характеристикам фигуры.

Круглый прямой конус

В общем случае конусом является фигура, построенная в результате движения отрезка вдоль некоторой кривой на плоскости, при этом второй конец отрезка зафиксирован в определенной точке пространства. Сам отрезок называется генератрисой, или образующей, а кривая – директрисой, или направляющей.

Согласно приведенному определению, кривая, которая ограничивает фигуру, может быть совершенно любого типа. Самыми известными из них являются парабола, гипербола, эллипс и окружность. В последнем случае говорят о круглом конусе.

Круглый конус может быть наклонным и прямым. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.

Здесь r – радиус окружности, которая ограничивает основание фигуры. Буквой h обозначена высота, которая представляет опущенный на основание из вершины конуса перпендикуляр. Буквой a обозначена ось конуса. Видно, что в случае прямой фигуры его высота совпадает с осью, то есть пересекает окружность в ее центре.

Помимо радиуса r и высоты h, важным линейным параметром конуса является длина его образующей g. Как было сказано, образующая – это отрезок, соединяющий директрису с высотой. Для прямого круглого конуса все образующие равны друг другу.

Далее в статье, раскрывая вопрос касательно того, как найти диаметр конуса, будет рассматриваться только конус круглый и прямой.

Вычисление диаметра фигуры через линейные параметры и угол при основании

Описанную пространственную фигуру можно получить, если вращать вокруг любого катета прямоугольный треугольник. Этот факт демонстрирует рисунок ниже.

Из рисунка видно, что два катета AC и AB являются радиусом r и высотой h объемной фигуры соответственно. Генератриса g – это гипотенуза BC. Эти соответствия позволяют записать формулу диаметра конуса через известные g и h:

d = 2*√(g² – h²)

При записи этой формулы использовалась теорема Пифагора, а также определение диаметра, который в два раза больше радиуса основания конуса.

Если известен угол φ между основанием и любой из образующих g фигуры, тогда диаметр конуса можно определить по следующим формулам:

d = 2*g*cos(φ);

d = 2*h/tg(φ)

Оба равенства являются следствием применения определения тригонометрических функций тангенса и косинуса.

Вычисление диаметра через площадь поверхности и генератрису

Поверхность рассматриваемого конуса образована конической поверхностью и круглым основанием. Развертка конуса показана ниже.

Общая площадь развертки определяется по следующей формуле:

S = pi*r² + pi*r*g

Если известна площадь S и генератриса g, тогда это уравнение позволяет вычислить радиус фигуры, а значит, и ее диаметр. Заметим, что речь идет об уравнении второго порядка относительно радиуса r. Решать его следует с использованием дискриминанта. При решении, как правило, получаются два корня, один из которых отрицательный. Он должен быть отброшен, ввиду его не физического значения.

С использованием описанной методики в конце статьи будет решена задача, и будет получен ответ на вопрос о том, чему равен диаметр конуса.

Определение диаметра через объем и высоту

Теперь покажем, как найти диаметр конуса, зная его объем V и высоту h. Для этого необходимо вспомнить, что объем конуса, как и объем любой пирамиды, можно определить, пользуясь следующим равенством:

V = 1/3*S*h

Здесь S – площадь основания. Поскольку площадь основания в рассматриваемом случае является площадью круга, то это выражение можно переписать в таком виде:

V = 1/3*pi*r²*h

Остается выразить отсюда радиус и умножить его в два раза, и мы получим ответ на вопрос о том, как найти диаметр конуса через величины V и h. Имеем:

r = √(3*V/(pi*h));

d = 2*r = 2*√(3*V/(pi*h))

Заметим, что в правой части получается размерность длины. Это доказывает правильность полученной формулы.

Все записанные в статье формулы для диаметра d фигуры также являются справедливыми для радиуса, который будет в два раза меньше диаметра.

Задача на определение диаметра через известную площадь конуса и его образующую

Дан конус, площадь поверхности которого составляет 150 см². Генератриса равна 14 см. Чему равен диаметр конуса?

Для получения ответа на поставленный вопрос используем описанную в статье методику. Сначала выпишем соответствующее уравнение:

S = pi*r² + pi*r*g =>

r² + 14*r – 150/3,14 = 0

При получении последнего равенства мы разделили левую и правую его части на число Пи. Рассчитываем дискриминант D. Имеем:

D = 14² – 4*1*(-150/3,14) = 387,0828

Полученный дискриминант приведен с точностью до 0,0001. Формула для корней уравнения r имеет следующий вид:

r = (-14±√D)/2

Очевидно, что один из корней будет отрицательным. Его не будем вычислять. Определим лишь искомый положительный радиус фигуры:

r = (-14+√387,0828)/2 = 2,837 см

Чтобы найти диаметр конуса, остается умножить это значение на два и записать ответ: d = 5,674 см.

