Как найти диаметр в правильной шестиугольной пирамиде

Сфера, вписанная в пирамиду

Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости

Определение 1. Биссекторной плоскостью двугранного угла называют такую плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит этот угол на два равных двугранных угла (рис. 1).

Утверждение 1. Точка, расположенная внутри двугранного угла, находится на одном и том же расстоянии от граней этого угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссекторной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку O, расположенную внутри двугранного угла, и проведем через эту точку плоскость δ , перпендикулярную к ребру AB двугранного угла (рис. 2).

Плоскость δ пересекает ребро AB двугранного угла в точке C, а грани двугранного угла α и β по лучам CD и CE соответственно. Угол DCE является линейным углом двугранного угла. Биссекторная плоскость γ пересекает плоскость δ по биссектрисе CF линейного угла DCE .

Таким образом, справедливость утверждения вытекает из соответствующих теорем о свойствах биссектрисы угла. Доказано.

Следствие 1. Если сфера, расположенная внутри двугранного угла, касается каждой из плоскостей граней этого угла, то центр сферы находится на биссекторной плоскости двугранного угла (рис. 3).

Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы

Определение 2. Сферой, вписанной в пирамиду, называют такую сферу, которая касается плоскостей всех граней пирамиды, причем точки касания лежат на гранях пирамиды (рис. 4).

Определение 3. Если сфера вписана в пирамиду, то пирамиду называют описанной около сферы.

Если сфера вписана в пирамиду, то она касается граней каждого внутреннего двугранного угла, образованного соседними гранями пирамиды. В соответствии со следствием 1 центр вписанной в пирамиду сферы должен находиться в точке пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды.

Если у пирамиды нет точки, в которой пересекаются биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды, то в такую пирамиду нельзя вписать сферу.

Замечание 1. Для того, чтобы проверить, можно ли в пирамиду вписать сферу, достаточно проверить, существует ли точка пересения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды. Если такая точка существует, то она будет равноудалена как от основания пирамиды, так и от каждой из боковых граней.

Рассмотрим несколько типов пирамид, в которые можно вписать сферу.

Утверждение 2. Если у пирамиды SA₁A₂ . A_n основание O перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость основания пирамиды, лежит внутри многоугольника A₁A₂ . A_n , а все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания пирамиды, то в такую пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Пусть все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ , а высота пирамиды равна h. Рассмотрим, например, боковую грань SA₁A₂ и проведем в ней высоту SB (рис. 5).

По теореме о трех перпендикулярах отрезок OB перпендикулярен ребру A₁A₂ . Следовательно, угол SBO является линейным углом двугранного угла между боковой гранью SA₁A₂ и плоскостью основания пирамиды и равен φ. Биссекторная плоскость этого двугранного угла пересекает высоту пирамиды в точке O’ (рис. 6).

Катет OB прямоугольного треугольника SOB выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Катет OO’ прямоугольного треугольника OO’B выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Поскольку длина отрезка OO’ не зависит от выбора боковой грани пирамиды, то биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды пересекаются в точке O’, которая и является центром вписанной в пирамиду сферы.

Доказательство утверждения 2 завершено.

Поскольку у любой правильной пирамиды все внутренние двугранные углы при основании равны, то справедливо

Следствие 2. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, причем ее радиус R выражается через высоту пирамиды h и внутренний двугранный угол при основании пирамиды φ по формуле

(1)

Радиус сферы, вписанной в правильную n – угольную пирамиду

Решение. Рассмотрим правильную n – угольную пирамиду SA₁A₂ . A_n и обозначим символом O’ центр вписанной в пирамиду сферы, а буквой O – центр основания пирамиды. Проведем плоскость через высоту пирамиды SO и апофему SB какой-либо боковой грани (рис. 7).

Буквой R на рисунке 7 обозначен радиус вписанной в пирамиду сферы, буквой r – радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а буквой φ – внутренний двугранный угол при основании пирамиды. Из прямоугольного треугольника OSB получаем

(2)

В силу следствия 2 из формул (1) и (2) получаем

из формулы (3) получаем соотношение

Ответ.

