Как найти диаметр в сопромате

Определить диаметры валов сплошного и полого с отношением внутреннего диаметра к наружного. Установить разницу в расходе материала, проверить жесткость валов.

Определить диаметры валов сплошного и полого с отношением внутреннего диаметра к наружного . Установить разницу в расходе материала, проверить жесткость валов. Построить эпюру углов закручивания для рационального сечения, эпюру касательных напряжений для сечений, удовлетворяющих условиям прочности и жесткости.

Дано: n = 500 об/мин, Р₁ = 90 кВт, Р₂ = 80 кВт, Р₃ = 60 кВт, Р₄ = 50 кВт,

а = 0,1 м, с = 0,3 м, , , .

= 0,75, 2.

Решение

1. Определим величины внешних вращающих моментов по формуле:

М =

кНм,

кНм, аналогично

М₃ = 1,15 кНм, М₄ = 0,96 кНм.

При равномерном вращении вала алгебраическая сумма внешних моментов равна нулю: М₂ + М₃ – М₁ – М₅ – М₄ = 0, тогда М₅ = 0.

По этим значениям строим эпюру крутящих моментов М_кр. (см. чертеж).

2. Определим диаметр круглого вала из условий прочности при кручении:

90 МПа, где

– полярный момент сопротивления поперечного сечения вала (круга). Тогда . Отсюда найдем диаметр вала: м = 46 мм.

Принимаем по ГОСТ 2590-71 d = 46 мм.

Кольцевого поперечного сечения: , где 0,75, тогда м = 52 мм.

Принимаем по ГОСТ 2590-71 d_н = 53 мм, тогда d_в = 40 мм.

3. Определим диаметр круглого вала из условий жесткости при кручении.

Условие жесткости при кручении имеет вид:

где

– угол закручивания на один погонный метр,

– максимальный крутящий момент,

– жёсткость при кручении (),

– допускаемый угол закручивания на 1 п.м., .

Для сплошного вала: ,

Тогда найдем диаметр вала из условия жёсткости:

отсюда м = 71 мм.

Принимаем по ГОСТ 2590-71 d = 75 мм.

Для пустотелого вала: . Найдем диаметр вала из условия жёсткости: отсюда

м = 78 мм.

Принимаем по ГОСТ 2590-71 d_н = 80 мм, тогда d_в = 60 мм.

Для обеспечения прочности и жесткости вала принимаем сечения большего диаметра: d = 75 мм. Для пустотелого вала: d_н = 80 мм, d_в = 60 мм. Площади поперечного сечения данных валов будут равны соответственно:

мм²,

мм².

Окончательно принимаем вал кольцевого поперечного сечения с минимальной площадью, что выгоднее с точки зрения расхода материала при одинаковой нагрузке.

4. Построим эпюру углов закручивания. Для этого определим углы поворота сечений относительно начало отсчета, за которое примем крайнюю левую точку вала – А.

Жесткость вала: = Нм²

Угол поворота сечения В относительно сечения А равен

рад;

рад;

рад,

рад.

По полученным данным строим эпюру углов закручивания φ (см. чертеж).

5. Построим эпюры распределения касательных напряжений для сечений, удовлетворяющим условиям прочности и жесткости.

Круглое поперечное сечение: d = 75 мм.

= (75м)³ = 0,084 м³

МПа.

Кольцевое поперечное сечение: d_н = 80 мм, 0,75

(80м)³= 0,070 м³

МПа.

(80м)⁴= 2,8 м³

МПа.

Рисунок. Эпюры распределения касательных напряжений

Обычно в инженерной
практике проверку прочности балок
производят по нормальным наибольшим и
касательным напряжениям [2]. Нормальные
напряжения σ зависят от величины
изгибавшего момента, а касательные
τ – от величины поперечной силы.
Касательные напряжения в сечениях балки
обычно не играют существенной роли,
поэтому размеры сечения балок определяют
из условия прочности по нормальным
максимальным напряжениям:

,

где М_max
–
наибольший (по абсолютной величине)
изгибающий момент, известный из эпюры
изгибающих моментов ().

