Как найти диапазон значений функции

Зачастую в рамках решения задач по тригонометрии нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, такой поиск нужно делать, если приходится решать разные типы неравенств, при оценке выражений и др.

В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми  можно вычислить область значения и область определения функции, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графически. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление о том, что такое область значения функции.

Начнем с базовых определений.

Множество значений функции y = f(x) – это множество всех значений на некотором интервале x, которые данная функция принимает при переборе всех значений x∈X.

Область значений функции y=f(x) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x∈(f).

Область значений некоторой функции обычно принято называть и обозначать E(f).

Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.

Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y=f(x). Область допустимых значений x для выражения f(x) и будет областью определения данной функции.

Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры, как построить графики функций и их построение. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.

Как найти область значения функции? Очевидно, что область или множество значений функции можно найти или получить при проецировании графика функции на ось Oy. При этом она может представлять собой как одно число, так и множество чисел, отрезок, интервал, открытый луч, объединение числовых промежутков и др.

Рассмотрим основные способы, как определить область значения функции.

Первый этап – определить тип функции. Функция может быть квадратичной, а также содержать дроби и корни. 

Начнем с определения множества значений непрерывной функции y = f(x) на некотором отрезке, обозначенном [a; b]. Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего maxx∈a; bf(x) и наименьшего значения minx∈a; bf(x). Значит, у нас получится отрезок minx∈a; bf(x); maxx∈a; bf(x), в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.

Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.

Перейдем к нахождению множества значений непрерывной функции y = f(x) в промежутках (a; b), причем a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.

Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведение функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.

Если нам надо определить множество значений функции y = f(x) на промежутках [a; b), (a; b], [a; +∞), (-∞; b], то нам понадобится провести точно такие же исследования. Эти случаи мы пока не будем разбирать: далее они нам еще встретятся в задачах.

А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.

Это можно увидеть на графике:

Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.

Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения (или указать). Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.

Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.

Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.

Решение показано на графике:

A function is defined as the relation between a set of inputs and their outputs, where the input can have only one output. It depicts a relationship between an independent variable and a dependent variable. A function is usually denoted by y = f(x), where x is the input. A function is a relation f from a set X to another set Y, where each element in X has exactly one output in Y, and it is represented as f: X→Y. Here the set X is known as the domain of a function, and the set Y is called the co-domain of the function. Every function has a domain, codomain, and range that help in defining the function.

Domain, Co-Domain, and Range of a Function

The domain of a function is defined as the set of all possible values for which the function can be defined. A co-domain of a function is the set of possible outcomes, whereas a range or image of a function is a subset of a co-domain and is the set of images of the elements in the domain. For example, in the figure given below, f(x) = x³ is a function whose domain is the set X, and its co-domain is the set Y while its range is {1, 8, 27, 64}.

For the given function f(x) = x³:

• Domain = {1, 2, 3, 4}
• Co-domain = {1, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 23, 27, 64}
• f(x) = {(1,1), (2,8), (3,27), (4,64)}
• Range = {1, 8, 27, 64}

Domain

The domain of a function is defined as the set of all possible values for which the function can be defined. Let us go through the domains of different functions. 

• The domain of any polynomial function such as a linear function, quadratic function, cubic function, etc. is a set of all real numbers (R). 
• The domain of a logarithmic function f(x) = log x is x > 0 or (0, ∞). 
• The domain of a square root function f(x) = √x is the set of non-negative real numbers which is represented as [0, ∞).
• The domain of an exponential function is the set of all real numbers (R).
• A rational function is defined only for non-zero values of its denominator. So, to determine the domain of a rational function y = f(x), set the denominator ≠ 0.

How to Find the Domain of a Function?

To find the domain of a function, use  the following steps:

Step 1: First, check whether the given function can include all real numbers.

Step 2: Then check whether the given function has a non-zero value in the denominator of the fraction and a non-negative real number under the denominator of the fraction.

Step 3: In some cases, the domain of a function is subjected to certain restrictions, i.e., these restrictions are the values where the given function cannot be defined. For example, the domain of a function f(x) = 2x + 1 is the set of all real numbers (R), but the domain of the function f(x) = 1/ (2x + 1) is the set of all real numbers except -1/2.

Step 4: Sometimes, the interval at which the function is defined is mentioned along with the function. For example, f (x) = 2x² + 3, -5 < x < 5. Here, the input values of x are between -5 and 5. As a result, the domain of f(x) is (-5, 5). 

