Как найти диаметр шара через его объем

Как найти диаметр шара через его объем

Шар, рассматриваемый в трёхмерном пространстве, представляет собой объёмную геометрическую фигуру.
Любое правильное шаровидное тело состоит из совокупности точек эвклидова (3-хмерного) пространства,
которые находятся на расстоянии от одной из них не далее заданного. Точка, относительно которой
ведётся отсчёт и вокруг которой сосредоточены важные для этого пространственного тела отношения,
получила название центра шара.

Его поверхность, являющаяся своего рода оболочкой, ограничивающей
объём пространственного тела и представляющая совокупность равноудалённых от центра точек, названа
сферой. Расстояние между центром и любой точкой сферы – это радиус шара. Образуется шар, в геометрии
входящий в группу тел вращения, полным оборотом половины плоского круга вокруг своего диаметра,
одновременно выступающего и диаметром шара. Этот отрезок, называемый осью вращения, соединяет
противолежащие точки на поверхности фигуры, называемые полюсами. Одновременно диаметр проходит через
центральную точку шара.

  • Диаметр шара через плошадь поверхности шара
  • Диаметр шара через обьём шара

Способ вычисления диаметра шара при известном значении объёма фигуры

Диаметр шара, представляющий собой удвоенный радиус фигуры, может быть выведен из стандартной
формулы, связывающей его с площадью поверхности: S = 4πR² или S = πD². Отсюда выводим диаметр:

D = √(S ⁄ π)

где S — площадь поверхности шара

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Значение площади поверхности (сферы) конкретного шара S = 314.Тогда,
принимая в качестве константы с точностью до сотых π = 3,14, вычисляем диаметр: D = √(314 ⁄ 3,14) = √100 = 10.

Способ нахождения диаметра шара при заданном значении его объёма

Объём шара связан с радиусом фигуры формулой V = 4 ⁄ 3 * πR³. Радиус представляет собой половину
диаметра шара, то есть R = D ⁄ 2. Подставляя в формулу выраженный через диаметр радиус и выполняя
преобразование для выделения диаметра, получаем следующее выражение: V = 4 ⁄ 3 * π(D ⁄ 2)³, V = 4 ⁄
3* πD³ ⁄ 8, отсюда

D = ³√(6V / π)

где V — объём шара

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Для примера примем значение объёма шара равным 11,304. Здесь, беря константу
π с точностью до сотых (π = 3,14), получаем: D = ³√(6 * 11,304 / 3,14)
или, выполняя вычисление D=6.

В природе этот пространственный объект имеет множество реальных аналогов, поэтому его свойства и
параметры важны при решении массы научных задач в биологии, астрономии, физике. Ряд распространённых
инженерных, строительных задач также проводится с использованием геометрических вычислений,
связанных с шарообразными конструкциями. Нахождение диаметра шара – одна из них, и она может быть
выполнена несколькими различными способами. Описание двух вариантов вычислений здесь и
представлено.

Источник

Чтобы найти диаметр шара при помощи этого калькулятора, достаточно заполнить любую одну ячейку, введя известное значение, и нажать на кнопку расчета. Программа автоматически вычислит все остальные значения, которые отобразятся в ответе вместе с удобными и понятными формулами.

Введите данные:

Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.

Радиус (r)

Диаметр (d)

Площадь (S)

Объем (V)

Округление:

Знаков после запятой

* – обязательно заполнить

Источник

С помощью этого простого калькулятора можно без труда найти диаметр шара и остальные величины, такие как радиус, площадь и объем шара. Все, что нужно сделать, это заполнить любой один слот и нажать на кнопку “Рассчитать”. В итоге отобразятся все 4 величины вместе с формулами вычисления.

Введите данные:

Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.

Радиус (r)

Диаметр (d)

Площадь (S)

Объем (V)

Округление:

Знаков после запятой

* – обязательно заполнить

5
2
голоса

Рейтинг статьи

Источник

Как узнать диаметр

Диаметр – это линия, которая соединяет две точки криволинейной фигуры и при этом проходит через ее центр. В прикладных задачах часто требуется найти диаметр окружности или шара. Диаметр окружности можно найти по ее радиусу, длине и площади круга. Диаметр шара находят по радиусу, объему и площади поверхности.

