Как найти диаметр по теореме пифагора

Как вычислить диаметр круга

Кругом называют плоскую геометрическую фигуру, а линию, ее ограничивающую, принято называть окружностью. Основное свойство круга заключается в том, что каждая точка на этой линии находится на одинаковом расстоянии от центра фигуры. Отрезок с началом в центре круга и окончанием на любой из точек окружности называется радиусом, а отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр – диаметром.

Инструкция

Найдите длину диаметра круга удвоением длины его радиуса, если эта длина известна. Это самый простой вариант исходных данных при необходимости определить длину диаметра.

Используйте число Пи для нахождения длины диаметра по известной длине окружности. Эта константа выражает постоянное соотношение между этими двумя параметрами круга – независимо от размеров круга, деление длины его окружности на длину диаметра всегда дает одно и то же число. Из этого вытекает, что для нахождения длины диаметра следует длину окружности разделить на число Пи. Как правило, для практических вычислений длины диаметра бывает достаточно точности до сотых долей единицы, то есть до двух знаков после запятой, поэтому число Пи можно считать равным 3,14. Но так как эта константа является числом иррациональным, то имеет бесконечное число знаков после запятой. Если возникнет необходимость в более точном определении диаметра окружности, то нужное число знаков для числа пи можно найти, например, по этой ссылке – http://www.math.com/tables/constants/pi.htm.

При известной площади круга (S) для нахождения длины диаметра (d) удваивайте квадратный корень из отношения площади к числу Пи: d=2∗√(S/π).

При известной длине стороны описанного возле круга прямоугольника, длина диаметра будет равна этой известной величине.

При известных длинах сторон (a и b) прямоугольника, вписанного в круг, длину диаметра (d) можно вычислить, найдя длину диагонали этого прямоугольника. Поскольку диагональ здесь является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катеты которого образуют стороны известной длины, то по теореме Пифагора длину диагонали, а вместе с ней и длину диаметра описанной окружности, можно рассчитать, найдя квадратный корень из суммы квадратов длин известных сторон: d=√(a² + b²).

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Универсальная формула теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.
(теорема Пифагора)
2 2 2
A + B = C

Эта формула для случая, когда вершина прямого угла треугольника лежит на окружности проходящей через две другие вершины, а гипотенуза является диаметром этой окружности (Рис.2) и является частным случаем другой)(универсальной) формулы:

2 2 2 2 2
A + B + C + D = D (диаметр) Пояснено на Рис.1

Где через круг проведены две перпендикулярные прямые (хорды) и получены четыре а,в,с и d отрезка (катета) – как отрезок от окружности то точки пересечения прямых.
D – диаметр круга.

Формулировка. Если через круг провести две перпендикулярные прямые, то сумма квадратов
четырех полученных отрезков равняется квадрату диаметра.
Также. Из формулы:квадрату диаметра равна сумма квадратов противоположных хорд.
Также легко получается формула площади круга: сумма квадратов перпендикулярных отрезков умноженная на 0.785 что есть 11 деленное на 14.

И, конечно, сумма квадратов хорд (выделено синим на фиг 1) равняется квадрату диаметра.
примечание автора. В литературе такого описания не нашел.
Возможно: в древности она была известна, но забыта.

Доказательства есть. Оно достаточно простое и основано на построениях.

Как найти радиус окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать – как найти длину окружности?

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора и её связь с тремя формулами. В одной из статей мы рассматривали взаимосвязь теоремы Пифагора и теоремы косинусов . Здесь хочу вам рассказать о нескольких формулах, в основе которых лежит теорема Пифагора. Вся прелесть в том, что понимая это, нет необходимости учить представленные ниже формулы. Не раз слышал — мол, как это возможно выучить столько формул в математике?

Ещё раз подчеркну, что выучить необходимо только четверть всех формул или даже меньше. Остальные можно быстро вспомнить или восстановить в памяти, если вы поняли их смысл и понимаете логические связи этих формул с другими. Итак, сама теорема Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник:

ТЕОРЕМА! Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Для того, чтобы найти гипотенузу АВ, необходимо извлечь корень из правой и левой части, получим:

То есть, гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов. В курсе математики решается очень много задач, где применяется теорема Пифагора и всем школьникам данные преобразования хорошо известны. Разумеется, необходимо быстро уметь выразить любой катет из формулы, но сейчас речь не о них. Теперь рассмотрим формулы:

Длинна отрезка на координатной плоскости

Формула для определения длины отрезка, когда известны координаты его концов:

Как вы видите, длина отрезка — это не что иное, как длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике с катетами равными х В – х А и у В – у А

Понимая смысл, вы без труда запишите формулу длины отрезка, какими бы буквами не были обозначены концы отрезка.

