Как найти диаметр вписанной окружности в многоугольник

Как найти диаметр вписанной окружности в многоугольник

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник

a , b , c – стороны треугольника

p – полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

a – сторона треугольника

r – радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

a – равные стороны равнобедренного треугольника

b – сторона ( основание)

α – угол при основании

О – центр вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

a – равные стороны равнобедренного треугольника

b – сторона ( основание)

h – высота

О – центр вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность

Расчет параметров вписанной в правильный многоугольник и описанной вокруг него окружности.

На самом деле у меня уже были сделаны калькуляторы для правильных многоугольников — Длина стороны правильного многоугольника. Один из первых запросов пользователей, между прочим. Эти калькуляторы находили параметры правильного многоугольника, исходя из величины радиуса описанной или вписанной в него окружности.

Калькуляторы ниже решают обратную задачу — исходя из параметров многоугольника, находят параметры вписанной и описанной окружностей.
Радиус вписанной окружности (incircle):

Площадь правильного многоугольника:

Радиус описанной окружности (circumcircle):

Радиус и диаметр окружности

Окружность — это фигура в геометрии, которая состоит
из множества точек, расположенных на одинаковом
расстоянии от заданной точки (центра окружности).

Радиус окружности — это отрезок, который соединяет
центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет
две любые точки окружности, причем сам отрезок
должен проходить через центр окружности

Eсли от центра окружности провести
отрезки ко всем точкам окружности, то они будут иметь
одинаковую длину, то есть равны. В математике
такие отрезки называют радиусами.

Все радиусы окружности, как и диаметры окружности,
равны между собой, имеют одинаковую длину.

На рисунке выше изображена окружность, с центром в точке O.
OA = OB = OC — радиусы окружности;
BC = CO + OB — диаметр окружности;

Радиус окружности принято обозначать маленькой либо большой буквой, r или R.
Диаметр окружности обозначают буквой D.

Диаметр окружности условно состоит из двух
радиусов и равен длинам этих радиусов.

Длину радиуса окружности можно найти через диаметр окружности.
Для этого достаточно разделить на два длину диаметра окружности,
получившееся число и будет радиусом.

Формула радиуса окружности через диаметр:

Формула диаметра окружности через радиус:

Также, окружность, может быть вписанной в фигуру, описанной
около фигуры; или вообще может быть не вписана и не описана.
Формула радиуса окружности зависит от того находится фигура
внутри окружности, или окружность находится около фигуры.

Существует радиус вписанной окружности
и радиус описанной окружности.

Формулы радиуса вписанной и радиуса описанной окружностей
зависят в первую очередь от геометрической фигуры.

Радиус вписанной окружности — это радиус окружности,
которая вписана в геометрическую фигуру.

Радиус описанной окружности — это радиус окружности,
которая описана около геометрической фигуры.

[spoiler title=”источники:”]

http://planetcalc.ru/1055/

http://colibrus.ru/radius-i-diametr-okruzhnosti/

[/spoiler]

Источник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

Радиус вписанной окружности в ромб

a – сторона ромба

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α – острый угол

О – центр вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

Формула 1 радиуса вписанной окружности в ромб

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

Формула 2 радиуса вписанной окружности в ромб

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :

Формула 3 радиуса вписанной окружности в ромб

Формула 4 радиуса вписанной окружности в ромб

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :

Формула 5 радиуса вписанной окружности в ромб

Формула 6 радиуса вписанной окружности в ромб

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

Радиус вписанной окружности в ромб

a – сторона ромба

h – высота

О – центр вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

Формула 7 радиуса вписанной окружности в ромб

Источник

opis.gif

vpis.gif

На самом деле у меня уже были сделаны калькуляторы для правильных многоугольников — Длина стороны правильного многоугольника. Один из первых запросов пользователей, между прочим. Эти калькуляторы находили параметры правильного многоугольника, исходя из величины радиуса описанной или вписанной в него окружности.

