Как найти дифференциал функции с двумя переменными

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Полный дифференциал функции

Как найти?

Постановка задачи

Найти полный дифференциал функции двух переменных $ z = f(x,y) $

План решения

Формула полного дифференциала функции записывается следующим образом:

$$ dz = f’_x (x,y) dx + f’_y (x,y) dy $$

1. Находим первые частные производные функции $ z = f(x,y) $
2. Подставляя полученные производные $ f’_x $ и $ f’_y $ в формулу, записываем ответ

Примеры решений

Пример 1

Найти полный дифференциал функции двух переменных $ z = 2x + 3y $

Решение

Находим частные производные первого порядка: $$ f’_x = 2 $$ $$ f’_y = 3 $$ Подставляем полученные выражения в формулу полного дифференциала и записываем ответ: $$ dz = 2dx + 3dy $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ dz = 2dx + 3dy $$

Пример 2

Найти полный дифференциал функции нескольких переменных $ u = xyz $

Решение

Так как функция состоит из трёх переменных, то в формуле полного дифференциала функции необходимо это учесть и добавить третье слагаемое $ f’_z dz $: $$ du = f’_x dx + f’_y dy + f’_z dz $$ Аналогично как и в случае функции двух переменных находим частные производные первого порядка: $$ u’_x = yz $$ $$ u’_y = xz $$ $$ u’_z = xy $$ Используя формулу записываем ответ: $$ du = yzdx + xzdy + xydz $$

Ответ

$$ du = yzdx + xzdy + xydz $$

Пример 3

Вычислить значение полного дифференциала функции $ z = x^3+y^4 $, при $ x = 1 $, $ y = 2 $, $ dx = 0.03 $ и $ dy = -0.01 $

Решение

Берем частные производные первого порядка: $$ z’_x = 3x^2 $$ $$ z’_y = 4y^3 $$ Воспользовавшись формулой составляем полный дифференциал: $$ dz = 3x^2 dx + 4y^3 dy $$ Из условия задачи известны все переменные для вычисления значения дифференциала. Подставив их и вычислим значение: $$ dz = 3cdot 1^2 cdot 0.03 + 4 cdot 2^3 cdot (-0.01) = 0.09 – 0.32 = -0.23 $$

Ответ

$$ dz = -0.23 $$

1. Основные определения

Определение
1.
Соответствие, которое каждой паре (x; y)
значений переменных x и y, принадлежащей
некоторому множеству пар D, сопоставляет
одно и только одно число zR,
называется функцией двух переменных,
определенной на множестве D со значениями
в R. При этом пишут z = f(x;y). D = D(f) – область
определения функции f.

2. Частные и полное приращения функции двух переменных

Если
в функции z = f(x; y) двух переменных x и y
зафиксировать значение
одной из них, например y = y₀,
то получим функцию z = f(x;
y₀),
зависящую от одной переменной х.

Аналогично,
если зафиксировать переменную x = x₀,
получим функцию z = f(x₀;
y) одной переменной у.

Определение
2. Величина
_xz
= f(x₀+x;
y₀)

f(x₀;
y₀)
называется частным
приращением
функции
z = f(x; y) в точке (x₀;
y₀)
по аргументу х.

Определение
3. Величина
_yz
= f(x₀;
y₀+y)

f(x₀;
y₀)
называется частным
приращением
функции
z = f(x; y) в точке (x₀;
y₀)
по аргументу y.

Определение
4. Величина
z
= f(x₀+x;
y₀+y)

f(x₀;
y₀)
называется полным
приращением
функции z =
f(x; y) в точке (x₀;
y₀).

3. Частные производные функции двух переменных

Пусть
дана функция z = f(x; y) двух независимых
переменных x и
y. Фиксируя одну из них, например, полагая
у = const, приходим к функции одной переменной
x. Тогда можно ввести понятие производной
полученной функции по x, которую обозначим
.
Согласно определению производной
функции одной переменной имеем:

Определение
5. Предел
отношения частного приращения _xz
функции z=f(x; y) по переменной x к приращению
x
переменной x при x,
стремящимся к нулю, называется частной
производной
функции по
x и обозначается
;;

Аналогично
определяется и обозначается частная
производная
функции z = f(x; y) по переменной y.

Пример
1. Найти
частные производные функций:

1. f(x;
   y) = x³ +
   x² y²
   + y³
   + 3;

2. z
   = x^y +
   y^x.

Решение

1.
Полагая y = const, и считая при этом x
независимой переменной, найдем

Аналогично
при x = const, получим
.

2.
При
y = const

;

при
x = const

Все сказанное можно
распространить на функции любого числа
переменных.

Пример
2. Найти
частные производные функции

u
= f(x; y; z) = cos(x²
+ y²
+ z²).

Решение

sin(x²
+ y²
+
z²)

2x, y = const, z = const;

sin(x²
+
y²
+
z²)

2y, x = const, z = const;

sin(x²
+ y²
+ z²)

2z, x = const, y = const.

Поскольку
частные производные от функции нескольких
переменных также являются, вообще
говоря, функциями нескольких переменных,
то для них можно также вычислять частные
производные. Эти производные называют
частными
производными высших порядков.

Например,
для функции f(x; y) двух переменных имеются
следующие типы производных второго
порядка:

вторая
частная производная по x;

и
=
смешанные частные производные

вторая
частная производная по у.

4. Полный дифференциал функции двух переменных

Определение
6. Полным
дифференциалом функции z=f(x;y) двух
переменных x и y называется главная часть
полного приращения z,
линейная относительно приращений
аргументов x
и y.

C
учетом того, что x
= dx и y
= dy полный дифференциал функции z = f(x; y)
вычисляется по формуле

dz
=
.
(3.5)

Пример
3. Вычислить
полный дифференциал функции

z
= ln (x² +
y²).

Решение.
Найдем частные производные
иданной функции

;

После
их подстановки в формулу (3.5) получим

dz
=

Найти
частные производные функций

284.
z =
x²
+ 2xy + y²
+ 5 285. z = (x + y)³

286.
z =

287. z =

288.
z = x³y

y³x
289. z = 2y

290.
z = x y ln(x + y) 291. z = ln

292.
z = ln
+ ln x·y 293. z =

294.
z = e^y/x
– e^x/y

295. z = x^y
+ sin

296.
z = sin(x²y
+ xy²)
297. z
= y^x
+ arctg

Найти
частные производные второго порядка

298.
z = x⁴
+ 4x²y³
+ 7xy + 1 299. z = x²y

300.
z = 4x³
+ 3x²y
+ 3xy²
– y³
301. z
= xy + sin(x + y)

302.
z = sin
x
cos
y
303. z =

304.
z = xe^y
305. z = x + y +

306.
z = x^2y
307. z
= ln(x + e^xy)

Проверить,
что

308.
z =
309. z = ln(x
2y)

310.
z =
311. z = x²
sin

312.
z =
313. z = arctg

Найти полный
дифференциал функций

314.
z = xy³

3x²y²
+ 2y⁴
+1 315. z
= 3x²y⁵

316.
z = sin(x²
+ y²)
317. z = x^y

318. z = e^xy

319.
z = e^x
cos
y

320. z = e^y
cos
x
321. z
= cos+sin

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

ПОИСК Страницы «Назад | Вперед » Партнеры сайта _________________________________

Примеры Дифференциал функции двух переменных Примеры нахождения производных  |  Исследование функции и построение графика с помощью производной  |  Производная от функции онлайн  |  Примеры Дифференциал функции двух переменных  |  Примеры Частные производные функции нескольких переменных  |  Примеры Экстремумы функции нескольких переменных  |  Частные производные функции нескольких переменных онлайн Найти дифференциалы первого и второго порядка функции нескольких переменных Решение Найдем частные производные первого порядка: Тогда дифференциал первого порядка равен: Найдем частные производные второго порядка: Тогда дифференциал второго порядка равен: Ответ: ,   .

меню пользователя Не зарегистрирован Вход Забыли пароль? Регистрация Новости 30.11.16  Свойства треугольников  17.03.15  Новые материалы на сайте  25.03.14  Новые разделы на сайте  29.08.13  С новым учебным годом!  05.05.13  Новые разделы на сайте

Содержание:

Функции нескольких переменных:

Многим явлениям, в том числе экономическим, присуща многофакторная зависимость. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности введения понятия функции нескольких переменных.

Определение. Пусть имеется

Например, формула задает объем цилиндра как функцию двух переменных: (радиуса основания) и (высоты).

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, — зависимой переменной, а символ означает закон соответствия. Множество называется областью определения функции. Очевидно, это подмножество -мерного пространства.

Пример:

Найти область определения функции:

Решение:

а)Область определения задается условием: или т.е. представляет собой единичный круг с центром в начале координат.

б) Имеем т.е. область определения — это плоскость за исключением координатных прямых и

Рассмотрим некоторые примеры функций нескольких переменных.

1. Функция где — постоянные числа, называется линейной. Ее можно рассматривать как сумму линейных функций от переменных

2.Функция,— постоянные числа) называется квадратической. В отличие от предыдущего примера квадратическая функция не является сепарабельной, т.е. не раскладывается в сумму функций одной переменной.

3. В § 5.6 была определена функция полезности — одно из базовых понятий экономической теории. Многомерный ее аналог — это функция выражающая полезность от п приобретенных товаров. Чаще всего встречаются следующие ее виды:

— логарифмическая функция;

Здесь

Такая функция называется функцией постоянной эластичности.

Также на случай переменных обобщается понятие производственной функции (см. § 5.6), выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов Приведем здесь наиболее часто встречающиеся виды производственных функций (—величина общественного продукта, — затраты труда, — объем производственных фондов), полагая для простоты

а) функция Кобба—Дугласа

б) функция с постоянной эластичностью замещения:

В настоящей главе мы будем вести изложение в основном для функций двух переменных при этом практически все понятия и теоремы, сформулированные для легко переносятся и на случай Однако рассмотрение случая двух переменных позволяет использовать наглядную геометрическую иллюстрацию основных понятий настоящей главы.

Функцию двух переменных будем обозначать в дальнейшем Тогда ее область определения есть подмножество координатной плоскости

Окрестностью точки называется круг, содержащий точку (см. рис. 15.1).

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.

При изучении функций нескольких переменных во многом используется уже разработанный в предыдущих главах математический аппарат. А именно: любой функции можно поставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении функцию и при фиксированном значении функцию

Следует иметь в виду, что хотя функции и имеют одно и то же «происхождение», вид их может существенно различаться. Рассмотрим, например, функцию , выражающую величину вклада через лет при ставке . Очевидно, что это функция степенная по и показательная по .

Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства аппликата которых связана с абсциссой и ординатой у функциональным соотношением .

График функции двух переменных , вообще говоря, представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Для построения графика функции полезно рассматривать функции одной переменной представляющие сечения графика плоскостями, параллельными координатным плоскостям т.е. плоскостями

Пример:

Построить график функции

Решение:

Сечения поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям представляют параболы (например, при и т.д.). В сечении поверхности координатной плоскостью получается окружность График функции представляет поверхность, называемую параболоидом (см. рис. 15.2). ►

Как видно, график функции двух переменных — значительно более сложный объект, чем график функции одной переменной. Как правило, построение поверхности оказывается довольно трудной задачей. В то же время поверхность в пространстве обладает гораздо меньшей наглядностью, чем линия на плоскости. Поэтому в случае двух переменных для изучения поведения функции желательно использовать другие, более наглядные инструменты. Важнейшим из них являются линии уровня.

Определение. Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно . Число в этом случае называется уровнем.

На рис. 15.3 изображены линии уровня, соответствующие значениям Как видно, линия уровня состоит из двух непересекающихся кривых. Линия — самопересекающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм — линий уровня температуры. В § 15.10 мы рассмотрим примеры использования линий уровня функций нескольких переменных в экономическом анализе. Построение линий уровня оказывается существенно более легкой задачей, чем построение графиков самих функций.

Пример:

Построить линии уровня функции

Решение:

Линия уровня — это кривая на плоскости задаваемая уравнением Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом (рис. 15.4).

Точка—это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции достигаемому в точке . Линии уровня — концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом ,причем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня позволяют представить график данной функции, который бы ранее построен на рис. 15.2. ►

Предел и непрерывность

Большая часть понятий математического анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных.

Определение. Число называется пределом функции (или ), если для любого даже сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число (зависящее от ), такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние меньшее, чем (т.е. при ), выполняется неравенство

Обозначается предел так:

Пример:

Найти предел

Решение:

Обозначим Условие равносильно тому, что Запишем предел в виде

Как правило, вычисление пределов функций двух переменных оказывается существенно более трудной задачей по сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в том, что на прямой существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке — а именно, справа и слева (см. § 6.2). На плоскости же таких направлений — бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать.

Пример:

Доказать, что не существует.

Решение:

Будем приближаться к точке по прямым

Если

Получили, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Но так как предел функции не должен зависеть от способа приближения точки к точке (например, по прямой ), то рассматриваемый предел не существует. ►

Определение. Функция называется непрерывной в точке если она: 1) определена в точке 2) имеет конечный предел при 3) этот предел равен значению функции в точке

Геометрический смысл непрерывности очевиден: график в точке представляет собой сплошную, нерасслаивающуюся поверхность.

Частные производные

Дадим аргументу приращение , аргументу — приращение Тогда функция получит наращенное значение Величина называется полным приращением функции в точке Если задать только приращение аргумента или только приращение аргумента , то полученные приращения функции соответственно называются частными.

Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т.е.

Пример:

Найти частные и полное приращения функции

Решение:

Получили, что

Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так: или или

Таким образом, для функции по определению

Геометрический смысл частных производных функции в точке показан на рис. 15.5.

Пусть график функции представляет некоторую поверхность Тогда при мы получаем кривую — сечение этой поверхности соответствующей плоскостью.

В этом случае производная выражает угловой коэффициент касательной к кривой , в заданной точке т.е. где угол наклона касательной к оси Аналогично

Из определения частных производных (15.1), (15.2) следует, что для нахождения производной надо считать постоянной переменную , а для нахождения — переменную . При этом сохраняются известные из гл. 7 правила дифференцирования.

Пример:

Найти частные производные функций:

Решение:

а) Чтобы найти частную производную по , считаем постоянной величиной. Таким образом, Аналогично, дифференцируя по , считаем постоянной величиной, т.е.

б) При фиксированном у имеем степенную функцию от . Таким образом, При фиксированном функция является показательной относительно

Пример:

Поток пассажиров выражается функцией, где — число жителей, — расстояние между городами. Найти частные производные и пояснить их смысл.

Решение:

Производная показывает, что при одном и том же расстоянии между городами увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей. Производная показывает, что при одной и той же численности жителей увеличение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между городами. ►

Дифференциал функции

Дифференциал функции определялся как главная, линейная относительно , часть приращения функции, равная произведению

Обобщая определение дифференциала функции на случай двух независимых переменных, приходим к следующему определению.

Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.

Учитывая, что для функций согласно (15.3) формулу дифференциала (15.3) можно записать в виде

или

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде

где — дифференциал функции, — бесконечно малые при

Таким образом, дифференциал функции двух переменных, как и в случае одной переменной, представляет главную, линейную относительно приращений часть полного приращения функции.

Можно показать, что если полное приращение функции представляет геометрически приращение аппликаты поверхности , то дифференциал функции есть приращение аппликаты касательной плоскости к поверхности в данной точке, когда переменные получают приращения (см. рис. 15.6).

Следует отметить, что для функции одной переменной существование конечной производной и представление приращения функции в виде (9.1), т.е. , являются равнозначными утверждениями, и любое из них могло быть взято за определение дифференцируемости функции.

Для функции нескольких переменных дело обстоит иначе: существование частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции.

Следующая теорема выражает достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.

Теорема. Если частные производные функции существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.

Производная по направлению. Градиент

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки — некоторое направление, задаваемое единичным вектором, где ибо (или ); — косинусы углов, образуемых вектором с осями координат и называемые направляющими косинусами.

При перемещении в данном направлении точки в точку функция получит приращение называемое приращением функции в данном направлении (рис. 15.7).

Если , то, очевидно, следовательно,

Определение. Производной по направлению функции двух переменных называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при стремлении последней к нулю, т.е.

Производная характеризует скорость изменения функции в направлении .

Очевидно, что рассмотренные ранее частные производные и представляют производные по направлениям, параллельным соответственно осям

Нетрудно показать, что

Рассмотрим понятие градиента функции

Определение. Градиентом функции называется вектор с координатами

Рассмотрим скалярное произведение (см. § 3.1) вектора и единичного вектора Получим

Сравнивая равенства (15.7) и (15.8), получим, что т.е. производная по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора, задающего направление .

Известно (см. § 3.1), что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Зная градиент функции в каждой точке, можно по крайней мере локально строить линии уровня функции. А именно, имеет место теорема.

Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция и пусть в точке величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.

Линия уровня задается уравнением где ). Предположим, что это уравнение можно разрешить относительно , т.е. на (если это невозможно, то следует разрешить уравнение относительно х и повторить все рассуждения с точностью до обозначений).

Таким образом, касательный вектор имеет координаты Умножив его компоненты на получим, что вектор касателен к линии уровня (см. рис. 15.8).

Между тем на линии уровня т.е. откуда на . Но — скалярное произведение вектора градиентаи вектора касательного к , т.е. рассматриваемые векторы перпендикулярны. ■

Таким образом, линии уровня можно построить следующим образом (см. рис. 15.9). Предположим, мы начинаем с точки Построим градиент в этой точке. Задаем направление, перпендикулярное градиенту. Оно позволяет построить малую часть линии уровня. Далее рассмотрим близкую точку и построим градиент в ней.

Продолжая этот процесс, можно (с определенной погрешностью) построить линии уровня.

Экстремум функции нескольких переменных

Как и в случае одной переменной, функция имеет узловые, определяющие структуру графика точки. В первую очередь это точки экстремума.

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции если существует окрестность точки , такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство

,

На рис.15.10 точка — есть точка минимума, а точка — точка максимума.

Обращаем внимание на локальный характер экстремума (максимума и минимума) функции, так как речь идет о максимальном и минимальном значении лишь в достаточно малой окрестности точки

Сформулируем необходимое условие экстремума — многомерный аналог теоремы Ферма.

Теорема. Пусть точка — есть точка экстремума дифференцируемой функции Тогда частные производные в этой точке равны нулю.

 Пусть точка — точка максимума. Зафиксируем одну из переменных, например , полагая . Тогда получим функцию одной переменной которая, очевидно, будет иметь максимум при. Согласно теореме Ферма Аналогично можно доказать, что и

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции т.е. частные производные равны нулю, называются критическими или стационарными.

Необходимое условие экстремума можно переформулировать также следующим образом: в точке минимума или максимума дифференцируемой функции градиент равен нулю. Можно доказать и более общее утверждение — в точке экстремума обращаются в нуль производные функции по всем направлениям.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

На рис. 15.11 изображена так называемая седловая точка Частные производные равны нулю, но, очевидно, никакого экстремума в точке нет.

Такие седловые точки являются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной. Задача заключается в том, чтобы отделить их от точек экстремума. Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Прежде чем это сделать, введем понятия частных производных второго порядка.

Если частные производные сами являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

Вычислив частные производные функции получим Аналогично можно определить две частные производные функции которые обозначаются

Можно доказать, что если частные производные второго порядка функции непрерывны в точкето в этой точке

Теперь мы можем сформулировать достаточное условие экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть функция а) определена в некоторой окрестности критической точки в которой

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка Тогда, если то в точке функция имеет экстремум, причем если — максимум, если — минимум. В случае функция экстремума не имеет. Если то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные функции .
2. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.
4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример:

Найти экстремумы функции

Решение:

1°. Находим частные производные

2°. Критические точки функции находим из системы уравнений:

имеющей четыре решения

3°. Находим частные производные второго порядка:

вычисляем их значения в каждой критической точке и проверяем в ней выполнение достаточного условия экстремума.

Например, в точке Так как то точка есть точка максимума.

Аналогично устанавливаем, что — точка минимума, а в точках в которых — экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4°. Находим экстремумы функции

Наибольшее и наименьшее значения функции

При нахождении наибольшего и наименьшего значений (т.е. глобального максимума и минимума) функции нескольких переменных, непрерывной на некотором замкнутом множестве, следует иметь в виду, что эти значения достигаются или в точках экстремума, или на границе множества.

Пример №1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на круге радиуса 1 с центром в начале координат.

Решение:

1. Найдем частные производные функции

2. Найдем критические точки функции из системы откуда т.е. имеется одна критическая точка

3. Найдем критические точки функции на границе области — окружности, задаваемой уравнением Подставляя в функцию получим функцию одной переменной

причем

Найдя производную и приравнивая ее к нулю, получим критические точки на границе области:

4. Найдем значения функции в критических точках внутри области и на ее границе а также на концах отрезка [на границе области и выбираем среди них наибольшее меньшее. Итак, и

В заключение параграфа рассмотрим класс выпуклых функций, для которых задача нахождения экстремальных значений существенно упрощается.

Определим сначала множества, на которых задается этот класс функций.

Определение. Подмножество D -мерного пространства называется выпуклым, если для любых двух точек принадлежащих D, отрезок, соединяющий эти точки, также целиком принадлежит D.

Например, множества, изображенные на рис. 15.13а, — выпуклые, а множество на рис. 15.13б— невыпуклое. Простыми и наиболее естественными примерами выпуклых множеств являются само пространство, а также его положительный сектор, заданный условиями

Определение. Функция заданная на выпуклом множестве D, называется выпуклой вниз, если для любых двух точек

и выпуклой вверх, если

График функции, выпуклой вниз, изображен на рис. 15.14.

Очевидно, выпуклая функция не может иметь седловых точек, подобных изображенной на рис. 15.11. Это значит, что для выпуклой функции равенство ее частных производных нулю является не только необходимым, но и достаточным условием экстремума. Более того, экстремум выпуклой функции является глобальным, т.е. наименьшим значением в случае функции, выпуклой вниз, и наибольшим — в случае функции, выпуклой вверх.

Задача нахождения максимумов и минимумов функций многих переменных значительно сложнее аналогичной задачи для функций одной переменной. Даже в самых простых случаях чисто технические проблемы могут вызвать значительные трудности. Задаче нахождения подобных экстремумов посвящен специальный раздел математики — вариационное исчисление. В последние десятилетия бурное развитие переживает комплексная научная дисциплина — исследование операций, посвященная поиску оптимальных решений в различных, в том числе и экономических, задачах, в которых исследуемая (целевая) функция нескольких переменных принимает наибольшее или наименьшее значение.

