Как найти диэлектрическую проницаемость используемого диэлектрика

Для школьников.

В статье говорится о том, как можно найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика и о его роли в увеличении ёмкости конденсатора.

Задача.

Теория вопроса.

При внесении диэлектрика в электрическое поле конденсатора, в диэлектрике происходят изменения.

Представим, что в поле внесли пластину из хлористого натрия

Можно сказать, что его кристаллическая решётка состоит из двух подрешёток, образованных положительными ионами натрия и отрицательными ионами хлора.

Под действием электрического поля положительные ионы смещаются по полю, а отрицательные – против поля.

На гранях диэлектрика образуются связанные поляризационные заряды, которые образуют своё электрическое поле, направленное навстречу поля конденсатора.

Результирующее поле в диэлектрике

направлено в ту же сторону, что и поле конденсатора, но слабее его.

Роль диэлектрика и сводится к тому, чтобы ослабить электрическое поле внутри себя, повысив этим ёмкость конденсатора.

Подробнее см. Занятие 51 ” Почему диэлектрики ослабляют внутри себя электрическое поле? Поляризация диэлектриков.”

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.

Предыдущая запись: Как повлияет введение металлической пластины в поле конденсатора на напряжение между его обкладками.

Следующая запись: Какой заряд пройдёт по проводам, соединяющим обкладки заряженного конденсатора, при удалении диэлектрика?

Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1.

Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45.

In electromagnetism, the absolute permittivity, often simply called permittivity and denoted by the Greek letter ε (epsilon), is a measure of the electric polarizability of a dielectric. A material with high permittivity polarizes more in response to an applied electric field than a material with low permittivity, thereby storing more energy in the material. In electrostatics, the permittivity plays an important role in determining the capacitance of a capacitor.

In the simplest case, the electric displacement field D resulting from an applied electric field E is

More generally, the permittivity is a thermodynamic function of state.^[1] It can depend on the frequency, magnitude, and direction of the applied field. The SI unit for permittivity is farad per meter (F/m).

The permittivity is often represented by the relative permittivity ε_r which is the ratio of the absolute permittivity ε and the vacuum permittivity ε₀

.

This dimensionless quantity is also often and ambiguously referred to as the permittivity. Another common term encountered for both absolute and relative permittivity is the dielectric constant which has been deprecated in physics and engineering^[2] as well as in chemistry.^[3]

By definition, a perfect vacuum has a relative permittivity of exactly 1 whereas at standard temperature and pressure, air has a relative permittivity of κ_air ≈ 1.0006.

Relative permittivity is directly related to electric susceptibility (χ) by

otherwise written as

The term “permittivity” was introduced in the 1880s by Oliver Heaviside to complement Thomson’s (1872) “permeability”.^[4] Formerly written as p, the designation with ε has been in common use since the 1950s.

Units[edit]

The standard SI unit for permittivity is farad per meter (F/m or F·m⁻¹).^[5]

Explanation[edit]

In electromagnetism, the electric displacement field D represents the distribution of electric charges in a given medium resulting from the presence of an electric field E. This distribution includes charge migration and electric dipole reorientation. Its relation to permittivity in the very simple case of linear, homogeneous, isotropic materials with “instantaneous” response to changes in electric field is:

where the permittivity ε is a scalar. If the medium is anisotropic, the permittivity is a second rank tensor.

In general, permittivity is not a constant, as it can vary with the position in the medium, the frequency of the field applied, humidity, temperature, and other parameters. In a nonlinear medium, the permittivity can depend on the strength of the electric field. Permittivity as a function of frequency can take on real or complex values.

In SI units, permittivity is measured in farads per meter (F/m or A²·s⁴·kg⁻¹·m⁻³). The displacement field D is measured in units of coulombs per square meter (C/m²), while the electric field E is measured in volts per meter (V/m). D and E describe the interaction between charged objects. D is related to the charge densities associated with this interaction, while E is related to the forces and potential differences.

Vacuum permittivity[edit]

The vacuum permittivity ε₀ (also called permittivity of free space or the electric constant) is the ratio D/E in free space. It also appears in the Coulomb force constant,

Its value is^[6][7]

where

• c₀ is the speed of light in free space,^[a]
• µ₀ is the vacuum permeability.

The constants c₀ and μ₀ were both defined in SI units to have exact numerical values until the 2019 redefinition of the SI base units. Therefore, until that date, ε₀ could be also stated exactly as a fraction,
even if the result was irrational (because the fraction contained π).^[9] In contrast, the ampere was a measured quantity before 2019, but since then the ampere is now exactly defined and it is μ₀ that is an experimentally measured quantity (with consequent uncertainty) and therefore so is the new 2019 definition of ε₀ (c₀ remains exactly defined before and since 2019).

Relative permittivity[edit]

The linear permittivity of a homogeneous material is usually given relative to that of free space, as a relative permittivity ε_r (also called dielectric constant, although this term is deprecated and sometimes only refers to the static, zero-frequency relative permittivity). In an anisotropic material, the relative permittivity may be a tensor, causing birefringence. The actual permittivity is then calculated by multiplying the relative permittivity by ε₀:

where χ (frequently written χ_e) is the electric susceptibility of the material.

The susceptibility is defined as the constant of proportionality (which may be a tensor) relating an electric field E to the induced dielectric polarization density P such that

where ε₀ is the electric permittivity of free space.