Сечение балки
подбирается по моменту сопротивления
относитель­но нейтральной оси:

.
(3.10)

Для балки
прямоугольного сечения

.

Числовые значения
моментов сопротивления стандартных
профилей проката указаны в соответствующих
государственных стандартах на прокат,
а на балки двутавровые приведены в
таблицах приложения Г. Следует подбирать
номер профиля, имеющий большее стандартное
ближайшее значение. Допустимо принимать
и меньшее ближайшее значение W_х^СТ,
однако оно должно удовлетворять условию:

.

Момент сопротивления
при изгибе

_{Подходит швеллер
№ 8 (Wx=22,4
см}³_{,
площадь сечения А=8,98 см}²_).

Определим
прямоугольное сечение (рисунок 3.10) при

Рисунок 3.10 –
Сечение швеллера и прямоугольное сечение

_{Площадь
прямоугольного сечения}

_{A=bh=16,27
см}²
_{≈
в 2 раза больше площади швеллера.}

3.4 Совместное действие изгиба и кручения

Сочетание деформаций
изгиба и кручения испытывает большинство
валов, которые обычно представляют
собой прямые брусья круглого или
кольцевого сечения.

Возникающие от
изгиба нормальные напряжения достигают
максимального значения в волокнах,
наиболее удаленных от нейтральной оси:

,

где М – максимальный
изгибающий момент, Нм;

W
– осевой момент сопротивления сечения,
м³.

Для вала круглого
сечения

Максимальные
касательные напряжения при кручении
возникают в точках контура поперечного
сечения:

где W_p
– полярный момент сопротивления сечения
(W_p=2W),
м³;
Т
– крутящий момент, Нм.

Таким образом, при
сочетании изгиба и кручения опасными
будут точки (для конкретного поперечного
сечения), наиболее удаленные от нейтральной
оси.

Применив третью
теорию прочности, получим

.

Расчетная формула
для круглых валов принимает вид:

,

где М
_экв.
– эквивалентный момент, Нм;

[σ]
– допускаемое
напряжение на растяжение для материала
вала, Па.

Если величина и
направление нагрузки во время работы
вращающегося вала остаются неизменными,
то напряжения изгиба в теле вала будут
изменяться во времени по симметричному
циклу – I циклу
нагружения (рисунок 3.11).

Рисунок 3.11 – График
изменения во времени напряжения изгиба
I
цикл

При действии на
вал нагрузок в разных плоскостях силы
раскладывают на две взаимно перпендикулярные
плоскости, за одну из которых выбирают
плоскость действия одной из сил.

Суммарный изгибающий
момент определится как геометрическая
сумма моментов, действующих во взаимно
перпендикулярных плоскостях
рассматриваемого сечения:

где М_i^в
и М_i^гор
– изгибающие
моменты в i
– м сечении,
действующие в вертикальной и в
горизонтальной плоскостях соответственно.

Эквивалентный
момент определится по формуле:

,

Диаметр вала в
опасном сечении
рассчитывается из условия прочности:

.

Примечание –
При решении задач все необходимые
вычисления следует сначала проделать
в общем виде, обозначая все данные и
искомые величины буквами, после чего
вместо буквенных обозначений подставить
их числовые значения и найти результат.
На расчетных эскизах размеры должны
быть проставлены теми же буквами, какие
имеются в расчетных формулах.

Пример 4.
Построить
эпюры изгибающих, крутящего, суммарного
изгибающего моментов и определить
диаметр вала (рисунок 3.12) в опасном
сечении.

Т = 0,2 кНм, F
= 2 кН, q
= 4 кН/м, a
= 0,2м, b
=1,2а = 0,24м,

с = 0,8а = 0,16м, [σ]
= 110МПа.

Решение:

Плоскость yz:

Плоскость хz:

Из условия прочности
наиболее нагруженного сечения А определим
диаметр вала.