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция аргументы которой удовлетворяют условию называемому уравнением связи.

Определение. Точка называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек из этой окрестности, удовлетворяющих условию выполняется неравенство

На рис. 15.15 изображена точка условного максимума . Очевидно, что она не является точкой безусловного экстремума функции (на рис. 15.15 это точка ().

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим уравнение связи удалось разрешить относительно одной из переменных, например выразить : . Подставив полученное выражение в функцию двух переменных, получим , т.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет условным экстремумом функции .

Пример №2

Найти точки максимума и минимума функции при условии

Решение:

Выразим из уравнения переменную через переменную и подставим полученное выражение в функцию . Получим или . Эта функция имеет единственный минимум при Соответствующее значение функции Таким образом, — точка условного экстремума (минимума). ►

В рассмотренном примере уравнение связи оказалось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается.

Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию трех переменных

Эта функция называется функцией Лагранжа, а — множителем Лагранжа. Верна следующая теорема.

Теорема. Если точка является точкой условного экстремума функции при условии то существует значение такое, что точка является точкой экстремума функции

Таким образом, для нахождения условного экстремума функции при условии требуется найти решение системы

Последнее из этих уравнений совпадает с уравнением связи. Первые два уравнения системы можно переписать в виде

т.е. в точке условного экстремума градиенты функций и коллинеарны.

На рис. 15.16 показан геометрический смысл условий Лагран-жа. Линия пунктирная, линии уровня функции сплошные.

Из рис. 15.16 следует, что в точке условного экстремума линия уровня функции касается линии

Пример №3

Найти точки экстремума функции -при условии используя метод множителей Лагранжа.

Решение:

Составляем функцию Лагранжа . Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений

Ее единственное решениеТаким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3; 1). Нетрудно убедиться в том, что в этой точке функция имеет условный минимум. ►

В случае, если число переменных более двух, может рассматриваться и несколько уравнений связи. Соответственно в этом случае будет и несколько множителей Лагранжа.

Мы не рассматриваем здесь достаточные условия условного экстремума. Отметим только, что во многих задачах критическая точка функции Лагранжа оказывается единственной и соответствует не только локальному, но и глобальному условному минимуму или максимуму.

Задача нахождения условного экстремума используется при решении таких экономических задач, как нахождение оптимального распределения ресурсов, выбор оптимального портфеля ценных бумаг и др. (подробнее см. § 15.11).

Понятие об эмпирических формулах

Метод наименьших квадратов:

На практике мы часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.

Пусть зависимость между двумя переменными выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.

Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными , т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости от , исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы .

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул.

Задача нахождения эмпирических формул разбивается на два этапа. На первом этапе нужно установить вид зависимости т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой.

Предположим, например, что результаты экспериментальных исследований нанесены на плоскость (паре чисел соответствует точка с такими же координатами). Разумеется, существует множество кривых, проходящих через эти точки (см. рис. 15.17).

Для продвижения к цели обычно предполагают, что кривая истинной зависимости — это наиболее «гладкая» кривая, согласованная с эмпирическими данными. Так, в случае, изображенном на рис. 15.17, исследователь несомненно предпочтет кривую I кривой II.

Для проверки правильности вывода проводятся дополнительные исследования, т.е. производится еще ряд одновременных измерений величин Дополнительные точки наносятся на плоскость. Если они оказываются достаточно близкими к выбранной кривой (на рис. 15.17 дополнительные точки изображены крестиками), то можно считать, что вид кривой установлен. В противном случае кривую надо скорректировать и вновь провести дополнительные измерения.

Кроме того, для выбора функции привлекаются дополнительные соображения, как правило, не математического характера (теоретические предпосылки, опыт предшествующих исследований и т.п.).

Предположим, первый этап завершен — вид функции установлен. Тогда переходят ко второму этапу — определению неизвестных параметров этой функции.

Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов невязок , или отклонений «теоретических» значений найденных по эмпирической формуле , от соответствующих опытных значений т.е.

была минимальной (рис. 15.18).

Следует отметить, что в качестве величины отклонения эмпирических точек от точек сглаживающей экспериментальную зависимость кривой в принципе можно было взять обычную сумму невязок или сумму их абсолютных величин

Но делать это нецелесообразно, так как в первом случае может быть малой или даже равняться нулю при значительном разбросе эмпирических точек, так как положительные отклонения , компенсируются отрицательными.

Во втором случае функция лишена этого недостатка,но имеет другой — она не является дифференцируемой, что существенно затрудняет решение задачи.

Пусть в качестве функции взята линейная функция и задача сводится к отысканию таких значений параметров а и Ь, при которых функция (15.9)

принимает наименьшее значение. Заметим, что функция есть функция двух переменных до тех пор, пока мы не нашли, а затем зафиксировали их «наилучшие» (в смысле метода наименьших квадратов) значения, а — постоянные числа, найденные экспериментально.

Таким образом, для нахождения прямой, наилучшим образом согласованной с опытными данными, достаточно решить систему

После алгебраических преобразований эта система принимает вид:

Система (15.10) называется системой нормальных уравнений.

Эта система имеет единственное решение, так как ее определитель

(а точнее что можно доказать методом математической индукции при ).

Убедимся, что найденные из системы (15.10) значения дают минимум функции Найдем частные производные

Выражение в силу изложенного выше и следовательно, согласно достаточному условию функция имеет единственную точку минимума, определяемую из системы нормальных уравнений (15.10). Заметим, что в этой точке функция имеет не просто локальный минимум, но наименьшее значение (глобальный минимум).

Пример:

Имеются следующие данные о цене на нефть (ден. ед.) и индексе акций нефтяных компаний (усл. ед.).

Предполагая, что между переменными существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу вида используя метод наименьших квадратов.

Решение:

Найдем необходимые для расчетов суммы

Промежуточные вычисления оформим в виде вспомогательной таблицы.

Система нормальных уравнений (15.10) имеет вид

Ее решение дает искомую зависимость: Таким образом, с увеличением цены нефти на 1 ден. ед. индекс акций нефтяных компаний в среднем растет на 12,08 ед. ►

Понятие двойного интеграла

В настоящем параграфе мы затронем некоторые вопросы, связанные с интегрированием функций нескольких переменных. В отличие от случая одной переменной здесь не удается ввести простого понятия первообразной и неопределенного интеграла. В то же время определенный интеграл вводится аналогично: интегрирование рассматривается как «суммирование бесконечного числа бесконечно малых величин».

Вначале определим двумерный аналог интегральной суммы (см. § 11.1).

Пусть рассматривается множество на плоскости (для простоты будем считать его выпуклым). Построим покрывающую это множество решетку (см. рис. 15.19).

На рис. 15.19 штриховкой обозначена часть множества , не покрытая полными клетками решетки. Очевидно, площадь этой части уменьшается по мере того, как увеличивается число клеток разбиения, т.е. уменьшаются размеры клеток (опять же для простоты будем считать, что все клетки имеют одинаковые размеры). Занумеруем клетки решетки индексами , где — номер клетки по горизонтали (считая слева направо), a — номер клетки по вертикали (считая снизу вверх). Пусть соответственно длина горизонтальной и вертикальной стороны клетки . Тогда при площадь заштрихованной части множества стремится к нулю и, несколько пренебрегая строгостью, можно сделать утверждение: — это часть множества покрытая целыми клетками решетки.

В каждой клетке выберем произвольную точку Интегральной суммой функции на множестве называется сумма

Обозначим через — диаметр клетки, т.е. наибольший линейный размер ее (в данном случае — длина диагонали клетки).

Определение. Функция называется интегрируемой на множестве , если существует конечный предел интегральной суммы этой функции на при условии Само значение предела называется двойным интегралом функции на множестве .

Обозначается двойной интеграл следующим образом:

Замечание. Указанный предел интегральной суммы не должен зависеть ни от способа разбиения множества на элементарные ячейки (лишь для простоты в качестве таких ячеек мы использовали прямоугольные клетки), ни от выбора точек в каждой ячейке.

Таким образом, по определению

Отметим геометрический смысл двойного интеграла. Если функция непрерывна и неотрицательна в области , то двойной интеграл представляет собой объем прямого цилиндрического тела (цилиндроида), построенного на области как на основании и ограниченного сверху поверхностью Если для всех то численно равен площади области .

Интегрирование функции двух переменных значительно более трудная задача по сравнению с аналогичной задачей для одной переменной. Однако в некоторых случаях можно получить завершенный результат. Рассмотрим один из таких важнейших случаев.

Множество на плоскости называется элементарным относительно оси если его граница состоит из графиков двух непрерывных функций определенных на некотором отрезке и таких, что и из отрезков прямых и (рис. 15.20).

Двойной интеграл может быть вычислен с помощью теоремы, представляющей двумерный аналог формулы Ньютона—Лейбница.

Теорема. Если функция непрерывна на элементарном множестве , то

Интеграл, стоящий в правой части формулы (15.12), называется повторным интегралом и обычно записывается в виде

Пример №4

Вычислить интеграл , где — круговой сектор, изображенный на рис. 15.21.

Решение:

Множество является элементарным. Здесь

Таким образом, искомый интеграл принимает вид:

Двойные и повторные интегралы находят свое применение в теории вероятностей, вариационном исчислении и многих других разделах математики, имеющих непосредственные экономические приложения.

Функции нескольких переменных в экономической теории

Рассмотрим некоторые приложения функций нескольких переменных в экономической теории.

Значительная часть экономических механизмов иллюстрируется на рисунках, изображающих линии уровня функции двух переменных Например, линии уровня производственной функции называются изоквантами.

Пусть — два различных фактора производства, а функция характеризует выпуск продукции, который позволяют значения факторов . На рис.15.22 линии уровня изображены сплошными линиями, а штриховкой выделена так называемая экономическая область, которая характеризуется тем, что высекаемые ею части изо-квант представляют собой графики убывающих функций, т.е. увеличение количества одного фактора позволяет уменьшить количество другого, не меняя размера выпуска. Иными словами, экономическая область — это множество значений факторов, допускающих замещение одного из них другим. Очевидно, что все «разумные» значения принадлежат экономической области.

Изокванты позволяют геометрически иллюстрировать решение задачи об оптимальном распределении ресурсов. Пусть — функция издержек, характеризующая затраты, необходимые для обеспечения значений ресурсов (часто можно считать, что функция издержек линейная: — «цены» факторов ).

Линии уровня этой функции также изображены на рис. 15.20. Комбинации линий уровня функции позволяют делать выводы о предпочтительности того или иного значения факторов . Очевидно, например, что пара значений более предпочтительна, чем пара , так как обеспечивает тот же выпуск, но с меньшими затратами. Оптимальными же значениями факторов будут значения — координаты точки касания линии уровня функции выпуска и функции издержек.

Линии уровня функции полезности (они называются кривыми безразличия) (см. § 5.6) также позволяют рассматривать вопросы замещения одного товара другим и иллюстрировать решение задачи об оптимальном потреблении (потребительского выбора) (см. рис. 15.23).

Линия уровня затрат на приобретение товаров изображены на рис. 15.23 пунктиром. Оптимальное потребление обеспечивается значениями — координатами точки касания кривой безразличия и линии уровня затрат. В этой точке заданная полезность достигается наиболее экономичным образом.

Другой пример кривых безразличия возникает в теории инвестиций.

Портфель ценных бумаг (под портфелем мы здесь будем понимать совокупность определенных ценных бумаг в определенных количествах) характеризуется двумя основными параметрами — ожидаемой доходностью и риском (точное определение этих величин здесь не может быть приведено, так как оно использует понятия теории вероятностей и математической статистики). Каждому портфелю можно поставить в соответствие точку на координатной плоскости , и тогда множество всех возможных портфелей представляет некоторую область (см. рис. 15.24).

Очевидно, что при равных доход-ностях инвестор предпочтет портфель с меньшим риском. Таким образом, кривые безразличия — линии уровня функции предпочтения — выпуклы вниз. Точка в которой линия безразличия касается области , соответствует наиболее предпочтительному для данного инвестора портфелю. Соответствующая теория была предложена американским экономистом Харри Марковицем в 1952 г. и с тех пор получила широкое развитие в теории инвестиций.

Понятие частной производной также находит применение в экономической теории. В § 7.6 было введено понятие эластичности функции одной переменной . Аналогично можно ввести понятие частной эластичности функции нескольких переменных относительно переменной : Так, например, в производственной функции Кобба—Дугласа (см. § 15.1) , как нетрудно убедиться,, т.е. показатели приближенно показывают, на сколько процентов изменится выпуск продукции при изменении только затрат труда или только объема производственных фондов на 1%.

Рассмотрим частные производные — функции полезности. Они называются предельными полезностями и обозначаются .Если измерять количество товара в стоимостном выражении, то предельные полезности можно рассматривать как функции спроса на соответствующий товар. Найдем предельные полезности для функции постоянной эластичности

Имеем т.е. функции спроса с ростом стоимости каждого товара являются убывающими, а параметры представляют частные эластичности спроса на эти товары.

Если рассматривать спрос как функцию нескольких переменных, например двух – цены товара и доходов потребителей то можно говорить о частных эластичностях спроса от цены и спроса от доходов Например, можно установить, что для качественных товаров и для низкосортных, так как с ростом доходов спрос на качественные товары увеличивается, а на низкосортные — уменьшается.

Если при исследовании спроса на данный товар рассматривать влияние другого, альтернативного товара ценой , т.е. рассматривать спрос как функцию трех переменных то можно ввести перекрестный коэффициент эластичности спроса, определяемый по формуле показывающий приближенно процентное изменение спроса на данный товар при изменении цены альтернативного товара на 1%. Очевидно, что для взаимозаменяемых товаров так как увеличение цены одного товара приводит к увеличению спроса на другой. В то же время для взаимодополняющих товаров ибо в этом случае рост цены любого товара приводит к снижению спроса.

Рассмотрим еще один коэффициент эластичности, характеризующий производственную функцию нескольких переменных и имеющий важное значение для экономической теории.

Пусть — производственная функция и — предельные продукты, соответствующие затратам ресурсов . Коэффициентом эластичности замещения называется величина

Так как при малых приращениях аргумента имеет место приближенное равенство приращение логарифма переменной величины можно рассматривать как относительное приращение самой величины. Таким образом, величина, обратная коэффициенту эластичности замещения, показывает приближенно, на сколько процентов изменится отношение предельных продуктов при изменении отношения затрат ресурсов на 1%.

В § 15.1 приведена производственная функция с постоянной эластичностью замещения. В общем случае коэффициент эластичности замещения есть функция от двух переменных. Рассмотрим ее выражение в точках изокванты. Так как вдоль изокванты значение функции постоянно, то полный дифференциал этой функции вдоль изокванты равен нулю, т.е. Отсюда имеем , т.е. при сохранении объема выпуска величина называемая предельной нормой замещения ресурса ресурсом , равна отношению их предельных продуктов. С учетом последнего равенства можно записать, что

Очевидно, что — тангенс угла наклона касательной к изокванте в точке — тангенс угла наклона радиуса-вектора точки (см. рис. 15.25).

Таким образом, величина характеризует относительное изменение угла наклона касательной к изокванте при изменении угла наклона ее радиуса вектора, т.е. кривизну изокванты.

Если рассматриватькак функцию есть коэффициент эластичности в обычном смысле (см. § 7.6).

Понятие выпуклости функции также играет существенную роль в понимании важнейших экономических законов. Многомерные аналоги примеров, рассмотренных в § 8.10, позволяют математически сформулировать законы убывающей доходности и убывающей предельной полезности.

Пример:

Определить оптимальное распределение ресурсов для функции выпуска , если затраты на факторы — линейны и задаются ценами

Решение:

В точке , задающей оптимальное распределение ресурсов , линия уровня функции издержек касается изокванты (см. § 15.11). На экономической области изокванта есть часть графика функции . Линия уровня функции издержек — это прямые угловой коэффициент которых

Таким образом, условие касания имеет вид и соответственно .

Таким образом, факторы следует распределить в отношении

Пример:

Результаты десяти одновременных измерений величин сведены в следующую таблицу:

Предполагая, что зависимость величины от величины имеет вид , найти значения параметров этой зависимости, используя метод наименьших квадратов.

Решение:

Величина , определенная равенством (15.10), имеет вид

Имеем

Приравнивая частные производные к нулю, критические точки функции определяем как решение системы нормальных уравнений:

Вычислив при необходимые суммы

получим систему нормальных уравнений в виде:

откуда

Определение функции от нескольких переменных

Во многих вопросах геометрии, естествознания и т. д. приходится иметь дело с функциями двух, трех переменных и более. Приведем примеры.

Пример:

Площадь треугольника U = ху/2 с основанием х и высотой у есть функция от двух переменных х и у, определенная в области х > 0 и у > 0.

Пример:

Разрешая уравнение сферы относительно, при получим

Здесь аппликата z точки верхней полусферы есть функция двух переменных х и у — абсциссы и ординаты этой точки. Данная функция определена в круге

Пример:

Объем прямоугольного параллелепипеда V = xyz с измерениями х, у и z есть функция этих трех переменных, определенная в положительном октанте пространства Oxyz.

Пример:

Сила притяжения F двух материальных точек, имеющих массы т и т, и занимающих соответственно положения М(х, у, z) и согласно закону Ньютона, равна

где k — некоторая константа (гравитационная постоянная). Следовательно, F есть функция от шести переменных

Сделаем одно важное замечание: всякая ‘ функция от нескольких переменных становится функцией от меньшего числа переменных, если часть переменных зафиксировать, т.е. придать постоянные значения.

Например, пусть мы имеем функцию

от трех переменных . Если положить, что z сохраняет постоянное значение z = с, то мы получим функцию от двух переменных х и у:

Далее, предполагая, что две переменные у и z сохраняют неизменные значения у = b и z = с, получим функцию от одной переменной х.

Таким образом, в разных вопросах, по желанию, функцию и можно рассматривать как функцию одной, двух или трех переменных.

Строго говоря, почти всякая физическая зависимость дает нам пример функции весьма большого количества переменных. Но при изучении этой зависимости мы игнорируем часть несущественных факторов и тем самым ограничиваем число переменных, сводя его к минимуму.

Например, путь s, пройденный свободно падающим телом за время t, зависит от следующих переменных: t — времени падения, Q — площади поперечного сечения тела, — широты места, h — высоты места над уровнем моря, р — давления воздуха, Т — температуры воздуха — коэффициента вязкости воздуха и т. д. Так что мы должны написать

В первом приближении все переменные, кроме времени t, являются малосущественными. Игнорируя их, получим s = f(t) и тем самым приходим к известной формуле

где — ускорение свободного падения, которое считается постоянным.

Если хотя бы частично учесть роль других переменных, то мы будем иметь формулы для s все более и более соответственно точные, зависящие от все более возрастающего числа переменных.

Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных

является, вообще говоря, поверхность в пространстве Oxyz.

В самом деле, пусть данная функция определена в некоторой области со плоскости Оху. Тогда каждой паре значений х и у из области (О соответствует по формуле (1) некоторое значение z; иными словами, каждой точке N(x, у, 0) ставится в соответствие точка М(х, у, z), принадлежащая графику функции и являющаяся концом перпендикуляра NM к плоскости Оху.

Если точка N занимает всевозможные положения, исчерпывающие область со, то связанная с ней точка М, в общем случае, опишет в пространстве некоторую поверхность Р «нависающую» над областью со. Наглядно можно представлять себе, что Р есть «крыша», построенная над площадкой . Поверхность Р и является геометрическим изображением функции (1) (рис. 208). Геометрические изображения функций трех и большего числа переменных не имеют простого геометрического смысла.

В некоторых случаях можно получить наглядное геометрическое представление о характере изменения функции, рассматривая ее линии уровня (или поверхности уровня), т.е. линии (или поверхности), где данная функция сохраняет постоянное значение.

Определение: Линией уровня функции

называется множество всех точек плоскости Охуу для которых данная функция имеет одно и то же значение (изокривая).

Таким образом, уравнение линии уровня есть

где С — некоторая постоянная.

Пример:

Построить семейство линий уровня функции Давая z неотрицательные значения (z, очевидно, не может быть отрицательным), получим соответственно уравнения линий уровня функции: — точка О(0, 0); — окружность радиуса R = 1 с центром О(0, 0); — окружность радиуса с центром О(0, 0) и т. д.

Таким образом, линии уровня нашей функции представляют собой семейство концентрических окружностей с центром О. Построив эти линии, получим «карту поверхности» для данной функции с отмеченными высотами (рис. 209).

На рис. 209 мы наглядно видим, что функция z растет вдоль каждого радиального направления. Поэтому в пространстве Oxyz геометрический образ функции представляет собой гигантскую «яму» с круто растущими краями. Теоретически это параболоид вращения.

Определение: Поверхностью уровня функции

называется множество всех точек пространства Oxyz, для которых данная функция имеет одно и то же значение (и з о-поверхности).

Линии и поверхности уровня постоянно встречаются в физических вопросах. Например, соединив на карте поверхности Земли точки с одинаковой средней суточной температурой или с одинаковым средним суточным давлением, получим соответственно изотермы и изобары, являющиеся важными исходными данными для прогноза погоды.

Непрерывность

Пусть есть функция от двух переменных х и у, совокупность значений (х, у) которых для краткости будем называть точкой; таким образом, z есть функция «точки».

Дадим переменной х приращение , оставляя переменную у неизменной. Тогда разность

называется частным приращением функции по переменной х. Следовательно, можно написать

Аналогично, если только переменной у дается приращение , а переменная х остается неизменной, то разность

называется частным приращением функции по переменной у.

Наконец, может случиться, что обе переменные х и у получили соответственно приращения . Тогда соответствующее приращение функции

называется полным приращением функции (или просто приращением функции).

Естественно, что здесь рассматриваются лишь такие точки

для которых функция f имеет смысл, т. е. определена.

Заметим, что из формул (2), (2′) и (3) следует, что полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных приращений этой функции:

Пример №5

Найти приращение функции , где х изменилось от 2 до 2,2 и у — от 1 до 0,9.

Решение:

Здесь = 0,2 и = -0,1. Имеем

Следовательно,

Аналогично определяются и записываются частные и полные приращения функции с числом переменных, большим двух.