The susceptibility of a medium is related to its relative permittivity ε_r by

So in the case of a vacuum,

The susceptibility is also related to the polarizability of individual particles in the medium by the Clausius-Mossotti relation.

The electric displacement D is related to the polarization density P by

The permittivity ε and permeability µ of a medium together determine the phase velocity v = c/n of electromagnetic radiation through that medium:

Practical applications[edit]

Determining capacitance[edit]

The capacitance of a capacitor is based on its design and architecture, meaning it will not change with charging and discharging. The formula for capacitance in a parallel plate capacitor is written as

where is the area of one plate, is the distance between the plates, and is the permittivity of the medium between the two plates. For a capacitor with relative permittivity , it can be said that

Gauss’s law[edit]

Permittivity is connected to electric flux (and by extension electric field) through Gauss’s law. Gauss’s law states that for a closed Gaussian surface, S,

where is the net electric flux passing through the surface, is the charge enclosed in the Gaussian surface, is the electric field vector at a given point on the surface, and is a differential area vector on the Gaussian surface.

If the Gaussian surface uniformly encloses an insulated, symmetrical charge arrangement, the formula can be simplified to

where represents the angle between the electric field lines and the normal (perpendicular) to S.

If all of the electric field lines cross the surface at 90°, the formula can be further simplified to

Because the surface area of a sphere is , the electric field a distance away from a uniform, spherical charge arrangement is

This formula applies to the electric field due to a point charge, outside of a conducting sphere or shell, outside of a uniformly charged insulating sphere, or between the plates of a spherical capacitor.

Dispersion and causality[edit]

In general, a material cannot polarize instantaneously in response to an applied field, and so the more general formulation as a function of time is

That is, the polarization is a convolution of the electric field at previous times with time-dependent susceptibility given by χ(Δt). The upper limit of this integral can be extended to infinity as well if one defines χ(Δt) = 0 for Δt < 0. An instantaneous response would correspond to a Dirac delta function susceptibility χ(Δt) = χδ(Δt).

It is convenient to take the Fourier transform with respect to time and write this relationship as a function of frequency. Because of the convolution theorem, the integral becomes a simple product,

This frequency dependence of the susceptibility leads to frequency dependence of the permittivity. The shape of the susceptibility with respect to frequency characterizes the dispersion properties of the material.

Moreover, the fact that the polarization can only depend on the electric field at previous times (i.e. effectively χ(Δt) = 0 for Δt < 0), a consequence of causality, imposes Kramers–Kronig constraints on the susceptibility χ(0).

Complex permittivity[edit]

As opposed to the response of a vacuum, the response of normal materials to external fields generally depends on the frequency of the field. This frequency dependence reflects the fact that a material’s polarization does not change instantaneously when an electric field is applied. The response must always be causal (arising after the applied field), which can be represented by a phase difference. For this reason, permittivity is often treated as a complex function of the (angular) frequency ω of the applied field:

(since complex numbers allow specification of magnitude and phase). The definition of permittivity therefore becomes

where

• D₀ and E₀ are the amplitudes of the displacement and electric fields, respectively,
• i is the imaginary unit, i² = −1.

The response of a medium to static electric fields is described by the low-frequency limit of permittivity, also called the static permittivity ε_s (also ε_DC):

At the high-frequency limit (meaning optical frequencies), the complex permittivity is commonly referred to as ε_∞ (or sometimes ε_opt^[11]). At the plasma frequency and below, dielectrics behave as ideal metals, with electron gas behavior. The static permittivity is a good approximation for alternating fields of low frequencies, and as the frequency increases a measurable phase difference δ emerges between D and E. The frequency at which the phase shift becomes noticeable depends on temperature and the details of the medium. For moderate field strength (E₀), D and E remain proportional, and

Since the response of materials to alternating fields is characterized by a complex permittivity, it is natural to separate its real and imaginary parts, which is done by convention in the following way:

where

• ε′ is the real part of the permittivity;
• ε″ is the imaginary part of the permittivity;
• δ is the loss angle.

The choice of sign for time-dependence, e^−iωt, dictates the sign convention for the imaginary part of permittivity. The signs used here correspond to those commonly used in physics, whereas for the engineering convention one should reverse all imaginary quantities.

The complex permittivity is usually a complicated function of frequency ω, since it is a superimposed description of dispersion phenomena occurring at multiple frequencies. The dielectric function ε(ω) must have poles only for frequencies with positive imaginary parts, and therefore satisfies the Kramers–Kronig relations. However, in the narrow frequency ranges that are often studied in practice, the permittivity can be approximated as frequency-independent or by model functions.

At a given frequency, the imaginary part, ε″, leads to absorption loss if it is positive (in the above sign convention) and gain if it is negative. More generally, the imaginary parts of the eigenvalues of the anisotropic dielectric tensor should be considered.

In the case of solids, the complex dielectric function is intimately connected to band structure. The primary quantity that characterizes the electronic structure of any crystalline material is the probability of photon absorption, which is directly related to the imaginary part of the optical dielectric function ε(ω). The optical dielectric function is given by the fundamental expression:^[12]

In this expression, W_c,v(E) represents the product of the Brillouin zone-averaged transition probability at the energy E with the joint density of states,^[13][14] J_c,v(E); φ is a broadening function, representing the role of scattering in smearing out the energy levels.^[15] In general, the broadening is intermediate between Lorentzian and Gaussian;^[16][17] for an alloy it is somewhat closer to Gaussian because of strong scattering from statistical fluctuations in the local composition on a nanometer scale.