Калькуляторы ниже решают обратную задачу — исходя из параметров многоугольника, находят параметры вписанной и описанной окружностей.
Радиус вписанной окружности (incircle):
r_i=frac{a}{2tan(pi/n)}

Площадь правильного многоугольника:
S_p=frac{1}{2}nar_i

Радиус описанной окружности (circumcircle):
r_c=frac{a}{2sin(pi/n)}

Площадь правильного многоугольника:
S_p=frac{na^2}{4tan(pi/n)}

PLANETCALC, Правильный многоугольник. Вписанная окружность

Правильный многоугольник. Вписанная окружность

Число сторон правильного многоугольника

Длина стороны правильного многоугольника

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Радиус вписанной окружности

Площадь вписанной окружности

Площадь правильного многоугольника

PLANETCALC, Правильный многоугольник. Описанная окружность

Правильный многоугольник. Описанная окружность

Длина стороны правильного многоугольника

Число сторон правильного многоугольника

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Радиус описанной окружности

Площадь описанной окружности

Площадь правильного многоугольника

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 7 февраля 2023 года; проверки требуют 2 правки.

Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE

Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.

В многоугольнике[править | править код]

  • Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
r={frac {S}{p}}

В треугольнике[править | править код]

Окружность, вписанная в треугольник со сторонами a, b, c.

Свойства вписанной окружности:

r={sqrt {frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};
{frac {1}{r}}={frac {1}{h_{a}}}+{frac {1}{h_{b}}}+{frac {1}{h_{c}}}

где a,b,c — стороны треугольника, h_{a},h_{b},h_{c} — высоты, проведённые к соответствующим сторонам[1];

r={frac {S}{p}}={sqrt {{frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}

где S — площадь треугольника, а p — его полупериметр.
{displaystyle r={frac {p-a}{operatorname {ctg} (alpha /2)}}={frac {p-b}{operatorname {ctg} (beta /2)}}={frac {p-c}{operatorname {ctg} (gamma /2)}}}, p — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).
{displaystyle |OI|^{2}={frac {a,b,c,}{a+b+c}}left[{frac {a,b,c,}{(a+b-c),(a-b+c),(-a+b+c)}}-1right]}
  • Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A_{1} и B_1, то A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}.
  • Если точки касания вписанной в треугольник T окружности соединить отрезками с его сторонами, то получится треугольник T_{1} со свойствами:
    • Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T1
    • Пусть T2 — ортотреугольник T1. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
    • Пусть T3 — серединный треугольник T1. Тогда биссектрисы T являются высотами T3.
    • Пусть T4 — ортотреугольник T3, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T4.
  • Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен {displaystyle {frac {a+b-c}{2}}={frac {ab}{a+b+c}}}.
  • Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d={frac {a+b-c}{2}}=p-c.
  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно l_{c}={frac {r}{sin({frac {gamma }{2}})}}, где r — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C.
  • Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам l_{c}={sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}} и l_{c}={sqrt {ab-4Rr}}
  • Теорема о трезубце или теорема трилистника: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда {displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|}.

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. Лемма Веррьера: Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и окружности Веррьера (полувписанной окружности)

  • Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности. Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Связь вписанной и описанной окружностей[править | править код]

{displaystyle {frac {r}{R}}={frac {4S^{2}}{pabc}}=cos alpha +cos beta +cos gamma -1;}[4]
2Rr={frac {abc}{a+b+c}},
{frac {r}{R}}=4sin {frac {alpha }{2}}sin {frac {beta }{2}}sin {frac {gamma }{2}}=cos alpha +cos beta +cos gamma -1

где p — полупериметр треугольника, S — его площадь.

  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[5].
  • Для треугольника можно построить полувписанную окружность, или окружность Варьера. Это окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке. Эта точка служит центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей описанную окружность во вписанную.
  • Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и полувписанной окружности.

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R

Связь центра вписанной окружности и середин высот треугольника[править | править код]

  • Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.[6].
  • Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.

В четырёхугольнике[править | править код]

  • Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.
  • Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
  • Иными словами, в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: AB+CD=BC+AD.

  • Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Ньютона. На рисунке она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
  • Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В сферическом треугольнике[править | править код]

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

  • Тангенс радиуса[7] вписанной в сферический треугольник окружности равен[8]:73-74
{displaystyle operatorname {tg} r={sqrt {frac {sin(p-a)sin(p-b)sin(p-c)}{sin p}}}}
  • Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника[8]:20-21.