After taking all the steps discussed above the set of numbers left with us is considered the domain of a function.

How to Find the Range of a Function?

The range or image of a function is a subset of a co-domain and is the set of images of the elements in the domain.

To find the range of a function use the following steps

Let us consider a function y = f(x).

Step 1: Write the given function in its general representation form, i.e., y = f(x).

Step 2: Solve it for x and write the obtained function in the form of x = g(y).

Step 3: Now, the domain of the function x = g(y) will be the range of the function y = f(x).

Thus, the range of a function is calculated.

Example: Find the range of the function f(x) = 1/ (4x − 3).

Solution:

Given: f(x) = 1/ (4x − 3).

Let y = 1/ (4x − 3).

4xy − 3y = 1

4xy = 1 + 3y

x = 4y / (1 + 3y)

Here, x is defined only when y is not equal to −1/3.

So, the range of f(x) = 1/ (4x − 3) is (−∞, −1/3) U (1, ∞).

Solved Example on Domain and Range

Example 1: Find the domain of a function f(x) = (2x + 1)/ (x² − 4x + 3).

Solution:

Given: f(x) = (2x + 1)/ (x² − 4x + 3)

f(x) = (2x + 1)/ (x − 1)(x − 3)

We know that the domain of a function is defined as the set of all possible values for which the function can be defined.

Here, the given function is a rational function that is defined only for non-zero values of its denominator.

So, (x − 1)(x − 3) ≠ 0

x − 1 ≠ 0 and x − 3 ≠ 0

x ≠ 1 and x ≠ 3

Domain = R − {1, 3}

Hence, the domain of the given function is x ∈ R − {1, 3}.

Example 2: Find the domain and range of a function f(x) = x² + 1.

Solution:

Given: f(x) = x² + 1

We know that the domain of a function is defined as the set of all possible values for which the function can be defined.

Here, the given function has no undefined values of x.

So, for the given function, the domain is the set of all real numbers.

Thus, the Domain of f(x) = (-∞, ∞)

While the range of a function is the set of images of the elements in the domain.

Let y = x² + 1

x² = y − 1

x = √(y − 1)

We know that a square root function is defined for non-negative values.

So, √(y − 1) ≥ 0

This is possible when y is greater than y ≥ 1.

Therefore, the range of f(x) is [1, ∞).

Example 3: Find the domain and range of a function f(x) = (x + 2)/ (x – 3).

Solution:

Given: f(x) = (x + 2)/ (x – 3)

We know that the domain of a function is defined as the set of all possible values for which the function can be defined.

Here, the given function is a rational function that is defined only for non-zero values of its denominator.

The given function is not defined when x – 3 = 0, i.e., x = 3

So, the domain of f(x) is the set of all real numbers except 3, i.e., (-∞, 3) U (3, ∞)

While the range of a function is the set of images of the elements in the domain.

Let y = (x + 2)/ (x – 3)

xy – 3y = x + 2

xy – x = 3y + 2

x (y – 1) = 3y + 2

x = (3y + 2)/ (y – 1)

Here, x is defined only when y is not equal to 1.

Therefore, the range of the given function is (-∞, 1) U (1, ∞).

Example 4: Find the domain for which the functions f(x) = 5x² − 7x + 2 and g(x) = 2x² + x − 6 are equal.

Solution:

Given: f(x) = 5x² − 7x + 2,

g(x) = 2x² + x − 6, and f(x) = g(x).

From the given data,

f(x) = g(x)

5x² − 7x + 2 = 2x² + x − 6

3x² − 8x + 4 = 0

3x² − 6x − 2x + 4 = 0

3x (x − 2) − 2(x − 2) = 0

(3x − 2) (x − 2) = 0

x = 2/3 or 2

So, if the value of x is 2/3 or 2, then the functions f(x) and g(x) will be equal.

Hence, the domain for which the functions f(x) and g(x) are equal is {2/3, 2}.

Example 5: Find the domain and range of a function f(x) = 3e^x/7.

Solution:

Given: f(x) = 3e^x/7.

The given function is an exponential function.

We know that the domain of an exponential function is the set of all real numbers (R).

So, the domain of f(x) = 3e^x/7 is R.

Let y = 3e^x/7

e^x = 7y/3

x = log_e(7y/3)

Here, x is defined only when y > 0.