Tensorial permittivity[edit]

According to the Drude model of magnetized plasma, a more general expression which takes into account the interaction of the carriers with an alternating electric field at millimeter and microwave frequencies in an axially magnetized semiconductor requires the expression of the permittivity as a non-diagonal tensor.^[18] (see also Electro-gyration).

If ε₂ vanishes, then the tensor is diagonal but not proportional to the identity and the medium is said to be a uniaxial medium, which has similar properties to a uniaxial crystal.

Classification of materials[edit]

Classification of materials based on permittivity

εr″/εr′	Current conduction	Field propagation
0		perfect dielectric lossless medium
≪ 1	low-conductivity material poor conductor	low-loss medium good dielectric
≈ 1	lossy conducting material	lossy propagation medium
≫ 1	high-conductivity material good conductor	high-loss medium poor dielectric
∞	perfect conductor

Materials can be classified according to their complex-valued permittivity ε, upon comparison of its real ε′ and imaginary ε″ components (or, equivalently, conductivity, σ, when accounted for in the latter). A perfect conductor has infinite conductivity, σ = ∞, while a perfect dielectric is a material that has no conductivity at all, σ = 0; this latter case, of real-valued permittivity (or complex-valued permittivity with zero imaginary component) is also associated with the name lossless media.^[19] Generally, when σ/ωε′ ≪ 1 we consider the material to be a low-loss dielectric (although not exactly lossless), whereas σ/ωε′ ≫ 1 is associated with a good conductor; such materials with non-negligible conductivity yield a large amount of loss that inhibit the propagation of electromagnetic waves, thus are also said to be lossy media. Those materials that do not fall under either limit are considered to be general media.

Lossy medium[edit]

In the case of a lossy medium, i.e. when the conduction current is not negligible, the total current density flowing is:

where

Note that this is using the electrical engineering convention of the Complex conjugate ambiguity; the physics/chemistry convention involves the complex conjugate of these equations.

The size of the displacement current is dependent on the frequency ω of the applied field E; there is no displacement current in a constant field.

In this formalism, the complex permittivity is defined as:^[20][21]

In general, the absorption of electromagnetic energy by dielectrics is covered by a few different mechanisms that influence the shape of the permittivity as a function of frequency:

• First are the relaxation effects associated with permanent and induced molecular dipoles. At low frequencies the field changes slowly enough to allow dipoles to reach equilibrium before the field has measurably changed. For frequencies at which dipole orientations cannot follow the applied field because of the viscosity of the medium, absorption of the field’s energy leads to energy dissipation. The mechanism of dipoles relaxing is called dielectric relaxation and for ideal dipoles is described by classic Debye relaxation.
• Second are the resonance effects, which arise from the rotations or vibrations of atoms, ions, or electrons. These processes are observed in the neighborhood of their characteristic absorption frequencies.

The above effects often combine to cause non-linear effects within capacitors. For example, dielectric absorption refers to the inability of a capacitor that has been charged for a long time to completely discharge when briefly discharged. Although an ideal capacitor would remain at zero volts after being discharged, real capacitors will develop a small voltage, a phenomenon that is also called soakage or battery action. For some dielectrics, such as many polymer films, the resulting voltage may be less than 1–2% of the original voltage. However, it can be as much as 15–25% in the case of electrolytic capacitors or supercapacitors.

Quantum-mechanical interpretation[edit]

In terms of quantum mechanics, permittivity is explained by atomic and molecular interactions.

At low frequencies, molecules in polar dielectrics are polarized by an applied electric field, which induces periodic rotations. For example, at the microwave frequency, the microwave field causes the periodic rotation of water molecules, sufficient to break hydrogen bonds. The field does work against the bonds and the energy is absorbed by the material as heat. This is why microwave ovens work very well for materials containing water. There are two maxima of the imaginary component (the absorptive index) of water, one at the microwave frequency, and the other at far ultraviolet (UV) frequency. Both of these resonances are at higher frequencies than the operating frequency of microwave ovens.

At moderate frequencies, the energy is too high to cause rotation, yet too low to affect electrons directly, and is absorbed in the form of resonant molecular vibrations. In water, this is where the absorptive index starts to drop sharply, and the minimum of the imaginary permittivity is at the frequency of blue light (optical regime).

At high frequencies (such as UV and above), molecules cannot relax, and the energy is purely absorbed by atoms, exciting electron energy levels. Thus, these frequencies are classified as ionizing radiation.

While carrying out a complete ab initio (that is, first-principles) modelling is now computationally possible, it has not been widely applied yet. Thus, a phenomenological model is accepted as being an adequate method of capturing experimental behaviors. The Debye model and the Lorentz model use a first-order and second-order (respectively) lumped system parameter linear representation (such as an RC and an LRC resonant circuit).

Measurement[edit]

The relative permittivity of a material can be found by a variety of static electrical measurements. The complex permittivity is evaluated over a wide range of frequencies by using different variants of dielectric spectroscopy, covering nearly 21 orders of magnitude from 10⁻⁶ to 10¹⁵ hertz. Also, by using cryostats and ovens, the dielectric properties of a medium can be characterized over an array of temperatures. In order to study systems for such diverse excitation fields, a number of measurement setups are used, each adequate for a special frequency range.

