Как найти диаметр поперечного сечения балки

Обычно в инженерной
практике проверку прочности балок
производят по нормальным наибольшим и
касательным напряжениям [2]. Нормальные
напряжения σ зависят от величины
изгибавшего момента, а касательные
τ – от величины поперечной силы.
Касательные напряжения в сечениях балки
обычно не играют существенной роли,
поэтому размеры сечения балок определяют
из условия прочности по нормальным
максимальным напряжениям:

,

где М_max
–
наибольший (по абсолютной величине)
изгибающий момент, известный из эпюры
изгибающих моментов ().

Сечение балки
подбирается по моменту сопротивления
относитель­но нейтральной оси:

.
(3.10)

Для балки
прямоугольного сечения

.

Числовые значения
моментов сопротивления стандартных
профилей проката указаны в соответствующих
государственных стандартах на прокат,
а на балки двутавровые приведены в
таблицах приложения Г. Следует подбирать
номер профиля, имеющий большее стандартное
ближайшее значение. Допустимо принимать
и меньшее ближайшее значение W_х^СТ,
однако оно должно удовлетворять условию:

.

Момент сопротивления
при изгибе

_{Подходит швеллер
№ 8 (Wx=22,4
см}³_{,
площадь сечения А=8,98 см}²_).

Определим
прямоугольное сечение (рисунок 3.10) при

Рисунок 3.10 –
Сечение швеллера и прямоугольное сечение

_{Площадь
прямоугольного сечения}

_{A=bh=16,27
см}²
_{≈
в 2 раза больше площади швеллера.}

3.4 Совместное действие изгиба и кручения

Сочетание деформаций
изгиба и кручения испытывает большинство
валов, которые обычно представляют
собой прямые брусья круглого или
кольцевого сечения.

Возникающие от
изгиба нормальные напряжения достигают
максимального значения в волокнах,
наиболее удаленных от нейтральной оси:

,

где М – максимальный
изгибающий момент, Нм;

W
– осевой момент сопротивления сечения,
м³.

Для вала круглого
сечения

Максимальные
касательные напряжения при кручении
возникают в точках контура поперечного
сечения:

где W_p
– полярный момент сопротивления сечения
(W_p=2W),
м³;
Т
– крутящий момент, Нм.

Таким образом, при
сочетании изгиба и кручения опасными
будут точки (для конкретного поперечного
сечения), наиболее удаленные от нейтральной
оси.

Применив третью
теорию прочности, получим

.

Расчетная формула
для круглых валов принимает вид:

,

где М
_экв.
– эквивалентный момент, Нм;

[σ]
– допускаемое
напряжение на растяжение для материала
вала, Па.

Если величина и
направление нагрузки во время работы
вращающегося вала остаются неизменными,
то напряжения изгиба в теле вала будут
изменяться во времени по симметричному
циклу – I циклу
нагружения (рисунок 3.11).

Рисунок 3.11 – График
изменения во времени напряжения изгиба
I
цикл

При действии на
вал нагрузок в разных плоскостях силы
раскладывают на две взаимно перпендикулярные
плоскости, за одну из которых выбирают
плоскость действия одной из сил.

Суммарный изгибающий
момент определится как геометрическая
сумма моментов, действующих во взаимно
перпендикулярных плоскостях
рассматриваемого сечения:

где М_i^в
и М_i^гор
– изгибающие
моменты в i
– м сечении,
действующие в вертикальной и в
горизонтальной плоскостях соответственно.

Эквивалентный
момент определится по формуле:

,

Диаметр вала в
опасном сечении
рассчитывается из условия прочности:

.

Примечание –
При решении задач все необходимые
вычисления следует сначала проделать
в общем виде, обозначая все данные и
искомые величины буквами, после чего
вместо буквенных обозначений подставить
их числовые значения и найти результат.
На расчетных эскизах размеры должны
быть проставлены теми же буквами, какие
имеются в расчетных формулах.

Пример 4.
Построить
эпюры изгибающих, крутящего, суммарного
изгибающего моментов и определить
диаметр вала (рисунок 3.12) в опасном
сечении.

Т = 0,2 кНм, F
= 2 кН, q
= 4 кН/м, a
= 0,2м, b
=1,2а = 0,24м,

с = 0,8а = 0,16м, [σ]
= 110МПа.

Решение:

Плоскость yz:

Плоскость хz:

Из условия прочности
наиболее нагруженного сечения А определим
диаметр вала.

