Как найти диаметр описанной окружности этого треугольника

Как определить диаметр описанной окружности треугольника

Треугольник. Описанная окружность

Расчет параметров описанной вокруг треугольника окружности.

Дополню коллекцию калькуляторов треугольников калькулятором, рассчитывающим параметры описанной вокруг треугольника окружности.
Собственно, ключевой вопрос — найти ее радиус.

Радиус ищется так:

Калькулятор рассчитывает радиус, площадь описанной окружности, площадь треугольника и отношение площадей.

Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника

Пусть известна гипотенуза c прямоугольного треугольника (Рис.1). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

На странице Радиус окружности описанной около треугольника формула радиуса описанной окружности около треугольника по стороне и противолежащему углу имеет вид:

где C − угол противолежащий гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку угол, противолежащий гипотенузе − прямой, то получим:

( small R=frac =frac , )

( small R=frac . )

(1)

Пример 1. Известна гипотенуза ( small с=frac ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (1).

Подставим значение ( small c=frac ) в (1):

Ответ:

2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника (Рис.2).

Из теоремы Пифагора запишем формулу гипотенузы, выраженная через катеты:

( small c=sqrt. )

(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

( small R=frac =frac , )

( small R=frac . )

(3)

Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны: ( small a=15 , ; b=3.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (3). Подставим значения ( small a=15 , ; b=3) в (3):

Ответ:

3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника

Формула для вычисления радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника аналогична формуле вычисления радиуса описанной окружности около произвольного треугольника (см. статью на странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн):

(4)

4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника

Пусть известны катет a и прилежащий острый угол B прямоугольного треугольника (Рис.4). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

Так как треугольник прямоугольный, то сумма острых углов треугольника равна 90°:

( small angle A+angle B=90°. )

( small angle A=90°-angle B. )

(5)

Подставляя (5) в (4), получим:

( small R=frac =frac ) ( small =frac )

( small R=frac . )

(6)

Пример 3. Катет прямоугольного треугольника равен: ( small a=15 ,) а прилежащий угол равен ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a=15 , ; angle B=25° ) в (6):

Ответ:

Треугольник описанный около окружности

Определение

Треугольник, описанный около окружности — это треугольник,
который находится около окружности и соприкасается
с ней всеми тремя сторонами.

На рисунке ниже изображена окружность, вписанная в треугольник;
и треугольник, описанный около окружности.

△ ABC — треугольник, описанный около окружности;
A, B, C — вершины треугольника, описанного около окружности;
F, D, E — точки касания треугольника, описанного около окружности;
O — центр окружности, вписанной в треугольник;
OD = OF = OE — радиусы треугольника, описанного около окружности;
AB, BC, CA — касательные;
FA = AE, EC = CD, FB = BD — отрезки касательных;
OF ⟂ AB, OD ⟂ BC, OE ⟂ AC;

Треугольник ABC имеет три точки, где соприкасаются
стороны и сама окружность, эти точки называют точками
касания. У данного треугольника их всего три.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем
только одну. Треугольник, в который вписана окружность
называется треугольником описанным около окружности.

Треугольники, описанные около окружности, обладают рядом
рядом отличительных свойств, характерных признаков, уникальными
терминами, а также формулам, по которым можно найти разные величины.

Формулы радиуса вписанной окружности, радиуса описанной окружности,
диаметра, средней линии, периметра, площади стороны позволяют выразить
одни величины через другие, рассчитать длину величины, узнать во сколько
раз одна величина отличается от другой, какая прослеживается взаимосвязь.

Длина любой величины произвольного
треугольника может измеряется в мм, см, м, км.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности треугольника, описанного около окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности треугольника, описанного около окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника, описанного около окружности.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника, описанного около окружности.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника, описанного около окружности.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника, описанного около окружности.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угла между ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника, описанного около окружности.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

Свойства треугольника, описанного около окружности,
а также окружности, вписанной в треугольник, медиан,
высот, биссектрис, радиусов-перпендикуляров.

Свойство 1. Окружность, можно вписать
в любой треугольник, только один раз.

Свойство 2. Центр окружности, вписанной в треугольник —
точка пересечения биссектрис, центр окружности.