Various microwave measurement techniques are outlined in Chen et al..^[22] Typical errors for the Hakki-Coleman method employing a puck of material between conducting planes are about 0.3%.^[23]

• Low-frequency time domain measurements (10⁻⁶ to 10³ Hz)
• Low-frequency frequency domain measurements (10⁻⁵ to 10⁶ Hz)
• Reflective coaxial methods (10⁶ to 10¹⁰ Hz)
• Transmission coaxial method (10⁸ to 10¹¹ Hz)
• Quasi-optical methods (10⁹ to 10¹⁰ Hz)
• Terahertz time-domain spectroscopy (10¹¹ to 10¹³ Hz)
• Fourier-transform methods (10¹¹ to 10¹⁵ Hz)

At infrared and optical frequencies, a common technique is ellipsometry. Dual polarisation interferometry is also used to measure the complex refractive index for very thin films at optical frequencies.

For the 3D measurement of dielectric tensors at optical frequency, Dielectric tensor tomography [1] can be used.

See also[edit]

• Acoustic attenuation
• Density functional theory
• Electric-field screening
• Green–Kubo relations
• Green’s function (many-body theory)
• Linear response function
• Rotational Brownian motion
• Electromagnetic permeability

Notes[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

• C. J. F. Bottcher, O. C. von Belle & Paul Bordewijk (1973) Theory of Electric Polarization: Dielectric Polarization, volume 1, (1978) volume 2, Elsevier ISBN 0-444-41579-3.
• Arthur R. von Hippel (1954) Dielectrics and Waves ISBN 0-89006-803-8
• Arthur von Hippel editor (1966) Dielectric Materials and Applications: papers by 22 contributors ISBN 0-89006-805-4.

External links[edit]

• Electromagnetism, a chapter from an online textbook

Диэлектри́ческая проница́емость ( и ) — коэффициент, входящий в математическую запись закона Кулона для силы взаимодействия точечных зарядов и , находящихся в однородной изолирующей (диэлектрической) среде на расстоянии друг от друга:

а также в уравнение связи вектора электрической индукции с напряжённостью электрического поля:

в рассматриваемой среде^[1].

Вводятся абсолютная () и относительная (r, от лат. relativus [-a, -um] — относительный) проницаемости:

где  — электрическая постоянная^[2].

Cам термин «диэлектрическая проницаемость» применяется и для , и для ; ради краткости, одну из этих величин (в российской литературе чаще , в англоязычной ) переобозначают как (из контекста обычно ясно, о какой проницаемости идёт речь).

Величина безразмерна, а по размерности совпадает с (в Международной системе единиц (СИ): фарад на метр, Ф/м).

Проницаемость показывает, во сколько раз сила взаимодействия двух электрических зарядов в конкретной среде меньше, чем в вакууме, для которого .

Отличие проницаемости от единицы обусловлено эффектом поляризации диэлектрика под действием внешнего электрического поля, в результате которой создаётся внутреннее противоположно направленное поле. В области низких частот значение проницаемости реальных сред , обычно оно лежит в диапазоне 1—100, но для сегнетоэлектриков составляет десятки и сотни тысяч. Как функция частоты электрического поля величина слегка возрастает на участках вне полос или линий поглощения электромагнитного излучения данным материалом, однако вблизи линий или полос резко спадает, из-за чего высокочастотная диэлектрическая проницаемость ниже статической. Имеет место связь проницаемости и показателя преломления вещества: для немагнитной непоглощающей среды

Относительная диэлектрическая проницаемость является одним из «электромагнитных параметров» среды, влияющих на распределение компонент вектора напряжённости электромагнитного поля в пространстве и описывающих среду в материальных уравнениях электродинамики (уравнениях Максвелла).

Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума[править | править код]

Электрическая постоянная, она же «абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума», в системе единиц СИ равна:

Ф/м

(имеет размерность L⁻³ M⁻¹ T⁴ I²).

В системе СГС эта же постоянная составляет однако часто в СГС вообще не используют , надлежащим образом видоизменяя формулы. Например, закон Кулона:

Электрическая постоянная связана с магнитной постоянной и скоростью света в вакууме:

Ниже все формулы приводятся для СИ, а символ используется как замена ().

Эффект поляризации диэлектрика и проницаемость[править | править код]

Под воздействием электрического поля в диэлектрике происходит поляризация — явление, связанное с ограниченным смещением зарядов относительно положения равновесия без наложенного электрического поля или поворотом электрических диполей.

Это явление характеризует вектор электрической поляризации равный дипольному моменту единицы объёма диэлектрика. В отсутствие внешнего поля диполи ориентированы хаотично (см. на рисунке сверху), за исключением особых случаев спонтанной поляризации в сегнетоэлектриках. При наличии поля диполи в большей или меньшей степени поворачиваются (на рисунке снизу), в зависимости от восприимчивости конкретного материала, а восприимчивость, в свою очередь, определяет проницаемость .

Помимо дипольно-ориентационного, имеются и другие механизмы поляризации. Поляризация не изменяет суммарного заряда в любом макроскопическом объёме, однако она сопровождается появлением связанных электрических зарядов на поверхности диэлектрика и в местах неоднородностей материала. Эти связанные заряды создают в диэлектрике дополнительное макроскопическое поле, как правило, направленное против внешнего наложенного поля. В итоге то, что является следствием электрической поляризации материалов.

Роль диэлектрической проницаемости среды в физике[править | править код]

Относительная диэлектрическая проницаемость среды, наряду с её относительной магнитной проницаемостью и удельной электропроводностью влияет на распределение напряжённости электромагнитного поля в пространстве и используется при описании среды в системе уравнений Максвелла.