Рисунок 3.12 –
Расчетная
схема и эпюры вала

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ЗАДАЧА 1

Расчет бруса на
осевое растяжение (сжатие)

Сечение бруса
квадратное. Материал – сталь. Допускаемое
напряжение [σ]
= 100 МПа. Модуль продольной упругости Е
= 2·10⁵
МПа. Исходные данные к расчету см. в
таблице + рисунок.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Расчетные схемы

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ЗАДАЧА 2 РАСЧЕТ
ВАЛА НА КРУЧЕНИЕ

Сечение вала
круглое, сплошное и кольцевое. Допускаемое
напряжение кручения [τ]=25
МПа. Модуль сдвига G=8∙10⁴
МПа

Расчетные схемы

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ЗАДАЧА 3
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ДВУХОПОРНОЙ БАЛКИ
ПРИ ИЗГИБЕ

Для данной балки подобрать сечения
двутавра и прямоугольника (h/b=2).
Допускаемое напряжения изгиба [σ]=160
МПа

Расчетные схемы
задачи 3

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

Сталь прокатная
– балки двутавровые (ГОСТ 8239-83)

h
– высота профиля;

b
– ширина;

d
– толщина;

t
– средняя толщина;

R
и r
– внутренний и наружный радиусы
скруглений;

J
– момент инерции;

W
– момент сопротивления;

i
– радиус инерции;

S
– статический момент полусечения

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Расчет балки, подбор прямоугольного сечения

1. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
ΣFx = 0:    HA = 0
ΣMA = 0:   Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры  в точке A: 
 - q1*3*(3/2) + RB*3 - M1 + P1*4.5 = 0
ΣMB = 0:   Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры  в точке B: 
 - RA*3 + q1*3*(3 - 3/2) - M1 + P1*1.5 = 0
2. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные : 
HA = 0 (кН)
3. Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры  в точке B
RB = ( q1*3*(3/2) + M1 - P1*4.5) / 3 = ( 40*3*(3/2) + 30 - 10*4.5) / 3 = 55.00 (кН)
4. Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры  в точке A
RA = ( q1*3*(3 - 3/2) - M1 + P1*1.5) / 3 = ( 40*3*(3 - 3/2) - 30 + 10*1.5) / 3 = 55.00 (кН)
5. Выполним проверку ΣFy = 0:    RA - q1*3 + RB + P1 =  55.00 - 40*3 + 55.00 + 10 = 0

Поперечная сила Q:
Q(x1) =  + RA - q1*(x1 - 0)
Значения Q на краях участка:
Q1(0) =  + 55 - 40*0 = 55 (кН)
Q1(3) =  + 55 - 40*3 = -65 (кН)
На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
x = 1.38
Изгибающий момент M:
M(x1) =  + RA*(x1) - q1*(x1)2/2
Значения M на краях участка:
M1(0) =  + 55*(0) - 40*02/2 = 0 (кН*м)
M1(3) =  + 55*(3) - 40*32/2 = -15 (кН*м)
Локальный экстремум в точке x = 1.38:
M1(1.38) =  + 55*(1.38) - 40*(1.38 - 0)2/2 = 37.81 (кН*м)

Поперечная сила Q:
Q(x2) =  + RA - q1*3 + RB
Значения Q на краях участка:
Q2(3) =  + 55 - 40*3 + 55 = -10 (кН)
Q2(4) =  + 55 - 40*3 + 55 = -10 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x2) =  + RA*(x2) - q1*3*[(x2 - 3) + 3/2] + RB*(x2 - 3)
Значения M на краях участка:
M2(3) =  + 55*(3) - 40*3*(0 + 1.50) + 55*(3 - 3) = -15 (кН*м)
M2(4) =  + 55*(4) - 40*3*(1 + 1.50) + 55*(4 - 3) = -25 (кН*м)

Поперечная сила Q:
Q(x3) =  + RA - q1*3 + RB
Значения Q на краях участка:
Q3(4) =  + 55 - 40*3 + 55 = -10 (кН)
Q3(4.50) =  + 55 - 40*3 + 55 = -10 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x3) =  + RA*(x3) - q1*3*[(x3 - 3) + 3/2] + RB*(x3 - 3) + M1
Значения M на краях участка:
M3(4) =  + 55*(4) - 40*3*(1 + 1.50) + 55*(4 - 3) + 30 = 5 (кН*м)
M3(4.50) =  + 55*(4.50) - 40*3*(1.50 + 1.50) + 55*(4.50 - 3) + 30 = 0 (кН*м)

Задача 1

В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.