Следствие 3. Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Следствие 4. Радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a, равен

Следствие 5. Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Следствие 6. Радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Сфера, вписанная в треугольную пирамиду.
Формула для радиуса вписанной сферы

Утверждение 3. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Доказательство этого утверждения напоминает планиметрическое доказательство возможности вписать окружность в произвольный треугольник.

Действительно, пусть SABC – произвольный тетраэдр. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AC и биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AB пересекаются по некоторой прямой, проходящей через вершину A. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла в ребром BC пересекает эту прямую в единственной точке O , которая и является центром вписанной сферы (рис. 8).

Получим формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной в тетраэдр SABC сферы. Для этого заметим, что объем пирамиды SABC равен сумме объемов пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB, причем высота каждой из пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB равна радиусу R вписанной в пирамиду SABC сферы. Если обозначить площади граней тетраэдра SABC символами

а объемы пирамид SABC, OABC, OSCA, OSAB, OSCB – символами

то справедливы следующие равенства:

где символом S_полн обозначена площадь полной поверхности пирамиды SABC.

Замечание 2. Если в пирамиду (необязательно треугольную) можно вписать сферу, то, рассуждая аналогично, можно получить следующую формулу для радиуса вписанной в пирамиду сферы

где символами V_пир и S_полн обозначены объем и площадь полной поверхности пирамиды соответственно.

Все что нужно знать о шестиугольной пирамиде

Пирамида – это трехмерная фигура, основание которой представляет собой многоугольник, а боковые стороны являются треугольниками. Шестиугольная пирамида – ее частный вид. Помимо того, существуют другие вариации, когда в основании треугольника (такая фигура называется тетраэдр) находится квадрат, прямоугольник, пятиугольник и так далее по нарастанию. Когда количество точек становится бесконечным, то получается конус.

Шестиугольная пирамида

В целом это одна из последних и самых сложных тем в стереометрии. Изучается где-то в 10-11 классах и рассматривается только вариант, когда в основании находится правильная фигура. Одно из труднейших заданий по ЕГЭ зачастую бывает связано с этим параграфом.

Вам будет интересно: Удивительные факты о лошадях

И-так, в основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Что это значит? У фигуры в основании все стороны равны. Боковые же части состоят из равнобедренных треугольников. Вершины их соприкасаются в одной точке. Данная фигура представлена на фото ниже.

Как найти площадь всей поверхности и объем шестиугольной пирамиды?

В отличие от математики, которую преподают в университетах, школьная наука обучает обходить стороной и упрощать некоторые сложные понятия. Например, если не известно, как найти площадь фигуры, то приходится делить ее на части и уже по известным формулам площадей разделенных фигур находить ответ. Такому принципу нужно последовать и в представленном случае.

То есть, чтобы найти площадь поверхности всей шестиугольной пирамиды, надо найти площадь основания, затем площадь одной из боковых сторон и умножить ее на 6.

Применяются такие формулы:

S (полное) = 6S (боковой стороны) + S (основания) , (1);

S (основания) = 3√3 / 2a2 , (2);

6S (боковой стороны) = 6×1 / 2ab = 3ab , (3);

S (полное) = 3ab + (3√3 / 2a2) = 3(2a2b + √3) / 2a2 , (4).

Где S – площадь, см2;

a – длина основания, см;

b – апофема (высота боковой грани), см.

Для того чтобы найти площадь всей поверхности или какой-либо ее составляющей, требуется всего лишь сторона основания шестиугольной пирамиды и апофема. Если в задаче дано это в условии, то решение не должно составить труда.

С объемом дела обстоят намного легче, но чтобы его найти, нужна высота (h) самой шестиугольной пирамиды. Ну и, конечно же, сторона основания, благодаря которой нужно найти ее площадь.

Формула выглядит следующим образом:

V = 1/3 × S (основания) × h , (5).

Где V – объем, см3;

h – высота фигуры, см.

Вариант задачи, который может попасться на экзамене

Условие. Дана правильная шестиугольная пирамида. Длина основания равна 3 см. Высота составляет 5 см. Найти объем данной фигуры.

Решение: V = 1/3 × (3√3/2 × 32) × 5 = 5/3 × √3/6 = 5√3/18.

Ответ: объем правильной шестиугольной пирамиды составляет 5√3/18 см.

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус сферы (шара), описанной около правильной пирамиды: треугольной, четырехугольной, шестиугольной и тетраэдра.