Среду со значениями и называют идеальным диэлектриком (диэлектриком без поглощения, диэлектриком без потерь), для неё определяет такие вторичные параметры, как коэффициент преломления среды, скорость распространения, фазовую скорость и коэффициент укорочения длины электромагнитной волны в среде, волновое сопротивление среды.

Относительная диэлектрическая проницаемость реальных диэлектриков (диэлектриков с потерями, диэлектриков с поглощением, для которых ) также влияет на значение тангенса угла диэлектрических потерь и коэффициент поглощения электромагнитной волны в среде.

Относительная диэлектрическая проницаемость среды влияет на электрическую ёмкость расположенных в ней проводников: увеличение приводит к увеличению ёмкости. При изменении в пространстве (то есть, если зависит от координат) говорят о неоднородной среде, зависимость от частоты электромагнитных колебаний — одна из возможных причин дисперсии электромагнитных волн, зависимость от напряженности электрического поля — одна из возможных причин нелинейности среды. Если среда является анизотропной, то в материальном уравнении будет не скаляром, а тензором. При использовании метода комплексных амплитуд в решении системы уравнений Максвелла и наличии потерь в среде () оперируют комплексной диэлектрической проницаемостью.

Таким образом, является одним из важнейших «электромагнитных параметров» соответствующей среды.

Диэлектрическая проницаемость непоглощающей среды[править | править код]

Проницаемость и связанные с ней величины[править | править код]

Применительно к диэлектрической среде без потерь справедливы соотношения:

В большинстве случаев и, соответственно,  — это просто безразмерные константы конкретного материала. В вакууме равно нулю.

Особая ситуация возникает для нелинейных сред, когда зависит от величины поля ; такое возможно в сравнительно сильных полях. В сегнетоэлектриках возможно появление спонтанной поляризации, а именно сохранение поляризации после снятия ранее наложенного внешнего поля.

Распределение электрического поля в пространстве с различными диэлектриками находится из численного решения уравнения Максвелла:

или уравнения Пуассона для электрического потенциала

где обозначает плотность свободных зарядов.

На незаряженной границе двух диэлектрических сред отношение нормальных компонент напряжённости поля с обеих сторон равно обратному отношению значений проницаемости сред.

В случае однородного диэлектрика его наличие приводит к снижению электрического поля в раз, по сравнению со случаем вакуума при том же распределении свободных зарядов. Помимо закона Кулона, практически важным примером является конденсатор любой геометрии, заряд (но не разность потенциалов) обкладок которого фиксирован.

Проницаемость в оптическом диапазоне частот[править | править код]

Диэлектрическая проницаемость, совместно с магнитной, определяют фазовую скорость распространения электромагнитной волны в рассматриваемой среде, а именно:

Показатель преломления диэлектрика без потерь можно выразить как квадратный корень из произведения его магнитной и диэлектрической проницаемостей:

Для немагнитных сред Значения для существенного в конкретном контексте оптического диапазона могут очень сильно отличаться от статических значений: как правило, намного ниже, чем для статического поля.

Однако, если рассматривать оптический диапазон частот сам по себе, то в нём с ростом величина (а значит, и ) чаще всего возрастает. Такое поведение показателя преломления («синий свет преломляется сильнее красного») является случаем так называемой нормальной дисперсии. Противоположную ситуацию аномальную дисперсию можно наблюдать вблизи полос поглощения, но такой случай не может рассматриваться как случай без диссипативных потерь.

Тензор проницаемости анизотропных сред[править | править код]

Диэлектрическая проницаемость связывает электрическую индукцию и напряжённость электрического поля

В электрически анизотропных средах компонента вектора напряжённости может не только влиять на ту же самую компоненту вектора электрической индукции но и порождать другие его компоненты

В общем случае проницаемость является тензором, определяемым из следующего соотношения (в записи использовано соглашение Эйнштейна):

или, иначе:

где жирный шрифт использован для векторных и тензорных величин, а

 — вектор напряжённости электрического поля,

 — вектор электрической индукции,

 — тензор абсолютной диэлектрической проницаемости.

В изотропном случае любая компонента вектора напряженности влияет только на при этом где  символ Кронекера, поэтому уравнения Максвелла могут быть записаны с использованием скалярной диэлектрической проницаемости ( просто коэффициент в уравнении).

Статическая проницаемость некоторых диэлектриков[править | править код]

Значение вакуума равно единице, для реальных сред в статическом поле Для воздуха и большинства других газов в нормальных условиях значение близко к единице в силу их низкой плотности. В статическом электрическом поле для большинства твёрдых или жидких диэлектриков значение лежит в интервале от 2 до 8, для жидкой воды значение достаточно высокое, 88 при А у твердого льда больше и составляет 97 при Это объясняется тем, что переход атома Н от одного атома кислорода к другому атому вызывает перестройку ковалентных и водородных связей у обоих этих атомов кислорода и в их в окрестности. В результате вся структура ковалентных и водородных связей во льду сильно флуктуирует, и это приводит к аномально высокой поляризуемости льда, превосходя диэлектрическую проницаемость жидкой воды^[3].

Значение велико для веществ с молекулами, обладающими большим электрическим дипольным моментом. Значение сегнетоэлектриков составляет десятки и сотни тысяч.