Hence, the range of f(x) = 3e^x/7 is (0, ∞). 

FAQs on Domain and Range

Question 1: Define a function.

Answer:

In mathematics, a function is defined as the relation between a set of inputs and their outputs, where the input can have only one output.

Question 2: How is a function represented in mathematics?

Answer:

A function is a relation f from a set X to another set Y, where each element in X has exactly one output in Y, and it is represented as f: X→Y. A function is usually denoted by y = f(x), where x is the input.

Question 3: Define the domain and give an example.

Answer:

The domain of a function is defined as the set of all possible values for which the function can be defined. The domain of any polynomial function such as a linear function, quadratic function, cubic function, etc. is a set of all real numbers (R). 

Question 4: Define the co-domain and range of a function.

Answer:

A co-domain of a function is the set of possible outcomes, whereas a range or image of a function is a subset of a co-domain and is the set of images of the elements in the domain.

Related Resources

• Introduction to Domain and Range
• Range of a Function
• Relation and Function

Описание изображения

Вид на пустую аудиторию колледжа с задней стороны.

Для любого человека, заинтересованного в карьере математика или человека, который использует математику, например, в бизнесе, важно уметь четко объяснять формулы и решения. В случае нахождения диапазона функции, вы можете найти это значение несколькими способами. Умение объяснить эти методы может оказаться полезным по мере развития ваших математических и коммуникативных навыков.

В этой статье мы дадим определение математического диапазона, области и функции, а затем расскажем, как найти диапазон функции с помощью формулы, графика и отношения.

Основные выводы:

• В математике функция представляет собой определенную связь между независимой переменной (x) и зависимой переменной (y).

• Диапазон функции относится ко всем возможным значениям y.

• Формула для нахождения диапазона функции: y = f(x). Отношение является функцией только в том случае, если каждому значению x соответствует только одно значение y.

Что такое функция?

Функция – это прикладной математический термин, используемый для описания взаимосвязи между двумя переменными. В формуле вы можете представить функцию в виде:

y = f(x)

В этой формуле y является функцией x, то есть при изменении значения x изменяется и значение y (или диапазон, или зависимая переменная). Например:

Если x равен 2 в уравнении y = x -1, то значение y равно 1: y = 2-1

Но если x имеет значение 10, то y также изменится – до 9, или y=10-1

Что такое диапазон функции?

Значения переменных меняются, что можно представить в виде набора значений, называемых областью и диапазоном функции:

• Домен: Область функции – это набор чисел, представляющих все значения, которые может иметь x.

• Диапазон: Диапазон – это набор чисел, которые представляют все потенциальные значения, которые y может иметь на основе функции.

3 способа найти диапазон функции

Для x в упорядоченной паре (x, y) может соответствовать только одно значение y. Для y, однако, существует больше возможностей. Нахождение диапазона функции означает нахождение всех возможных значений, которые может иметь y в зависимости от x. Вы можете найти диапазон функции тремя способами: формула, график или зависимость.

1. Нахождение диапазона функции с помощью формулы

Формула может представлять, как переменная x взаимодействует с переменной y. Эти формулы могут выглядеть по-разному в зависимости от того, какое взаимодействие имеют значения. Ниже приведены шаги, которые можно использовать для алгебраического нахождения диапазона функции:

1. Запишите формулу

Запись формулы – где y = f(x)- может помочь вам определить некоторые аспекты связи между двумя переменными.

Пример: Если вы продаете журналы по 10 долларов за штуку, то ваш общий объем продаж, f(x), равен количеству проданных журналов, x, умноженному на 10. Итак, формула f(x) = 10(x). Если вы продаете ноль, 2, 4 или 10 журналов, то ваши общие продажи составляют $0, $20, $40 и $100.

2. Найдите другие пары координат

Если применить формулу y = f(x), то она показывает положительную зависимость между x и y для всех журналов продаж. Чтобы перепроверить эту информацию, вы можете нарисовать переменные в виде упорядоченных пар на графике. Полученный график является линейным и имеет тенденцию к росту. Это подтверждает вывод о том, что функция положительна.

3. Напишите диапазон

Зная, что вы не можете продавать отрицательные журналы, вы можете определить, что диапазон функции никогда не бывает меньше нуля. Поскольку вы всегда можете продать больше журналов, вы знаете, что диапазон может постоянно увеличиваться на интервалы в 10 раз. Таким образом, вы можете записать диапазон функции в виде эквивалентности.