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

На этом рисунке и чертежах далее:

• a – ребро основания пирамиды;
• h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

[spoiler title=”источники:”]

http://1ku.ru/obrazovanie/10014-vse-chto-nuzhno-znat-o-shestiugolnoj-piramide/

[/spoiler]

Правильная шестиугольная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник.

Обозначения

• $SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида
• $O$ — центр основания пирамиды
• $a$ — длина стороны основания пирамиды
• $h$ — длина бокового ребра пирамиды
• $S_{text{осн.}}$ — площадь основания пирамиды
• $V_{text{пирамиды}}$ — объем пирамиды

Площадь основания пирамиды

В основаниях пирамиды находится правильный шестиугольник со стороной $a$. По свойствам правильного шестиугольника, площадь основания пирамиды равна $$ S_{text{осн.}}=frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2 $$

Правильный шестиугольник в основании пирамиды

По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что $$ AO=OD=EO=OB=CO=OF=a $$ Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём $AO=OE=a, angle EOA=120^{circ}$. По свойствам равнобедренного треугольника $$ AE=acdotsqrt{2(1-cos EOA)}=sqrt{3}cdot a $$ Аналогичным образом приходим к заключению, что $ AC=CE=sqrt{3}cdot a $, $FM=MO=frac{1}{2}cdot a$.

Находим $SO$

Прямая $SO$ является высотой пирамиды, поэтому $angle SOF=90^{circ}$. Треугольник $SOF$ прямоугольный, в нем $FO=a, FS=h$. По свойствам прямоугольного треугольника $$ SO=sqrt{FS^2-FO^2}=sqrt{h^2-a^2} $$

Объем пирамиды

Объем пирамиды вычисляется как треть произведения площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной пирамиды является отрезок $SO$. В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем $$ V_{text{пирамиды}}=frac{1}{3}cdot S_{text{осн.}}cdot SO=frac{sqrt{3}}{2}cdot a^2 cdot sqrt{h^2-a^2} $$

Находим $ST$ и $TO$

Пусть точка $T$ является серединой ребра $AF$. Треугольник $AOF$ правильный, поэтому, по свойствам правильного треугольника $$ TO=frac{sqrt{3}}{2}cdot a $$ Треугольник $STO$ прямоугольный, высота $SO$ равна $sqrt{h^2-a^2}$. По теореме Пифагора $$ ST=sqrt{SO^2+TO^2}=sqrt{h^2-frac{1}{4}cdot a^2} $$

Основание правильной пирамиды является правильный многоугольник – равносторонний треугольник, квадрат. Основанием пирамиды называют ту фигуру, над которой расположена вершина пирамиды.То есть это та грань пирамиды, которая не включает в себя ее вершину. Площадь основания пирамиды – это площадь этой плоской фигуры.

Площадь основания правильной пирамиды

Правильная пирамида может быть трех видов:

• треугольная,
• четырехугольная,
• шестиугольная.

Соответственно у правильной треугольной пирамида основание – равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание – квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Приведем формулы для нахождения площади основания пирамиды:

Площадь основания правильной треугольной пирамиды

В основании равносторонний треугольник – находим его площадь:

, где – сторона треугольника.

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:

, где – сторона квадрата.

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды

Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

Площадь основания любой пирамиды

Площадь основания любой пирамиды – это площадь ее основания.

Если в основании пирамиды треугольник, то формулы для нахождения площади любого треугольника вы можете посмотреть в статье “Площадь треугольника”.

В основании пирамиды может лежать любой прямоугольник, любой многоугольник. Обычно в школьных задачах, в основании пирамиды часто лежит треугольник, редко прямоугольник. Задачи, в которых в основании пирамиды лежит пятиугольник, семиугольник или произвольных многоугольник, практически не встречаются. Хотя их можно увидеть в олимпиадных задачах.

Теперь давайте решим несколько задач для нахождения площади основания пирамиды

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: . Нам дана сторона , тогда

Ответ:

Задача 2

Строитель решил построить здание в форме правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5 м². Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Решение:

Рассчитаем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: . Подставим в нее значение стороны . Получим: м².

Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: .

Ответ: 108 досок.

Задача 3

Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: иными словами – нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой – высотой. Определяем площадь по формуле:

.

Ответ: 8