Определение: Функция f(x, у) называется непрерывной в точке (х0, у0), если: 1) функция определена в данной точке и эта точка является предельной для области существования функции; 2) бесконечно малым приращениям

переменных х и у соответствует бесконечно малое приращение функции f(x, у), т. е. при любом способе стремления приращений к нулю, для которых имеет смысл, выполнено условие

Для наглядности можно мыслить, что функция, непрерывная в точке , определена как в самой этой точке, так и в некоторой окрестности ее, причем при достаточно малых по модулю Ах0 и Д у0 имеет место равенство (4).

Определение: Функция f(x, у) называется непрерывной в данной области у если эта функция непрерывна в каждой точке рассматриваемой области, т. е. если для каждой точки (х, у) области имеем

причем здесь мы, как обычно, предполагаем, что смещенная точка принадлежит данной области и существует (множество таких точек не пусто в любой окрестности точки {х, у) в силу определения 1). Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда бесконечно малым приращениям ее аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции.

Пример №6

Функция определена и непрерывна в треугольнике: . Заметим, что точки границы множества не являются его внутренними точками.

Из формулы (5) следует, что

где а — бесконечно малая при . Таким образом, если функция f(x, у) непрерывна, то значения ее в двух бесконечно близких точках отличаются друг от друга на бесконечно малую функцию.

Положим ; очевидно, при , имеем и обратно. Тогда из формулы (5) получаем эквивалентное определение непрерывности функции

Частные производные первого порядка

Пусть дана функция

Для простоты здесь и в дальнейших параграфах по смыслу будем предполагать, что для каждой рассматриваемой точки {х, у) функция f(x, у) определена в некоторой полной окрестности этой точки.

Рассмотрим отношение частного приращения

функции z по переменной х к приращению этой переменной

Предел этого отношения при , стремящемся к нулю, если таковой существует, называется частной производной {первого порядка) функции z = f(x, у) по х и обозначается так:

Мы имеем, следовательно,

Аналогично определяется частная производная от функции х = f(x, у) по у:

Определение: Частной производной функции от нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при условии, что последнее стремится к нулю. Заметим, что если от функции z = f(x, у) берется производная , то у считается постоянным; если же находится , то х считается постоянным.

Поэтому частная производная функции от нескольких переменных равна производной той функции одной переменной, которая получится, если все независимые переменные данной функции, кроме соответствующей одной, считать постоянными, т.е.

Следовательно, частное дифференцирование не требует никаких новых правил дифференцирования, и мы можем пользоваться известными формулами.

Пример №7

Пусть

Легко видеть, что

Аналогично определяются и вычисляются частные производные функции трех переменных х, у, z и т. д.

Пример №8

Пусть ; тогда

Для функции

нетрудно выяснить геометрическии смысл ее частных производных . Геометрическим изображением данной функции является некоторая поверхность Р (рис. 210).

Полагая у = const, мы получаем плоскую кривую Гх, представляющую собой сечение поверхности Р соответствующей плоскостью, параллельной координатной плоскости Oxz. Пусть МК — касательная к кривой в точке М(х, у, z), а — угол, образованный этой касательной с положительным направлением оси Ох. Так как

на основании геометрического смысла обычной производной имеем

Аналогично, если Гу есть сечение поверхности Р плоскостью х = const и — угол, образованный с осью Оу касательной ML в точке М{х, у, z) к кривой Гу, то

Полный дифференциал функции

Пусть есть функция от двух независимых переменных х и у. Полное приращение этой функции

представляет собой разность значений данной функции в точках М(х, у) и . Обозначим через р расстояние между этими точками:

Если при можно подобрать не зависящие от величины А и В так, что выражение “

будет отличаться от полного приращения функции на величину высшего порядка малости по сравнению с р, то это выражение называется главной линейной частью полного приращения функции. В этом случае мы получим

где (или, что то же самое, и ).

Выражение (1) можно записать в другом виде. Поскольку (рис. 211), имеем

отсюда

где

при , т. е. при и и обратно.

Обобщая определение дифференциала функций одной независимой переменной на случай функции двух независимых переменных, приходим к следующим определениям.

Определение: Под дифференциалом независимой переменной понимается приращение этой переменной, т. е.

Определение: Полным дифференциалом функции (или, короче, дифференциалом функции) z = f(x9 у) двух независимых переменных х и у называется главная линейная часть полного приращения этой функции.

Это определение естественным образом распространяется на функции любого числа переменных.

Обозначая дифференциал функции буквой d, можно написать

где А и Б не зависят от и, сверх того,

где — бесконечно малые при . Функция, имеющая дифференциал в данной области, называется дифференцируемой в этой области. Если функция z дифференцируема, то для полного приращения функции имеет место формула (1) или(1′).

Заметим, что если функция дифференцируема, то эта функция непрерывна. Действительно, переходя к пределу в формуле (1′) при , получим

т. е. функция z непрерывна.

Пример №9

Найти дифференциал функции z = ху. Функцию z можно рассматривать как площадь прямоугольника со сторонами х и у (рис. 212). Давая сторонам х и у приращения , получим приращение площади z, представляющее собой площадь каймы:

Главная часть этого приращения при , состоящая из двух прямоугольников со сторонами есть дифференциал dz площади z; поэтому

ТЕОРЕМА 1. Дифференциал функции равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных. .

Доказательство. Пусть функция z = f(x, у) дифференцируема, т. е. имеет дифференциал

Для определения коэффициентов А и В напишем полное приращение функции

где — бесконечно малые при . Полагая = 0 в формуле (4), получим частное приращение

Для наглядности мы считаем х и у положительными.

Отсюда

и, следовательно, при будем иметь

Аналогично, полагая = 0 в формуле (4), находим

Таким образом,

Подставляя эти значения в формулу (3) и учитывая, что и , получим окончательно

Следствие. Данная функция имеет единственный дифференциал.

Действительно, из доказательства теоремы 1 следует, что дифференциал функции , если он существует, обязательно выражается формулой (5).

Замечание. Из формулы (5) следует, что для функции двух независимых переменных х и у ее дифференциал dz есть функция четырех независимых переменных х, у, dx, dy, линейная (т. е. первой степени) относительно второй пары переменных. Первая пара переменных, х и у, представляет собой координаты точки М(х, у), в которой берется дифференциал; вторая пара переменных, dx и dy, есть координаты вектора смещения точки М(х, у) при переходе ее в бесконечно близкую точку М'(х + dx, у + dу), где dx и dy — проекции отрезка ММ’ на соответствующие оси координат Ох и Оу.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция обладает непрерывными частными производными = в данной области, то эта функция дифференцируема в этой области и ее дифференциал выражается формулой (5).

Доказательство. Рассмотрим полное приращение функции

Вычитая и прибавляя член , будем иметь

Первая квадратная скобка формулы (6) представляет собой приращение функции по переменной х при фиксированном значении второй переменной у, т.е. ее можно рассматривать как приращение функции одной переменной х. Фиксируя величину и применяя теорему Лагранжа о конечном приращении функции, находим

где — некоторое промежуточное значение между х и . Аналогично, вторая квадратная скобка формулы (6) есть приращение функции по переменной у при неизменном значении переменной х. Поэтому в силу теоремы Лагранжа имеем

где у — промежуточное значение между у и . Из формул (6), (7) и (8) следует

Пусть . Так как производные непрерывны, то значения их в бесконечно близких точках и соответственно (рис.213) отличаются друг от друга на бесконечно малые; поэтому

где — бесконечно малые при . Отсюда из формулы (9) имеем

По определению главная линейная часть полного приращения функции есть дифференциал dz этой функции. Следовательно, из формулы (10) получаем

что и требовалось доказать.

Пример №10

Найти дифференциал функции

Решение:

Здесь Отсюда

Замечание. Аналогично, если функция имеет непрерывные частные производные , то дифференциал этой функции выражается формулой

где

Пример №11

Найти дифференциал функции

Решение:

Имеем Следовательно,

При малых приращениях приращение дифференцируемой функции

приближенно можно заменить дифференциалом этой функции:

Отсюда имеем приближенное равенство

которое будет тем относительно точнее, чем меньше .

Пример №12

Дан прямоугольник со сторонами х = б м и у = 8 м. На сколько изменится диагональ этого прямоугольника, если сторона х увеличится на 5 см, а сторона у уменьшится на 10 см?

Решение:

Обозначая диагональ прямоугольника через и, имеем . Отсюда, заменяя приращение диагонали дифференциалом du этой диагонали, приближенно находим

Полагая в последней формуле х = б м, = 0,05 м, у = 8 м, = -0,10 м, получаем

Таким образом, диагональ прямоугольника уменьшится приблизительно на 5 см. Точный подсчет дает значение = -0,045 м.

Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям

С помощью полного дифференциала функции можно выяснить, как отражаются на значении функции погрешности ее аргументов.

Пример №13

Определить предельную абсолютную погрешность функции

зная предельные абсолютные погрешности аргументов х, у:

Имеем

Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получим

Отсюда выводим приближенную оценку: Следовательно, за предельную абсолютную погрешность функции z можно принять

Пример №14

Гипотенуза прямоугольного треугольника х = 120 м ± 2 м, а острый угол у = 30° ± 1^о. С какой точностью можно найти противолежащий данному углу катет z этого треугольника?

Решение:

Имеем

Отсюда

Полагая х = 120, = 2 и , по формулам (2) и (1) находим

Следовательно,

z = 60 м ± 2,8 м.

Используя формулу (1), можно определить также предельную относительную погрешность функции:

В частности, положим

Тогда и, следовательно,

т. е. предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

Понятие о производной функции по данному направлению

Пусть — функция, определенная в области со. Рассмотрим некоторую точку М(х, у) и некоторое направление , определяемое направляющими косинусами (т.е. — косинусы углов, образованных лучом с положительными направлениями осей координат Ох и Оу). При перемещении в данном направлении точки в точку функция получает приращение

которое называется приращением функции и в данном направлении (рис. 214). Если есть величина перемещения точки М, то из прямоугольного треугольника МРМ’ получаем

следовательно,

Определение: Под производной функции и в данном направлении понимается предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при условии, что последняя стремится к нулю, т. е.

С этой точки зрения производные можно рассматривать как производные функции и в положительных направлениях осей координат Ох и Оу.

Производная дает скорость изменения функции в направлении .

Выведем формулу для производной , предполагая, что функция дифференцируема. Из определения дифференциала функции следует, что приращение функции отличается от дифференциала функции на величину высшего порядка малости относительно приращений независимых переменных. Поэтому, используя формулу полного дифференциала, будем иметь

где при . Отсюда в силу соотношений (2) получаем

Следовательно,

Переходя к пределу в последней формуле при , т.е. при , и основываясь на определении (3), получим искомую формулу для производной функции в данном направлении:

где

Пример №15

Найти приращение функции при перемещении точки М( 1, 2) в направлении , образующем угол с положительным направлением оси Ох, на расстояние . Чему равна производная в точке М?

Имеем tg а = 3/4, причем 0 < а < . Отсюда ; следовательно,

Используя полученные направляющие косинусы направления , находим для точки М приращения координат

Таким образом, перемещенная точка М’ имеет координаты

Отсюда искомое приращение функции и равно

Заметим, что . Далее, имеем

поэтому и, следовательно,

Замечание. Для функции ее производная в направлении , определяемом вектором = , равна

Градиент

Определение: Говорят, что в данной области определено скалярное поле> если для каждой точки задан некоторый скаляр (т. е. число)

Таким образом, и есть числовая функция точки.

По установившейся традиции слово область здесь служит синонимом слова множество. Точное определение понятия «область».

Примерами скалярных полей являются температурное поле, т. е. распределение температуры в нагретом теле; распределение концентрации вещества в растворе, и т. п.

Если область расположена на плоскости Оху, то любая ее точка М определяется двумя координатами (х, у) и плоское скалярное поле (1) может быть записано в виде

Аналогично, для области со, находящейся в пространстве Oxyz, мы будем иметь

Таким образом, понятие скалярного поля представляет собой физическую трактовку функции нескольких переменных.

Определение: Говорят, что в данной области со определено векторное* поле, если для каждой точки задан некоторый вектор

Примерами векторных полей являются поле скоростей в данный момент времени точек потока жидкости; силовое поле, создаваемое некоторым притягивающим центром, и т. п.

Для случая плоского векторного поля (3) мы будем иметь вектор-функцию

Отсюда, переходя к координатам вектора а, получим

Таким образом, задание плоского векторного поля (4) равносильно заданию двух скалярных полей (5).

Аналогично, для случая пространственного векторного поля получаем

или же, в координатах,

Итак, векторное поле (6) эквивалентно трем скалярным полям (7). Этим объясняется удобство векторного языка: он позволяет в одной векторной формуле записывать несколько скалярных соотношений.

Множество всех точек М, для которых скалярное поле (1) сохраняет постоянное значение

называется поверхностью (или линией) уровня скалярного ноля (изоповерхности).

Определение: Пусть

-дифференцируемое плоское скалярное поле. Тогда вектор называется градиентом поля; или подробнее

где — единичные векторы, направленные по осям координат Ох и Оу (координатные орты).

Аналогично, для пространственного скалярного поля

его градиент есть вектор

Таким образом, скалярное поле порождает векторное поле — поле градиентов.

Под производной скалярного поля (8′) в данном направлении понимается выражение 

где — направляющие косинусы вектора данного направления. Производная представляет собой скорость изменения поля в данном направлении.

Теорема: Производная скалярного поля в данном направлении равна проекции градиента поля на данное направление (в соответствующей точке).

Доказательство: Обозначим через единичный вектор направления .

Тогда, учитывая формулу (9′) и вспоминая определение скалярного произведения, выражение (10) можно записать в следующем виде:

где (рис. 215).

Отсюда

Следствие. Градиент скалярного поля в данной точке по модулю и направлению равен максимальной скорости изменения поля в этой точке.

Действительно, из формулы (11) получаем, что

и при этом cos = 1. Отсюда находим, что = 0 и, следовательно, направление вектора должно совпадать с направлением grad и, т.е. и, где k > 0. Кроме того, для этого направления имеем

Замечание. Из следствия вытекает, что градиент поля не зависит от выбора прямоугольной системы координат Oxyz.

Пример №16

Найти модуль и направление градиента поля в точке М₀(2, 1, 0).

Решение:

Имеем

Следовательно,

Отсюда

Точка М₀, в которой grad u(M₀) = 0, называется особой для скалярного поля; в противном случае точка М₀ называется не-особой (обыкновенной).

Приведем без доказательства теорему, выясняющую направление градиента скалярного поля.

Теорема: Во всякой неособой точке плоского скалярного поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня, проходящей через эту точку, в сторону возрастания поля.

Частные производные высших порядков

Пусть имеем некоторую функцию от двух переменных х и у. Ее частные производные

являются функциями от переменных х и у. В некоторых случаях для этих функций существуют снова частные производные, называемые частными производными второго порядка (или просто вторыми частными производными):

Продолжая таким путем дальше, мы можем определить частные производные третьего порядка (третьи частные производные) и т. д.

Аналогично определяются и записываются частные производные высших порядков от функции трех и большего числа переменных.

Можно доказать следующую теорему:

если все входящие в вычисления частные производные, рассматриваемые как функции своих независимых переменных, непрерывны, то результат частного дифференцирования не зависит от последовательности дифференцирования.

В частности, например, если производные непрерывны, то имеет место равенство

Не приводя доказательство в общем виде, проверим справедливость этого последнего утверждения на отдельных примерах.

Пример №17

Пусть

Имеем

Мы видим, что для данной функции соблюдается равенство

как и следовало ожидать.

Признак полного дифференциала

Если функция дифференцируема, то полный дифференциал ее имеет вид)

где

Возникает обратная задача: при каких условиях дифференциальное выражение

где функции непрерывны вместе со своими производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции и?

Необходимое условие полного дифференциала дается следующей теоремой.

Теорема: Для того чтобы дифференциальное выражение (3) являлось в области G полным дифференциалом некоторой функции , необходимо у чтобы в этой области тождественно было выполнено условие

(условие полного дифференциала).

Доказательство: Пусть (3) — полный дифференциал функции . Имеем

Отсюда в силу единственности дифференциала получим

Дифференцируя первое равенство (5) по у, а второе — по х, будем иметь ‘

Так как для непрерывных смешанных производных результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, то из (6) получаем

т. е. условие (а) выполнено.

Следствие. Если условие (а) не выполнено, то выражение не является в области G полным дифференциалом некоторой функции.

Замечание. Можно доказать, что для конечной или бесконечной прямоугольной области

выполнение условия (а) также достаточно для существования функции и такой, что

Пример №18

Являются ли выражения

полными дифференциалами некоторых функций?

Решение:

Для первого выражения имеем Р = у. Q = -х. Отсюда

и, следовательно, условие полного дифференциала не выполнено, т. е. не существует функции, полный дифференциал которой равен у dx – х dy.

Для второго выражения получаем Р = У, Q = х и, следовательно,

Условие полного дифференциала выполнено. Так как плоскость можно рассматривать как бесконечную прямоугольную область, то у dx + ху есть полный дифференциал некоторой функции. Действительно,

Максимум и минимум функции нескольких переменных

Напомним, что под окрестностью точки плоскости понимается внутренность любого прямоугольника, окружающего эту точку, исключая саму точку (проколотая окрестность).

Аналогично, под окрестностью точки пространства понимается внутренность произвольного параллелепипеда, содержащего эту точку, за вычетом самой точки.

Определение: Максимумом (строгим) функции f(x, у) называется такое значение этой функции, которое больше всех ее значений f(x, у), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности точки . (Эта окрестность может быть весьма малой по своим линейным размерам.)

Аналогично у минимумом (строгим) функции f(x, у) называется такое значение этой функции, которое меньше всех ее значений f(x, у), принимаемых данной функцией в точках некоторой окрестности точки .

Максимум или минимум функции f(x, у) называется экстремумом этой функции, а точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума (соответственно точкой максимума или точкой минимума функции).

Аналогично определяется экстремум функции и т. д.

Укажем необходимый признак экстремума функции нескольких переменных.

Теорема: В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная первого порядка либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство: Рассмотрим для простоты функцию двух переменных , и пусть — ее максимум (рассуждения для минимума функции аналогичны).

Зафиксируем одну из переменных, например у, полагая у = у₀. Тогда получим функцию одной переменной

которая, очевидно, будет иметь максимум при х = х₀. Отсюда на основании теории экстремума функции одной переменной получаем, что

или не существует.

По смыслу определения функция должна иметь смысл на некотором множестве точек этой окрестности.

Совершенно так же доказывается, что или не существует.

Следствие. В точке экстремума дифференцируемой функции f(x, у) выполнены равенства

Аналогично, если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то

Замечание 1. Точку, в которой частные производные первого порядка некоторой функции либо равны нулю, либо не существуют, назовем критической для данной функции.

Тогда теорема эквивалентна утверждению: экстремумы функции нескольких переменных могут достигаться лишь в критических точках ее.

Замечание 2. Выведенные выше условия экстремума функции, вообще говоря, не являются достаточными, т. е. если, например, в некоторой точке все частные производные первого порядка функции равны нулю, то в этой точке функция не обязательно имеет экстремум.

Пример №19

Для функции f(x, у) = ху имеем

Следовательно,

Однако точка О(0, 0) не является точкой экстремума функции, так как в любой окрестности точки О имеются точки ( > 0 произвольно) такие, что

Пример №20

Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих сумму трех измерений, равную данной положительной величине а, найти тот, объем которого наибольший.

Обозначим измерения рассматриваемого прямоугольного параллелепипеда через . Его объем V выразится так: V = . Кроме того, согласно условию задачи имеем

Выразив z через х и у из последнего уравнения и подставив это значение z в выражение для V, получим

где переменные х и у являются независимыми.

Возьмем частные производные от V по х и у:

Приравняв эти частные производные нулю, будем иметь

Так как для искомого параллелепипеда величины х и у заведомо не равны нулю, то мы можем наши уравнения сократить на них. После простых преобразований получим систему

Решая обычным методом эту систему, находим х = а/3 и у = а/3. Следовательно, также z = а/3.

Итак, искомый параллелепипед есть куб, ребро которого равно а/3 (можно строго доказать, что объем его при данных условиях наибольший).

Абсолютный экстремум функции

Рассмотрим некоторое множество G точек плоскости (или пространства).

Точка М называется внутренней для множества G, если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью (рис. 216).

Точка N называется граничной для множества G, если в любой ее полной окрестности имеются точки, как принадлежащие G, так и не принадлежащие ему (рис. 216). Сама точка N не обязательно принадлежит множеству G.

Совокупность всех граничных точек множества G называется его границей Г.

Определение: Множество G будем называть областью, если все его точки — внутренние.

Множество G с присоединенной границей Г, т. е. множество , называется замкнутой областью.

Область называется ограниченной, если она целиком содержится внутри круга (или шара) достаточно большого радиуса.

Пример:

Внутренность К круга (рис. 217)

есть область; граница ее — окружность ; круг с присоединенной границей, т. е. совокупность точек, для которых , — замкнутая область.

Определение: Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется аболютным экстремумом функции (соответственно абсолютным минимумом или абсолютным максимумом) в этой области.

Имеет место следующая теорема:

Теорема Вейрштрасса: Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наименьшего и своего наибольшего значений.

Теорема: Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

Пример №21

Найти абсолютный экстремум функции z = ху в треугольной области S с вершинами 0(0, 0), А(1, 0), В(0, 2) (рис. 218).

Решение:

Имеем

Отсюда находим критическую точку О(0, 0) с координатами х=0, у = 0, принадлежащую области S.

Изучим поведение функции z на границе Г = ОАВО области S. На участке OA имеем у = 0 . Поэтому z = 0.

Аналогично, на участке ОВ имеем х = 0 , получаем z = 0.

Наконец, отрезок АВ имеет уравнение , или Отсюда

Имеем

при х = 1/2, откуда у = 1. Так как

то в точке функция z достигает своего наибольшего значения на отрезке АВ.

Итак, наименьшее значение функции в области S есть и оно реализуется в точках отрезков OA и ОВ, составляющих часть границы Г области S; наибольшее ее значение М = 1/2 достигается в точке , принадлежащей отрезку АВ границы Г.