Требуется:

а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,

б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.

Решение

а) Для определения σ_(К), τ_(К) и _maxσ,_maxτ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения I_Н.О., осевого момента сопротивления W_Н.О., статического момента отсечённой части  и статического момента половины сечения S_max:

Тогда:

б) Проверка прочности:

— по условию прочности нормальных напряжений:

— по условию прочности касательных напряжений:

Задача 2

В некотором сечении балки М=10кНм, Q=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.

где 

Тогда

где:

Тогда

Задача 3

Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h/b=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем уравнения статики:

(1)          ∑М(В) = F·8 – М – А·6 + (q·6)·3 =0,

откуда 

(2)          ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,

откуда 

Iучасток   

∑М(С) = М(z₁) +F·z₁=0,

ММ(z₁) = –F·z₁= — 30 ·z₁ —

– уравнение прямой.

При z₁ = 0:      М = 0,

z₁ = 2:      М =- 60 кНм.

∑у= — F — Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = — F = -30 кН – постоянная функция.

II участок     

откуда

— уравнение параболы.

При z₂=0:     М = 0,

z₂=3м:  М = 30 · 3 – 5 · 3² = 90 — 45 = 45кНм,

z₂=6м:  М = 30 · 6 – 5 · 6² = 180 — 180 = 0.

∑у= Q(z₂) — q·z₂ + B= 0,

Q(z₂) = q·z₂ — B= 10·z₂ – 30 – уравнение прямой,

при  z₂ = 0:     Q = -30,

        z₂ = 6м:     Q = 10·6 – 30 = 30.

Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:

из условиянаходим :

И тогда

Заметим, что скачок в эп.М расположен там, где приложен сосредоточенный момент М = 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q – под сосредоточенной силой А = 60 кН.

Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М.

В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм

откуда: :

а) сечение круглой формы d=?

б) сечение прямоугольной формы при h/b = 2:

тогда

Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям:

Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:

— для круглого сечения 

— для прямоугольного сечения 

Воспользуемся этими формулами. Тогда

— для балки круглого сечения при :

— для балки прямоугольного сечения

Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений:

А_{прямоугольного} = 865,3см² < А_{круглого} = 1218,6см², следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.

Задача 4

Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа. 

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:

(1)              ∑М(А) = – М₁– F  ·2 — (q·8)·4 + М₂ + В·6 =0,

откуда 

(2)      ∑М(В) = – М₁– А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М₂ =0,

откуда 

Проверка:

∑у = А – F – q · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.

∑М(С) = М(z₁) – М₁=0,

М(z₁) = М₁= 40 кНм – постоянная функция.   

∑у= — Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = 0.

II участок 

— парабола.

Приz₂=0:       М = 40 кНм,

z₂=1м:    М = 40 + 104 – 10=134кНм,

z₂=2м:    М = 40+ 104 · 2 – 10 · 2² = 208 кНм.

∑у=А — q·z₂ — Q(z₂) = 0,

Q(z₂) =А— q·z₂ = 104 –  20·z₂  – уравнение прямой,

при  z₂ = 0:       Q = 104кН,

        z₂ = 6м:    Q = 104 – 40 = 64кН.

III участок

— парабола.

Приz₃=0:       М = 24+40=-16 кНм,

z₃=2м:    М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)² = 24 + 272 – 160 = 136кНм,

z₃=4м:    М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)² = 24 + 544 – 360 = 208 кНм.

∑у=В — q(2+z₃ ) + Q(z₃) = 0,

Q(z₃) =- В + q(2+z₃ ) = -136 + 20 (2+z₃ )   – уравнение прямой,

при  z₃ = 0:        Q = -136 + 40 = — 94кН,

        z₃ = 4м:     Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.

IV участок

– парабола.

z₄=0:       М = 0кНм,

z₄=1м:    М = – 10кНм,

z₄=2м:    М = — 40кНм.

∑у=- q·z₄ + Q(z₄) = 0,

Q(z₄) =q·z₄ = 20·z₄  – уравнение прямой.

Приz₄ = 0:       Q = 0,

        z₄ = 2м:     Q = 40кН.

Проверяем скачки в эпюрах:

а) В эпюре М скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М₂=24, приложенному в этом месте.

