Как найти диаметр описанной окружности треугольника прямоугольного

Как найти диаметр окружности описанной около прямоугольного треугольника

• 

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).

Используем обычные обозначения:

`c` – гипотенуза `AB`;

`a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески “kathetos – катет” означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);

`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;

`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

`R` – радиус описанной окружности;

`r` – радиус вписанной окружности.

Напомним, что если `alpha` – величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то

`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `”tg”alpha = a/b`.

Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

`c^2 = a^2 + b^2`

Доказательство теоремы повторите по учебнику.

Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ – alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.

Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c` . Аналогично доказывается второе равенство.

Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `”tg”alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `”tg”alpha = (BD)/(CD)`.

Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.

Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.

Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MKVert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`

.

Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MKVert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.

Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.

Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`

Пусть `O` – центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` – точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` – квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC – FC`, `AN = AC – CN`, т. е. `BF = a – r` и `AN = b – r`.

Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` – общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b – r`.

Аналогично доказывается, что `BS = a – r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b – r) + (a – r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.

Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника		Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности	Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов
Площадь треугольника
Радиус описанной окружности

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника

Пусть известна гипотенуза c прямоугольного треугольника (Рис.1). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

На странице Радиус окружности описанной около треугольника формула радиуса описанной окружности около треугольника по стороне и противолежащему углу имеет вид:

( small R=frac<large c> <large 2 sin C>)

где C − угол противолежащий гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку угол, противолежащий гипотенузе − прямой, то получим:

( small R=frac<large c><large 2 sin 90°>=frac<large c><large 2>, )

( small R=frac<large c><large 2>. )

(1)

Пример 1. Известна гипотенуза ( small с=frac<9> <2>) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (1).

Подставим значение ( small c=frac<9> <2>) в (1):

Ответ:

2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника (Рис.2).

Из теоремы Пифагора запишем формулу гипотенузы, выраженная через катеты:

( small c=sqrt. )

(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

( small R=frac<large sqrt><large 2>. )

(3)

Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны: ( small a=15 , ; b=3.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (3). Подставим значения ( small a=15 , ; b=3) в (3):

Ответ:

3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника

Формула для вычисления радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника аналогична формуле вычисления радиуса описанной окружности около произвольного треугольника (см. статью на странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн):

(4)

4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника

Пусть известны катет a и прилежащий острый угол B прямоугольного треугольника (Рис.4). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

Так как треугольник прямоугольный, то сумма острых углов треугольника равна 90°:

( small angle A+angle B=90°. )

( small angle A=90°-angle B. )

(5)

Подставляя (5) в (4), получим:

( small R=frac<large a><large 2 sin A>=frac<large a><large 2 sin(90°-B)>) ( small =frac<large a> <large 2 cos B>)

( small R=frac<large a><large 2 cos B>. )

(6)

Пример 3. Катет прямоугольного треугольника равен: ( small a=15 ,) а прилежащий угол равен ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a=15 , ; angle B=25° ) в (6):

Ответ:

[spoiler title=”источники:”]

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/otcircle.htm

http://matworld.ru/geometry/radius-opisannoj-okruzhnosti-pryamougolnogo-treugolnika.php

[/spoiler]

с – гипотенуза треугольника.

Радиус вписанной в
прямоугольный треугольник окружности

равен произведению катетов, делённому на сумму
катетов и гипотенузы,

где  r –
искомый радиус, а  и  b – катеты,

с – гипотенуза треугольника.

Радиус вписанной в
прямоугольный треугольник окружности равен площади этого треугольника, делённой
на полупериметр:

где  р – полупериметр

ЗАДАЧА:

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
делит один из катетов на отрезки  2 см  и  8 см,
отсчитывая от вершины прямого угла. Найдите периметр треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:

ВМ
= ВN = х.

(2 + х)² + (2 + 8)² = (8
+ х)²,

х² + 4х + 4
+ 100 =

= х² + 16х + 64,

12х = 40,

х =
¹⁰/₃ (см).

Р = (2 + 8) + (8 + ¹⁰/₃) + (¹⁰/₃ + 2) = 26²/₃ (см).

ЗАДАЧА:

Вписанная окружность прямоугольного треугольника  АВС  касается гипотенузы  АВ  в точке 
К. Найдите радиус
вписанной окружности, если  АК = 4 см, ВК
= 6 см.

РЕШЕНИЕ:

За свойством касательных имеем:

АК = АМ = 4 см, 
ВК = ВN = 6 см.


Обозначим радиус вписанной окружности
через  х:

СN = СM = NО = МО = х.

Тогда 

АС =
(4 + х) см. 
ВС = (6 + х) см,

АВ =
4 см +
6 см =
10 см.

По теореме Пифагора для треугольника  АВС
можно записать соотношение:

(4 + х)² + (6 + х)² = 10².

Решим это квадратное уравнение:

16 + 8x + x²
+ 36 + 12x + x² = 100,

2x² + 20x + 52 – 100 = 0,

2x² + 20x – 48 = 0,

x² + 10x – 24 = 0,

x₁ = 2,  x₂ = –10.

x₂  не
удовлетворяет условию задачи.

ОТВЕТ:  2 см.

ЗАДАЧА:

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
делить гипотенузу на отрезки  8 см  и  12
см. Найдите периметр треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:

(8 + 12)²
= (8 + х)² + (12 + х)²,

400 = 64 + 16x + x²
+ x² + 24x + 144,

2x² + 40x – 192 = 0,

x² + 20x – 96 = 0,

x₁ = 4,  x₂ = –24.

x₂  не
подходит.

Р
= 8 + 12 + 12 + 4 + 4 + 8 = 48 (см).

ОТВЕТ:  48 см.

Описанная окружность
прямоугольного треугольника.