Построение эмпирических формул по способу наименьших квадратов

В естествознании, в частности в физических и биологических науках, приходится пользоваться эмпирическими формулами, составленными на основании опыта и наблюдения. Один из наилучших методов получения таких формул — это способ наименьших квадратов. Изложим идею этого способа, ограничиваясь случаем линейной зависимости двух величин.

Пусть мы хотим установить зависимость между двумя величинами х и у (например, температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня). Производим соответствующие измерения (например, измерений) и результаты сопоставляем в таблице:

Будем рассматривать х и у как прямоугольные координаты точек на плоскости. Предположим, что точки с соответствующими координатами, взятыми из нашей таблицы, почти лежат на некоторой прямой линии, например располагаются так, как показано на рис. 219. Естественно в этом случае считать, что между х и у существует приближенная линейная зависимость, т. е. что у есть линейная функция от х, выражающаяся формулой

где — некоторые постоянные коэффициенты, подлежащие определению. Формула (1) может быть представлена в таком виде:

Так как точки (х, у) только приблизительно лежат на нашей прямой, то формулы (1) и (2) приближенные. Следовательно, подставляя в формулу (2) вместо х и у их значения взятые из предыдущей таблицы, мы получим равенства:

где

— некоторые числа, вообще говоря, не равные нулю, которые мы будем называть погрешностями.

Требуется подобрать коэффициенты таким образом, чтобы эти погрешности были по возможности малыми по абсолютной величине. Способ наименьших квадратов состоит в следующем: нужно подобрать коэффициенты а и b так, чтобы сумма квадратов погрешностей была возможно меньшей, т. е. потребуем, чтобы сумма

была наименьшей. Если эта минимальная сумма квадратов окажется малой, то тогда и сами погрешности будут малыми по абсолютной величине.

Примечание. Можно было бы попытаться вместо суммы квадратов погрешностей взять сумму их и искать коэффициенты а и b так, чтобы эта сумма была возможно малой по абсолютной величине. Однако это, очевидно, не обеспечит малости погрешностей, так как последние могут иметь различные знаки. Этого не может случиться, если задача решается методом наименьших квадратов.

Заменяя в выражении (5) числа (4) их значениями из равенств (3), получим такую величину:

В формуле (6) числа получены в результате измерений и рассматриваются как данные; коэффициенты же — неизвестные величины, подлежащие определению.

Итак, U можно рассматривать как функцию от двух переменных . Подберем коэффициенты а и b так, чтобы функция U получила возможно меньшее значение. Согласно предыдущему параграфу, для этого необходимо, чтобы соблюдались условия

Беря эти частные производные и для удобства выкладок снабжая их коэффициентом 1/2, будем иметь

Отсюда, приравнивая эти частные производные нулю, получим линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными :

Производя обычные алгебраические преобразования, представим эту систему в более простом виде:

или, введя сокращенные обозначения, имеем

Это окончательный вид так называемой нормальной системы способа наименьших квадратов. Из этой системы мы находим а и bf а затем подставляем их в нашу эмпирическую формулу

Пример:

Пусть результаты измерений величин х и у и итоги обработки их занесены в следующую таблицу:

Положим

Нормальная система (7) имеет вид

Решая эти уравнения, получим а = 0,425, = 1,175. Отсюда

В последнем столбце таблицы даны соответствующие погрешности.

Вычисление функции нескольких переменных

Во многих вопросах естествознания приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных.

Пример: Площадь прямоугольного треугольника с катетами

 и  может быть задана в виде функции где

Пример: Объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями  и представляет собой функцию где

Пример: Величина силы притяжения  двух материальных точек, имеющих массы  и и занимающих соответственно положения  и  согласно закону Ньютона задается формулой  

где  – некоторая константа, так называемая «постоянная тяготения».

Определение 10.1. Если каждой упорядоченной совокупности значений переменных соответствует определенное значение переменной то будем называть функцией независимых переменных и записывать В случае

Замечание 10.1. Всякая функция от нескольких переменных (ФНП) становится функцией от меньшего числа переменных, если часть переменных зафиксировать, т. е. придать им постоянные значения.

Как и в случае одной независимой переменной ФНП существует, вообще говоря, не для любых значений

Определение 10.2. Совокупность наборов (точек при которых определяется функция  называется областью определения или областью существования этой функции.

Область определения функции двух переменных представляет собой некоторое множество точек плоскости и наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений и  изображать точкой  в плоскости то область определения функции будет представлять собой некоторую совокупность точек на плоскости. В частности, областью определения может быть и вся плоскость. На практике изучаются случаи областей, представляющих часть плоскости, ограниченную линией. Линия, ограничивающая данную область, называется границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними точками области.

Пример №22

Найти область определения функции 

Решение.

Область определения функции будет задана условием 

или т. е. представляет собой единичный круг с центром в начале координат.

Определение 10.3. Геометрическим изображением или графиком функции двух переменных называется множество точек пространства определяющее, вообще говоря, поверхность в системе координат

Геометрические изображения функций трех и большего числа переменных не имеют простого геометрического смысла.

Определение 10.4. Линией уровня функции называется множество точек плоскости  для которых данная функция имеет одно и то же значение (изокривая).

Таким образом, уравнение линии уровня имеет вид где  – некоторая постоянная.

Пример №23

Построить семейство линий уровня функции 

Решение.

Придавая  неотрицательные значения получим следующие уравнения линий уровня функции:

 – точка

– окружность радиуса

– окружность радиуса и т. д. 

Таким образом, линии уровня данной функции представляют собой семейство концентрических окружностей с центром в точке  Построив эти линии, получим «карту поверхности» для данной функции с отмеченными высотами (рис. 10.1).

На рисунке видно, что функция растет вдоль каждого радиального направления. Поэтому в системе координат  геометрический образ функции представляет собой гигантскую «яму» с круто растущими краями. Геометрически – это параболоид вращения (рис. 10.2).

Определение 10.5. Поверхностью уровня функции

называется множество точек пространства для которых данная функция имеет одно и то же значение (изоповерхпость).

Линии и поверхности уровня постоянно встречаются в физических вопросах. Например, соединив на карте поверхности Земли точки с одинаковой среднесуточной температурой или давлением, получим изотермы и изобары, являющиеся важными исходными данными для прогноза погоды. Параллели и меридианы на глобусе -это линии уровня функций широты и долготы.

Предел и непрерывность ФНП

Рассмотрим функцию двух переменных  

Определение 11.1. Окрестностью радиуса точки называется совокупность всех точек удовлетворяющих неравенству

т. е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса с центром в точке

В дальнейшем, говоря, что функция  обладает каким-либо свойством «вблизи точки » или «в окрестности точки», под этим будем подразумевать, что найдется такой круг с центром  во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством.

Пусть функция  определена в некоторой области плоскости Рассмотрим некоторую определенную точку лежащую в области или на ее границе.

Определение 11.2. Число  называется пределом функции при стремлении точки  к точке (или при ), если для такое, что для всех точек удовлетворяющих условию  будет выполнено: Обозначение:

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №24

Найти предел 

Решение.

Обозначим 

Условие равносильно тому, что Получим

Ответ: 0.

Вычисление пределов функций двух переменных, как правило, оказывается более трудной задачей по сравнению со случаем функций одной переменной. Причина состоит в том, что на прямой существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке – а именно, справа и слева. На плоскости же таких направлений бесконечное множество и пределы функций по разным направлениям могут не совпадать.

Пример №25

Доказать, что  — не существует.

Решение.

Будем приближаться к точке по прямым

Таким образом, значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Но, так как предел функции не должен зависеть от способа приближения точки к точке то рассматриваемый предел не существует.

Ответ: предел не существует.

Замечание 11.1. Для функции переменных можно рассматривать так называемых повторных пределов. В частности, в случае функции двух переменных можно рассматривать два повторных предела в точке

 и 

Пример №26

Вычислить повторные пределы функции  в точке

Решение.

Вывод. Так как повторные пределы конечны, но имеют различные значения, то при вычислении повторных пределов порядок следования предельных переходов по разным значениям влияет на результат.

Определение 11.3. Функция называется непрерывной в точке если она:

1) определена в точке 

2) имеет конечный предел при

3) предел равен значению функции в точке, т. е. 

Нарушение любого или нескольких из условий определения дает точку разрыва функции.

Геометрический смысл непрерывности состоит в том, что график функции в точке представляет собой сплошную не расслаивающуюся поверхность.

Пусть переменной дано приращение а переменная у оставлена неизменной. Тогда разность

    (11.1)

называется частным приращением функции по переменной 

Если неизменной остается переменная то разность

    (11.2)

называется частным приращением функции  по переменной 

В случае, когда обе переменные и получают соответствующие приращения  и приращение функции

(11.3) называется полным приращением функции

Естественно, при определении данных понятий рассматриваются лишь такие точки и для которых функция определена. Из формул (11.1), (11.2) и (11.3) следует, что

Пример №27

Найти полное и частные приращения функции  если изменяется от 2 до 2,2,  изменяется от 1 до 0,9.

Решение.

Вычислим значения функции  в точках (2; 1), (2,2; 1), (2; 0,9) и (2,2; 0,9). Получим

 и

Тогда

Так как  то имеем случай

Ответ: 

Определение 11.4. Функция называется непрерывной в предельной точке из области определения функции, если

Заметим, что предельной точкой области определения называется точка, для которой функция определена как и в ней самой, так и в некоторой ее окрестности.

Определение 11.5. Функция называется непрерывной в области если функция непрерывна в каждой точке рассматриваемой области, т. е. если для каждой точки области выполнено:

Частные производные функции нескольких переменных

Определение 12.1. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении приращения переменной к нулю (если этот предел существует).

Обозначения в случае и или и или

и или и

Таким образом, для функции  по определению:

    (12.1)

  (12.2)

Согласно формулам (12.1) и (12.2), если для функции  вычисляется производная то переменная считается постоянной; если же вычисляется производная то переменная считается постоянной. Следовательно, частное дифференцирование не требует никаких новых правил, и можно пользоваться известными формулами.

В общем случае, если и требуется найти 

постоянными следует считать переменные

Пример: Найти частные производные функции 

Ответ:

Пример: Найти частные производные функции 

Ответ: 

Геометрический смысл частных производных: геометрическим изображением функции является некоторая поверхность Полагая получим некоторую плоскую кривую . (рис. 12.1). Пусть – касательная к кривой в точке – угол, образованный этой касательной с положительным направлением оси

Аналогичный смысл имеет и

Частные производные высших порядков

Рассмотрим функцию Если данная функция имеет в некоторой открытой области  частную производную по одной из переменных, то данная производная, сама являясь функцией от и  может в свою очередь в некоторой точке иметь частную производную по той же или другой переменной. Для исходной функции частные производные и называют частными производными первого порядка. Тогда, если первая производная была взята, например, по  ее производные

 и 

или и называются частными производными второго порядка.

Аналогичным образом определяются частные производные третьего, четвертого и более высоких порядков.

Частная производная высшего порядка, взятая по различным переменным, например, называется смешанной частной производной.

Пример №28

Найти все частные производные второго порядка

функции  

Решение.

Ответ:

Пример №29

Найти все частные производные второго порядка

функции 

Решение.

Ответ:  Заметим, что равенство смешанных производных не вытекает из самого определения смешанных производных. Существуют случаи, когда такого совпадения не наблюдается.

Теорема 13.1*. Пусть:

1) функция определена в открытой области

2) в этой области существуют первые производные  и 

3) в этой области существуют вторые смешанные производные и которые, как функции и непрерывны в некоторой точке области

Тогда в этой точке

Дифференцируемость ФНП

Определение 14.1. Функция называется дифференцируемой в точке если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

(14.1)

где и – бесконечно малые функции при  и

Теорема 14.1. Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Если функция дифференцируема в точке то из формулы (14.1) следует, что или

откуда  что и означает непрерывность функции в точке. 

Теорема 14.2 (необходимые условия дифференцируемости).

Если функция дифференцируема в точке то она имеет в этой точке частные производные и  причем 

Доказательство.

Так как функция дифференцируема в точке  то ее приращение в этой точке представимо в виде (14.1). Полагая получим

где – бесконечно малая функция при

Разделив полученное выражение на  и перейдя к пределу при получим

С другой стороны, по определению частной производной,

Следовательно, в точке существует

Аналогично доказывается, что в точке существует 

Замечание 14.1. Обратные утверждения к теоремам 14.1 и 14.2 не верны, т. е. из непрерывности ФНП в точке и существования частных производных не следует дифференцируемость.

Пример:

Функция

непрерывна на всей плоскости, на всей плоскости имеет частные производные, однако формула (14.1) не имеет места для данной функции в точке

Теорема 14.3* (достаточное условие дифференцируемости).

Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки непрерывные в самой точке то функция дифференцируема в этой точке.

Понятие дифференцируемости для функции трех и более переменных вводится аналогично.

Определение 14.2. Функция нескольких переменных, дифференцируемая в каждой точке некоторого множества, называется дифференцируемой на этом множестве.

Полный дифференциал ФНП и его использование в приближенных вычислениях

Определение 15.1. Полным дифференциалом  дифференцируемой в точке функции  называется главная, линейная относительно приращений и  часть полного приращения этой функции в точке т. е.

Напомним (см. раздел 2), что для независимых переменных и их любые приращения и считают дифференциалами:

Тогда полный дифференциал функции  можно записать в виде

  (15.1)

Полный дифференциал имеет широкое применение в приближенных вычислениях. Если рассмотреть функцию  дифференцируемую в точке то

откуда

Так как то, используя представление  по формуле (15.1), получим

(15.2)

приближенная формула, верная с точностью до бесконечно малых более высоких порядков относительно  и

Пример №30

Вычислить приближенно  

Решение.

Рассмотрим функцию  Искомое число можно считать приращенным значением функции в точке при  

Согласно формуле (15.2):

Поскольку

то окончательно получим

Ответ: 

С помощью полного дифференциала функции можно также выяснить, как отражаются на значении функции погрешности ее аргументов.

Пример №31

Определить предельную абсолютную погрешность  функции зная предельные абсолютные погрешности  и ее аргументов и  и

Решение. По определению:

Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получим

откуда можно получить оценку:

Следовательно, за предельную абсолютную погрешность функции  можно принять

    (15.3)

Используя (15.3), можно также определить относительную погрешность функции

Ответ:

Определение 15.2. Полным дифференциалом второго порядка функции

называется полный дифференциал от ее полного дифференциала.

По определению, получим

Частные производные сложной функции

Предположим, что в формуле

    (16.1)

переменные и являются непрерывными функциями независимых переменных  и

и     (16.2)

В этом случае функция является сложной функцией аргументов и

Предположим, что функции имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Вычислим частные производные и исходя из формул (16.1) и (16.2) и не используя  непосредственное представление функции через и 

Придадим аргументу приращение сохраняя значение  неизменным. Тогда, в силу (16.2), и  получат приращения и но тогда и функция получит следующее приращение:

где и – бесконечно малые функции при Разделим обе части формулы на 

Если  то, в силу непрерывности  и  и

Переходя к пределу при получим

   (16.3)

Если придать аргументу  приращение сохраняя значение  неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений можно получить

   (16.4)

Пример №32

Найти частные производные и для функции если  и  

Решение.

Получим

где  и 

Заметим, что при записи ответа в выражения для частных производных вместо и можно подставить их выражения через и  однако это повлечет за собой громоздкие выражения.

Ответ: 

где  и 

Для случая большего числа переменных формулы (16.3) и (16.4) естественным образом обобщаются. Например, если где и  то

Пусть исходная функция имеет вид  где и зависят от одной переменной  Тогда, по сути, функция является функцией только одной переменной и можно ставить вопрос о нахождении производной которая называется полной производной функции

    (16.5)

Пример №33

Найти и для функции если 

Решение:

Формула (16.5) в данном случае принимает вид:

Поэтому

Ответ:

где

Производная от функции, заданной неявно

Теорема 17.1. Пусть непрерывная функция  от задается уравнением

    (17.1)

и – непрерывные функции в некоторой области содержащей точку координаты которой удовлетворяют уравнению (17.1), причем

Тогда функция от будет иметь производную

    (17.2)

Доказательство.

Пусть некоторому значению соответствует значение функции при этом

Придадим независимой переменной приращение тогда функция получит приращение  т. е. значению переменной  соответствует значение функции  В силу (17.1)

 поэтому 

Выражение слева представляет собой полное приращение функции двух переменных, которое также можно записать в виде:

где и – БМФ при  и

Откуда

Разделим обе части равенства на  и выразим

Переходя к пределу при получим

Следует заметить, что в данном случае производная определяемая формулой (17.2), представляет собой производную  функции одной переменной заданной неявно.

Пример №34

Найти производную функции заданной уравнением

Решение.

Заметим, что уравнение задает две непрерывные

функции  и поэтому непосредственное вычисление производной не может быть выполнено.

dF    dF

Воспользуемся формулой (17.2). Так как то

Ответ:

Теорема 17.2*. Пусть функция непрерывна в окрестности точки и имеет в ней непрерывные частные производные, причем a Тогда существует окрестность, содержащая точку в которой уравнение определяет однозначную функцию

Пусть функция от переменных и задается уравнением

Найдем частные производные и Считая переменную 

постоянной и используя формулу (17.2), получим частную производную Аналогично можно получить Заметим, что при получении формул использовано предположение 

Пример №35

Найти частные производные функции заданной уравнением

Решение.

Преобразуем исходное уравнение к виду  и найдем

частные производные

Воспользуемся формулами и  Получаем

Ответ: 

Производная ФНП по направлению

Рассмотрим в области  непрерывную функцию  имеющую непрерывные частные производные по всем своим переменным. Проведем из некоторой точки данной области вектор  По направлению вектора  на расстоянии  от его начала, рассмотрим точку рис. 18.1

Таким образом,

Рассмотрим полное приращение функции

 (18.1)

где  – БМФ при 

Разделим обе части равенства (18.1) на

(18.2) 

Очевидно, что

Следовательно, равенство (18.2) можно переписать в виде:

(18.3)

где – бесконечно малые функции при

Определение 18.1. Производной от функции в точке по направлению вектора  называется предел отношения при

Обозначение: 

Производная показывает скорость изменения функции в направлении вектора

Переходя к пределу в равенстве (18.3), получим

    (18.4)

Из (18.4) следует, что, зная частные производные функции, легко найти производную по любому направлению вектора 

Заметим, что частные производные являются, по сути, частными случаями производной по направлению.

Так, например, при  и

Пример №36

Для функции найти производную  в точке по направлению вектора

Решение.

Найдем частные производные функции в точке

Так как  то направляющие косинусы вектора будут определяться формулами:  
Тогда
Следовательно,

Ответ: 

Градиент

Рассмотрим функцию определенную в области  

Определение 19.1. Говорят, что в области  определено скалярное поле, если для каждой точки задано некоторое число (скаляр), т. е.

Таким образом, функция – числовая функция точки.

Пример: Температурное поле; распределение концентрации вещества в растворе.

Определение 19.2. Говорят, что в области  определено векторное поле, если для каждой точки задан некоторый вектор, т. е.

Пример: Силовое поле, создаваемое некоторым притягивающим центром.

В каждой точке области в которой задана функция определим вектор, проекциями которого на оси координат являются частные производные и этой функции в соответствующей точке:

Этот вектор называется градиентом функции

Обозначение: – набла).

Таким образом, скалярное поле, задаваемое функцией  порождает векторное поле – поле градиентов 

Теорема 19.1. Пусть дано скалярное поле и в нем определено поле градиентов. Тогда производная по направлению некоторого вектора  равна проекции вектора на вектор

Доказательство.

Рассмотрим единичный вектор  соответствующий вектору

Вычислим скалярное произведение векторов и

   (19.1)

Правая часть формулы (19.1) – производная функции  по направлению вектора  Следовательно,

Если обозначить угол между векторами  и через то можно записать:

    (19.2)

Свойства градиента

1. Производная в точке по направлению вектора  имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно (следует непосредственно из равенства (19.2)).

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору  равна нулю (следует из равенства (19.2) при 

Определение 19.3. Точка в которой

называется особой для скалярного поля; в противном случае обыкновенной (неособой).

Теорема 19.2*. Во всякой неособой точке плоского скалярного поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня, проходящей через эту точку, в сторону возрастания поля.

Пример №37

Найти скорость и направление наибыстрейшего возрастания функции  в точке

Решение.

Направление наибыстрейшего возрастания функции в точке совпадает с направлением градиента, а его скорость равна значению длины градиента в этой точке.

Найдем градиент функции в общем виде 

В данном случае  В точке  

Скорость возрастания составит:

Ответ: направление наибыстрейшего возрастания функции  в точке задается вектором  а его скорость составляет

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим функцию Ее графиком является некоторая поверхность

Определение 20.1. Касательной плоскостью к поверхности  в данной точке называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Получим уравнение касательной плоскости к поверхности в точке Рассмотрим сечения поверхности плоскостями и (рис. 20.1). Линия пересечения поверхности с плоскостью будет определяться системой  линия пересечения поверхности с плоскостью

будет определяться системой

Уравнения касательных прямых и  к линиям и в точке можно представить через пересечение плоскостей соответственно

     (20.1)

     (20.2)

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали имеет вид откуда при

    (20.3)
Касательные прямые и к линиям и  получаются сечением плоскости (формула (20.3)) двумя плоскостями и Следовательно, уравнения касательной прямой имеют вид

      (20.4)

уравнения касательной прямой имеют вид

Подставим эти значения в уравнение (20.3), преобразуем и получим уравнение касательной плоскости  проходящей через касательные прямые  и

    (20.6)

В случае неявного задания поверхности  уравнением так как

уравнение касательной плоскости проходящей через касательные прямые  и принимает вид

    (20.7)

Заметим, что точка, в которой хотя бы одна из частных производных или не существует

или обращается в нуль, называется особой точкой поверхности. В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости.

Определение 20.2. Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

Воспользуемся условием перпендикулярности прямой и плоскости и запишем уравнения нормали к поверхности в точке

   (20 8)

В случае неявного задания поверхности уравнением уравнения нормали к поверхности в точке  примут вид

   (20.9)

Пример №38

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

Решение.

Найдем частные производные функции  в точке

Уравнения нормали найдем по формуле (20.8):

или

Ответ:

Пример №39

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке

Решение.