В данном примере диапазон f(x) = все кратные 10 ? 0.

2. Нахождение диапазона функции с помощью графика

График может обеспечить визуальное представление формы, которую принимает функция, позволяя увидеть, как координаты y взаимодействуют с координатами x. Вот шаги для нахождения диапазона функции с помощью графика:

1. Нарисуйте функцию на графике

Чтобы найти диапазон функции на графике, отметьте (или постройте) координаты области (x) и диапазона (y) на листе бумаги с помощью маленьких точек. Это поможет вам увидеть форму функции. Вы можете увидеть прямую линию, изогнутую линию в форме u или n или что-то похожее на волны.

При построении графика перемещайтесь влево или вправо по оси x, в зависимости от того, отрицательна или положительна координата x. Затем вы двигаетесь вверх или вниз по оси y, в зависимости от того, положительна или отрицательна координата y.

После завершения работы проследите за формой графика. Например, если вы нарисуете координаты {(2, 1), (3, 2), (4, 3)}, то они образуют прямую линию, которая идет вверх (1, 2, 3).

2. Найдите минимум функции

Как только вы получите функцию в виде графика, вы сможете увидеть важные особенности, например, минимум. Это самая низкая точка, которую функция достигает визуально. Минимум может быть бесконечным, то есть график неограниченно расширяется вниз. Если это так, то нижний конец диапазона может быть представлен символом бесконечности (?).

3. Найдите максимум функции

Максимум – это наивысшая точка, которую функция достигает визуально. Как и минимум, это число может быть бесконечным. Это также может быть конкретное место на графике, которое можно записать в виде упорядоченной пары. Например, если максимум находится при 3 на оси x и 10 на оси y, то его координаты будут (3, 10).

4. Запишите диапазон в виде эквивалентности

Иногда невозможно написать каждую y-координату функции. Здесь вы можете указать диапазон как эквивалентность, используя символ меньше, чем (<), символ больше чем (>), меньше или равно символу (?) или символ больше или равно (?).

Пример: Для диапазона {-1, 1, 2, 3} вы можете использовать утверждение как:

-1 ? f(x) ? 3

Если ваш диапазон функции имеет бесконечную составляющую, например {-?, 10}, вы можете записать эквивалентность как:

f(x) ? 10

3. Нахождение диапазона функции с помощью отношения

Третий способ найти диапазон функции – записать ее в виде отношения. Отношение – это набор упорядоченных пар, представляющих координаты на графике. Вы можете записать пары отношения в форме (x, y). Ниже описаны шаги, которые можно использовать для нахождения диапазона функции, записанной в виде отношения:

1. Напишите отношение

Когда вы видите набор упорядоченных пар (x, y), вам может быть проще работать с отношением после того, как вы запишете пары на бумаге. Запишите весь набор в фигурных скобках. Например:

{(2, 1), (4, 5), (9, 21) (7, 14), (5, 14)}

2. Составьте список y-координат отношения

Вы можете перечислить y-координаты отношения, взяв второе число из каждой пары координат и записав их в фигурных скобках. Это поможет вам легче представить диапазон значений y.

Это также поможет вам сократить объем информации, с которой вы работаете при нахождении диапазона, или y. Используя приведенный выше пример, вы бы записали y-координаты как:

{1, 5, 21, 14, 14}

3. Удалите все дублирующиеся числа

В этом наборе отношений число 14 встречается дважды. Для нахождения диапазона функции второе 14 не имеет значения, поэтому его можно убрать. Вы можете записать новый список y-координат в виде:

{1, 5, 21, 14}

4. Напишите диапазон от наименьшего до наибольшего

Поскольку числа расположены не по порядку, трудно определить диапазон. Вы можете изменить порядок чисел, чтобы облегчить определение диапазона. Упорядоченный от наименьшего к наибольшему, набор y-координат отношения является таковым:

{1, 5, 14, 21}

Как только вы измените порядок чисел, вы получите диапазон функции с помощью отношения. Итак, для набора отношений:

{(2, 1), (4, 5), (9, 21) (7, 14), (5, 14)}

Диапазон после вычитания:

{1, 5, 14, 21}

5. Убедитесь, что отношение является функцией

Проверив, что каждое значение x дает одно и то же число y, вы можете подтвердить, что отношение является функцией. Отношение является функцией, только если каждому значению x соответствует только одно значение y.