Как узнать диаметр

Инструкция

Диаметр окружности или шара, если известны их радиусы, можно найти, зная, что диаметр в два раз превышает радиус. Таким образом, для нахождения диаметра по радиусу, надо величину радиуса умножить на два:
D = 2*R, где R – радиус фигуры.

Диаметр окружности, если известна ее длина, можно найти по формуле:
D = L/пи, где L – длина окружности, пи – постоянная, приблизительно равная 3,14.

Диаметр круга, если известна его площадь, можно найти по формуле:
D = 2*(S/пи)^1/2, где S – площадь круга.

Диаметр шара, если известен его объем, можно найти используя формулу:
D = (6V/пи)^1/3, где V – объем шара.

Если известна площадь поверхности шара, то его диаметр можно определить по формуле:
D = (S/пи)^1/2, где S – площадь поверхности шара.

Обратите внимание

^ – знак, обозначающий возведение в степень;
^1/2 – по сути извлечение квадратного корня;
^1/3 – извлечение кубического корня.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Шар (значения).

Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определения[править | править код]

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы[править | править код]

Площадь поверхности S и объём V шара радиуса r (и диаметром d = 2r) определяются формулами:

  • S= 4pi r^{2}
  • S= pi d^{2}
  • V={frac {4}{3}}pi r^{3}

Доказательство

Возьмём четверть круга радиуса R с центром в точке left(0;0right). Уравнение окружности этого круга : x^{2}+y^{2}=R^{2}, откуда y^{2}=R^{2}-x^{2}.

Функция y={sqrt {R^{2}-x^{2}}},xin (0;R) непрерывная, убывающая, неотрицательная. При вращении четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар, следовательно:

{1 over 2}V=pi int limits _{0}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=pi cdot {Bigl .}left(R^{2}x-{frac {x^{3}}{3}}right){Bigr |}_{0}^{R}=pi cdot (R^{3}-{frac {R^{3}}{3}})={frac {2}{3}}pi R^{3}

Откуда V={frac {4}{3}}pi R^{3} Ч. т. д.

  • V={frac {pi d^{3}}{6}}

Доказательство

d=2r, V={4 over 3} pi r^3 = {4 over 3} pi left ( {d over 2} right )^3 = {4 over 3} pi frac {d^3} {8} = frac {pi d^3} {6} Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения[править | править код]

Пусть дано метрическое пространство (X,rho). Тогда

B_{r}(x_{0})={xin Xmid rho (x,x_{0})<r}.
D_{r}(x_{0})={xin Xmid rho (x,x_{0})leqslant r}.

Замечания[править | править код]

Шар радиуса r с центром x_{0} также называют r-окрестностью точки x_{0}.

Свойства[править | править код]

B_{1}(x)={x},;overline {B_{1}(x)}={x},;D_{1}(x)=X.

Объём[править | править код]

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:[1]

{displaystyle V_{n}(R)={frac {pi ^{n/2}}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

{displaystyle V_{2k}(R)={frac {pi ^{k}}{k!}}R^{2k}},
{displaystyle V_{2k+1}(R)={frac {2^{k+1}pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={frac {2(k!)(4pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}}.

Знаком !! здесь обозначен двойной факториал.

Эти формулы также можно свести в одну общую:

{displaystyle V_{n}(R)={frac {2^{left[{frac {n+1}{2}}right]}pi ^{left[{frac {n}{2}}right]}}{n!!}}R^{n}}.

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

{displaystyle R_{n}(V)={frac {Gamma (n/2+1)^{1/n}}{sqrt {pi }}}V^{1/n}}.

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

{displaystyle R_{2k}(V)={frac {(k!V)^{1/2k}}{sqrt {pi }}}},
{displaystyle R_{2k+1}(V)=left({frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}pi ^{k}}}right)^{1/(2k+1)}}.