Найдем частные производные функции в точке

Уравнение касательной плоскости найдем по формуле (20.7): 

Уравнения нормали найдем по формуле (20.9):

или

Ответ:

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

Определение 21.1. Функция имеет локальный максимум (минимум) в точке если существует окрестность данной точки, такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство

Пример: Функция  достигает минимума в точке

Теорема 21.1*(необходимые условия экстремума). Если функция имеет экстремум в точке то каждая частная производная первого порядка данной функции или обращается в этой точке в нуль, или не существует.

Так же, как и в случае функции одной переменной, точки, в которых частные производные обращаются в нуль или не существуют, называются критическими (стационарными) точками функции

Теорема 21.2* (достаточные условия экстремума). Пусть функция определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой области  Пусть точка — критическая точка функции  Обозначим

Тогда, если

то в точке  функция имеет экстремум, причем если – максимум, если – минимум;

— функция экстремума не имеет;

– необходимы дополнительные исследования.

Заметим, что в случае т.е. когда в точке  функция не имеет ни минимума, ни максимума, поверхность, служащая графиком функции, может вблизи этой точки иметь форму «седла». Например, (рис. 21.1). В этом случае говорят, что в данной точке наблюдается явление минимакса.

Теорема 21.3* (достаточные условия экстремума). Пусть функция определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой области  Пусть точка — критическая точка функции Тогда, если:

 (при ), то в точке функция имеет максимум;

(при ), то в точке функция имеет минимум.

Пример №40

Исследовать на экстремум функцию

Решение.

Используя необходимые условия экстремума, найдем критические точки. Для этого найдем частные производные первого порядка

и решим систему уравнении

Таким образом, получены две критические точки и

Для исследования характера критических точек найдем частные производные второго порядка 

Тогда 
Для точки  т. е. в этой точке функция не имеет экстремума.

Для точки  т. е. в этой точке функция имеет экстремум, причем следовательно, это минимум.

Если для определения характера экстремума использовать дифференциал второго порядка, то рассуждения будут следующие. Для данной функции

Тогда

т. е. еще раз показано, что в точке функция имеет минимум.

Ответ: 

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Рассмотрим некоторое множество  точек на плоскости.

Напомним ряд следующих определений.

Точка называется внутренней точкой множества  если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

Точка называется граничной точкой множества если в любой ее окрестности имеются точки как принадлежащие так и не принадлежащие этому множеству.

Совокупность всех граничных точек множества называется его границей 

Множество называется областью (открытым множеством), если все его точки внутренние.

Множество с присоединенной границей т. е. называется замкнутой областью.

Область называется ограниченной, если она целиком содержится внутри круга достаточно большого радиуса.

Определение 22.1. Наибольшее или наименьшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом (абсолютным максимумом или абсолютным минимумом) функции в этой области.

Теорема 22.1*. Абсолютный экстремум непрерывной функции  в области  достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

Пример №41

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в треугольной области  с вершинами и

Решение.

Изобразим область графически, рис. 22.1. Найдем частные производные функции:

Определим ее критические точки из решения системы уравнений:

Таким образом, критической точкой функции является точка принадлежащая области  Вычислим

Исследуем поведение функции на границе области.

На отрезке следовательно, для всех точек отрезка. Имеем функцию одной переменной

Найдем производную для  и определим критические точки на данном отрезке из решения уравнения Получаем, Вычислим значение функции в точке Вычислим также значения функции на концах отрезка:

На отрезке  следовательно для всех точек отрезка. Имеем функцию одной переменной

Найдем производную для и определим критические точки на данном отрезке из решения уравнения Получаем  Вычислим значение функции в точке Вычислим также значения функции на концах отрезка:  (получено ранее),

Рассмотрим отрезок  Он представляет собой часть прямой, проходящей через точки и Получим уравнение данной прямой по формуле  Имеем

Таким образом, на отрезке следовательно

Имеем функцию одной переменной Найдем производную для 

 и определим критические точки на данном отрезке из решения уравнения Получаем Вычислим значение функции в точке  Значения функции на концах отрезка вычислены ранее.

Сравнив все вычисленные значения функции, имеем и

Ответ: и

Условный экстремум ФНП

В ряде задач на поиск наибольших и наименьших значений ФНП переменные бывают связаны друг с другом некоторыми добавочными условиями. В этом случае говорят об условном экстремуме. Заметим, что необходимым условием разрешимости является то, что число уравнений обязательно меньше числа переменных.

Рассмотрим вопрос об условном экстремуме функции двух переменных, если переменные связаны одним условием.

Пусть требуется найти экстремумы функции

    (23.1)

при условии, что и связаны уравнением

    (23.2)

В определенных случаях данная задача может быть решена методом подстановки. Если удастся, например, разрешить уравнение (23.2) относительно то, подставляя в (23.1) вместо найденное выражение, получим функцию одной переменной и тогда исходная задача будет сведена к задаче исследования на экстремум функции одной независимой переменной .

В случае, когда разрешить уравнение (23.2) не представляется возможным, используют другие методы. В частности, используется метод множителей Лагранжа.

Суть метода сводится к следующему: на основании исходной функции (23.1) и условия связи (23.2) строится вспомогательная функция Лагранжа

Функция – функция трех переменных. Необходимым условием существования экстремума данной функции (в предположении, что исходные функции непрерывно дифференцируемы) является равенство нулю частных производных. Система для определения критических точек функции Лагранжа имеет вид:

      или              (23.3)

Решения системы (23.3) определяют критические точки функции Лагранжа, а также – критические точки функции (23.1) при условии (23.2).

Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака дифференциала второго порядка функции Лагранжа.

Теорема 23.1*. Пусть функции и определены и имеют непрерывные частные производные второго порядка в некоторой области  Пусть точка — критическая точка функции причем Тогда, если при выполнении условий

 то в точке функция  имеет условный максимум;  то в точке  функция имеет условный минимум.

Теорема 23.2*. Пусть функции  и  определены и имеют непрерывные частные производные второго порядка в некоторой области Пусть точка – критическая точка функции  причем  Тогда если

то в точке  функция имеет условный максимум; если то в точке функция имеет условный минимум.

Заметим, что параметр  носит вспомогательный характер и в вычислении значений условных экстремумов не используется.

Пример №42

Найти экстремумы функции при условии 

 

Решение.

Преобразуем условие связи к виду (23.2):

Составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные функции Лагранжа:

Система для определения критических точек имеет вид:

Решив систему, получим: и . Для определения характера экстремума найдем частные производные второго порядка функции Лагранжа:

Выполнение условия означает: тогда

Так как то в точке исходная функция имеет условный минимум, причем

так как  то в точке исходная функция имеет условный максимум, причем 

Для определения характера экстремума с использованием определителя, составим его в общем виде:

Так как  то в точке  исходная функция имеет условный минимум, причем  так как то в точке исходная функция имеет условный максимум, причем

Ответ:  

В случае если требуется найти экстремумы функции  переменных при условии, что переменные связаны  уравнениями связи

составляется функция Лагранжа с множителями

Для определения критических точек необходимо решить систему из уравнений:

Наличие и характер экстремума можно установить, используя дифференциал второго порядка функции Лагранжа.

Метод наименьших квадратов нахождения приближенной функциональной зависимости двух переменных

Пусть на основании наблюдений требуется установить функциональную зависимость показателя от фактора 

   (24.1)

Пусть в результате наблюдений получено значений  при соответствующих значениях фактора табл. 24.1.

Таблица 24.1

Вид функции (24.1), называемой функцией регрессии, устанавливается или из теоретических соображений, или на основании характера расположения на координатной плоскости точек, соответствующих результатам наблюдений (поле корреляции).

При выбранном виде функции где -неизвестные параметры, остается подобрать их так, чтобы в каком-то смысле функция наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс.

Широко распространенным методом решения данной задачи является метод наименьших квадратов (МНК). Рассмотрим сумму квадратов разностей значений yt, полученных в результате наблюдений, и функции в соответствующих точках:

    (24.2)

Подберем параметры так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение. Таким образом, задача сводится к нахождению таких значений параметров при которых функция имеет минимум.

На основании необходимых условий экстремума ФНП получаем, что значения параметров должны удовлетворять системе уравнений

или      (24.3)
В системе (24.3) уравнений столько, сколько неизвестных параметров имеет функция (24.2).

Заметим, что вопрос о существовании решения системы уравнений (24.3) и существовании минимума функции (24.2) исследуется в каждом конкретном случае в зависимости от вида выбранной функции

Случай линейной зависимости

Предположим, что между значениями фактора и признака  существует линейная зависимость вида Функция (24.2) в этом случае принимает вид:

   (24.4)

Это функция с двумя переменными  и так как и – заданные числа. Следовательно, система для определения критических точек функции (24.4) будет следующей:

Откуда

Так как неизвестными в данной системе являются и то удобнее привести ее к виду:

    (24.5)

Заметим, что методом математической индукции можно доказать, что определитель матрицы коэффициентов системы (24.5),

при  положителен, т. е.  Это позволяет сделать вывод, что (24.5) имеет единственное решение. Получаем

      (24.6)

Покажем, что найденные значения параметров и определяют минимум функции (24.4). Для этого найдем частные производные второго порядка:

Тогда  а это означает, что при найденных значениях параметров и функция (24.4) имеет экстремум. Очевидно, что  Значит, функция (24.4), при данных значениях и имеет единственную точку минимума.

Случай квадратичной зависимости

Предположим, что между значениями фактора и признака

существует квадратичная зависимость вида:  Функция (24.2) в этом случае принимает вид:

Это функция трех переменных: Система уравнений (24.3) принимает вид:

После преобразований, получаем

Получена система линейных уравнений для определения неизвестных Можно доказать, что определитель этой системы отличен от нуля, следовательно, она будет иметь единственное решение. При полученных значениях параметров функция  будет иметь минимум.

Случаи сведения функций к линейной. Выбор «лучшей» функции

Рассмотрим другие виды функций, используемых в экономических исследованиях и способы их сведения к линейной зависимости, табл. 24.2.

Таблица 24.2

Для проверки адекватности построенной зависимости реальному поведению значений и  можно использовать коэффициент аппроксимации МАРЕ:

    (24.7)
где – значения функции регрессии, вычисленные по соответствующим значениям 

В случае, если  полученная функция регрессии имеет высокую точность. Если точность функции регрессии хорошая (допустимая). При точность полученной функции удовлетворительная, однако использование данной зависимости на практике спорно. При точность неудовлетворительная и использование данной функции в анализе недопустимо.

В случае если при исследованиях зависимость и  определили с помощью нескольких функций, то для выбора «лучшей» рассчитывают среднюю квадратичную ошибку

     (24.8)

где – количество параметров полученной функции.

Для дальнейших исследований обычно используют функцию с наименьшей квадратичной ошибкой.

Пример: В табл. 24.3 приведены данные о зависимости значений признака от значений фактора

Таблица 24.3

Требуется:

1) построить функцию регрессии вида оценить ее качество, найти среднюю квадратичную ошибку уравнения регрессии;

2) построить функцию регрессии вида  оценить ее качество, найти среднюю квадратичную ошибку уравнения регрессии;

3) сравнить полученные результаты и сделать вывод о возможности их использования в прогнозировании.

Решение.

Для построения функций регрессии будем использовать метод наименьших квадратов. Все расчеты будем выполнять с точностью до трех знаков после запятой.

1. В случае линейной регрессии система для определения параметров и  будет иметь вид (24.5).

Все вспомогательные вычисления по определению постоянных коэффициентов данной системы представим в табл. 24.4.

Таблица 24.4

Система для определения параметров принимает вид:

Воспользуемся формулами (24.6) и получим

Таким образом, в случае линейной зависимости, функция регрессии принимает вид

Для оценки качества полученной функции регрессии будем использовать коэффициент аппроксимации МАРЕ (24.7), среднюю квадратичную ошибку рассчитаем по формуле (24.8). Все вспомогательные вычисления представим в табл. 24.5. Согласно расчетам, коэффициент аппроксимации что соответствует высокой точности функции.

Средняя квадратичная ошибка составит

Таблица 24.5

2. В случае зависимости вида предварительно требуется выполнить замену Выполнив все вспомогательные вычисления по определению постоянных коэффициентов получим систему:

откуда  Таким образом, в случае квадратичной зависимости, функция регрессии принимает вид

Кроме того, в данном случае вычисления позволяют получить следующие результаты:

что соответствует допустимой точности функции регрессии; средняя квадратичная ошибка составит

3. Таким образом, функция регрессии обладает высокой точностью, функция регрессии -допустимой точностью, а это означает, что использование первой функции обеспечит более достоверные результаты при прогнозировании. Средняя квадратичная ошибка для функции  также меньше, чем для функции 

Вывод. На основе данных о зависимости значений признака  от значений фактора  были построены две функции регрессии:  и В целях прогнозирования рекомендуется использовать зависимость вида  так как она обладает высокой точностью соответствия исходным данным и меньшей средней квадратичной ошибкой функции регрессии.

Системы координат в пространстве: Как отмечалось в
лекции 2, положение точки в пространстве можно определить в
декартовой системе координат тремя числами — ее координатами по трем взаимно перпендикулярным осям (ось абсцисс), (ось ординат), (ось аппликат) т.е. проекциями точки на соответствующие оси (рис. 29).

Определение:

Поверхность, для которой одна из координат
является постоянной, называется координатной поверхностью.

Определение:

Линия, для которой все координаты, кроме
одной, являются постоянными, называется координатной линией.

Для декартовой системы координат координатными поверхностями
являются плоскости, параллельные координатным плоскостям.
Действительно, в соответствии с определением (48.1) их уравнения имеют вид: или а в соответствии с изложенным в лекции 33 это есть уравнения плоскостей, параллельных плоскостям соответственно.

Координатными линиями для декартовой системы координат
являются прямые, параллельные координатным осям, получающиеся как пересечение координатных плоскостей.

Вообще можно заметить, что координатные линии являются
пересечением координатных поверхностей.

Наряду с декартовыми координатами часто применяются
цилиндрические координаты. В этих координатах положение точки в пространстве определяется заданием полярных координат и ее проекции на плоскость и аппликаты точки (рис. 30). Эти три числа , и называются цилиндрическими координатами точки . Они связаны с ее декартовыми координатами , , следующими соотношениями:

Для цилиндрических координат координатными поверхностями
являются плоскости, перпендикулярные координатной оси полуплоскости, ограниченные осью и цилиндрические поверхности Последний факт объясняет название системы координат. Координатными линиями будут линии пересечения этих поверхностей.

Кроме декартовых и цилиндрических координат в пространстве
также применяются сферические координаты. В этих координатах
положение точки в пространстве определяется длиной радиуса-вектора этой точки (полярный радиус), ее долготой и широтой (рис. 31).

Долготой точки называется полярный угол ее проекции на плоскость широтой называется угол радиуса-вектора точки с положительным направлением оси

Сферические координаты связаны с декартовыми следующими
соотношениями:

Для сферических координат координатными поверхностями являются сферы с центром в начале координат полуплоскости, ограниченные осью и конусы с вершиной в начале координат и осью в качестве оси симметрии Координатными линиями
будут линии пересечения этих поверхностей. Название системы координат объясняется наличием сфер среди координатных поверхностей.

Основные понятия функций двух переменных

Определение функции одной переменной было дано в лекции 3 части 1 Курса. По аналогии с этим определением введем понятие функции двух переменных.

Определение:

Функцией двух переменных называется правило,
которое каждой паре действительных чисел ставит в соответствие единственное число

Переменные и — называются независимыми переменными или
аргументами, переменная — зависимой переменной или функцией, множество называется областью определения множество называется областью изменения или множеством значений функции

Обозначать функцию двух переменных будем аналогично тому, как
это делали для функции одной переменной: Значение функции для фиксированного значения аргументов будем обозначать или: Так как каждой паре чисел соответствует единственная точка плоскости в декартовых координатах и наоборот, то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки и писать: или Областью определения функции в этом случае будет некоторое множество точек плоскости

Пример:

Периметр параллелограмма со сторонами и определяется по формуле и является функцией двух переменных. Областью определения этой функции является множество всех пар неотрицательных чисел т.е. первый квадрант плоскости Множеством значений функции является множество всех неотрицательных чисел.

Основными способами задания функции двух переменных являются
аналитический и табличный.
При аналитическом способе функция задается посредством формул.
При этом она может быть задана в декартовой, цилиндрической или
сферической системе координат в явном и неявном виде.

Если в уравнении, определяющем функцию, значение функции выражено в явном виде (изолировано в левой части уравнения), то говорят, что функция задана в явном виде:

Пример:

Функция задана в явном виде.

Область определения данной функции есть множество точек плоскости для которых область изменения есть

Если в уравнении, определяющем функцию, значение функции не изолированно, то говорят, что функция задана в неявном виде уравнением вида:

При этом остается требование, чтобы каждой паре чисел из области определения соответствовало единственное значение .

Пример:

Функция задана в неявном виде. Это уравнение определяет две функции и Как известно из курса средней школы, это есть уравнение сферы радиуса с центром в начале координат. Первая функция определяет верхнюю полусферу, вторая — нижнюю.

Область определения каждой из этих функций:

т.е. круг на плоскости радиуса с центром в начале координат.

Для табличного задания функции двух переменных составляется таблица «с двойным входом» вида:

Табличное задание функции

В первой строке таблицы перечисляются значения аргумента в
левом столбце — значения аргумента , в остальных клетках — соответствующие значению аргумента . Значение функции соответствующее данному значению аргумента (например ) и (например ) расположено на пересечении соответствующего столбца и строки:

Графиком функции двух переменных является множество точек
пространства, удовлетворяющих уравнению функции. Для функции двух переменных это будет в общем случае некоторая поверхность (см. пример 48.3).
Следует отметить, что поскольку эта поверхность изображается в
проекции на плоскость (лист бумаги), изображение графиков функции двух переменных вызывает определенные трудности. Однако в настоящее время в связи с широким распространением персональных компьютеров с большим набором графических пакетов прикладных программ эти трудности отступают на второй план по сравнению с наглядностью графического метода представления функции.

Функции более двух независимых переменных

На
практике встречаются функции трех и более независимых переменных. Так, например, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от трех аргументов — длины ширины и высоты

Определение:

Функцией трех переменных называется
правило, которое каждой тройке действительных чисел ставит в соответствие единственное число

Переменные называют независимыми переменными или аргументами, переменную — зависимой переменной или функцией, множество называют областью определения функции множество — областью изменения или множеством значений функции

Обозначаются функции трех переменных так же, как и функции двух переменных: Функцию трех переменных можно рассматривать как функцию точки в пространстве.

Определение:

Если каждой точке некоторого множества трехмерного пространства соответствует число и, определяемое функцией то говорят, что на множестве задано трехмерное скалярное поле.

Способами задания функции трех переменных являются также
аналитический и табличный. Следует, однако отметить, что пользоваться таблицей с тремя входами менее удобно.

Аналогично можно ввести понятие функции четырех переменных,
пяти, вообще — переменных. Область определения функции переменных является множество системы действительных чисел Функцию переменных также часто рассматривают как функцию точки -мерного пространства и пишут:

Заметим, что функцию трех или более переменных изобразить с
помощью графика в пространстве невозможно. Способы графического представления такой функции будут рассмотрены в следующей лекции.

По аналогии с определением 48.5 говорят, что если каждой точке некоторого множества -мерного пространства с помощью функции соответствует число то на множестве задано -мерное скалярное поле.

Поверхности и линии в пространстве

Как отмечалось в
начале лекции, поверхность в 3-х мерном пространстве описывается уравнением вида или

Пересечение двух поверхностей задает линию в пространстве; таким
образом, линия в пространстве определяется системой двух уравнений вида

или

Изучать характер изменения поверхности можно методом
параллельных сечений, который заключается в следующем. Рассматривают линии получающиеся в сечении поверхности семейством параллельных плоскостей и на основании изменения этих сечений судят о характере изменения (рельефе) поверхности. Чаще всего это будут плоскости параллельные координатным плоскостям. Например для представления о рельефе
земной поверхности на географических картах изображают линии
одинаковой высоты (изогипсы или горизонтали), получающиеся в сечении земной поверхности семейством параллельных плоскостей.

Определение:

Линиями уровня функции называются линии, образующиеся в пересечении графика этой функции (поверхности) с плоскостями, параллельными координатной плоскости , т. е. линии вида: где — произвольная константна. Другими словами, линии уровня задаются уравнениями вида

Если функция задана в неявном виде то уравнения линий уровня будут иметь вид:

Пример:

Уравнение поверхности, разобранной в примере (48.8) (сферы радиуса с центром в точке ) имеет вид

Линии уровня будут иметь уравнения где — произвольная константа. Преобразовывая это уравнение получим: Если это уравнение задает окружности на плоскости с центром в точке радиуса тем большего, чем меньше при радиус равен При линией уровня этой поверхности будет точка , при уровня нет. Поверхность и ее линии уровня изображены на рис. (32) для .

Для функции трех переменных аналогичным понятием будут
поверхности уровня.

Определение:

Поверхностями уровня функции называются поверхности вида

где — произвольная константа

Это будет однопараметрическое семейство поверхностей в 3-х мерном пространстве

Цилиндрические поверхности

Определение:

Поверхность составленная из всех прямых,
пересекающих данную линию и параллельных данной прямой называется цилиндрической поверхностью. Линия называется направляющей, а каждая из прямых, параллельных образующей цилиндрической поверхности.

В дальнейшем мы будем рассматривать только цилиндрические
поверхности с плоскими направляющими, лежгицими в одной из
координатных плоскостей и образующими, перпендикулярными этой плоскости (см. рис. 33).

Можно показать, что не содержащее переменной уравнение в пространстве является уравнением цилиндрической поверхности с образующими параллельным осям и направляющей которая в плоскости задается тем же уравнением

Замечание:

В пространстве направляющая определяется системой уравнений:

Аналогично можно показать, что уравнение не содержащее , и уравнение не содержащее определяют в пространстве цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям и

Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей.

Определение:
Поверхность определяемая уравнением

является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром (рис. 34).

Ее образующие параллельны оси а направляющей является эллипс с полуосями и лежащий в плоскости В частности, если то направляющей является окружность, а поверхность является прямым круговым цилиндром. Его уравнение

Определение:

Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется гиперболическим цилиндром (рис. 35).

Образующие этой поверхности параллельны оси а направляющей служит расположенная в плоскости гипербола с действительной полуосью и мнимой полуосью

Определение:

Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением

называется параболическим цилиндром (рис. 36).