Модулем вектора называется его длина. Обозначается:

Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца имеет вид:

Как видим, длина вектора – это так же длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике, в данном случае с катетами равными х В – х А и у В – у А .

Радиус окружности, заданной на координатной плоскости.

Пусть дана координатная плоскость и на ней построена окружность радиуса R. Центром окружности является точка А с координатами (х_А;у_А), точка В – это произвольная точка на окружности с координатами (х_В;у_В). Формула радиуса окружности имеет вид:

То есть, радиус окружности также является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами равными х В – х А и у В – у А .

Однозначно, учить формулы длины отрезка, длины вектора и радиуса окружности просто бессмысленно, их достаточно просто понимать. Конечно, многим представленная информация и данные факты хорошо известны, но всё же эта информация будет полезна.

Как теорема Пифагора связана с основным тригонометрическим тождеством мы рассматривали в этой статье . На этом всё. Успехов вам!

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/radius-okruzhnosti

http://matematikalegko.ru/formuli/teorema-pifagora-i-eyo-svyaz-s-tremya-formulami.html

[/spoiler]

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам о довольно простом математическом понятии, которое, с первого взгляда, кажется достаточно странным. Действительно, в школьной математике все мы привыкли, что понятие диаметра применяется исключительно к окружностям на плоскости или сфере в трехмерном пространстве.

Но что, если я скажу Вам, что диаметр есть у любого конечного множества, под определение которого подходят все возможные геометрические фигуры. Это значит, что диаметр есть у треугольника, квадрата и вообще любой ограниченной фигуры. Итак, поехали!

Под диаметром понимается отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр. На пальцах – это самый длинный отрезок, который можно “внедрить” в окружность. Это эмпирическое определение не так уж и далеко от истины по причине своей обобщенности, а математика, как Вы знаете, абстрагироваться любит и умеет.

Отрезок длиной 5, вычисленный по теореме Пифагора, – это максимальный отрезок, который можно поместить внутрь этого прямоугольного треугольника. Конечно, он будет совпадать с его гипотенузой.

Аналогичная ситуация с квадратом, здесь ничего нового. Но что, если речь идёт о какой- бесформенной фигуре:

Здесь по аналогии диаметр множества можно определить максимальной длиной стержня, который поместится в эту амебоподобную фигуру.

Здесь нас ждёт важная ремарка: говорить о таком понятии, как расстояние, можно исключительно в метрических (в т.ч. предметрических, ультраметрических и т.д.) пространствах.

Нам все эти изыски не сильно нужны, поэтому предлагаю “вариться” в обычных пространствах с эвклидовой метрикой:

Теперь мы, исходя из прошлого опыта, можем определить диаметр множества как максимальное расстояние между его точками:

Т.е. мы берем все точки точки множества S, попарно вычисляем между ними расстояния, а затем ищем максимальное из них и объявляем его диаметром множества. Просто?

Очень просто, но не до конца верно. Дело в том, что даже на обычной прямой есть множества, у которых нет таких максимальных расстояний. Для примера рассмотрим интервал:

Будем отмечать точки интервала, которые все ближе и ближе к его началу и концу, которые, как я напоминаю, не принадлежат интервалу. Сможем ли мы найти среди них максимально удаленные точки? Очевидно, что нет! При всё большем k мы будем получать все более и более удаленные друг от друга точки.

Что же нам остается, если максимального расстояния не существует? В математике это решается с помощью понятия супремума множества ( точной верхней грани), под которым понимают наименьший элемент, который равен или превосходит каждый из элементов множества.

В нашем случае супремумом множества расстояний между точками интервала будет являться длина отрезка [a,b]. Обратите внимание на занимательный факт – мы определили диаметр множества, оперируя точками, которые, строго говоря, не принадлежат исходному интервалу.

В этом особенность понятия “супремум”. Супрематический элемент становится максимальным, если он сам принадлежит множеству:

Во втором случае мы можем всё ближе с помощью рациональных чисел приближаться к единице слева, но никогда её не достигнем (это задано условие строго порядка).

P.S. И, раз уж заговорили о порядке. Понятие супремума адекватно определяется как минимум для частично упорядоченных множеств, о которых я уже начала рассказывать:

• Подписывайтесь на канал! Ориентировать стало легче с введением подборок. Например, вот что я писал по абстрактной математике.
• TELEGRAM и Вконтакте– там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.

 Следующие задания с расширенным ответом из открытого банка ФИПИ к ОГЭ по математике, раздел геометрия, могут вам попасться на реальном экзамене в этом году. В задачах необходимо найти диаметр окружности с центром на стороне треугольника и одна из его вершин на периметре окружности. 