Свойство 3. Центр окружности, описанной около треугольника —
точка пересечения серединных перпендикуляров.

Свойство 4. Центры вписанной и описанной окружностей
равностороннего треугольника, описанного около
окружности совпадают, имеют одну общую точку.

Свойство 5. Отрезок, проведенный из центра треугольника,
описанного около окружности, к любой из сторон,
является радиусом.

Свойство 6. У любого треугольника центр
вписанной окружности находится только внутри.

Свойство 7. Окружность находящаяся внутри
треугольника, описанного около окружности,
касается всех его сторон.

Свойство 8. Вписанная окружность и треугольник,
описанный около окружности, имеют три общие точки,
которые лежат на трех сторонах треугольника.

Свойство 9. Формула радиуса вписанной окружности
у треугольника, описанного около окружности, и четырехугольника,
у которого суммы противоположных равны, совпадает.

Свойство 10. Радиус описанной около треугольника окружности,
можно выразить и рассчитать через Теорему Синусов.

Свойство 11. У треугольника, описанного около
окружности, радиус вписанной окружности, можно
рассчитать через площадь и полупериметр.

Свойство 12. Радиус в точку касания есть перпендикуляр.

Свойство 13. Окружность, вписанная в треугольник, разделяет
стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.

Свойство 14. Стороны треугольника, описанного около
окружности, можно также называть касательными.

Свойство 15. Отрезки, которые проведены из центра вписанной
окружности, к точкам касания, перпендикулярны сторонам.

Свойство 16. Сумма углов треугольника, описанного
около окружности, равна 180 градусам.

Свойство 17. Центр вписанной окружности
равноудален от всех сторон треугольника.

Свойство 18. Центр вписанной в треугольник окружности в научных
кругах называется замечательной точкой треугольника, либо инцентром.

Свойство 19. Правильный треугольник, описанный около
окружности, имеет точки касания с окружность, в серединах сторон.

Свойство 20. Равнобедренный, прямоугольный, равносторонний
треугольники, описанные около окружности, в точке пересечения
биссектрис и центре окружности, имеют одну общую точку.

Признаки существования

Признак 1. Центр вписанной окружности —
это точка пересечения биссектрис.

Признак 2. На сторонах треугольника лежат
три точки касания вписанной окружности.

Признак 3. Вписанная окружность делит смежные
стороны треугольника на равные отрезки касательных.

Признак 4. У вписанной окружности три радиуса в точку касания быть перпендикулярами.

Исходя из вышеперечисленных признаков, исходных
данных, внешнего вида, можно определить является ли
треугольник описанным около окружности или же нет.

Признаки равенства

Признак 1. По двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника, описанного
около окружности, равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.

Признак 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, описанного
около окружности, равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.

Признак 3. По трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника, описанного
около окружности, равны трем сторонам другого
треугольника, описанного около окружности.

Как мы знаем, любой треугольник может быть описан около
окружности, исходя из этого можно сказать, что около
окружности, могут быть описаны следующие виды треугольников:

1. Разносторонний треугольник
2. Равносторонний / правильный треугольник
3. Прямоугольный треугольник
4. Равнобедренный треугольник
5. Равнобедренныйпрямоугольный треугольник

• Прямоугольный треугольник, описанный около окружности

Характерные признаки: один из углов прямой,
длину сторон можно найти через Теорему
Пифагора, сумма острых углов 90 градусов.

Основные формулы:

• Равнобедренный треугольник, описанный около окружности
  

Характерные признаки: два угла равны,
две стороны равны, третий угол можно
найти зная два других.

Основные формулы:

• Равносторонний треугольник, описанный около треугольника

Характерные признаки: три угла и три стороны равны, точки пересечения медиан, высот, биссектрис совпадают.

Основные формулы:

Термины

Точка касания — это точка, где соприкасается вписанная
окружность с треугольником; это общая точка, для окружности
и треугольника, которая лежит на любой из сторон треугольника.

Инцентр — это точка, где пересекаются три биссектрисы
треугольника; это центр вписанной окружности в треугольник;
это одна из замечательных точек в геометрии.

Касательная — это сторона треугольника, которая имеет с
вписанной окружностью одну общую точку — точку касания.