В конце отметим, что, зная два любых параметра круглого конуса прямого, можно определить любую его характеристику, включая объем и площадь поверхности.

Фигура конус является объектом изучения стереометрии. Основными свойствами конуса являются наличие у него объема и площади поверхности, которые можно вычислить с помощью линейных параметров. Одним из них является диаметр конуса. В данной статье покажем, как этот диаметр можно рассчитать по другим известным характеристикам фигуры.

Круглый прямой конус

В общем случае конусом является фигура, построенная в результате движения отрезка вдоль некоторой кривой на плоскости, при этом второй конец отрезка зафиксирован в определенной точке пространства. Сам отрезок называется генератрисой, или образующей, а кривая – директрисой, или направляющей.

Вам будет интересно:Как найти образующую конуса обычного и усеченного. Формулы

Согласно приведенному определению, кривая, которая ограничивает фигуру, может быть совершенно любого типа. Самыми известными из них являются парабола, гипербола, эллипс и окружность. В последнем случае говорят о круглом конусе.

Круглый конус может быть наклонным и прямым. Обе фигуры показаны ниже на рисунке.

Здесь r – радиус окружности, которая ограничивает основание фигуры. Буквой h обозначена высота, которая представляет опущенный на основание из вершины конуса перпендикуляр. Буквой a обозначена ось конуса. Видно, что в случае прямой фигуры его высота совпадает с осью, то есть пересекает окружность в ее центре.

Помимо радиуса r и высоты h, важным линейным параметром конуса является длина его образующей g. Как было сказано, образующая – это отрезок, соединяющий директрису с высотой. Для прямого круглого конуса все образующие равны друг другу.

Далее в статье, раскрывая вопрос касательно того, как найти диаметр конуса, будет рассматриваться только конус круглый и прямой.

Вычисление диаметра фигуры через линейные параметры и угол при основании

Описанную пространственную фигуру можно получить, если вращать вокруг любого катета прямоугольный треугольник. Этот факт демонстрирует рисунок ниже.

Из рисунка видно, что два катета AC и AB являются радиусом r и высотой h объемной фигуры соответственно. Генератриса g – это гипотенуза BC. Эти соответствия позволяют записать формулу диаметра конуса через известные g и h:

d = 2*√(g2 – h2)

При записи этой формулы использовалась теорема Пифагора, а также определение диаметра, который в два раза больше радиуса основания конуса.

Если известен угол φ между основанием и любой из образующих g фигуры, тогда диаметр конуса можно определить по следующим формулам:

d = 2*g*cos(φ);

d = 2*h/tg(φ)

Оба равенства являются следствием применения определения тригонометрических функций тангенса и косинуса.

Вычисление диаметра через площадь поверхности и генератрису

Поверхность рассматриваемого конуса образована конической поверхностью и круглым основанием. Развертка конуса показана ниже.

Общая площадь развертки определяется по следующей формуле:

S = pi*r2 + pi*r*g

Если известна площадь S и генератриса g, тогда это уравнение позволяет вычислить радиус фигуры, а значит, и ее диаметр. Заметим, что речь идет об уравнении второго порядка относительно радиуса r. Решать его следует с использованием дискриминанта. При решении, как правило, получаются два корня, один из которых отрицательный. Он должен быть отброшен, ввиду его не физического значения.

С использованием описанной методики в конце статьи будет решена задача, и будет получен ответ на вопрос о том, чему равен диаметр конуса.

Определение диаметра через объем и высоту

Теперь покажем, как найти диаметр конуса, зная его объем V и высоту h. Для этого необходимо вспомнить, что объем конуса, как и объем любой пирамиды, можно определить, пользуясь следующим равенством:

V = 1/3*S*h

Здесь S – площадь основания. Поскольку площадь основания в рассматриваемом случае является площадью круга, то это выражение можно переписать в таком виде:

V = 1/3*pi*r2*h

Остается выразить отсюда радиус и умножить его в два раза, и мы получим ответ на вопрос о том, как найти диаметр конуса через величины V и h. Имеем:

r = √(3*V/(pi*h));

d = 2*r = 2*√(3*V/(pi*h))

Заметим, что в правой части получается размерность длины. Это доказывает правильность полученной формулы.

Все записанные в статье формулы для диаметра d фигуры также являются справедливыми для радиуса, который будет в два раза меньше диаметра.

Задача на определение диаметра через известную площадь конуса и его образующую

Дан конус, площадь поверхности которого составляет 150 см2. Генератриса равна 14 см. Чему равен диаметр конуса?