Обобщения[править | править код]

  • Вписанной сферой называется сфера, касающаяся всех граней многогранника.
  • Эллипс Штейнера — вписанный в треугольник эллипс.

См. также[править | править код]

  • Вневписанная окружность
  • Внеописанный четырёхугольник
  • Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
  • Вписанные и описанные фигуры для треугольника
  • Замечательные прямые треугольника
  • Замечательные точки треугольника
  • Вписанное коническое сечение[en]
  • Описанная окружность
  • Описанный четырёхугольник
  • Ортоцентр
  • Степень точки относительно окружности
  • Теорема Мансиона
  • Теорема о трезубце
  • Теорема Тебо 2 и 3
  • Теорема Фейербаха
  • Теорема Харкорта
  • Точки Аполлония
  • Треугольник
  • Центроид
  • Центроид треугольника

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Altshiller-Court, 1925, p. 79.
  2. ↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902. — С. 130. — 334 с. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
  3. ↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Изд. 2. Серия: Физико-математическое наследие (репринтное воспроизведение издания).. — Москва: Ленанд, 2015. — 352 с. — ISBN 978-5-9710-2186-5. Архивная копия от 22 июля 2020 на Wayback Machine
  4. ↑ Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», Mathematical Gazette 87, March 2003, 119—120.
  5. ↑ Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.: МЦНМО, 2002. c. 11, п. 5
  6. ↑ Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390. p. 30, Figure 34, §3. An Unlikely Collinearity.
  7. ↑ Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и точку касания окружностью стороны треугольника.
  8. ↑ 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Литература[править | править код]

  • Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble
Источник

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность, вписанная в многоугольник или угол

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник/угол, если она касается всех сторон этого многоугольника/угла.
Тогда многоугольник/угол называется описанным около окружности.

(blacktriangleright) В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника (рис. 1).

Площадь описанного треугольника ищется по формуле [{Large{S_{triangle}=pcdot r}},]

где (p) – полупериметр.

(blacktriangleright) Если в прямоугольный треугольник вписана окружность, (a, b) – катеты, (c) – гипотенуза, (r) – радиус этой окружности, то верна формула: [{large{r=dfrac{a+b-c}2}}]

(blacktriangleright) Если в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
И наоборот: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность (рис. 2).
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов.
Площадь описанного четырехугольника ищется по формуле

[{large{S_{text{опис.4-к}}=pcdot r}},]

где (p) – полупериметр.

(blacktriangleright) Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 3).

(blacktriangleright) Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 4).

(blacktriangleright) Если в угол вписана окружность, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла (рис. 5).


Задание
1

#3106

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как (2:3:6). Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен (54).

Рассмотрим рисунок. Так как четырехугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, четвертая сторона равна ((2x+6x)-3x=5x). Тогда можно составить уравнение: [2x+3x+6x+5x=54quadLeftrightarrowquad 6x=20,25] (большая сторона равна (6x))

Ответ: 20,25


Задание
2

#652

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В четырёхугольник (ABCD) вписана окружность, (AB = 3,5), (AD = 4), (BC = 6,5). Найдите длину (CD).

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:
(AB + CD = AD + BC), откуда получаем (3,5 + CD = 4 + 6,5), значит, (CD = 7).

Ответ: 7


Задание
3

#2375

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольник (ABC) вписана окружность с центром в точке (O), причем (angle AOB=110^circ). Найдите (angle C) треугольника (ABC). Ответ дайте в градусах.

Т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника, то (AO, BO) – биссектрисы углов (A, B) соответственно.

Следовательно, (angle BAO+angle
ABO=180^circ-110^circ=70^circ).
Также (angle A+angle B=2cdot (angle BAO+angle ABO)=140^circ), следовательно, (angle C=180^circ-(angle A+angle
B)=180^circ-140^circ=40^circ).

Ответ: 40


Задание
4

#3569

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны (5), основание равно (6). Найдите радиус вписанной окружности.