Ее направляющей является парабола, лежащая в плоскости образующие параллельны оси

Замечание:

Как известно, прямая в пространстве может
быть задана уравнениями различных пар плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Подобно этому кривая в пространстве может быть задана с помощью уравнений различных поверхностей, пересекающихся по этой кривой. Например, окружность получающаяся в сечении плоскости сферы может быть задана системой уравнений.

С другой стороны эта окружность может быть получена как линия
пересечения плоскости и прямого кругового цилиндра

т.е. может быть задана системой уравнений

равносильной системе (48.9)

В дальнейшем, исследуя форму той или иной поверхности с помощью сечений, параллельных координатным плоскостям, мы не раз будем пользоваться цилиндрическими поверхностями, проектирующими эти сечения на координатные плоскости. Это позволит так же, как в рассмотренном примере, судить о размерах и форме указанных сечений, а тем самым и
о форме исследуемых поверхностей.

Конические поверхности

Поверхность, составленная из всех
прямых, пересекающих линию и проходящих через данную точку называется конической поверхностью. При этом линия называется направляющей конической поверхности, точка — ее вершиной, а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность — образующей.

В качестве примера рассмотрим коническую поверхность с вершиной в начале координат, для которой направляющей является эллипс

с полуосями и лежащей в плоскости Эта поверхность
называется конусом второго порядка (рис. 37). Выведем ее уравнение.

Рассмотрим произвольно выбранную точку конической
поверхности и проведем через нее образующую пересекающуюся с направляющей в точке Составим уравнение прямой проходящей через точки и

Отсюда Подставив эти выражения во второе из уравнений эллипса (48.11), получим или, после преобразований

Мы получили каноническое уравнение конуса второго порядка. В частности, если то направляющей является окружность а поверхность является прямым круговым конусом. Его уравнение

48.4.3. Поверхность вращения. Пусть линия лежащая в плоскости задана уравнениями

Рассмотрим поверхность образованную вращением этой линии
относительно оси (рис. 38).

Эта поверхность называется поверхностью вращения. Найдем ее уравнение. Пусть произвольно выбранная точка поверхности вращения. Проведем через точку плоскость, перпендикулярную оси и обозначим точки пересечения этой плоскости с осью и кривой соответственно через и (рис. 38). Отрезки и являются радиусами одной и той же окружности. Потому Но длина отрезка равна абсолютной величине ординаты точки т.е. а Следовательно, или Кроме того, аппликата точки очевидно, равна аппликате точки

Так как точка лежит на линии заданной уравнениями (48.13), то координаты и точки удовлетворяют второму из этих уравнений. Подставляя в него вместо и соответственно равные им величины и , получим уравнение

которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности вращения. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на этой поверхности, уравнению (48.14) не удовлетворяют. Таким образом, уравнение (48.14) является уравнением поверхности вращения относительно оси линии определяемой уравнениями (48.13). Уравнение (48.14) получается из второго уравнения системы (48.13) заменой в нем и координатами по формулам

Замечание:

Мы считали, что кривая задана в плоскости и вращается относительно Однако кривая может быть
задана и в другой координатной плоскости и может вращаться относительно другой координатной оси. Формулы, подобные формулам (48.13), (48.14) и (48.15), читатель легко составит сам.

Решение заданий на тему: Основные понятия функции нескольких переменных

Пример:

Найти и изобразить на плоскости область
определения функции двух переменных

Решение:

Поскольку знаменатель не должен обращаться в нуль,
область определения данной функции будет:

Это будет множество всех точек плоскости за исключением точек, лежащих на прямой (см. рис. 39)

Ответ:

Пример:

Найдите область определения функции трех переменных

Решение:

Поскольку выражение под корнем квадратным
должно быть неотрицательным, область определения данной функции будет:

Это будет множество всех точек полупространства, отделенного
плоскостью включая саму плоскость.

Ответ:

Пример:

Найдите и изобразите на плоскости линии уровня
функции двух переменных

Решение:

Уравнение линий уровня имеет вид где — произвольная константа. Очевидно, что данному уравнению будет
соответствовать линия только при При это будет начало координат — точка . При — эллипс с полуосями

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Выделив полный квадрат по и по получим уравнение поверхности в виде:

Это круговой цилиндр с осью параллельной оси проходящей через точку радиусом 1.

Поверхности второго порядка

В части 1 данного Курса мы
изучили кривые второго порядка. Аналогично этому, общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид:

Рассмотренные в 47.4 лекции уравнения поверхности являются
частным случаем общего уравнения (49.1).
Форму поверхностей рассматриваемых в этой лекции, будем изучать
методом параллельных сечений. Суть этого метода состоит в том, что на координатную плоскость проектируются сечения поверхности
плоскостями, параллельными этой координатной плоскости так, как это делается на графических картах.

49.1.1. Эллипсоид.

Определение:

Поверхность определяемая уравнением

называется эллипсоидом. Числа называются полуосями
эллипсоида, а уравнение (49.2) каноническим уравнением эллипсоида.

Так как в уравнении (49.2) текущие координаты входят в четных
степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных
плоскостей. Чтобы установить форму эллипсоида, будем пересекать его плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Покажем, что если пересечь эллипсоид плоскостью то в сечении получится эллипс В самом деле, исключая из уравнений

аппликату получим уравнение цилиндрической поверхности,
проектирующее сечение на плоскость или

Из этого уравнения видно, что кривая есть эллипс с полуосями

Из формулы (49.3) видно, что с возрастанием полуоси эллипса и уменьшаются. При имеем и сечение вырождается в точку. Аналогично можно показать, что при пересечении эллипсоида плоскостями

также получаются эллипсы. Эллипсоид имеет вид, изображенный на рис. (42). В частном случае при получаем эллипсоид вращения.

Определение:

Если все три полуоси эллипсоида равны между
собой: то получившаяся поверхность называется сферой:

Пример:

Какую поверхность задает уравнение

Решение:

Поделив обе части уравнения на 12 и переписав его в
виде:

заключаем, что это есть уравнение эллипсоида с полуосями

49.1.2. Гиперболоиды.

Определение:

Поверхность определяемая уравнением

называется однополостным гиперболоидом} а уравнение (49.5) — его
каноническим уравнением.

Эта поверхность имеет три плоскости симметрии — координатные
плоскости, так как текущие координаты входят в уравнение (49.5) в четных степенях. Пересекая однополостный гиперболоид плоскостью получим в плоскости гиперболу (рис. 43)

Аналогично, в сечении однополостного гиперболоида плоскостью получится гипербола

лежащая в плоскости

При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью получится эллипс уравнения которого имеют вид:

или

Полуоси этого эллипса и возрастают с возрастанием абсолютной величины . При получится эллипс, лежащий в плоскости и имеющий наименьшие полуоси

При получим однополостный гиперболоид вращения

При пересечении его плоскостями получаются окружности

В п. (48.4.2) и (48.4.3) рассматривались цилиндрические и конические
поверхности, каждая из которых составлена из прямых. Оказывается, однополостный гиперболоид можно также рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий. Рассмотрим прямую, определяемую уравнениями.

в которых — полуоси однополостного гиперболоида, а произвольно выбранное число

Перемножая почленно эти уравнения, получим

т.е. уравнение однополостного гиперболоида.
Таким образом, уравнение однополостного гиперболоида является
следствием системы уравнений (49.7). Поэтому координаты любой точки удовлетворяющие системе (49.7), удовлетворяют также и уравнению (49.5) однополостного гиперболоида. Иными словами, все точки прямой (49.7) принадлежат гиперболоиду (49.5). Меняя значения мы получим целое семейство прямых, лежащих на поверхности (49.5). Аналогично можно показать, что однополостному гиперболоиду принадлежат все прямые семейства

где — произвольный параметр.

Можно также показать, что через каждую точку однополостного
гиперболоида проходит по одной прямой каждого из указанных семейств.
Таким образом, однополостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, составленную из прямых линий (рис. 44).

Возможность составления поверхности однополостного гиперболоида
из прямых линий используется в строительной технике. Так, например, по конструкции, предложенной инженером Шуховым, в Москве была сооружена радиомачта с помощью балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида.

Определение:

Поверхность, определяемая уравнением

называется двуполостным гиперболоидом, а (49.9) его каноническим уравнением.

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для
двуполостного гиперболоида. Пересекая эту поверхность координатными плоскостями и получим соответственно гиперболы (рис. 45).

Если двуполостной гиперболоид (49.9) пересечь плоскостью то в сечении получится эллипс

с полуосями возрастающими возрастанием При с поверхность (49.9) с плоскостью очевидно, на пересекается. Двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных частей (полостей), чем и объясняется его название. При уравнение (49.9) имеет вид

и является уравнением двуполостного гиперболоида вращения. В сечении последнего плоскостью получится окружность

радиуса

Пример:

Какую поверхность задает уравнение

Решение:

Поделив обе части уравнения на 5 и переписав его в
виде

заключаем, что это уравнение однополостного гиперболоида,
расположенного «вдоль» оси

Пример:

Какую поверхность задает уравнение

Решение:

Поделив обе части уравнения на -5 и переписав его в
виде

заключаем, что это уравнение двуполостного гиперболоида вращения, расположенного «вдоль» оси

49.1.3. Параболоиды.

Определение:

Эллиптическим параболоидом называется поверхностъ, определяемая уравнением

а (49.10) — его каноническим уравнением.

При пересечении эллиптического параболоида координатными
плоскостями и получатся соответственно параболы

а при пересечении плоскостью — эллипс

с полуосями (рис. 46). В случае получим параболоид

Поскольку входят в уравнение (49.10) в четных степенях, эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии: и

Определение:

Гиперболическим параболоидом называется
поверхность, определяемая уравнением

а (49.11) его каноническим уравнением.

Пересекая эту поверхность плоскостью получим параболу

При пересечении гиперболического параболоида плоскостью получится парабола

При различных значениях получится целое семейство парабол, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости и имеющих одинаковый параметр .

Гиперболический параболоид можно рассматривать как поверхность, описываемую движением любой из этих парабол при условии, что плоскость движущейся параболы остается параллельной плоскости ось симметрии параболы остается в плоскости а вершина движется по параболе (49.12). Пересекая гиперболический параболоид плоскостью получим гиперболу

На рис. (47) показано расположение этой гиперболы для двух случаев: (верхний край) и (нижний край). При т.е. при пересечении гиперболического параболоида координатной плоскостью получится линия, уравнение которой в плоскости имеет вид

Последнее уравнение равносильно системе двух уравнений

Это означает, что гиперболический параболоид пересекается плоскостью по двум прямым

лежащим в плоскости проходящим через начало координат. Кроме этих двух прямых, существуют и другие прямые, полностью лежащие на гиперболическом параболоиде. Более того, как и в случае однополостного гиперболоида, можно показать, что через каждую точку гиперболического параболоида проходит по одной прямой каждого из двух семейств прямых

где и — произвольные параметры.

Таким образом, гиперболический параболоид можно рассматривать
как поверхность составленную из прямых линий (рис. 48).

Замечание:

Поверхности, составленные из прямых линий, называются линейчатыми. Таким образом, цилиндрические и конические поверхности, а также одпополостный гиперболоид и гиперболический параболоид являются линейчатыми поверхностями.

Пример:

Какую поверхность задает уравнение ?

Решение:

Записав уравнение в виде:

заключаем, что это уравнение эллиптического параболоида,
расположенного «вдоль» оси в отрицательную сторону. В сечении плоскостями, при отрицательных значениях получаются эллипсы с полуосями и

Пример:

Какую поверхность задает уравнение ?

Решение:

Записав уравнение в виде:

заключаем, что это уравнение гиперболического параболоида («седла») с осью в качестве «всадника» и осью в качестве «лошади».

Решение заданий на тему: Поверхности второго порядка

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся свободный член в правую часть уравнения и
поделив обе его части на 5, получим:

Это каноническое уравнение эллипсоида с полуосями

Ответ: эллипсоид.

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся свободный член в правую часть уравнения и
поделив обе его части на 6, получим:

Это каноническое уравнение однополостного гиперболоида, расположенного вдоль оси , с полуосями и эллипса в плоскости

Ответ: Однополостный гиперболоид вдоль

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся свободный член в правую часть уравнения и
поделив обе его части на 7, получим:

Это каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения, расположенного вдоль оси , с радиусом окружности в плоскости . Ответ: Однополостный гиперболоид вращения вдоль

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся в левую часть уравнения и деля обе его части на 2, получаем:

Это уравнение двуполостного гиперболоида, расположенного вдоль оси

Ответ: Двуполостный гиперболоид вдоль оси

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся в левую часть уравнения и деля обе его части на 4, получаем:

Это уравнение двуполостного гиперболоида вращения, расположенного вдоль оси

Ответ: Двуполостный гиперболоид вдоль оси

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся другую часть уравнения и поделив обе его части на 5, получим:

Это уравнение эллиптического параболоида, расположенного вдоль оси

Ответ: Эллиптический параболоид вдоль оси

Пример:

Определите вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Перенеся в другую часть уравнения и поделив обе его части на 3, получим:

Это каноническое уравнение гиперболического параболоида,
расположенного вдоль оси

Ответ: Гиперболический параболоид вдоль оси

Преобразование декартовых координат в пространстве

Параллельный перенос осей. Поворот осей. Приведение поверхности
2-го порядка к каноническому виду.

Аналогично тому, как это было сделано в лекции 2 части 1
настоящего курса, выведем формулы связывающие координаты точки в данной декартовой (прямоугольной) системе координат с ее координатами в другой такой же, отличающейся расположением начала и направлением осей. Сначала рассмотрим более простой случай, когда оси координат сонаправленны.

Параллельный перенос осей декартовой системы координат

Будем предполагать, что обе системы прямоугольные, причем одноименные оси этих систем параллельны, одинаково направлены и на каждой из них выбрана одна и та же масштабная единица (см. рис. 49). Условимся называть координаты точки в системе старыми, а в системе полученной параллельным переносом осей старой системы — новыми.

Пусть начало новой системы координат имеет в старой системе координаты

Также как для декартовой системы двух координат (см. лекцию 2
части 1 Курса), можно показать, что при параллельном переносе осей в пространстве получаются следующие формулы преобразования координат:

или, что тоже самое

50.2. Поворот осей декартовой системы координат. Пусть в
пространстве заданы две прямоугольные системы координат, имеющие общее начало система (старая) и система (новая), которая получена поворотом старой системы. Найдем формулы, выражающие старые координаты произвольной точки пространства через ее новые координаты

Задавать положение новых осей относительно старых будем с помощью направляющих косинусов. Так, например, положение оси зададим тремя направляющими косинусами, обозначив их следующим образом:

Заметим, что так же как для направляющих косинусов вектора,
справедливо соотношение:

Обозначив аналогичным образом направляющие косинусы всех осей, сведем результаты в таблицу:

Направляющие косинусы новых осей по отношению к старым
Можно доказать (сделайте это самостоятельно), что старые
координаты выражаются через новые по формулам:

Если обозначить матрицу направляющих косинусов вектор-столбец старых координат а новых

то формулы (50.4) в матричной форме запишутся в виде:

Матрица обладает свойствами:

• сумма квадратов элементов строки или столбца равна 1;

• сумма произведений соответственных элементов двух строк или столбцов равна нулю;

Такая матрица, как отмечалось в лекции 36 части 1 Курса, называется ортогональной. Формулы (50.4) соответствуют формулам (36.2) лекции 36, а преобразование координат в матричной форме (50.6) такое же как для случая двух координат.

Поскольку обратная матрица совпадает с транспонированной: обратное к (50.6) преобразование в матричной форме имеет вид:

а в координатах:

Определение:

Декартова (прямоугольная) система координат в пространстве называется правой, если смешанное произведение единичных векторов по осям координат равно +1:

Если , система координат называется левой.

На практике, если направление оси совпадает с движением правого буравчика, у которого ручка вращается по кратчайшему пути от оси к оси , то система правая. Если же направление оси противоположно, система левая (рис. 51).

Замечание:

Если считать оси системы координат в
пространстве «жестко соединенными», то вращением невозможно
совместить правую и левую системы координат с общим началом.

Замечание:

Определитель матрицы преобразования
координат равен + 1, если при преобразовании ориентация системы не меняется (правая переходит в правую или левая в левую). В противном случае (правая переходит в левую или левая в правую) определитель равен -1.

Замечание:

На плоскости также различают правую и левую
системы координат (см. рис. 52). Система является правой, если ось совмещается с осью кратчайшим путем вращением против часовой стрелки.

Если считать оси системы координат на плоскости «жестко
соединенными», то вращением без вывода из плоскости невозможно совместить правую и левую системы координат с общим началом.

Приведение уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду

Если в общем уравнении (49.1) поверхности 2-го порядка отсутствуют члены то
привести уравнение к каноническому виду можно выделив полный квадрат. Покажем это на примерах. .

Пример:

Какую поверхность задает уравнение:

Решение:

Сгруппировав члены с одинаковыми переменными и
выделив полный квадрат, получаем:

Сделаем замену переменных:

В новых координатах уравнение примет вид:

Это каноническое уравнение эллипса с полуосями

Поскольку новые координаты выражаются через старые координаты по формулам:

основании изложенного в п. (50.1), заключаем, что новая система
координат получается из старой параллельным переносом начала координат в точку Поскольку в новых координатах поверхность является эллипсоидом с центром в начале координат и осями координат в качестве осей симметрии, то в старых координатах поверхность является эллипсоидом с центром в точке и осями симметрии параллельными осям координат.

Пример:

Какую поверхность задает уравнение

Решение:
Сгруппировав члены с одинаковыми переменными и выделив полный квадрат, получаем:

Сделаем замену переменных:

В новых координатах уравнение имеет вид:

Это каноническое уравнение однополостного гиперболоида,
расположенного «вдоль» оси . В сечениях перпендикулярных оси получаются эллипсы. Поскольку новая система координат получается из старой параллельным переносом начала в точку осью гиперболоида является прямая, параллельная оси и проходящая через эту точку.

Если в общем уравнении (49.1) поверхности 2-го порядка не все коэффициенты равны нулю, то для приведения уравнения поверхности к каноническому виду необходимо найти собственные числа и собственные векторы матрицы квадратичной формы (49.1) как это изложено в лекции 36 т.1 данного Курса.

Направляющие косинусы осей новой системы координат, в которой
уравнение поверхности станет каноническим, находятся из трех систем уравнений:

дополненных условием нормировки (50.3):

где три действительные собственные значения находятся из характеристического уравнения (50.9):

Замечание:

Направляющие косинусы каждой из трех новых
осей образуют собственный вектор матрицы квадратичной формы

соответствующий собственному значению Если все
корни уравнения (50.9) отличны от нуля, системы (50.8) определяют направляющие косинусы осей новой системы координат в которой уравнение поверхности будет каноническим. Если два корня уравнения (50.9) равны нулю, поверхность является параболическим
цилиндром или парой параллельных плоскостей. В этом случае систему (50.8) следует дополнить уравнением и полученная система определит направляющие косинусы образующих цилиндра

Замечание:

Можно показать, что если матрица квадратичной формы не вырождена то каноническое уравнение поверхности второго порядка после приведения к каноническому виду имеет вид:

где: — собственные значения матрицы квадратичной формы.

— ее определитель.

матрица уравнения поверхности, — ее определитель, называемый дискриминантом уравнения поверхности.

Пример:

Определить, какую поверхность задает уравнение

и найти направляющие косинусы осей новой системы координат, в
которой уравнение поверхности станет каноническим.

Решение:

Составим матрицу (50.10) квадратичной формы:

и характеристическое уравнение (50.9):

Найдем направляющие косинусы из систем (50.8), дополненных условием нормировки (50.3).

Получим матрицу линейного преобразования координат (поворот осей):

Делая это преобразование т.е

получаем уравнение:

Делая еще одно преобразование (параллельный перенос)

получаем каноническое уравнение однополостного гиперболоида

Решение заданий на тему: Преобразование декартовых координат в пространстве

Пример:

Определите вид поверхности задаваемой уравнением

Решение:

Сгруппировав члены с одинаковыми переменными и
выделив полный квадрат, получаем:

Сделаем замену переменных:

В новых координатах уравнение имеет вид:

Это каноническое уравнение эллиптического параболоида.

Пример:

Определить вид поверхности задаваемой уравнением

найти направляющие косинусы осей новой системы координат и
каноническое уравнение поверхности.

Решение:

Составим матрицу (50.10) квадратичной формы:

и характеристическое уравнение (50.9):

выполним элементарные преобразования для упрощения определителя: прибавим к первому столбцу последний и к первой строк последнюю:

Составим системы (50.8)

Решая эти системы, с учетом нормирующего условия (50.3) находим
направляющие косинусы и матрицу линейного преобразования

Делая преобразование координат (поворот осей) т.е.

и затем — параллельный перенос, получаем каноническое уравнение
эллиптического цилиндра:

Пример:

Определить вид поверхности, задаваемой уравнением

Решение:

Матрица (50.10) квадратичной формы имеет следующий
вид:

Решая характеристическое уравнение

находим собственные значения:

Решая системы (50.8) с учетом нормирующего условия (50.3) находим
направляющие косинусы и матрицу линейного преобразования :

Делая преобразование :

получаем в координатах уравнение поверхности, не содержащее, членов со смешанным произведением Выделяя дальше
полный квадрат, получаем каноническое уравнение конуса:

Заметим, что здесь

Предел, непрерывность и частные производные функции двух переменных

Предел функции двух переменных: При рассмотрении
предела функции одной переменной (часть 1 Курса) было введено понятие — окрестности точки — интервал с центром в точке вида Введем аналогичное понятие для функции двух переменных.

Определение:

-окрестностью точки называется внутренняя часть круга с центром в этой точке радиуса

Любая точка этой — окрестности находится от точки на расстоянии меньшем

Определение:

Число называется пределом функции двух переменных или двойным пределом функции при если для любого числа найдется такая -окрестность точки что для любой точки этой окрестности, за исключением, быть может точки будет выполнено неравенство:

При этом записывают:

Для двойного предела справедливы все свойства предела,
перечисленные в части 1 Курса для функции одного переменного: предел суммы, разности, произведения равен соответственно сумме, разности, произведению пределов, если каждый из них существует; предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и предел знаменателя не равен нулю; постоянный множитель можно выносить за знак предела
и т.д.

Из определений (51.1) и (51.2) следует, что

где — расстояние между точками и .