Для получения ответа на поставленный вопрос используем описанную в статье методику. Сначала выпишем соответствующее уравнение:

S = pi*r2 + pi*r*g =>

r2 + 14*r – 150/3,14 = 0

При получении последнего равенства мы разделили левую и правую его части на число Пи. Рассчитываем дискриминант D. Имеем:

D = 142 – 4*1*(-150/3,14) = 387,0828

Полученный дискриминант приведен с точностью до 0,0001. Формула для корней уравнения r имеет следующий вид:

r = (-14±√D)/2

Очевидно, что один из корней будет отрицательным. Его не будем вычислять. Определим лишь искомый положительный радиус фигуры:

r = (-14+√387,0828)/2 = 2,837 см

Чтобы найти диаметр конуса, остается умножить это значение на два и записать ответ: d = 5,674 см.

В конце отметим, что, зная два любых параметра круглого конуса прямого, можно определить любую его характеристику, включая объем и площадь поверхности.

Научные статьи на тему «Диаметр конуса»

Конус

Конус
Круг, из которого составлен конус, называется основанием конуса, точка, не лежащая в плоскости…
основания — вершиной конуса, прямые, соединяющие точку с основанием — образующими конуса, а совокупность…
Усеченный конус

Определение 2

Если через обычный конус провести плоскость, параллельную её основанию…
$7$ см, образующая в два раза больше диаметра основания….
Так как образующая в два раза больше диаметра, получим
[l=2cdot 2r=4r=28 см] Как мы знаем
[S_{осн

Статья от экспертов

Влияние усилия вдавливания конуса в поверхность упругопластического тела и механических свойств материала детали на диаметр отпечатка

В работе рассматривается задача о вдавливании жесткого конуса в поверхность упругопластического тела. Обозначена актуальность исследования. Приведены расчетная схема и конечно-элементная модель. Проведена проверка контактного алгоритма. Проведены расчеты для различных комбинаций свойств материалов. Целью моделирования является исследование основных геометрических характеристик перемещений вокруг отпечатка и исследование влияния усилия вдавливания индентора и механических свойств материала.

Цилиндр, конус, шар

образован конус….
Шар и сфера

Определение 3

Шаром называется тело, образованное вращением круга вокруг его диаметра…
Сферой называется фигура, образованная вращением окружности вокруг ее диаметра….
Отрезок, который соединяет две точки поверхности шара и проходит через центр, – диаметр шара, его концы…
Плоскость, которая проходит через диаметр шара, – диаметральная плоскость.

Статья от экспертов

Донное давление конуса в гиперзвуковом потоке в присутствии цилиндрического тела в следе за ним

Проведено измерение давления на донной поверхности конуса с полууглом при вершине θ=10° в присутствии цилиндрического тела в ближнем следе при угле атаки α=0. Показано, что наличие цилиндрического тела в ближнем следе за конусом приводит к увеличению донного давления, при этом с увеличением диаметра цилиндрического тела донное давление линейно возрастает. Экспериментально установлено, что при длине цилиндрического тела, превышающей диаметр основания конуса, изменение этой длины не оказывает влияния на донное давление. Исследования проведены в гелиевой аэродинамической трубе ЦАГИ ГТ-1 в диапазоне чисел М∞ = 11 ÷ 27 и чисел Рейнольдса ReL = (0,326 + 1,75) ⋅106 (значения чисел Рейнольдса вычислены по параметрам набегающеro потока и длине (высоте) конуса L = 85 мм).

Здравствуйте. Есть одна задача, решение которой я безуспешно пытался найти. В частности потому, что в геометрии полный профан. Никогда с ней не дружил. Задача следующая. У меня есть усечённый конус высотой = 6 см. Диаметр основания = 18 см. Диаметр верха конуса = 6 см. Стенки под углом 45 градусов к горизонтали. С помощью формул (не графически) нужно найти диаметр конуса на высоте 1.8 см от основания. Предполагается, что конусов будет различное множество. Все они усечённые, но с разной высотой, разными диаметрами верха и основания, разными углами стенок. Есть ли универсальная формула, подставляя параметры конуса в которую, можно найти его диаметр на определённой высоте от основания? Я пытался думать как о равнобедренной трапеции (это тоже допустимо), но и тут решения не нашел.

Середины параллельных хорд всякого конического сечения лежат на одной прямой; эта прямая называется диаметром конического сечения. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой диаметр («сопряженный» с данным направлением). На рис. 74 изображен один из диаметров эллипса. На нем лежат середины параллельных хорд Геометрическое место этих середин есть отрезок диаметра .

Рис. 74

На рис. 75 изображен диаметр гиперболы, соответствующий параллельным хордам На нем лежат середины этих хорд. Геометрическое место точек есть пара лучей и

Замечание. В элементарной геометрии диаметром окружности называется отрезок (наибольшая хорда). В аналитической геометрии слово «диаметр» иногда тоже употребляется для обозначения отрезка (см. рис. 74, 75). Но чаще этим словом называют всю прямую .

Рис. 75