Пример: Если вы вводите x как 2 и получаете на выходе 4, но в следующий раз, когда вы вводите x как 2, вы получаете на выходе 7, то это отношение не является функцией. Если вы каждый раз получаете одно и то же число, то отношение является функцией.

Для примера набора отношений {(2, 1), (4, 5), (9, 21) (7, 14), (5, 14)}, значения x 2, 4, 9, 7 и 5 имеют только одно связанное выходное число каждое, и поэтому это функция, а найденный диапазон функции проверяется.

Общая информация

У каждой функции y = f (x) есть два типа переменных: зависимые и независимые. Переменная «х» является независимой, поскольку она может принимать любые значения, кроме тех, которые «превращают» функцию в пустое множество (этого необходимо избегать). Они бывают с одной или несколькими независимыми переменными. Необходимо выяснить все значения зависимой переменной.

Существует несколько методов решения задач такого типа. К ним относятся следующие способы: автоматизированный и ручной. Решение первым подразумевает использование специальных программных оболочек и web-приложений, позволяющих найти область значения функции. Онлайн-калькулятор с решением применяется для тех, кто выполняет большое количество вычислений или проверку вычислений.

В различных дисциплинах необходимо исследовать поведение функций. Например, при проектировании какого-либо программного продукта. Программисты занимаются поиском «багов», при которых происходит некорректная работа приложения. Если заданы недопустимые параметры независимой переменной, то произойдет ошибка. Это называется исключением, и его всегда следует обрабатывать. При проектировании различных устройств нужно также уметь находить область значения функции.

Основные понятия

Руководствуясь некоторыми данными, можно сделать вывод: областью значений некоторой функции называются все ее допустимые значения. Обозначается она буквой «E», т. е. E (f) или E (y). Когда y = f (x) является сложной (w = f (x, y, z)), тогда можно ее обозначить «E (w)».

Независимая переменная, принимающая некоторые значения, называется аргументом. Для конкретного случая существует определенный алгоритм. Можно сразу определить E (f), но в некоторых ситуациях нужно выполнить некоторые преобразования.

Например, нужно найти область значений квадратичной функции y = 3x ² — 2x — 1. Следует записать уравнение 3x ² — 2x — 1 = 0. Ордината вычисляется таким образом: y0 = -D / 4a = -[b ² — 4ac] / 4a = -[(-2)^2 — 4 * 3 * (-1)] / (4 * 3) = -16 / 12 = -4/3. Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, E (y) = (-4/3;+бесконечность).

Специалисты-математики утверждают, что важным аспектом является определение типа функции. Следовательно, следует разобраться в их классификации. Для этого необходимо знать их графики и названия.

Типы функций

Перед тем, как найти все допустимые значения, нужно знать область значения некоторых элементарных функций. Для каждой из них существует свой промежуток:

1. (-бесконечность;+бесконечность): y =kx + b, y = x^(2n+1), y = x^(1/(2n+1)), y = log (x) с основанием а, y = tg (x) и y = ctg (x).
2. [0;+бесконечность): y = x^(2n), y = x^(1/(2n)) и y = a^x.
3. (-бесконечность;0] U [0;+бесконечность) только для y = k / x (гипербола).
4. [-1;1]: y = sin (x) и y = cos (x).
5. [0;Pi]: y = arccos (x) и arcsin (x).
6. [-Pi/2;Pi/2]: y = arctg (x) и arcsin (x).

Если функция является многочленом четной степени, то для нее существует интервал [m;+бесконечность). Значение «m» — наименьшее значение многочлена. На промежутке (-бесконечность;n) число n — наибольшее его значение.

Довольно сложной задачей считается нахождение области значений тригонометрических функций. Примером одной из них считается y = cos (2x) + 2cos (x). Кроме того, при нахождении E (f) необходимо руководствоваться не только табличными значениями. Этих данных мало, поскольку нужно также знать о свойствах некоторых функций и способы нахождения E.

Важные свойства

Для качественного исследования нужно знать свойства простых функций: монотонность, непрерывность, дифференцируемость, четность или нечетность, периодичность, область определения и значения. Среди свойств можно выделить несколько основных:

1. В случае, когда функция f (x) является непрерывной, и наблюдается ее возрастание или убывание на отрезке [a;b], то множество значений — интервал [f (a);f (b)].
2. Если y = f (x) обладает непрерывностью на промежутке [a;b], и существует некоторое минимальное m и максимальное М ее значения, то множеством ее значений является интервал [m;M].
3. При непрерывности и дифференцируемости функции на промежутке [a;b], она имеет минимальное и максимальное значения на данном промежутке.