Задания из банка ФИПИ к ОГЭ по математике, геометрия части 2

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=9, AC=12.

Решение:

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем AB²=AC*AD, при этом неизвестное здесь AD, которое и выражаем.

AD=AB²/AC=9²/12=81/12=6,75

Теперь остается из AC вычесть AD и найдем диаметр.

12-6,75=5,25

Ответ: 5,25

EFA5CC

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=3, AC=5.

Решение:

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем AB²=AC*AD, при этом неизвестное здесь AD, которое и выражаем.

AD=AB²/AC=3²/5=9/5=1,8

Теперь остается из AC вычесть AD и найдем диаметр.

5-1,8=3,2

Ответ: 3,2

631164

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=2, AC=8.

Решение:

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем AB²=AC*AD, при этом неизвестное здесь AD, которое и выражаем.

AD=AB²/AC=2²/8=4/8=0,5

Теперь остается из AC вычесть AD и найдем диаметр.

8-0,5=7,5

Ответ: 7,5

0A90C5

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=1, AC=5.

Решение:

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем AB²=AC*AD, при этом неизвестное здесь AD, которое и выражаем.

AD=AB²/AC=1²/5=1/5=0,2

Теперь остается из AC вычесть AD и найдем диаметр.

5-0,5=4,5

Ответ: 4,5

6D4E75

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=3, AC=9.

Решение:

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем AB²=AC*AD, при этом неизвестное здесь AD, которое и выражаем.

AD=AB²/AC=3²/9=9/9=1

Теперь остается из AC вычесть AD и найдем диаметр.

9-1=8

Ответ: 8

118EC8

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 3,6, а AB=8.

Решение:

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. При этом по свойству касательной и секущей, так как AB касательная до проведенный радиус к ней будет перпендикуляром, то есть треугольник ABO прямоугольным. Из этого утверждения по теореме Пифагора можно найти AO, прибавим половину диаметра, то есть радиус и найдем необходимое нам AC.

$AO^2=sqrt{AB^2+OB^2}=sqrt{8^2+1.8^2};=sqrt{64+3.24};=;sqrt{67,24}=;8,2$

8.2+1.8=10

Ответ: 10

F0C3BD

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 6,4, а AB=6.

Решение:

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. При этом по свойству касательной и секущей, так как AB касательная до проведенный радиус к ней будет перпендикуляром, то есть треугольник ABO прямоугольным. Из этого утверждения по теореме Пифагора можно найти AO, прибавим половину диаметра, то есть радиус и найдем необходимое нам AC.

$AO^2=sqrt{AB^2+OB^2}=sqrt{6^2+3.2^2};=sqrt{36+10.24};=;sqrt{46,24}=;6.8$

6.8+3.2=10

Ответ: 10

F6CC6F

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8,4, а AB=4.

Решение:

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. При этом по свойству касательной и секущей, так как AB касательная до проведенный радиус к ней будет перпендикуляром, то есть треугольник ABO прямоугольным. Из этого утверждения по теореме Пифагора можно найти AO, прибавим половину диаметра, то есть радиус и найдем необходимое нам AC.

$AO^2=sqrt{AB^2+OB^2}=sqrt{4^2+4.2^2};=sqrt{16+17.64};=;sqrt{33.64}=;5.8$

5.8+4.2=10

Ответ: 10

D5F808

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 15, а AB=4.

Решение:

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. При этом по свойству касательной и секущей, так как AB касательная до проведенный радиус к ней будет перпендикуляром, то есть треугольник ABO прямоугольным. Из этого утверждения по теореме Пифагора можно найти AO, прибавим половину диаметра, то есть радиус и найдем необходимое нам AC.

$AO^2=sqrt{AB^2+OB^2}=sqrt{4^2+7.5^2};=sqrt{16+56.25};=;sqrt{72.25}=;8.5$

8.5+7.5=16

Ответ: 16

19BB60

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 16, а AB=15.

Решение:

Пусть окружность второй раз пересекает прямую AC в точке D. При этом по свойству касательной и секущей, так как AB касательная до проведенный радиус к ней будет перпендикуляром, то есть треугольник ABO прямоугольным. Из этого утверждения по теореме Пифагора можно найти AO, прибавим половину диаметра, то есть радиус и найдем необходимое нам AC.

$AO^2=sqrt{AB^2+OB^2}=sqrt{15^2+8^2};=sqrt{225+64};=;sqrt{289}=;17$

17+8=25

Ответ: 25

C911B9

Была ли эта статья полезной?