Поэтому для вычисления пределов функции двух переменных мы будем пользоваться равносильным определением (51.3)

Определение:

Число называется пределом функции двух
переменных или двойным пределом функции при если функция определена в некоторой окрестности точки за исключением, быть может, точки и где

Пример:

Найти

Решение:

В данном примере . Таким образом:

В данном примере функция не существует в точке но имеет предел при

Заметим, что двойной предел при одновременном нии обоих аргументов не обязательно совпадает с повторными пределами

которые не являются новыми понятиями, а вычисляются последовательно как обычные пределы функции одной переменной.

Однако существует теорема, которая позволяет заменять двойной
предел функции двух переменных повторным пределом при достаточно широких предположениях.

Теорема:

Если существует и при окрестности а при окрестности

Пример:

В условиях примера (51.1) вычислить повторные пределы.

Решение:

Проверьте самостоятельно, что

Установите справедливость выполнения условий теоремы 51.1.

Определение:

Функция называется бесконечно малой при если ее двойной предел равен нулю.

Можно доказать равносильность следующих трех утверждений:

является бесконечно малой при

Определение предела естественным образом распространяется на
случай функции 3-х и более переменных.

Определение:

Областью (открытой областью) называется
множество точек плоскости, обладающее следующими двумя свойствами:

1. каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой
   окрестностью этой точки (свойство открытости);
2. всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).

Часть плоскости, лежащей внутри замкнутого контура (см. рис. 53), является областью, так как: 1) для любой точки лежащей внутри существует окрестность, также лежащая внутри , 2) две любые точки и , лежащие внутри можно соединить непрерывной линией, лежащей внутри

Точка называется граничной точкой области если любая окрестность этой точки содержит как точки области так и точки, ей не принадлежащие.

Множество всех граничных точек области называется ее границей.

На рис. (53) любая точка контура очевидно, является граничной.

Определение:

Если к открытой области присоединить ее
границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.

Определение:

Если для данной области можно подобрать круг,
полностью ее покрывающий, т.е. такой, внутри которого лежат все точки области, то такая область называется ограниченной.

Если же круга, полностью покрывающего область, подобрать нельзя,
то область называется неограниченной.

Определение:

Область (открытая или замкнутая)
называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области .

Например, область, заключенная между окружностями и не является односвязной, так как, например, окружность лежащая в этой области, содержит внутри себя точки, не принадлежащие области (скажем, начало координат).

Замечание:

Все введенные в этом пункте понятия
переносятся на пространство трех и большего числа измерений.

Непрерывность функции нескольких переменных

Определение:

Функция переменных называется непрерывной в точке если функция определена в этой точке и в некоторой ее окрестности и

Определение:

Точка в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности этой функции.

Заметим, что определение точки разрыва более сложное, чем просто
противоположное к данному утверждение и будет сформулировано позже.
Свойства непрерывных функций сформулируем в виде теоремы,
которую примем без доказательства, т.к. оно аналогично доказательству соответствующей теоремы о непрерывных функциях одной переменной из тома 1 Курса.

Теорема:

Если функция переменных и непрерывны в точке , то в этой же точке непрерывны и их сумма разность и частное если .

На основании этой теоремы легко устанавливается непрерывность
многочлена от двух переменных при любом их значении и непрерывность рациональной функции во всех точках плоскости, в которых знаменатель не равен нулю.

Определение:

Точка называется точкой разрыва функции если она принадлежит области определения этой функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

Пример:

Найти точки разрыва функции

Решение:

Функция определена и непрерывна всюду, кроме
точек с координатами, удовлетворяющими уравнению: Это уравнение прямой являющейся границей области определения функции. Каждая точка этой прямой есть точка разрыва.

Ответ: точки разрыва образуют прямую

Функции непрерывные в ограниченной замкнутой области

Были рассмотрены свойства функции одной
переменной, непрерывной на отрезке. Аналогичными свойствами обладают функции нескольких переменных, непрерывные в ограниченной замкнутой области.

Определение:

Функция называется непрерывной в , если она непрерывна в каждой точке этой области. При
этом для непрерывности в граничной точке траекторию траекторию при стремлении выбираем внутри

Теорема:

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она в этой области:

1. ограничена:

2. достигает своего наименьшего т и наибольшего значений:

3.любое значение между и принимает хотя бы в одной точке области:

Пример:

Функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области — круге с центром в точке и радиуса 1.

Она ограничена: при

Наименьшее значение достигается в точках окружности — на границе области, наибольшее значение достигается в начале координат — внутренней точке области.

Функция принимает любое значение в точках окружности Графиком функции является верхняя полусфера, изображенная на рис.

Частные производные 1-го порядка

Рассмотрим функцию двух переменных Зафиксируем значение одного из аргументов, например положив Тогда функция есть функция одной переменной . Пусть она имеет производную в точке

Эта производная называется частной производной (или частной производной первого порядка) функции по в точке и обозначается символом

Разность

называется частным приращением по функциив точке и обозначается символом

Учитывая эти обозначения, можно записать

Аналогично определяются и обозначаются частное приращение функции по и частная производная по у в точке

Таким образом, частная производная функции двух переменных по
одному из ее аргументов равна пределу отношения частного приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Значение частной производной зависит от точки в которой она вычисляется. Поэтому частная производная функции двух переменных вообще говоря, есть функция точки т.е. также является функцией двух переменных и

Частные производные, рассматриваемые как функции двух
переменных, обозначаются следующим образом:

Частные приращения и частные производные функции переменных при определяются и обозначаются аналогично. Например, для функции трех переменных частное приращение по в точке получится, если получит приращение а остальные аргументы останутся неизменными:

Частная производная функции по аргументу в точке равна

Таким образом, частная производная функции нескольких
переменных определяется как производная функции одной из этих переменных. Вследствие этого все правила и формулы дифференцирования, выведенные для производных функции одной переменной, сохраняются для частных производных функции нескольких переменных. Следует лишь помнить, что во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какому-либо аргументу все остальные аргументы считаются постоянными.

Пример:

Найти частные производные первого порядка функции в точке

Решение:

Ответ:

Выясним геометрический смысл частной производной функции двух переменных Как известно, графиком этой функции является некоторая поверхность. Рассмотрим точку в плоскости и соответствующую точку на поверхности (рис. 55).

Рассмотрим плоскую кривую которая получится при сечении поверхности плоскостью Эту кривую можно рассматривать как график функции одной переменной в плоскости

Отсюда следует, что итак, значение частной производной в точке равно тангенсу угла, составленного с осью Ох касательной, проведенной в точке к линии пересечения поверхности и плоскости

Частные производные высших порядков

Частные
производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.

Так, например, функция двух переменных имеет четыре
частные производные второго порядка, которые определяются и обозначаются следующим образом:

Функция трех переменных имеет девять частных производных второго порядка:

Аналогично определяются и обозначаются частные производные
третьего и более высокого порядка функции нескольких переменных: частной производной порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной порядка той же функции.

Например, частная производная третьего порядка функции есть частная производная первого порядка по у от частной производной второго порядка

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по
нескольким различным переменным, называется смешанной частной производной.

Например, частные производные

являются смешанными частными производными функции двух
переменных

Пример:

Найти смешанные частные производные второго
порядка функции

Решение:

Находим частные производные первого порядка

Затем находим смешанные частные производные второго порядка

Мы видим, что смешанные частные производные данной функции и отличающиеся между собой лишь порядком дифференцирования, т.е. последовательностью, в которой производится дифференцирование по различным переменным, оказались тождественно равными. Этот результат не случаен. Относительно смешанных частных производных имеет место следующая теорема, которую мы принимаем без доказательства.

Теорема:

Две смешанные частные производные одного порядка
одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком
дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.

В частности, для функции двух переменных имеем:

Решение заданий на тему: Частные производные

Поскольку основная задача данного практического занятия —
приобретение навыков нахождения частных производных функции нескольких переменных, мы не всегда будем упрощать полученный результат.

Пример:

Найдите все частные производные первого порядка функции

Решение:

При нахождении будем считать постоянным. Пользуясь обычными правилами нахождения производных получаем:

Пример:

Найдите частные производные первого порядка функции

Решение:

При нахождении считаем постоянным

Аналогично находим , считая постоянным.

Пример:

Найдите частные производные первого порядка функции

Решение:

При нахождении считаем постоянным и находим производную показательной функции:

При нахождении считаем постоянным и находим производную показательной функции:

Пример:

Найдите частные производные первого порядка функции

Решение:

При фиксированном находим

Аналогично находим при фиксированном

Пример:

Найдите частные производные первого порядка функции

Решение:

При фиксированном находим

Аналогично, при фиксированном находим

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Полное приращение функции: При нахождении частных производных рассматривались частные приращения функции нескольких переменных, когда лишь один из аргументов изменялся, остальные же оставались фиксированными (постоянными). Теперь мы рассмотрим полное приращение, которое получает функция при изменении всех ее аргументов.

Пусть дана функция двух переменных Предположим, что и получают соответственно приращения и . Тогда функция получает полное приращение , которое определяется следующей формулой:

Геометрически полное приращение функции равно приращению аппликаты графика функции при переходе из точки в точку (см. рис. 56).

Найдем, например, полное приращение функции при условии, что имеет приращение , а — приращение .

Используя формулу (52.1), получим

Мы видим, что полное приращение данной функции можно
представить в виде суммы двух слагаемых: первого слагаемого линейного относительно приращений аргументов и и второго слагаемого нелинейного относительно и . Оба этих слагаемых, очевидно, стремятся к нулю при однако второе слагаемое при этом стремится к нулю быстрее, чем первое.

Полный дифференциал функции

В предыдущем пункте
мы рассмотрели пример, в котором приращение функции двух переменных было предоставлено в виде суммы двух слагаемых линейно относительно и и нелинейного, причем при нелинейная часть приращения стремится к нулю быстрее, чем линейная. Подобным свойством обладают многие функции. Эти функции называются дифференцируемым.

Напомним, что в томе 1 для функции одной переменной было введено понятие дифференциала как главной части приращения функции линейной относительно приращения аргумента. Дифференциал независимой переменной равнялся ее приращению: дифференциал функции связан с производной формулой: . Аналогичным образом можно ввести понятие частного дифференциала по функции двух переменных Если считать значение фиксированным: и частного дифференциала по :

Определение:

Полным дифференциалом функции двух переменных называется сумма ее частных дифференциалов по и по

Полный дифференциал является главной частью приращения функции аргументов и. Другими словами, приращение функций представляется в виде суммы дифференциала и бесконечно малой более высокого порядка, чем расстояние между точками и

Определение:

Если функции в точке существует
дифференциал, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Как следует из определения (52.1), если функция в точке дифференцируема, то она имеет в этой точке частные производные и

Можно показать, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно,
т.е. из существования частных производных не следует существование полного дифференциала. Однако, если предположить, что частные производные не только существуют, но и непрерывны, то функция будет дифференцируемой. Иными словами, имеет место следующая теорема, доказательства которой мы не приводим.

Теорема:

Если частные производные и функции непрерывны в некоторой окрестности точки то эта функция в точке дифференцируема и справедлива формула (52.2)

Все сказанное легко распространяется на функции трех и большего
числа переменных. Так, например, для дифференцируемой функции трех переменных полное приращение выражается формулой

при условии а ее полный дифференциал имеет вид

Пример:

Найти полный дифференциал функции в произвольной точке.

Решение:

Полный дифференциал существует при условии непрерывности частных производных и . Находим

Мы видим, что найденные частные производные являются непрерывными функциями во всей плоскости . Поэтому дифференциал этой функции всюду существует, причем Сравните это выражение
с линейной частью приращения функции в п. (52.1)

Геометрический смысл полного дифференциала

Пусть функция имеет в точке дифференциал

или

В лекции 50 было показано, что уравнение касательной плоскости имеет вид:

где — аппликата точки касательной плоскости. Поскольку
правые части этих уравнений совпадают, будут совпадать и их левые части.
Таким образом, дифференциал функции двух переменных равен
приращению аппликаты касательной плоскости

В этом заключается геометрический смысл дифференциала.
Заметим, что в соответствии с определением дифференциала приращение аппликаты касательной плоскости есть главная часть приращения функции (см. рис. 57).

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала

Полным дифференциалом функции нескольких переменных можно пользоваться для приближенных вычислений.Пусть дана дифференцируемая функция Ее полное приращение выражается формулой.

Здесь стремится к нулю быстрее, чем Поэтому при малых т.е. при малых и слагаемым можно пренебречь и написать:

т.е. приращение функции можно приближенно заменить ее полным
дифференциалом.

Так как

Подставляя это выражение для в формулу (52.6), получим

откуда

Формулой (52.7) можно пользоваться при приближенных вычислениях значений функции двух переменных в точке , близкой к точке если известны значения функции и ее частных производных в самой точке .

Аналогичные формулы можно вывести для функции переменных при . Например, получим

Пример:

Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала

Решение:

Рассмотрим функцию Применяя формулу (52.7) к этой функции получим:

Найдем частные производные:

Положим теперь Получим:

Заметим, что если вычислить это значение с большей точностью с
помощью калькулятора, получится Этот пример
иллюстрирует определение дифференциала как главной части приращения функции.

Дифференциалы более высоких порядков

Если — функция независимых переменных и , имеет непрерывные
частные производные второго порядка, то можно найти дифференциал от полного дифференциала, называемый дифференциалом второго порядка:

Поскольку и не зависят от переменных и , в соответствии с формулой (52.2), находим:

Пользуясь теоремой (51.4) и приводя подобные члены, получаем:

Аналогично можно найти дифференциал третьего порядка функции
двух независимых переменных (сделайте это самостоятельно):

Легко догадаться, что общая формула для дифференциала -го порядка функции двух независимых переменных имеет вид, похожий на бином Ньютона:

Дифференцирование сложных функций

Пусть дана
функция двух переменных причем аргументы этой функции являются функциями одной независимой переменной

Тогда есть сложная функция одной независимой переменной . Поставим задачу найти производную этой сложной функции зная частные производные и . При решении этой задачи будем предполагать, что функции и имеют производные в точке а функция двух переменных в соответствующей точке дифференцируема.

Пусть независимая переменная получает приращение тогда переменные и получают соответственно приращения и а функция приращение . Так как функция по предположению дифференцируема, то ее полное приращение может быть представлено в следующем виде:

причем где Разделив обе части равенства (52.11) на и переходя к пределу при получим

Если каждый из пределов, стоящих в правой части этого равенства,
существует, то существует и предел, стоящий в левой части этого
равенства, т.е. производная Но и существуют по предположению.

Найдем

Рассмотрим сначала

Этот предел существует, так как существуют производные и Прежде чем находить отметим, что при также и Но тогда и, следовательно,

Учитывая это, формулу (52.12) можно записать в следующем виде:

Пример:

Найти производную если

Решение:

Используя формулу (52.13), получим

Рассмотрим теперь функцию при условии, что Здесь переменная есть функция одной переменной

Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной играет . По формуле (52.13) имеем

Но и поэтому

В правой и левой частях этой формулы имеются производные по . Одна из них — частная производная функции двух переменных которая находится так, как если бы не зависел от . В отличие от нее производная стоящая в левой части формулы (52.14), есть производная сложной функции одной переменной . Эту производную мы будем называть полной производной.

Предположим теперь, что причем и Тогда есть сложная функция двух независимых переменных и . Найдем частные производные и этой сложной функции.

Частные производные находится так, как если бы были функциями одной переменной . Но тогда можно воспользоваться формулой (52.13), заменив в ней соответствующими частными производными

Аналогично можно получить выражение для

Полученные результаты легко обобщаются на случай сложной
функции любого конечного числа аргументов.

В частности, для функции трех переменных имеем

Дифференцирование неявных функций

Пусть дано уравнение

В нем каждому действительному значению соответствует такое единственное значение , что если эти значения и подставить в уравнение (52.18), то оно превратится в тождество. Например, значению соответствует значение так как при подстановке этих значений и в уравнение (52.18) мы получим тождество Аналогично, значению соответствует значение и т.д. Иными словами,с помощью уравнения (52.18) задана функция, областью определения
которой является вся числовая ось, а множество значений -множество всех неотрицательных чисел. Эта функция называется неявной.

Пусть в общем случае дано уравнение

где — функция двух переменных.

Определение:

Если каждому значению принадлежащему некоторому множеству соответствует единственное значение которое совместно с удовлетворяет уравнению (52.19), то говорят, что уравнение определяет на множестве неявную функцию

Таким образом, для неявной функции определенной уравнением (52.19), имеет место тождество

справедливое для всех х из области определения М этой неявной функции.

В отличие от неявной функции функция заданная уравнением, разрешенным относительно , называется явной.

Вернемся к рассмотренному примеру. Уравнение (52.18) можно
разрешить относительно

Эта функция — явная. Разумеется, это та же самая функция, которая
ранее была задана неявно уравнением (52.18). Она тождественно
удовлетворяет уравнению (52.18). В самом деле, подставив в соотношение (52.18) вместо его выражение из формулы (52.20), получим

В некоторых случаях каждому значению соответствует несколько значений , удовлетворяющих совместно с данным уравнению (52.19). Тогда это уравнение определяет не одну, а несколько неявных функций. Так, например, уравнение определяет две
неявные функции, которые можно записать в явном виде, разрешив уравнение относительно

Не следует, однако, думать, что всякую неявную функцию можно
представить в виде явной элементарной функции. Например, уравнение

задает неявную функцию так как существуют пары значений и удовлетворяющие данному уравнению (например, и т.д.). Но это уравнение нельзя разрешить так, чтобы выражался через элементарные функции аргумента

Не всякое уравнение вида задает неявную функцию. Например, уравнению не удовлетворяют никакие
действительные значения х и у, и, следовательно, оно не определяет никакой неявной функции.

Каким же условиям должна удовлетворять функция , чтобы уравнение определяло единственную неявную функцию ? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема существования неявной функции.

Теорема:

Если функция и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой окрестности точки и при этом то уравнение определяет в некоторой окрестности точки единственную неявную функцию непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале, содержащем точку причем .

Эту теорему мы оставляем без доказательства.

Перейдем теперь к вопросу о дифференцировании неявной функции.
Пусть левая часть уравнения (52.19) удовлетворяет указанным в
теореме условиям. Тогда это уравнение определяет неявную функцию для которой в окрестности точки имеет место тождество относительно .

Так как производная функции, тождественно равной нулю, также
равна нулю, то полная производная но в силу соотношения (52.14) имеем

и поэтому , откуда

По этой формуле находится производная неявной функции одной
переменной.

Пример:

Найти производную неявной функции заданной уравнением Следовательно по формуле (52.21)

В частности, в точке

Не выражая у в явном виде через мы установили, что в данной точке касательная к графику образует с осью угол 45°

Инвариантность формы полного дифференциала

Как
известно, для дифференциала функции одной переменной имеет место инвариантность его формы. Это значит, что выражение для дифференциала остается верным независимо от того, является ли независимой переменной или функцией некоторой переменной:

Для функции нескольких переменных справедливо аналогичное утверждение: полный дифференциал функции сохраняет свою форму

независимо от того, являются ли независимыми переменными или функциями других переменных.

Мы ограничимся доказательством этого утверждения только для
случая функции двух переменных Как известно, если и являются независимыми переменными, полный дифференциал имеет следующий вид:

Покажем, что эта форма дифференциала сохраняется, когда и становятся функциями новых переменных: Тогда является сложной функцией и . Дифференциал этой сложной функции выражается формулой

Но по формулам (52.16) и (52.17)

так как

Следовательно, полный дифференциал не изменяет своей формы, т.е. и тогда, когда и являются функциями новых переменных.

Заметим, что дифференциалы более высоких порядков такими
свойствами не обладают.

Решение заданий на тему: Полный дифференциал

Пример:

Найдите полные дифференциалы 1-го и 2-го порядка
функции

Решение:

Дифференциал 1-го порядка находим как в примере
(52.2).

Находя дифференциал от и помня, что и не зависят от и , получаем:

Для нахождения можно также воспользоваться формулой (52.11):

Пример:

Найдите , если

Решение:

В соответствии с формулой производной сложной
функции имеем:

После подстановки выражений для вынесения общего множителя за скобки, получаем:

Пример:

Найдите если

Решение:

находим как в предыдущем практическом занятии, находим по формуле производной сложной функции

Пример:

Найдите производную функции заданной неявно уравнением:

Решение:

Для получения требуемой производной
продифференцируем обе части данного уравнения, имея в виду, что это функция от

Отсюда находим

Продифференцировав это выражение еще раз, имея в виду, что есть функция от можем найти

Производная по направлению и градиент

Производная по направлению: Пусть задана
дифференцируемая функция Рассмотрим точку этого скалярного поля (см. определение 46.5) и луч выходящий из точки в направлении единичного вектора где — углы вектора с осями координат.

Пусть — какая нибудь другая точка этого луча. Разность значений функции и скалярного поля в точках и назовем приращением этой функции в направлении обозначим через Тогда

Обозначим через расстояние между точками и :

Определение:

Производной функции в точке по направлению называется предел

Производная функции по направлению обозначается символом Таким образом,

Заметим, что если производная функции в точке по данному направлению положительна, то функция в этом направлении возрастает; если же то функция в этом направлении убывает.
Можно сказать, что производная по направлению дает скорость изменения функции в этом направлении.

Выведем формулу для вычисления производной по направлению.
Прежде всего заметим, что приращения координат точки связаны с длиной отрезка и направляющими косинусами вектора следующими соотношениями (см. рис. 58):

Так как функция по условию дифференцируема, то, как было показано в лекции 51.6 (см. п. 52.2), ее приращение в точке можно представить в виде

причем стремится к нулю быстрее, чем

т.е.

Если рассматривать приращение функции вдоль луча в направлении вектора ,то выражаются по формулам (53.2). Тогда равенство (53.3) примет следующий вид:

Разделив обе части этого равенства на и переходя к пределу при , получим

Но и направляющие косинусы не зависят от и так как , то

Из формулы (53.4) следует, что если вектор совпадает с одним из ортов то производная по направлению совпадает с соответствующей частной производной этой функции. Так, например, если то и, следовательно,

Замечание:

Все сказанное в этом разделе остается
справедливым для функции двух переменных В этом случае производная по направлению задается формулой (53.5) и равна скорости в направлении вектора

Пример:

Найти производную функции в точке в направлении вектора

Решение:

частные производные в точке были найдены в примере (51.5). В
соответствии с формулой (53.5) получаем:

Полученный результат свидетельствует о том, что в точке функция возрастает в данном направлении

Ответ:

Градиент

Напомним, что в лекции 46 было дано определение
скалярного поля.