Ортоцентр — точка, где пересекаются высоты треугольника.

Ось симметрии — это прямая, которая делит
треугольник на равные половины.

Замечательная точка — это точка пересечения медиан,
высот, биссектрис, серединных перпендикуляров.

Отрезок касательной — это отрезок, который берет начало
у одной из вершин треугольника, и имеет конец в точке касания.

Теорема синусов

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:

bc sinα = ca sinβ

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

• Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
• Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Следовательно, ∠А1 = 180° – α.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

Также известно, что sin(180° – α) = sinα.

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

α = 2R sin (180° – α) = 2R sinα

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

• sin120° = sin(180° – 60°) = sin60° = 3/√2;
• sin150° = sin(180° – 30°) = sin30° = 1/2;
• sin135° = sin(180° – 45°) = sin45° = 2/√2.

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

sinγ = sin(180° – α)

Так как sin(180° – α) = sinα, то sinγ = sin(180° – α) = sinα

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

Согласно теореме о сумме углов треугольника:

∠B = 180° – 45° – 15° = 120°

Сторону AC найдем по теореме синусов:

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

>

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac<1><2>ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

1. Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2. O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-sinusov

http://colibrus.ru/treugolnik-vpisannyy-v-okruzhnost/

[/spoiler]

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач.

Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности.

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство серединных перпендикуляров.

Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство теоремы здесь: Свойства биссектрис треугольника.

Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.

Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.

Теорема 4.

Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.

Теорема 5. Радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой , вычисляется по формуле:

Доказательство теоремы здесь: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Напомним определение правильного многоугольника:

Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.

Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.

Теорема 6.

Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен

А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен

Докажем эту теорему.

У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.

Пусть в правильном треугольнике стороны , точка О – центр вписанной и описанной окружностей, — медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда

Получаем, что

Из треугольника АВН получаем, что длина стороны

Тогда

Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника —

Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник

Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.

Разберем задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме: Вписанные и описанные треугольники.

Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.

Решение:

Длина стороны равностороннего треугольника  равна

Радиусы – вписанной и – описанной окружностей можно найти по формулам:

где — сторона треугольника.

Значит,

Ответ:

Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.

Вот две полезные формулы для площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

,

где — полупериметр,

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Теорема синусов:

R — радиус описанной окружности

Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.

Решение:

Выразим площадь треугольника двумя разными способами:

где – полупериметр треугольника, a – его стороны.

Тогда , а диаметр окружности равен

Ответ: 8.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Решение:

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что .

Тогда .

В ответ запишем .

Ответ: 4.

Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике сторона равна  , а угол равен . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

По теореме синусов

Тогда

Ответ: 7.

Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике угол А равен , а угол В – . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если сторона равна 10.

Решение:

Зная, что сумма углов треугольника равна , найдем угол С.

По теореме синусов

Значит,

Ответ: 10.

Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

Ответ: 150.

Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем .

Тогда .

Ответ: 25.

Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.

Решение:

Высота , проведенная к основанию , является медианой. Значит, .

находится по теореме Пифагора из треугольника :

Периметр треугольника – это сумма длин сторон, т.е.

Площадь треугольника

Радиус вписанной окружности r найдем по формуле

Ответ:

Задача 9, ОГЭ. Стороны и треугольника равны 6 и соответственно, угол . Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника .

Решение:

Найдем длину стороны по теореме косинусов, используя длины сторон , и косинус угла В, противолежащего стороне :

Теперь воспользуемся теоремой синусов:

Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника , равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.

Решение:

Пусть длина радиуса описанной окружности , а длина радиуса вписанной окружности

Мы знаем, что , где – полупериметр,  – стороны треугольника.

Значит,

Отсюда

Тогда

Ответ: 11.

Задача 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2, а гипотенуза 10.

Решение:

Пусть радиус вписанной окружности , а гипотенуза

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике

Значит, отсюда

Площадь находится по формуле где – полупериметр,  – стороны треугольника.

Ответ: 24.

Рассмотрим также задачу из 2 части ЕГЭ по математике.

Задача 12. Точка О – центр вписанной в треугольник окружности. Прямая вторично пересекает описанную около треугольника окружность в точке Р.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника , если радиус окружности, описанной около треугольника равен 10,

Решение:

а) Пусть О – центр вписанной окружности, значит, и – биссектрисы углов и соответственно, и

как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу
Тогда

– внешний угол треугольника , поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е.