Статическая диэлектрическая проницаемость материалов (таблица)
Вещество	Химическая формула	Условия измерения	Характерное значение εr
Вакуум	–	–	1
Воздух	–	Нормальные условия, 0,9 МГц	1,00058986 ± 0,00000050
Углекислый газ		Нормальные условия	1,0009
Тефлон (политетрафторэтилен, фторопласт)		–	2,1
Нейлон	–	–	3,2
Полиэтилен		–	2,25
Полистирол		–	2,4-2,7
Каучук	–	–	2,4
Битум	–	–	2,5-3,0
Сероуглерод		–	2,6
Парафин		–	2,0-3,0
Бумага	–	–	2,0-3,5
Электроактивные полимеры	−	−	2-12
Эбонит		−	2,5-3,0
Плексиглас (оргстекло)	–	–	3,5
Кварц		–	3,5-4,5
Диоксид кремния		−	3,9
Бакелит	–	–	4,5
Бетон	−	−	4,5
Фарфор	−	−	4,5-4,7
Стекло	−	−	4,7 (3,7-10)
Стеклотекстолит FR-4	–	–	4,5-5,2
Гетинакс	–	–	5-6
Слюда	–	–	7,5
Резина	−	−	7
Поликор	98 %	–	9,7
Алмаз		Нормальные условия	5,5-10
Поваренная соль		−	3-15
Графит		−	10-15
Керамика	−	−	10-20
Кремний		−	11.68
Бор		−	2.01
Аммиак		20 °C	17
		0 °C	20
		−40 °C	22
		−80 °C	26
Спирт этиловый	или	−	27
Метанол		−	30
Этиленгликоль		−	37
Фурфурол		−	42
Глицерин	или	0 °C	41,2
		20 °C	47
		25 °C	42,5
Вода		200 °C	34,5
		100 °C	55,3
		20 °C	81
		0 °C	88
Плавиковая кислота		0 °C	83,6
Формамид		20 °C	84
Серная кислота		20-25 °C	84-100
Пероксид водорода		−30 °C — +25 °C	128
Синильная кислота		(0-21 °C)	158
Диоксид титана		–	86-173
Титанат кальция		–	170
Титанат стронция		–	310
Титанат бария-стронция	,	–	500
Титанат бария		(20-120 °C)	1250-10000
Цирконат-титанат свинца	, )		500-6000
Сополимеры	–	–	до 100000
Сульфид кадмия			9,3

Большой диэлектрической проницаемостью обладают некоторые сложные вещества: CCTO-керамика и LSNO-керамика ( около 10² и 10⁶ соответственно)^[4].

Кроме того, исследуются и метаматериалы. Например диэлектрическая проницаемость порядка 10⁷—10⁸ была обнаружена у металлических наноостровковых структур на диэлектрических подложках^[5][6].

В электронике диэлектрическая проницаемость изоляционных материалов является одним из основных параметров для электрических конденсаторов. Применение материала с высокой диэлектрической проницаемостью позволяет существенно сократить габаритные размеры конденсатора. Например, ёмкость плоского конденсатора:

где  — относительная диэлектрическая проницаемость материала между обкладками,

 — площадь обкладок конденсатора,

 — расстояние между обкладками.

Таким образом, требуемая площадь обкладок обратно пропорциональна Значение диэлектрической проницаемости материала основания учитывается при разработке печатных плат, поскольку оно влияет на значение статической ёмкости проводящего рисунка слоёв питания и волновое сопротивление проводников (линий передачи сигналов) на плате.

Помимо обозначения ранее для относительной диэлектрической проницаемости иногда применялось обозначение которое при отсутствии греческих шрифтов заменяли на . Это обозначение ныне почти не используется и сохранилось лишь применительно к диэлектрикам в полевых транзисторах с изолированным затвором.

Традиционно в таких приборах используется диоксид кремния (SiO₂). Однако в целях миниатюризации транзисторов на определённом этапе потребовался переход к материалам с более высокой, чем у SiO₂ (3,9), проницаемостью. Это позволяет получить нужную ёмкость при более толстом^[7] слое материала, что полезно, так как для тонких слоёв актуальны проблемы надёжности и туннельных утечек. Примерами применяемых подзатворных «high-k» диэлектриков являются ZrO₂, HfO₂ (у двух названных материалов ), TiO₂ () и ряд других. Микросхемы на базе транзисторов с такими материалами начали серийно выпускаться в 2000-е годы^[8]. Поиск новых подзатворных материалов продолжается.

Проницаемость диэлектрической среды с потерями[править | править код]

Комплексная диэлектрическая проницаемость[править | править код]

При описании колебаний электрического поля методом комплексных амплитуд в случае диэлектрической среды с конечной проводимостью уравнения Максвелла можно записывать по аналогии со случаем идеального диэлектрика, если ввести мнимую компоненту проницаемости.

Пусть напряженность электрического поля изменяется во времени по гармоническому закону (далее  — мнимая единица):

Тогда , а уравнение Максвелла для магнитного поля применительно к проводящей среде выглядит:

Чтобы привести это уравнение к виду, формально совпадающему с видом уравнения для непроводящей среды, величина, стоящая в скобках, интерпретируется как комплексная диэлектрическая проницаемость Значок сверху (опускаемый, если это не влечёт двусмысленности) подчеркивает, что речь идёт о комплексной величине. При наличии анизотропии становится тензорной величиной. Иногда в методе комплексных амплитуд используют зависимость вида  — тогда знак перед должен быть заменён везде.