Последние два свойства применяются для непрерывных функций. Простое решение позволяет получить первое свойство. При этом очень важно доказать ее монотонность. Задача существенно упрощается, когда удается доказать четность или нечетность функции, а также ее периодичность. По необходимости следует проверять и использовать некоторые ее свойства: непрерывность (при разрыве нужно определить его точку или интервал), монотонность, дифференцируемость, периодичность, четность или нечетность и т. д.

Методы нахождения

Существует много способов нахождения области значений. Однако для решения задач нужно подбирать оптимальный метод, поскольку следует избегать лишних вычислений. Например, если функция является простой, то нет необходимости применять сложные алгоритмы решения. К методам нахождения относятся следующие:

1. Отдельное нахождение значений элементов сложной функции.
2. Оценочный.
3. Учет непрерывности и монотонности.
4. Взятие производной.
5. Использование max и min функции.

Для каждого из методов существует определенный алгоритм. Хотя встречаются случаи, когда целесообразно применить два простых метода. Нужно руководствоваться минимальным количеством вычислений и затраченным временем.

Для каждого элемента

Иногда в задачах следует найти E (f) при условии, когда функция является сложной. Очень распространенная методика разбиения задачи на подзадачи, которая применяется не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но в экономике, бизнесе и других направлениях. Решение с помощью метода последовательного нахождения E (f) каждой из функций. Алгоритм имеет такой вид:

1. Выполнить необходимые преобразования — упростить выражение.
2. Разбить выражение на элементы.
3. Выполнить поиск E (f) для каждого элемента.
4. Произвести замену.
5. Анализ.
6. Результат решения.

Однако довольно сложно ориентировать по данному алгоритму, поскольку нужно разобрать решение примера с его помощью. Дана функция y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x). Решается задача таким образом:

1. Упростить (выделить квадрат): y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x) = log0.5 [5 — (1 — 2 * 3^x — 9^x)] = log0.5 [5 — (3^x + 1)].
2. Разбить на элементарные функции: y = 3^x, y = 3^x + 1, y = [-(3^x + 1)]^2 и y = [5 — (3^x + 1)]^2.
3. Определить для каждого элемента E (f): E (3^x) = (0;+бесконечность), E (3^x + 1) = (1;+бесконечность), E ([-(3^x + 1)]^2) = (-бесконечность;-1) и E ([5 — (3^x + 1)]^2) = (-бесконечность;4).
4. Произвести замену: t = 5 — (3^x + 1)]^2 (-бесконечность <= t <=4).
5. Анализ: поскольку E (f) на луче (-бесконечность;4) совпадает с интервалом (0;4), то функция непрерывна и убывает. Необходимо отметить, что интервал (0;4) получен при пересечении луча (-бесконечность;4) с областью определения функции логарифмического типа (0;+бесконечность). На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. Если t>0, то она стремится к бесконечности. Когда t = 4, ее значение равно -2.
6. Результат решения — искомый интервал: E (f) = (-2;+бесконечность).

Необходимо обратить внимание на пункты 1, 3 и 5. Они являются очень важными, поскольку от них зависит правильность решения. Очень важно уметь анализировать полученную функцию в 4 пункте.

Оценочный способ

Еще одним методом определения E (f) является способ оценки. Необходимо оценить непрерывную функцию в нижнем и верхнем направлениях. Еще следует доказать достижение нижней и верхней границ. Для этой цели существует также алгоритм. Он немного проще предыдущего. Суть его заключается в следующем:

1. Доказать непрерывность.
2. Составить неравенство или неравенства для нескольких функций.
3. Узнать оценку.
4. Записать интервал.

Необходимо разобрать алгоритм на примере функции y = cos (7x) + 5 * cos (x). Следует учитывать, что известен только один знак неравенства. Второй нужно доказать оценочным методом. Решение задачи имеет такой вид:

1. Функция вида y = cos (x) является непрерывной.
2. Неравенства: -1<=cos (7x)?1 и -5<=5 * cos (x)?5.
3. Оценка получает при объединении неравенств: -6<=y?6. При значениях независимой переменной x = Pi и x = 0 функция принимает значения -6 и 6 соответственно (нижняя и верхняя границы). Функция состоит из двух элементов, следовательно, она является линейной и непрерывной.
4. Интервал: E (y) = [-6;6].