Значит, Что и требовалось доказать.

б)  , следовательно, треугольник – равнобедренный, – основание,

Угол равен , значит,

По теореме синусов для треугольника :

Тогда отрезок равен отрезку , т.е. .

Найдем угол С из треугольника :

как вписанные углы, опирающиеся на дугу .

Площадь треугольника находится по формуле:

Ответ:

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Если вам понравился наш материал – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Как найти диаметр окружности равнобедренного треугольника(см)?

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Решить задание можно несколькими способами. Можно исходить из теоремы косинусов,

Далее по теореме синусов считаем диаметр.

Можно считать и по другой схеме. Не через вычисление основания — с, а через угол при основании.

Есть и еще один вариант решения задачи.

Диаметр окружности описанной около равнобедренного треугольника находится по формуле: сторона делённая на синус угла противолежащего этой стороне.

Берём угол 120 градусов, синус 120 градусов равен синус 60 градусов, и равен корень из 3 делить на 2. По теореме косинусов можем найти противолежащую сторону. Получили что сторона равна корень из 48. Тогда делим корень из 48 на синус угла 120 градусов и получаем 8 см.

Теорема синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

На b сокращаем, воспользуемся правилом пропорции и получим:

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.

Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

,где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA₁. В этом случае точка А и точка А₁ лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А₁ = α. Треугольник BA₁C — прямоугольный, в нём ∠ BCA₁ = 90°, так как он опирается на диаметр BA₁.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA₁C, нужно умножить гипотенузу BA₁ на синус противолежащего угла.

BA₁ = 2R, где R — радиус окружности

Для остроугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA₁. Точки А и A₁ по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA₁B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Следовательно, ∠А₁ = 180° — α.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

В треугольнике BCA₁ угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

Для тупоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

Согласно теореме о сумме углов треугольника:

∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

Сторону AC найдем по теореме синусов:

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см соответственно. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

Радиус описанной и вписанной окружности: Формулы и примеры

На самом деле эту тему проходят еще в начальных классах обычной школы. И все, кто хорошо учился, сразу смогут сказать, о чем идет речь. Ну, или хотя бы точно понять, что РАДИУС как-то связан с окружностью.

Что такое радиус

И действительно:

Радиус – это отрезок, который начинается в центре окружности и заканчивается в любой точке ее поверхности. В то же время так называется и длина этого отрезка.

Вот так это выглядит графически.

Само слово РАДИУС имеет латинские корни. Оно произошло от «radius», что можно перевести как «луч» или «спица колеса». Впервые этот математический термин ввел французский ученый П.Ромус. Было это в 1569 году.

Но потребовалось чуть более ста лет, чтобы слово РАДИУС прижилось и стало общепринятым.

Кстати, есть еще несколько значений слова РАДИУС:

• Размер охвата чего-нибудь или сфера распространения. Например, говорят «Огонь уничтожил все в радиусе 10 километров» или «ОН показал на карте радиус действия артиллерии»;
• В анатомии этим словом обозначают Лучевую кость предплечья.

Но, конечно, нас интересует РАДИУС как математический термин. А потому и продолжим говорить именно о нем.

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Примеры задач

Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Используем первую формулу (через периметр):

Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2.

Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Формулы для радиуса описанной окружности

Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам

Формула радиуса описанной окружности треугольника (R ) :

Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника (R):

Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

Найти радиус описанной окружности около квадрата

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

Формулы для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник (r):

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник (r):

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол (r ) :

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту (r ) :

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник (r):

Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

Формула радиуса вписанной окружности равнобочной трапеции (r):

Радиус вписанной окружности в квадрат

Формула радиуса вписанной окружности в квадрат (r):

Радиус вписанной окружности в ромб

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону (r ) :

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

Формула радиуса вписанной окружности в ромб (r ) :

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

Формула радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник, (r):

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

Формула радиуса вписанной окружности в шестиугольник, (r):

Примеры задач

Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.

Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:

Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.

Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:

Всем спасибо и приятного просмотра! Если понравилась публикация подписывайтесь и ставьте палец вверх!