Даже в случаях, когда в постоянном электрическом поле среда обладает очень малой проводимостью, на высоких частотах могут проявиться существенные потери, которые при таком подходе приписываются некоторой «эффективной» диэлектрической проницаемости:

Наличие мнимой части связано с конечной проводимостью которая и обусловливает поглощение. Если частота изменения поля составляет , то .

Без метода комплексных амплитуд подставлять комплексную в уравнения Максвелла нельзя (следует оперировать непосредственно и ). Однако если известны и то можно воспользоваться ими для анализа свойств среды, вычисления ряда других параметров включая показатель поглощения, а также получить готовыми и для соответствующей частоты.

Характеристика диэлектрических потерь[править | править код]

Плотность мощности (Ватт/м³) тепловыделения за счёт диэлектрических потерь составляет:

Подобный механизм разогрева широко используется в микроволновых печах. Для характеристики диэлектрика с поглощением также используется величина «тангенса угла потерь» — отношение мнимой и вещественной частей комплексной диэлектрической проницаемости:

При протекании переменного тока через конденсатор векторы напряжения и тока сдвинуты на угол , где δ — угол диэлектрических потерь.

При отсутствии потерь δ = 0. Тангенс угла потерь определяется отношением активной мощности к реактивной при синусоидальном напряжении заданной частоты. Величина, обратная tg δ, называется добротностью конденсатора.

При наличии поглощения взаимосвязь между компонентами комплексной проницаемости и оптическими величинами (показателями преломления и поглощения) устанавливается с использованием соотношений Крамерса — Кронига и имеет вид:

откуда для немагнитных сред следует:

Типичная частотная зависимость проницаемости[править | править код]

Параметры и обычно сильно зависят от частоты колебаний напряженности электрического поля. Например, ясно, что в дипольной модели поляризации процесс ориентации диполей может не успевать следовать за изменениями приложенного поля, что может проявиться как возрастанием, так и снижением проницаемости по сравнению с её статическим значением.

Наиболее типичное поведение и как функций частоты представлено на рисунке. Далеко от линий и полос поглощения («собственных частот») материала значения малы, а не изменяется или слабо растёт с частотой. В областях вблизи линий компонента имеет максимумы, а резко спадает. При этом не исключена ситуация, при которой в каком-то диапазоне окажется отрицательным или положительным, но меньше единицы. Практически является редким случаем, а ситуация на предельно высоких (рентгеновских) частотах характерна для всех материалов: в этой области с ростом подходит к единице снизу.

Таблицы неспециализированных справочников обычно содержат данные для статического поля или малых частот вплоть до нескольких единиц кГц (иногда даже без указания данного факта). В то же время значения в оптическом диапазоне (частота 10¹⁴ Гц) намного отличаются в меньшую сторону от данных, представленных в подобных таблицах. Например для воды в случае статического поля относительная диэлектрическая проницаемость приблизительно равна 80. Это имеет место вплоть до инфракрасных частот. Начиная примерно с 2 ГГц (здесь ) начинает падать. В оптическом диапазоне составляет около 1,77, соответственно показатель преломления воды равен 1,33, а не квадратному корню из восьмидесяти.

Сведения о поведении относительной диэлектрической проницаемости воды в диапазоне частот от 0 до 10¹² (инфракрасная область) можно найти на сайте (англ.).

Измерение диэлектрической проницаемости[править | править код]

Относительная диэлектрическая проницаемость вещества может быть определена путём сравнения ёмкости тестового конденсатора с данным диэлектриком () и ёмкости того же конденсатора в вакууме ():

Cуществуют и оптические методы получения относительной диэлектрической проницаемости по коэффициенту преломления при помощи эллипсометров и рефрактометров.

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1965.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.. — Т. III. Электричество.
• Малышкина И. А. Основы метода диэлектрической спектроскопии (учебное пособие) // Изд-во физического ф-та МГУ, М.: 2012 — 81 стр.
• Курс физики для ФМШ при НГУ, раздел «Электромагнитное поле», гл. 2: «Диэлектрики».

Заряды взаимодействуют друг с другом в различных средах с различной силой, определяемой законом Кулона. Свойства этих сред определяет величина, называемая диэлектрической проницаемостью.

Что такое диэлектрическая проницаемость

Согласно закону Кулона, два точечных неподвижных заряда q₁ и q₂ в вакууме взаимодействуют между собой с силой, заданной формулой F_кл=((1/4)*π* ε₀)*(|q₁|*|q₂|/r²), где:

• F_кл – сила Кулона, Н;
• q₁, q₂ – модули зарядов, Кл;
• r – расстояние между зарядами, м;
• ε₀ – электрическая постоянная, 8,85*10^-12 Ф/м (Фарад на метр).

Если взаимодействие происходит не в вакууме, в формулу входит ещё одна величина, определяющая влияние вещества на силу Кулона, и запись закона Кулона выглядит так:

F=((1/4)*π* ε₀* ε)*(|q₁|*|q₂|/r²).

Эта величина обозначается греческой буквой ε (эпсилон), она безразмерна (не имеет единицы измерения). Диэлектрическая проницаемость является коэффициентом ослабления взаимодействия зарядов в веществе.

Часто в физике диэлектрическая проницаемость используется совместно с электрической постоянной, в этом случае удобно ввести понятие абсолютной диэлектрической проницаемости. Она обозначается ε_a и равна ε_a= ε₀* ε. В этом случае абсолютная проницаемость имеет размерность Ф/м. Обычную проницаемость ε также называют относительной, чтобы отличить ее от ε_a.