Рисунок 3.12 –
Расчетная
схема и эпюры вала

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ЗАДАЧА 1

Расчет бруса на
осевое растяжение (сжатие)

Сечение бруса
квадратное. Материал – сталь. Допускаемое
напряжение [σ]
= 100 МПа. Модуль продольной упругости Е
= 2·10⁵
МПа. Исходные данные к расчету см. в
таблице + рисунок.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Вариант	F1	F2	F3	l1	l2	l3
кН	м
1	32	18	24	0,7	0,4	0,8
2	28	16	12	0,6	0,5	0,7
3	22	8	26	0,5	0,6	0,9
4	19	24	15	0,8	0,6	0,5
5	30	12	16	0,4	0,9	0,6
6	27	15	10	0,6	0,7	0,8
7	24	14	8	0,3	0,8	0,7
8	26	16	11	0,7	0,9	0,4
9	25	12	18	0,5	0,5	0,9
10	31	26	14	0,7	0,3	0,5
11	18	15	12	0,6	0,6	0,8
12	23	25	12	0,8	0,4	0,7
13	16	8	12	0,4	0,7	0,9
14	18	10	14	0,6	0,5	0,8
15	22	12	14	0,5	0,6	0,7
16	20	9	12	0,7	0,4	0,8
17	24	16	12	0,9	0,3	0,6
18	18	10	14	0,8	0,2	0,7
19	25	18	14	0,7	0,6	0,9
20	19	11	10	0,8	0,5	0,6
21	30	13	10	0,4	0,8	0,5
22	27	15	12	0,6	0,9	0,4
23	22	11	10	0,7	0,7	0,6
24	20	9	10	0,5	0,9	0,7
25	24	12	14	0,7	0,4	0,9
26	19	10	11	0,8	0,3	0,6
27	25	13	13	0,4	0,7	0,8
28	21	16	12	0,5	0,5	0,7
29	22	20	10	0,8	0,6	0,8
30	23	15	11	0,7	0,3	0,9

Расчетные схемы

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

ЗАДАЧА 2 РАСЧЕТ
ВАЛА НА КРУЧЕНИЕ

Сечение вала
круглое, сплошное и кольцевое. Допускаемое
напряжение кручения [τ]=25
МПа. Модуль сдвига G=8∙10⁴
МПа

Вариант	Т1, Нм	Т2, Нм	Т3, Нм	Т4, Нм	l1, м	l2, м	l3, м	l4, м	l5, м
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	200	300	400		0,8	0,7	0,4	0,6	0,3
2	300	500	500		0,7	0,6	0,5	0,8	0,4
3	400	400	300		0,9	0,5	0,6	0,3	0,2
4	100	200	300		0,5	0,8	0,9	0,4	0,3
5	300	400	100		0,6	0,4	0,6	0,5	0,4
6	100	100	500		0,8	0,6	0,7	0,3	0,2
7	300	200	200		0,7	0,3	0,8	0,4	0,3
8	500	600	500		0,4	0,7	0,9	0,5	0,4
9	600	800	700		0,9	0,5	0,5	0,3	0,2
10	400	200	300		0,5	0,7	0,8	0,2	0,3
11	300	500	600		0,8	0,6	0,6	0,4	0,3
12	100	200	200		0,7	0,8	0,4	0,3	0,4
13	700	500	200		0,9	0,4	0,7	0,2	0,3
14	800	400	300		0,8	0,6	0,5	0,3	0,3
15	900	600	400		0,7	0,5	0,6	0,4	0,4
16	100	200	300		0,8	0,7	0,4	0,2	0,5
17	200	800	100		0,6	0,9	0,3	0,3	0,6
18	300	800	100		0,7	0,8	0,2	0,4	0,7
19	400	500	300	200	0,9	0,7	0,6	0,2
20	500	500	200	300	0,6	0,8	0,5	0,3
21	600	900	400	100	0,5	0,4	0,8	0,4
22	700	800	300	200	0,4	0,6	0,9	0,2
23	800	700	100	400	0,6	0,7	0,7	0,3
24	900	600	200	300	0,7	0,5	0,9	0,4
25	100	500	300	200	0,9	0,7	0,4	0,2
26	200	300	500	300	0,6	0,8	0,3	0,4
27	300	300	400	200	0,8	0,4	0,7	0,3
28	400	200	600	100	0,7	0,5	0,5	0,2
29	500	100	700	200	0,8	0,8	0,6	0,3
30	600	200	800	300	0,9	0,7	0,3	0,4