Известно, что для любого треугольника (S_{triangle}=pcdot r), где (p) – полупериметр, (r) – радиус вписанной окружности.
В нашем случае по формуле Герона (полупериметр (p=8)) (S_{triangle}=sqrt{8cdot 3cdot 3cdot 2}=4cdot 3=12). Следовательно, [r=dfrac Sp=dfrac{12}{0,5(5+5+6)}
= 1,5]

Ответ: 1,5


Задание
5

#3560

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Около окружности, радиус которой равен (3), описан многоугольник, периметр которого равен (20). Найдите его площадь.

Так как для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно (S=pcdot r), где (p) – полупериметр, а (r) – радиус вписанной окружности, то [S=dfrac{20}2cdot 3=30]

Ответ: 30


Задание
6

#3561

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона правильного треугольника равна (sqrt3). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1 способ.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть (H) – точка касания окружности со стороной (AB) (то есть (OH) – радиус). Следовательно, (OHperp AB) (как часть высоты) и (OH=frac13CH) (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины).

Если (AC=2x=sqrt3), то (AH=x), следовательно, (CH=sqrt{4x^2-x^2}=xsqrt3), тогда [OH=dfrac13cdot CH=dfrac13cdot sqrt3cdot dfrac{sqrt3}2=0,5]

2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной (a) равна (S=dfrac{sqrt3}4a^2). Тогда по формуле (S=pcdot r), где (p) – полупериметр, (r) – радиус вписанной окружности, имеем: [r=dfrac Sp=dfrac{frac{sqrt3}4cdot (sqrt3)^2}{0,5(sqrt3+sqrt3+sqrt3)}
=0,5]

Ответ: 0,5


Задание
7

#3562

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен (dfrac{sqrt3}6). Найдите сторону этого треугольника.

1 способ.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть (H) – точка касания окружности со стороной (AB) (то есть (OH) – радиус). Следовательно, (OHperp AB) (как часть высоты) и (OH=frac13CH) (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины).

Если (AC=2x), то (AH=x), следовательно, (CH=sqrt{4x^2-x^2}=xsqrt3), тогда [dfrac{sqrt3}6=OH=dfrac13cdot CH=dfrac{sqrt3}3xquadRightarrowquad
x=dfrac12quadRightarrowquad AC=2x=1]

2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной (a) равна (S=dfrac{sqrt3}4a^2). Тогда по формуле (S=pcdot r), где (p) – полупериметр, (r) – радиус вписанной окружности, имеем: [dfrac{sqrt3}4a^2=dfrac{3a}2cdot rquadRightarrowquad a=2sqrt3r=1]

Ответ: 1

На этапе подготовки к ЕГЭ старшеклассники повторяют базовые определения и формулы, в том числе и по теме «Окружность, вписанная в многоугольник или угол». Достаточно подробное изучение данного раздела планиметрии осуществляется, как правило, в средней школе. В связи с этим необходимость повторения основных формул и понятий по теме «Окружность, вписанная в угол или многоугольник» на этапе подготовки к ЕГЭ возникает у многих выпускников. Поняв принцип решения подобных заданий, старшеклассники смогут рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Готовьтесь к ЕГЭ вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед прохождением аттестационного испытания, многие старшеклассники сталкиваются с проблемой поиска базовых понятий и формул для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, и других параметров. Далеко не всегда их легко найти в Интернете, как и, например, задачи на правильный шестиугольник. А школьного учебника может просто не оказаться под рукой в нужное время. Для того чтобы ликвидировать пробелы в знаниях по этому и другим математическим разделам, обратитесь к образовательному проекту «Школково». На нашем сайте представлен весь необходимый материал, изложенный доступно и понятно. Какими свойствами обладает окружность, вписанная в угол и многоугольник, и какие формулы необходимо знать для успешного решения задач по данной теме? Ответы на эти и другие вопросы вы найдете на сайте «Школково» в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы подготовка к единому госэкзамену была действительно эффективной, рекомендуем также попрактиковаться в решении соответствующих задач. Большая база заданий представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Перечень задач на сайте постоянно дополняется и обновляется.

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Добавить комментарий