Природа диэлектрической проницаемости

В основе природы диэлектрической проницаемости лежит явление поляризации под действием электрического поля. Большинство веществ в целом электрически нейтральны, хотя и содержат заряженные частицы. Эти частицы расположены в массе вещества хаотично и их электрические поля в среднем нейтрализуют друг друга.

В диэлектриках находятся, в основном связанные заряды (их называют диполями). Эти диполи условно представляют собой связки из двух разноименных частиц, которые по толщине диэлектрика ориентированы спонтанно и в среднем создают нулевую напряженность электрического поля. Под действием внешнего поля диполи стремятся сориентироваться согласно приложенной силе. В результате создается дополнительное электрическое поле. Сходные явления происходят и в неполярных диэлектриках.

В проводниках процессы похожие, только там имеются свободные заряды, которые под действием внешнего поля разделяются и также создают собственное электрическое поле. Это поле направлено навстречу внешнему, экранирует заряды и снижает силу их взаимодействия. Чем больше способность вещества к поляризации, тем выше ε.

Диэлектрическая проницаемость различных веществ

Разные вещества имеют различную диэлектрическую проницаемость. Значение ε для некоторых из них приведено в таблице 1. Очевидно, что эти значения больше единицы, поэтому взаимодействие зарядов, по сравнению с вакуумом, всегда уменьшается. Также надо заметить, что для воздуха ε немногим более единицы, поэтому взаимодействие зарядов в воздухе практически не отличается от взаимодействия в вакууме.

Таблица 1. Значения электрической проницаемости для различных веществ.

Диэлектрическая проницаемость и ёмкость конденсатора

Знание величины ε на практике важно, например, при создании электрических конденсаторов. Их ёмкость зависит от геометрических размеров обкладок, расстояния между ними и диэлектрической проницаемости диэлектрика.

Если надо получить конденсатор повышенной ёмкости, то увеличение площади обкладок ведет к увеличению габаритов. На уменьшение расстояния между электродами также имеются практические ограничения. В этом случае может помочь применение изолятора с увеличенной диэлектрической проницаемостью. Если применить материал с более высоким ε, можно кратно уменьшить размер обкладок или увеличить расстояние между ними без потерь электрической ёмкости.

В отдельную категорию выделяют вещества, называемые сегнетоэлектриками, у которых при определенных условиях возникает спонтанная поляризация. В рассматриваемой области для них характерны два момента:

• большие значения диэлектрической проницаемости (характерные значения — от сотен до нескольких тысяч);
• возможность управлять величиной диэлектрической проницаемости путем изменения внешнего электрического поля.

Эти свойства используются для изготовления конденсаторов большой ёмкости (за счёт увеличенных значение диэлектрической проницаемости изолятора) с небольшими массогабаритными показателями.

Такие устройства работают только в низкочастотных цепях переменного тока – при увеличении частоты их диэлектрическая проницаемость падает. Другое применение сегнетоэлектриков – конденсаторы переменной ёмкости, чьи характеристики меняются под действием приложенного электрического поля с изменяющимися параметрами.

Диэлектрическая проницаемость и потери в диэлектрике

Также от значения диэлектрической проницаемости зависят потери в диэлектрике – это та часть энергии, которая теряется в диэлектрике на его нагрев. Для описания этих потерь обычно применяется параметр tg δ – тангенс угла диэлектрических потерь. Он характеризует мощность диэлектрических потерь в конденсаторе, у которого диэлектрик изготовлен из материала с имеющимся tg δ. А удельная мощность потерь для каждого вещества определяется формулой p=E²*ώ*ε₀*ε*tg δ, где:

• p – удельная мощность потерь, Вт;
• ώ=2*π*f – круговая частота электрического поля;
• E – напряженность электрического поля, В/м.

Очевидно, что чем выше диэлектрическая проницаемость, тем выше потери в диэлектрике при прочих равных условиях.

Зависимость диэлектрической проницаемости от сторонних факторов

Следует заметить, что значение диэлектрической проницаемости зависит от частоты электрического поля (в данном случае – от частоты напряжения, приложенного к обкладкам). С ростом частоты значение ε у многих веществ падает. Этот эффект ярко выражен для полярных диэлектриков. Объяснить это явление можно тем, что заряды (диполи) перестают успевать следовать за полем. У веществ, для которых характерна ионная или электронная поляризация, зависимость диэлектрической проницаемости от частоты мала.

Поэтому так важен подбор материалов для выполнения диэлектрика конденсатора. То, что работает на низких частотах, не обязательно позволит получить качественную изоляцию на высоких. Чаще всего на ВЧ в качестве изолятора применяют неполярные диэлектрики.

Также диэлектрическая проницаемость зависит от температуры, причем у разных веществ по-разному. У неполярных диэлектриков она падает с ростом температуры. В этом случае для конденсаторов, выполненных с применением такого изолятора, говорят об отрицательном температурном коэффициенте ёмкости (ТКЕ) – ёмкость с ростом температуры падает вслед за ε. У других веществ проницаемость с ростом температуры увеличивается, и можно получить конденсаторы с положительным ТКЕ. Включив в пару конденсаторы с противоположными ТКЕ, можно получить термостабильную ёмкость.

Понимание сущности и знание значения диэлектрической проницаемости различных веществ важно для практических целей. А возможность управлять уровнем диэлектрической проницаемости даёт дополнительные технические перспективы.