Расчетные схемы

ПРИЛОЖЕНИЕ В

ЗАДАЧА 3
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ДВУХОПОРНОЙ БАЛКИ
ПРИ ИЗГИБЕ

Для данной балки подобрать сечения
двутавра и прямоугольника (h/b=2).
Допускаемое напряжения изгиба [σ]=160
МПа

Вариант	М,K Н.м	F, кН	q, кН/м	l1, м	l2, м	l3, м	l4, м	l5, м
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	18	26	14	2	2	5	1	1
2	24	18	10	2	3	2	3	2
3	16	34	12	2	3	3	2	2
4	30	24	16	2	4	4	1	2
5	20	12	8	1,8	2,2	1	5	1
6	22	16	10	1,6	1	1,4	6	2
7	18	22	14	2,2	2	1,8	5	1
8	16	24	12	2,5	1	1,5	5	2
9	16	24	12	2,5	1	1,5	5	2
10	14	15	8	1,6	2	1,4	4	3
11	10	23	12	2	2	2	4	2
12	18	17	10	1,8	3	1,2	5	1
13	16	25	15	2	2	4	2	2
14	24	16	10	2	3	4	2	1
15	1	22	12	1,6	2,4	3,5	2,5	2
16	20	18	14	1,8	2,2	4,5	2,5	2
17	22	24	8	2	2	4	3	1
18	16	26	6	2	2	3,5	3,5	1
19	18	20	10	1,5	2,5	4,2	1,8	8
20	28	18	16	1,8	2,2	4,5	2,5	3
21	17	25	12	2	2	1	5	2
22	15	30	10	1,5	2,5	2	4	1
23	26	22	8	2	2	2	3	2
24	30	18	14	1,6	3,0	2	4	1
25	24	26	15	1,5	2,5	6	1	1
26	22		13	2,5	1,5	5	2	2
27	20		12	2,0	1,5	5,5	3	2
28	18	28	10	2,0	1,5	4,5	2	2
29	30	20	8	1,8	3,2	1	2	1
30	28	18	15	2	2,5	1,5	5	2

Расчетные схемы
задачи 3

ПРИЛОЖЕНИЕ Г

Сталь прокатная
– балки двутавровые (ГОСТ 8239-83)

h
– высота профиля;

b
– ширина;

d
– толщина;

t
– средняя толщина;

R
и r
– внутренний и наружный радиусы
скруглений;

J
– момент инерции;

W
– момент сопротивления;

i
– радиус инерции;