Центром окружности, описанной
вокруг прямоугольного треугольника, будет середина его гипотенузы.

Диаметр окружности,
описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен его гипотенузе.

Медиана прямоугольного
треугольника, проведённая к его гипотенузе, равна половине гипотенузы и
является радиусом окружности, описанной около этого треугольника.

ОА = ОВ = ОС = R

Радиус описанной окружности равен половине
гипотенузы:

ЗАДАЧА:

Отрезок  ВС – диаметр окружности, изображённой на рисунку.

Угол  АВС = 55°.

Найдите
величину
угла  АСВ
?

РЕШЕНИЕ:

ВС – диаметр,
поэтому  ∠ ВАС = 90°,

∠ АСВ = 180° – (90° + 55°) = 35°.

ЗАДАЧА:

Перпендикуляр,
опущенный из точки окружности на его диаметр, делит диаметр на отрезки, разность
между которыми равна  5 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна  6 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  АВ – диаметр окружности с
центром в точке  О, СD ⊥ АВ,

где  С – точка окружности,

СD = 6 см, АD = х см,

ВD – АD = 5 см.

Тогда 

DВ = (х + 5) см.

Треугольник  АСВ – прямоугольный (угол  С  прямой, так как
он вписанный и опирается на диаметр).

СD – перпендикуляр, проведений из вершины прямого угла на
гипотенузу. Тогда:

АD ∙ DВ = СD²,

х(х + 5) = 6²,

х²
+ 5х – 36 = 0,

x₁ = –9,  x₂ = 4.

x₁  не подходит.

Поэтому, АD = 4 см,

DВ = 4 + 5 = 9 (см).

АВ
= АD
+ DВ
=

=
4
+ 9 = 13 (см).

Тогда

r = АВ :
2 = 13 : 2 = 6,5 (см).

ОТВЕТ:  6,5 см

ЗАДАЧА:

Из точки на окружности проведены две перпендикулярные
хорды, разность между которыми равна  4 см. Найдите эти хорды, если радиус окружности равен  10
см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть задана окружность радиуса  R,

в
которой
проведены
хорды  АВ  и 
АС (АВ ⊥ АС),

R = АО = ВО = СО =
10 см,

АС – АВ =
4
см.

Пусть  АВ = х см, тогда 

АС = (4
+ х) см.

Так как  ∠ А = 90°, то треугольник 
ВАС – 
прямоугольный,
в
котором 

ВС = 2ОВ= 2 ∙ 10 = 20 см.

Из
прямоугольного треугольника  ВАС  имеем:

АВ² + АС²
= ВС²,

х² + (4 + х)²
= 20²,

х² + 16 + 8х
+ х² = 400,

х² + 4х –
192 = 0,

х₁ = 12, 

х₂
= –16 – не подходит.

Поэтому,
АВ = 12 см,

АС
= 4 + 12 = 16 (см).

ОТВЕТ:  12
см, 16 см

ЗАДАЧА:

Угол между биссектрисой и
медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла,
равен  14°.
Найдите меньший угол этого треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Так как треугольник
прямоугольный и медиана  ВМ  иcходит
из прямого угла  В, то точка  М  является центром
описанной окружности вокруг треугольника 
АВС.
Следовательно,

АМ
= МС = МВ = R,

где  R –
радиус описанной окружности.

Найдём сначала угол  МВС.
Учитывая, что  BD – биссектриса, то

∠ DВС = ⁹⁰/₂ = 45°. Тогда

∠ МВС = ∠ МВD + ∠ DВС,

∠ МВС = 14° + 45° = 59°.

Рассмотрим
равнобедренный треугольник  МВС  со сторонами 

МВ = МС,

в
котором углы при основании  ВС  равны, то есть

∠ С = ∠ МВС
 = 59°.

Так
как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна  90°, то

∠ А + ∠ С  = 90°,

∠ А = 90° – ∠ С =

= 90° – 59° = 31°.

ЗАДАЧА:

Периметр
прямоугольного треугольника равен  72 м, а радиус вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.

РЕШЕНИЕ:

DO = OF = OE = r = 6 м.    

Поэтому  AD =
AF =
6 м.

FC = EC, BD = BE (отрезки касательных, проведённых из
одной точки)

Пусть  


BD = BE = x, 

FC = EC = y,

Тогда  


AB
= x + 6, AC = y + 6, 

BC = x + y.

AB + AC + BC = 

= x + 6 + y + 6
+ x + y = 72.

2x + 2y + 12 = 72,

2x + 2y = 60,

x + y = 30.

(x + y) – гипотенуза, или диаметр описанной окружности.

ОТВЕТ:  30 м.

ЗАДАЧА:

В окружности на расстоянии  6
см  от его центра проведена хорда длинной  16
см. Найдите радиус окружности.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:

Пользуясь теоремой
Пифагора, находим радиус.

ЗАДАЧА:

Две окружности, радиусы которых равны  4 см  и  9 см, имеют внешнее касание. Найдите расстояние между
точками касания данных окружностей с их общей внешней касательной.

РЕШЕНИЕ:

ВК ⊥ АD, АК = 9 – 4 = 5 см.

Из  ∆ ВКА:

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника, формула

Если хорошенько приглядеться и построить еще один прямоугольный треугольник, равный первому и симметричный относительно гипотенузы, то мы увидим, что получился прямоугольник. Центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей этого прямоугольника. Отсюда следует, что гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром окружности. Соотвественно радиус описанной окружности прямоугольного треугольника вычисляется по формуле Пифагора:

[ R = frac{1}{2} sqrt{a^2+b^2}]

(a, b – стороны прямоугольного треугольника; R – радиус описанной окружности прямоугольного треугольника)

Вычислить, найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по формуле (1)

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника	стр. 247