Рекурсия[править | править код]

Формулу объёма также можно выразить в виде рекурсивной функции. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности n-2 (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

{displaystyle V_{n}(R)={frac {2pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)}.

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

{displaystyle V_{n}(R)=R{sqrt {pi }}{frac {Gamma ({frac {n+1}{2}})}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}}V_{n-1}(R)}.

То же без гамма-функции:

{displaystyle {begin{aligned}V_{2k}(R)&=Rpi {frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}(R)=Rpi {frac {(2k-1)(2k-3)cdots 5cdot 3cdot 1}{(2k)(2k-2)cdots 6cdot 4cdot 2}}V_{2k-1}(R),\V_{2k+1}(R)&=2R{frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k}(R)=2R{frac {(2k)(2k-2)cdots 6cdot 4cdot 2}{(2k+1)(2k-1)cdots 5cdot 3cdot 1}}V_{2k}(R).end{aligned}}}

Пространства младших размерностей[править | править код]

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений Объём шара радиуса R Радиус шара объёма V
1 {displaystyle 2R} {displaystyle V/2}
2 pi R^{2} {displaystyle {frac {V^{1/2}}{sqrt {pi }}}}
3 {displaystyle {frac {4pi }{3}}R^{3}} {displaystyle left({frac {3V}{4pi }}right)^{1/3}}
4 {displaystyle {frac {pi ^{2}}{2}}R^{4}} {displaystyle {frac {(2V)^{1/4}}{sqrt {pi }}}}
5 {displaystyle {frac {8pi ^{2}}{15}}R^{5}} {displaystyle left({frac {15V}{8pi ^{2}}}right)^{1/5}}
6 {displaystyle {frac {pi ^{3}}{6}}R^{6}} {displaystyle {frac {(6V)^{1/6}}{sqrt {pi }}}}
7 {displaystyle {frac {16pi ^{3}}{105}}R^{7}} {displaystyle left({frac {105V}{16pi ^{3}}}right)^{1/7}}
8 {displaystyle {frac {pi ^{4}}{24}}R^{8}} {displaystyle {frac {(24V)^{1/8}}{sqrt {pi }}}}
9 {displaystyle {frac {32pi ^{4}}{945}}R^{9}} {displaystyle left({frac {945V}{32pi ^{4}}}right)^{1/9}}
10 {displaystyle {frac {pi ^{5}}{120}}R^{10}} {displaystyle {frac {(120V)^{1/10}}{sqrt {pi }}}}

Пространства старших размерностей[править | править код]

Объём гипершара размерности n единичного радиуса в зависимости от n.

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.

Примеры[править | править код]

  • Пусть mathbb{R}^d — евклидово пространство с обычным евклидовым расстоянием. Тогда
  • если d=1 (пространство — прямая), то
{displaystyle B_{r}(x_{0})={xin mathbb {R} mid |x-x_{0}|<r}=left(x_{0}-{r},x_{0}+{r}right),}
{displaystyle D_{r}(x_{0})={xin mathbb {R} mid |x-x_{0}|leq r}=left[x_{0}-{r},x_{0}+{r}right].}
 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.
 — открытый и замкнутый диск соответственно.
 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.
Тогда

См. также[править | править код]

  • Шаровой слой
  • Гиперсфера
  • Сферический слой

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Equation 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/, Release 1.0.6 of 2013-05-06.

Литература[править | править код]

  • Шар, геометрическое тело // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки на онлайн калькуляторы[править | править код]

  • Вычисление объема и площади шара. Дата обращения: 12 марта 2012. Архивировано из оригинала 8 августа 2011 года.
  • Онлайн-калькуляторы. Дата обращения: 2 июля 2019. Архивировано из оригинала 9 января 2019 года.
  • Математические этюды. Дата обращения: 20 октября 2011. Архивировано из оригинала 18 октября 2011 года. Мультфильм про объём шара
Источник

Добавить комментарий