S
– статический момент полусечения

Номер профиля	Масса 1м длины, кг	Размеры, мм	Площадь сечения, см2	Jx, см4	Wx, см3	ix, см	Sx, см3	Jy, см4	Wy, см3	iy, см
h	b	d	t	R	r
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
10	9,46	100	55	4,5	7,2	7	2,5	12	198	39,7	4,06	23	17,9	6,49	1,22
12	11,45	120	64	4,8	7,3	7,5	3	14,7	350	58,4	4,88	33,7	27,9	8,72	1,38
14	13,7	140	73	4,9	7,5	8	3	17,4	572	81,7	5,73	46,8	41,9	11,5	1,55
16	15,9	160	81	5,0	7,8	8,5	3,5	20,2	873	109,0	6,57	62,3	58,6	14,5	1,7
18	18,4	180	90	5,1	8,1	9,0	3,5	23,4	1290	143,0	7,42	81,4	82,6	18,4	1,88
18а	19,9	180	100	5,1	8,3	9,0	3,5	25,4	1430	159,0	7,51	89,8	114,0	22,8	2,12
20	21,0	200	100	5,2	8,4	9,5	4,0	26,8	1840	184,0	8,28	104,0	115,0	23,1	2,07
20а	22,7	200	110	5,2	8,6	9,5	4,0	28,9	2030	203,0	8,37	114,0	155,0	28,2	2,32
22	24,0	220	110	5,4	8,7	10,0	4,0	30,6	2550	232,0	9,13	131,0	157,0	28,6	2,27
22а	25,8	220	120	5,4	8,9	10,0	4,0	32,6	2790	254,0	9,22	143,0	106,0	34,3	2,5
24	27,3	240	115	5,6	9,5	10,5	4,0	34,8	3460	289	9,97	163	198	34,5	2,37
24а	29,4	240	125	5,6	9,8	20,5	4,0	37,5	3800	317	10,1	178	260	41,6	2,63
27	31,5	270	125	6,0	9,8	11,0	4,5	40,2	5010	371	11,2	210	260	41,5	2,54
27а	33,9	270	135	6,0	10,2	11,0	4,5	43,2	5500	407	11,3	229	337	50,0	2,8
30	36,5	300	135	6,5	10,2	12,0	5	46,5	7080	472	12,3	268	337	49,9	2,69
30а	39,2	300	145	6,5	10,7	12,0	5	49,9	7780	518	12,5	292	436	60,1	2,95
33	42,2	330	140	7,0	11,2	13,0	5	53,8	9840	597	13,5	339	419	59,1	3,79
36	48,6	360	145	7,5	12,3	14,0	6	61,9	13380	743	14,7	423	516	71,1	2,89
40	57,0	400	155	8,3	13,0	15,0	6	72,6	19062	953	16,2	545	667	86,1	3,08
45	66,5	450	160	9,0	14,2	16,0	7	84,7	27696	1231	18,1	708	808	101,0	3,09
50	78,5	500	170	10,0	15,2	17,0	7	100	39727	1589	19,9	919	1043	123,0	3,23
60	108,0	600	190	12,0	17,8	20,0	8	138	76806	2560	23,6	1491	1725	182,0	3,54
60б	120,0	650	200	12,0	19,2	22,0	9	153	101400	3120	25,8	1800	2170	217,0	3,77
70	138,0	700	210	13,0	20,8	24,0	10	176	134600	3840	27,7	2230	2730	260,0	3,94
70а	168,0	700	210	15,0	24,0	24,0	10	202	152700	4360	27,5	2550	3240	309,0	4,01
70б	184,0	700	210	17,5	28,2	24,0	10	234	175770	5010	27,4	2940	3910	373,0	4,09

ПРИЛОЖЕНИЕ Д

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как найти ядро сечения в сопромате

При конструировании стержней из материалов, плохо сопротивляющихся растяжению (бетон), весьма желательно добиться того, чтобы все сечение работало лишь на сжатие. Этого можно достигнуть, не давая точке приложения силы Р слишком далеко отходить от центра тяжести сечения, ограничивая величину эксцентриситета.

Конструктору желательно заранее знать, какой эксцентриситет при выбранном типе сечения можно допустить, не рискуя вызвать в сечениях стержня напряжений разных знаков. Здесь вводится понятие о так называемом ядре сечения. Этим термином обозначается некоторая область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой можно располагать точку приложения силы Р, не вызывая в сечении напряжений разного знака.

Пока точка А располагается внутри ядра, нейтральная ось не пересекает контура сечения, все оно лежит по одну сторону от нейтральной оси и, стало быть, работает лишь на сжатие. При удалении точки А от центра тяжести сечения нейтральная ось будет приближаться к контуру; граница ядра определится тем, что при расположении точки А на этой границе нейтральная ось подойдет вплотную к сечению, коснется его.

Рис.1. Комбинации положения сжимающей силы и нейтральной линии

Таким образом, если мы будем перемещать точку А так, чтобы нейтральная ось катилась по контуру сечения, не пересекая его, то точка А обойдет по границе ядра сечения. Если контур сечения имеет «впадины», то нейтральная ось будет катиться по огибающей контура.

Чтобы получить очертание ядра, необходимо дать нейтральной оси несколько положений, касательных к контуру сечения, определить для этих положений отрезки и и вычислить координаты и точки приложения силы по формулам, вытекающим из известных зависимостей:

это и будут координаты точек контура ядра и .