б) В эпюре Q три скачка:

первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,

второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),

третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)

Наконец, проектируем двутавровое сечение.

Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :

В сортаменте двутавровых профилей профиля с точно таким моментом сопротивления W_х нет. Есть № 40^а с W_х=1190 см³ и № 45^а с W_х=1430 см³

Попробуем  меньший из них. Если принять двутавр № 40^а, у которого W_х=1190 см³ , то наибольшее напряжение в опасном сечении будет:

и перенапряжение составитчто превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.

Поэтому приходится принимать ближайший больший размер двутавра, а именно №45^а, у которого W_х=1430 см³. В этом случае балка будет работать с недонапряжением:

что меньше [σ]=160МПа на  

Итак, принимается двутавр №45^а, у которого: W_х=1430 см³, I_х=32240см⁴, I_х: S_х=38,6см, d=11,5мм.

Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :

Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.

Задача 5

Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).

Решение 

1.Определение опорных реакций 

∑М(А) = F · 2 + М₁ – М₂— q·6·7 + В · 8 =0,∑М(В) = F · 10 + М₁— М₂ – А · 8 + q·6·1 =0,Проверка:

∑у = – 20 – 40 ·6 +50+210 = — 260 + 260 ≡ 0.

2.Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

I участок

∑М(С) = М(z₁) + F·z₁=0,

М(z₁) = – F·z₁= -20·z₁.

При z₁=0:     М = 0,

        z₁=2м:  М = – 40кНм,

∑у= – F— Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = — 20кН.

II участок

        z₂=0:      М = — 20 – 40 = -60 кНм,

z₂=4м:   М = 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм.

∑у=- F + А — Q(z₂) = 0,

Q =- F + А= -20+50=30кН.

III участок

– парабола.

Приz₃=0:      М = — 20·4= — 80 кНм,

z₃=2м:   М = 210·2 — 20·(2+2)² = 420 – 320 = 100кНм,

z₃=4м:   М = 210·4 – 20 · (2+4)² = 840 – 720 = 120кНм.

∑у= Q(z₃) + В — q·(2+z₃) = 0,

Q(z₃) = — В + q·(2+z₃) = — 210 + 40·(2+z₃) – уравнение прямой.

Приz₃ = 0:       Q = -130кН,

        z₃ = 4м:     Q = 30кН.

Q(z₀) = — 210 + 40·(2+z₀) = 0,

— 210 + 80 + 40·z₀ = 0,

40·z₀ = 130,

z₀ =3,25м,

IV участок

парабола.

Приz₄=0:      М = 0 кНм,

z₄=1м:   М = – 20кНм,

z₄=2м:   М = — 80кНм.

∑у=- q·z₄ + Q(z₄) = 0,

Q(z₄) =q·z₄ = 40·z₄  – уравнение прямой,

        z₄ = 0:        Q = 0,

        z₄ = 2м:     Q = 80кН.

3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: |_maxМ|=131,25кНм,

опасное сечение по τ: |_maxQ|=130кН).

Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)

Принимаем: В=0,24м,

                         Н=0,48м.

Проверяем по τ:

Вариант 2. Деревянное круглое

Принимаем d=0,45м,

Проверяем по τ:

Вариант 3. Чугун : ([σ_Р]=30МПа, [σ_с]=120МПа, [τ]=15МПа)

Принимаем b=0,19м, тогда h=0,38м, d=0,076м.

Проверка по τ:

b(у)= b — d= 0,19 — 0,076 = 0,114м

Вариант 4. Сталь, двутавр : ([σ]=160МПа, [τ]=80МПа).

по сортаменту W_х=953см³. Это №40: I_x=19062см⁴, S_х=545см³, d=0,83см.

Проверка по τ:

Вариант 5. Сталь, круглая труба

Принимаем D=0,22м   →  d = 0,6·D =0,132м.

Проверка по τ:

Вариант 6. Сталь, прямоугольная труба  

b₁= b — 2t = b — 2·0,1b = 0,8b,

h₁= h — 2t  = 0,8h,

Принимаем b=0,13м, h=0,26м.

Проверка по τ:

Кстати: какое из сечений стальной балки выгодней по расходу материала?

Двутавр —  А = 72,6см² = 72,6·10^-4 = 0,00726м²,

круглая труба –

прямоугольная труба – 

Самый лёгкий: двутавр → самый выгодный с точки зрения изгиба.