Метод позволяет найти решение без использования дополнительных вычислений. Но при его использовании легко ошибиться.

Учет непрерывности и монотонности

Одним из простых способов решения, который специалисты рекомендуют новичкам, является метод учета непрерывности и монотонности. Для этого существует специальный алгоритм:

1. Упростить выражение.
2. Выполнить замену при необходимости.
3. Найти вершину графика.
4. Определить промежуток.
5. Вычислить максимальное и минимальное значения.
6. Записать E (f).

Например, существует некоторая функция y = cos (2x) + 2cos (x). Необходимо найти ее E. Искать следует по алгоритму решения методом учета монотонности и непрерывности:

1. Упростить (по формуле двойного угла): y = 2 * (cos (x))^2 + 2cosx — 1.
2. Замена t = cos (x): y = 2 * t ² + 2 * t — 1 = 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5.
3. Показательная функция является параболой. Она монотонна, непрерывна и имеет вершину по оси ОУ -1,5. Промежуток, который рассматривается — [-1;1], поскольку E (cos (x)) = [-1;1].
4. Минимальное значение равно -1,5, так как ветви направлены вверх. Максимальное на промежутке [-1;1] – MAX (y) = 3. Для его нахождения нужно построить график параболы y = 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5.
5. Искомый интервал — E (cos (2x) + 2cos (x)) = [-1,5;3].

Чтобы построить график параболы, нужно найти ее вершину и точки пересечения с осью абсцисс. Последние находятся при решении уравнения 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5 = 0. Однако существует способ намного проще. Для этого следует привести выражение к виду 2 * (t + 0,5)^2 = 1,5. Отсюда t = – 0,5. Следовательно, координаты вершины — (-0,5;-1,5). Корни уравнения при его решении: t1 = -[(1 + (3)^0.5)] / 2 и t2 = -[(1 — (3)^0.5)] / 2.

Производная, min и max

Одним из простейших способов нахождения E (f) является взятие производной функции. Этот метод можно комбинировать с определением максимального и минимального значений. Математики рекомендуют простейший алгоритм:

1. Найти производную.
2. Анализ.
3. Указать MAX (f) и MIN (f).
4. Запись интервала в формате (MIN (f);MAX (f)).

Практическое применение алгоритма — решение задачи этим методом. Например, нужно найти E (arcsin (x)). Решение выполняется по нескольким этапам:

1. Производная: y’ = [arcsin (x)]’ = 1 / [(1 — x ² )^0.5].
2. Функция возрастает на интервале (-1;1).
3. Минимум и максимум на отрезке (-1;1): MIN (arcsin (-1)) = -Pi/2 MAX (arcsin (1)) = Pi/2.
4. Интервал: E (arcsin (x)) = [-Pi/2;Pi/2].

В некоторых случаях рекомендуется вычислять пределы, поскольку часть задач решается только с их применением. Существует определенный тип задач, в которых нужно доказать, что отрезок является E (f) конкретной функции. Например, следует выяснить принадлежность [-1;1] функции sin (x). Для этого необходимо воспользоваться вышеописанным алгоритмом:

1. Производная: y’ = [sin (x)]’ = cos (x).
2. Период функции равен 2Pi. Следует взять отрезок [0;2Pi]. Для нахождения множества значений на нем нужно приравнять производную функции к 0, т. е. cos (x) = 0. Найти х = Pi/2 + Pi * к, где «к» принадлежит Z. Точки экстремума равны Pi/2 и 3Pi/2.
3. Минимум и максимум на отрезке [0;2Pi): MIN ([sin (3Pi/2)]) = -1 и MAX ([sin (3Pi/2)]) = 1.
4. E (sin (x)) = [-1;1].

Отрезок [-1;1] является E (sin (x)). Оптимальный метод — нахождение производной и определение E (f). В этом примере необходимо знать и проверить периодичность.

Таким образом, существует несколько способов нахождения E (f), но всегда необходимо выбирать метод, приводящий к минимуму вычислений. Нет смысла усложнять решение, поскольку большинство алгоритмов направлены на оптимизацию вычислений.

Была ли эта статья полезной?