При многоугольной форме контура сечения (Рис.2), совмещая последовательно нейтральную ось с каждой из сторон многоугольника, мы по отрезкам и определим координаты и точек границы ядра, соответствующих этим сторонам.

При переходе от одной стороны контура сечения к другой нейтральная ось будет вращаться вокруг вершины, разделяющей эти стороны; точка приложения силы будет перемещаться по границе ядра между полученными уже точками. Установим, как должна перемещаться сила Р, чтобы нейтральная ось проходила все время через одну и ту же точку В (,) — вращалась бы около нее. Подставляя координаты этой точки нейтральной оси в известное уравнение нейтральной оси (линии), получим:

Рис.2. Ядро сечения для многоугольной формы поперечного сечения

Таким образом координаты и точки приложения силы Р связаны линейно. При вращении нейтральной оси около постоянной точки В точка А приложения силы движется по прямой. Обратно, перемещение силы Р по прямой связано с вращением нейтральной оси около постоянной точки.

На Рис.3 изображены три положения точки приложения силы на этой прямой и соответственно три положения нейтральной оси. Таким образом, при многоугольной форме контура сечения очертание ядра между точками, соответствующими сторонам многоугольника, будет состоять из отрезков прямых линий.

Рис.3. Динамика построения ядра сечения

Если контур сечения целиком или частично ограничен кривыми линиями, то построение границы ядра можно вести по точкам. Рассмотрим несколько простых примеров построения ядра сечения.

При выполнении этого построения для прямоугольного поперечного сечения воспользуемся полученными формулами.

Для определения границ ядра сечения при движении точки А по оси Оу найдем то значение , при котором нейтральная ось займет положение Н₁О₁. Имеем:

Таким образом, границы ядра по оси Оу будут отстоять от центра сечения на 1/6 величины b (Рис.4, точки 1 и 3); по оси Oz границы ядра определятся расстояниями (точки 2 и 4).

Для получения очертания ядра целиком изобразим положения нейтральной оси и , соответствующие граничным точкам 1 и 2.

При перемещении силы из точки 1 в точку 2 по границе ядра нейтральная ось должна перейти из положения в положение , все время касаясь сечения, т. е. поворачиваясь вокруг точки D.

Рис.4. построение ядра для прямоугольного сечения.

Для этого сила должна двигаться по прямой 1 — 2. Точно так же можно доказать, что остальными границами ядра будут линии 2—3, 3—4 и 4—1.

Таким образом, для прямоугольного сечения ядро будет ромбом с диагоналями, равными одной трети соответствующей стороны сечения. Поэтому прямоугольное сечение при расположении силы по главной оси работает на напряжения одного знака, если точка приложения силы не выходит за пределы средней трети стороны сечения.

Рис.5. Динамика изменения напряжений при изменении эксцентриситета.

Эпюры распределения нормальных напряжений по прямоугольному сечению при эксцентриситете, равном нулю, меньшем, равном и большем одной шестой ширины сечения, изображены на Рис.5.

Отметим, что при всех положениях силы Р напряжение в центре тяжести сечения (точка О) одинаково и равно и что сила Р не имеет эксцентриситета по второй главной оси.

Для круглого сечения радиуса r очертание ядра будет по симметрии кругом радиуса . Возьмем какое-либо положение нейтральной оси, касательное к контуру. Ось Оу расположим перпендикулярно к этой касательной. Тогда

Рис.6. Ядро сечения для двутавра — а) и швеллера — б)

Таким образом, ядро представляет собой круг с радиусом, вчетверо меньшим, чем радиус сечения.

Для двутавра нейтральная ось при обходе контура не будет пересекать площади поперечного сечения, если будет касаться прямоугольного контура ABCD, описанного около двутавра (Рис.6а). Следовательно, очертание ядра для двутавра имеет форму ромба, как и для прямоугольника, но с другими размерами.

Для швеллера, как и для двутавра, точки 1, 2, 3, 4 контура ядра (Рис.6 б) соответствуют совпадению нейтральной оси со сторонами прямоугольника ABCD.

Источник