Определение:

Градиентом в точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией или просто градиентом функции называется вектор, равный

Градиент функции мы будем обозначать одним из символов Следовательно, по определению

Таким образом, каждой точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией соответствует не только значение этой функции, но и вполне определенный вектор

Пример:

Найти градиент функции в точке

Решение:

Найдем значение частных производных в точке

В соответствии с формулой (53.7) получаем:

Ответ:

Теорема:

Проекция вектора на единичный вектор

равна производной функции по направлению

Доказательство:

Пусть Из векторной алгебры известно, что проекция какого-либо вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов. Но

Поэтому

что и требовалось доказать.

Учитывая, что производная по направлению выражает скорость изменения скалярного поля в этом направлении, можно сказать, что проекция на вектор равна скорости изменения поля в направлении вектора

Обозначим через угол угол между единичным вектором и . Тогда . Поэтому, на основанием формулы (53.8),

Если направление векторов и совпадают то производная по направлению имеет, очевидно, наибольшее значение, равное .

Таким образом, мы приходим к следующему выводу: есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.

Отсюда следует, что функции скалярного поля определяется самим полем и: не зависит от системы координат, в которой рассматривается функция поля.

Выясним взаимное расположение данной точке и поверхности уровня, проходящей через эту точку. Пусть уравнение этой поверхности имеет вид

Рассмотрим кривую лежащую на поверхности (53.10) и проходящую через точку (рис. 59). Предположим, что эта кривая задана уравнениями

где — дифференцируемые функции причем Если обозначить то уравнения кривой можно записать в векторной форме: Можно доказать, что вектор составленный из производных

направлен по касательной к кривой в точке

Каждая точка кривой имеет координаты которые должны удовлетворять уравнению (53.10) поверхности уровня, поскольку кривая полностью лежит на этой поверхности. Таким образом, должно выполняться тождество

Продифференцируем обе части этого тождества по : учитывая, что получим

В частности, при имеем

Левая часть этого равенства является скалярным произведением

и вектора

направленного по касательной к кривой . Таким образом,

Предположим, что Тогда из равенства (53.11) вытекает, что перпендикулярен к вектору направленному по касательной к кривой в точке

Так как эта кривая была выбрана произвольно, то мы приходим к
следующему выводу. Если скалярное поле задано дифференцируемой функцией то все касательные, проведенные в точке к линиям, лежащим на поверхности уроня и проходящим через точку расположены в одной плоскости, перпендикулярной вектору при условии, что этот вектор не равен нулю.

В случае плоского скалярного поля, заданного дифференцируемой
функцией двух переменных , градиент определяется формулой

Его связь с производной по направлению выражается равенством

где — угол между единичным вектором направления и Можно показать, что если поле задано дифференцируемой функцией то вектор перпендикулярен к касательной, проведенной к линии уровня в точке .

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть
поверхность задана уравнением

где — дифференцируемая функция. Если в точке градиент отличен от нуля, то в соответствии с изложенным выше все касательные, проведенные в точке к линиям, лежащим на поверхности и проходящим через точку , расположены в одной плоскости, перпендикулярной

Эта плоскость называется касательной к поверхности и в точке (см. рис. 60).

Для нахождения уравнения этой плоскости, используем уравнение
плоскости, проходящей через данную точку

В качестве нормального вектора возьмем вектор градиента, перпендикулярный касательной плоскости. Уравнение касательной плоскости примет вид:

Определение:

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости называется нормалью к поверхности.

Для нахождения ее уравнения, воспользуемся уравнением прямой в
пространстве, проходящей через заданную точку

В качестве направляющего вектора возьмем вектор градиента, параллельный нормали:

Пример:

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к
однополостному параболоиду в точке

Решение:

Запишем уравнение поверхности в виде (53.13): Здесь

Найдем

В соответствии с (53.14) уравнение касательной плоскости имеет вид:

В соответствии с (53.15) уравнение нормали имеет вид:

Ответ:

Рассмотрим теперь часто встречающийся на практике случай, когда
поверхность задана уравнением как в примере (53.3). Этот случай сводится к предыдущему, как это сделано в предыдущем примере.

Запишем уравнение поверхности в виде

Здесь Найдем

В соответствии с (53.14) уравнение касательной плоскости имеет вид:

В соответствии с (53.15) уравнение нормали имеет вид:

Направляющие косинусы нормали в точке находятся как было
изложено в т. 1 Курса. Формулы для направляющих косинусов нормали при задании поверхности уравнением получаются следующие:

где

Если поверхность задала уравнением формулы, очевидно будут следующими:

Решение заданий на тему: Производная по направлению и градиент

Пример:

Найдите производную функции в точке в направлении, составляющем с осью угол 60°.

Решение:

Найдем направляющие косинусы:

Заметим, что можно также найти из условия

Найдем значения частных производных в точке :

Найдем производную по направлению:

Поскольку производная по направлению равна тангенсу угла наклона касательной в данной точке в данном направлении с плоскостью , заключаем, что в точке в заданном направлении функция возрастает и довольно «круто» угол касательной с плоскостью составляет около 77°.

Пример:

Найдите производную функции в точке в направлении, идущем от этой точки к началу координат .

Решение:

Найдем направляющие косинусы, для чего
предварительно найдем координаты вектора задающего направление. В соответствии с изложенным в Части 1 Курса, координаты вектора получаются вычитанием координат начала вектора из координат его конца:

Направляющие косинусы вектора равны координатам единичного
вектора, сонаправленого с данным:

Найдем

Аналогично тому, как это делалось в предыдущем примере, найдем
производную по направлению:

Заметим, что функция в данном направлении в точке убывает (производная отрицательная). Самостоятельно с помощью калькулятора найдите угол касательной с плоскостью

Пример:

Найдите градиент функции в точке и производную этой функции в данной точке в направлении градиента.

Решение:

Используя найденные в примере (53.1) значения частных
производных, найдем

В соответствии с изложенным в лекции 46 производная функции в
данной точке принимает наибольшее значение в направлении градиента и равна его модулю; т.е. Таким образом, в данном мере производная функции в точке в направлении градиента равна что немного больше результата примера (53.1).

Пример:

Найдите уравнение касательной плоскости и нормали
к конусу

в точке

Решение:

Здесь поверхность задана уравнением вида где:

Найдем

В соответствии с (52.16) уравнение касательной плоскости имеет вид:

В соответствии с (52.17) уравнение нормали имеет вид:

Ответ:

Экстремум функции нескольких переменных

Формула Тейлора функции 2-х переменных:

Пусть
функция двух переменных непрерывна вместе со всеми своими частными производными до -го порядка в некоторой окрестности точки . Тогда, аналогично тому как было в случае функции одного переменного, представим функцию двух переменных в виде многочлена — го порядка по степеням

Можно показать, что для случая эта формула будет иметь вид:

где коэффициенты при на зависят от и и

— называется остаточным членом и имеет следующий вид:

В этих обозначениях формула Тейлора (54.1) принимает вид:

Замечание:

Для функции переменных формула Тейлора, аналогичная (54.1), выписанная до членов первого порядка, в окрестности точки будет иметь вид:

где

Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Пусть дана система нелинейных уравнений с неизвестными, где

— некоторые функции:

Определение:

Решением системы (54. 3) называется точка — мерного пространства координаты которой удовлетворяют этой системе.

Введем матрицы-столбцы неизвестных (координаты точки — мерного пространства) функций и нулевой столбец.

Тогда система (54.3) может быть записана в матричном виде:

Для приближенного решения системы (54.3) в методе Ньютона
предлагается процедура последовательного уточнения значений решения системы.

Пусть известно приближенное решение системы (54.5) и его отличие от истинного решения:

где:

В матричных обозначениях (54.6) записывается следующим образом:

Подставляя (54.6) в (54.3), получаем систему:

Заменим каждую из функций в левых частях этих уравнений по
формуле Тейлора (54.2) с точностью до линейных членов:

Пренебрегая остаточным членом, получим систему (54.7) линейных
уравнений для определения неизвестных «поправок» к

Находя из этой системы значения поправок находим по формулам (54.8)

Конечно, подставляя найденные значения в систему (54.3), мы не получим (в общем случае) тождество, т.к. при вычислении поправок мы пренебрегаем остаточным членом в формуле Тейлора. Вычисляя, на основании значений новые поправки из системы (54.7), найдем следующее, приближение. Процесс обычно продолжается до тех пор, пока поправки к решению не оказываются по абсолютной величине меньше наперед заданной точности вычислений , которую обычно берут одинаковой для всех неизвестных: для всех

Метод Ньютона, как правило, сходится если начальное приближение
достаточно близко к истинному решению. На практике начальное
приближение для системы двух и трех уравнений выбирают из геометрических соображений. Решение системы (54.7) и реализация метода Ньютона в настоящее время осуществляется с помощью ЭВМ.

В матричном виде, с использованием обозначений (54.4), система (54.7) и ее решение записывается более удобно:

где — так называемая матрица Якоби, или якобиан, составлена из производных функций в точке

Решая матричное уравнение (54.9), получаем матрицу-столбец
поправок:

где — матрица, обратная к матрице Якоби, вычисленной для Очередное приближение вычисляется по формуле:

Замечание:

Для системы двух и трех уравнений аргументы обозначают, как правило, традиционным способом:

Пример:

Решить систему уравнений

Решение:

В данном случае система двух уравнений с двумя неизвестными:

Таким образом, матрица Якоби получилась равной:

На практике далее вычисления производятся с помощью программы на ЭВМ, исходными данными для работы которой являются правые части уравнений матрица Якоби начальное приближение и точность вычислений .

Для нахождения начального приближения воспользуемся
геометрической интерпретацией уравнений системы примера 54.1. Уравнение определяет эллипс с полуосями Уравнение определяет кубическую параболу Нарисовав обе кривые в одних осях найдем нулевое приближение из графика (см. рис. 61)

Ограничимся нахождением решения системы с положительными
координатами, выбрав в качестве начального приближения

Для начальной иллюстрации метода Ньютона покажем процесс
численного решения примера 54.1. В вычислениях будем брать на один знак больше требуемой точности, т.е. 2 знака после запятой.
Найдем матрицу обратную к матрице Якоби как было изложено в
части 1 настоящего Курса:

Система (54.11) для определения поправок приобретает вид:

Подставляя сюда начальное приближение получаем значения поправок

Вычисляя далее очередное приближение получаем

Поскольку условие окончания процесса

Подставляя в систему (54.13) значения получаем

Поскольку условие окончания процесса выполнено:

Окончательное приближение получается равным

Локальный экстремум функции нескольких переменных

Определение:

Мы говорим, что функция имеет локальный максимум в точке если

для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Определение:

Совершенно аналогично говорят, что функция имеет локальный минимум в точке если

для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Локальный максимум и минимум функции называют локальными
экстремумами функции, т.е. говорят, что функция имеет локальный
экстремум в данной точке, если эта функция имеет локальный максимум или минимум в данной точке.
Как и для функции одной переменной локальные максимумы и
минимумы будем называть просто максимумами и минимумами или экстремумами.
Данное выше определение максимума и минимума функции можно
перефразировать следующим образом.

Положим тогда

1) Если при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция достигает максимума в точке

2) Если при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то функция достигает минимума в точке

Эти формулировки переносятся без изменения на функцию любого
числа переменных.

Теорема:

Необходимые условия экстремума. Если функция достигает экстремума при то каждая частная производная первого порядка от или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Действительно, дадим переменному определенное значение, именно Тогда функция будет функцией одного переменного . Так как при она имеет экстремум (максимум или минимум), то, следовательно, или равна нулю, или не существует. Совершенно аналогично можно доказать, что или равна нулю (см. рис. 62), или не существует (см. рис. 63).

Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об
экстремальных значениях функции, но позволяет находить эти значения в тех случаях, в которых мы заранее уверены в существовании максимума или минимума. В противном случае требуется дополнительное исследование.

Так например функция имеет производные которые обращаются в нуль при Но эта функция при указанных значениях не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, эта функция равна нулю в начале координат и принимает в как угодно близких от начала координат точках как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, значение нуль не является ни максимумом, ни минимумом (см. рис. 64).

Определение:

Точки области определения в которых и не существует и или не существует, называются критическими точками функции

Если функция достигает экстремума в какой либо точке, то в силу
теоремы (54.1) это может случиться только в критической точке.
Для исследования функции в критических точках установим
достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Теорема:

Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка является критической точкой функции т.е.

Тогда при

1. имеет максимум, если

2. имеет минимум, если

3. не имеет ни максимум, ни минимума, если

4. то экстремум может
быть и может не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование).

Замечание:

В случае, когда функция имеет локальный экстремум в точке знаки совпадают.

Действительно, если

и например,

Доказательство теоремы 54.2: Напишем формулу Тейлора второго
порядка для функции Полагая

будем иметь:

где , а стремится к нулю при

По условию

Следовательно,

Обозначим теперь значения вторых частных производных в точке через

Обозначим через угол между направлением отрезка где есть точка и осью тогда

Подставляя эти выражения в формулу для , найдем:

Предположим, что

Разделив и умножив на выражение, стоящее в квадратных скобках, получим:

Рассмотрим теперь четыре возможных случая.

1. Пусть Тогда в числителе дроби стоит сумма двух неотрицательных величин. Они одновременно в нуль не обращаются, так как первый член обращается в нуль при второй при

Если то дробь есть отрицательная величина, не обращающаяся в нуль. Обозначим ее через тогда

где не зависит от Следовательно, при достаточно малых будет:

или

Но тогда для всех точек , достаточно близких к точке , имеет место неравенство

а это означает, что в точке функция достигает максимума.

2) Пусть Тогда, аналогично рассуждая, получим:

или

т.е. имеет минимум в точке

3) Пусть В этом случае функция не имеет
ни максимума, ни минимума. Функция возрастает, когда мы движемся из точки по одним направлениям, и убывает, когда мы движемся по другим направлениям. Действительно, при перемещении вдоль луча имеем:

при движении вдоль этого луча функция возрастает. Если же перемещаться вдоль луча такого, что то при будет:

при движении вдоль этого луча функция убывает.

4) Пусть В этом случае функция тоже не имеет
ни максимума, ни минимума. Исследование проводится так же, как и в случае .

5) Пусть Тогда и равенство (54.15) можно переписать в виде

При достаточно малых значениях выражение, стоящее в круглых скобках, сохраняет знак, так как оно близко к , а множитель меняет знак в зависимости от того, будет ли больше нуля или меньше нуля. Следовательно, и в этом случае меняет знак при различных т.е. при различных и , следовательно, и в этом случае нет ни максимума, ни минимума.

Таким образом, каков бы ни был знак имеем всегда следующее положение:

Если в точке , то функция не имеет в этой точке максимума, ни минимума. В этом случае поверхность, служащая графиком функции, может вблизи этой точки иметь, например форму седла (см. рис. 64).

6) Пусть В этом случае на основании формулы (54.15) и (54.16) сделать заключение о знаке нельзя. Так, например, при будем иметь:

при знак определяется знаком здесь требуется специальное дальнейшее исследование (например, с помощью формулы Тейлора более высокого порядка или каким либо иным способом). Таким образом, теорема (54.2) полностью доказана.

Пример:

Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение:
1) Найдем критические точки пользуясь необходимыми условиями
экстремума:

Отсюда получаем две критические точки:

2) Найдем производные второго порядка:

3) Исследуем характер первой критической точки

Следовательно, в точке (1; 1) данная функция имеет минимум, именно:

4) Исследуем характер второй критической точки

Следовательно, во второй критической точке функция не имеет ни
максимума, ни минимума (минимакс).

Решение заданий на тему: Экстремум функции нескольких переменных

Пример:

Найдите экстремумы функции

Решение:

Найдем частные производные первого порядка и найдем
стационарные точки из необходимого условия экстремума, решив систему уравнений:

Найдем далее частные производные второго порядка и вычислим значение дискриминанта в стационарных точках.

В соответствии с достаточным условием экстремума найденная
стационарная точка является точкой экстремума. Поскольку это минимум.

Ответ: Точка является точкой минимума.

Пример:

Исследуйте на экстремум функцию

Решение:

Найдем стационарные точки:

Решая 4 системы, получаем 4 стационарные точки:

Определим знак дискриминанта в каждой из этих точек

Следовательно в точках и есть экстремум, а в точках и его нет.

Определите знак частной производной в точках и

Следовательно в точке функция имеет минимум, а в точке — функция имеет минимум, а в точке

Пример:

Исследуйте на экстремум функцию

Решение:

Найдем частные производные первого порядка и
определим стационарные точки из необходимого условия экстремума, решив систему уравнений:

Найдем частные производные второго порядка и вычислим значение дискриминанта в стационарных точках:

На основании достаточного условия экстремума заключаем, что
найденная стационарная точка является точкой экстремума. Поскольку это точка минимума.

Ответ: Точка — точка минимума.

Условный экстремум

Глобальный экстремум. Условный экстремум. Метод множителей
Лагранжа. Понятие о численных методах поиска экстремума.
Криволинейный интеграл в скалярном поле.

В некоторых задачах необходимо найти максимум или минимум
функции от нескольких переменных, не являющихся независимыми, но связанными друг с другом некоторыми дополнительными условиями: уравнениями или неравенствами.

Определения:

Наибольшее значение функции на множестве называется глобальным максимумом этой функции на множестве

Аналогично вводится понятие глобального минимума на множестве как наименьшего значения. Наибольшее и наименьшее значения называются глобальными экстремумами.

Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области и дифференцируема внутри этой области.

Тогда она имеет в этой области наибольшее и наименьшее значение,
которые достигаются либо внутри области, либо на ее границе. Если
наибольшее или наименьшее значение функция принимает во внутренних точках области то эти точки, очевидно, являются точками экстремума функции . Таким образом, точки, в которых функция имеет наибольшее или наименьшее значения, являются либо точками экстремума функции, либо граничными точками области

Мы приходим к следующему правилу нахождения наибольшего и
наименьшего значения функции двух переменных.

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной области следует найти значение функции в критических точках этой области, а также ее наибольшее и наименьшее значения на границе области . Наибольшее и наименьшее из всех этих значений являются соответственно наибольшим и наименьшим значением функции в заданной области .

В некоторых случаях при нахождении наибольших и наименьших
значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области границу этой области удобно разбить на части, каждая из которых задается своими уравнениями.

Пример:

Haumu наибольшее и наименьшее значение функции в круге

Решение:

Находим первые частные производные и Решая систему уравнений

получим одну критическую точку в которой значение функции равно нулю.

Найдем теперь наибольшее и наименьшее значение функции на
границе, т.е. на окружности Для точек этой окружности функцию можно представить как функцию одной переменной причем Итак, нахождение наибольшего и наименьшего значений функций двух переменных на окружности мы свели к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на сегменте . Найдем критические точки функции в интервале и вычислим значение функции в этих точках и на концах интервала. Имеем откуда получаем критическую точку

Далее находим

Таким образом, функция имеет наибольшее значение, равное 4, и наименьшее значение, равное -4.

Итак, наибольшее значение функции в круге принимает в точках окружности наименьшее — в точках той же окружности.

Заметим, что наибольшее и наименьшее значение функции на окружности нужно найти иначе.

Условный экстремум:

Пример:

Из куска -жести площадью 2а требуется сделать
закрытую коробку в виде прямоугольного параллелепипеда, имеющего наибольший объем.

Решение:

Обозначив длину ребер параллелепипеда сведем задачу к нахождению максимума функции при условии:

Решение этой задачи приводится ниже.

Такие задачи называются задачами на условный экстремум.
Сначала рассмотрим задачу нахождения условного экстремума
функции двух переменных, связанных одним условием.
Требуется найти максимумы и минимумы функции

при условии, что связаны уравнением

Геометрически задача сводится к нахождению такой точки на линии плоскости задаваемой уравнением (55.2), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению с другими значениями этой функции на этой линии (см. рис. 65)

В принципе можно из уравнения (55.2) выразить одну из переменных, например через другую и, подставив в функцию (55.1) это выражение вместо свести задачу к задаче нахождения максимума и минимума функции одного независимого переменного .

Этот путь, однако, может оказаться сложным, если выражение (55.2) достаточно громоздкое.
Иногда такие задачи решают методом неопределенных множителей Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа

Считая функцией от задаваемой неявно уравнением (55.2), а — сложной функцией одной переменной заметим, что в точках экстремума производная функции по найденная как производная сложной функции, должна обращаться в нуль.

Дифференцируя обе части равенства (55.2) по , находим:

Это равенство выполняется для всех и удовлетворяющих уравнению (55.2).

Умножив обе части равенства (55.4) на неопределенный пока
коэффициент и сложив их с соответствующими частями равенства (55.3), получаем равенство:

выполняющееся в точках экстремума.

Подберем так, чтобы в этих точках вторая скобка в (55.5) обратилась в нуль:

Тогда при этих значениях и следует равенство нулю первой скобки в (55.5):

Таким образом, в точках экстремума выполняются три условия:

Т.е. система (55.6) является необходимым условием условного
экстремума. Заметим, что левые части уравнений (55.5) являются частными производными функции Лагранжа

трех переменных

Таким образом, для нахождения условного экстремума функции (55.1) при условии (55.2) методом множителей Лагранжа, нужно составить дополнительную функцию (55.7), приравняв нулю ее частные производные Заметим, что поскольку уравнения
(55.6) являются необходимым условием, требуется дополнительное
исследование характера критической точки. Иногда при решении конкретных задач удается установить характер критической точки из физического смысла задачи.

Рассмотренный метод распространяется на случай любого числа
переменных.

Если требуется найти экстремумы функции переменных при условии:

нужно составить функцию Лагранжа:

Приравняв нулю ее частные производные по всем переменным, получим систему:

Определив из системы (55.9) значения выделим экстремумы из найденных критических точек (с помощью вспомогательных соображений).

Пример:

Решим пример (55.1) методом множителей
Лагранжа.

Решение:

Составим вспомогательную функцию

Найдем ее частные производные и приравняем их нулю:

Для решения этой системы умножим первое уравнение на второе на третье на и сложим их; с учетом последнего уравнения, получаем: Подставив это выражение в первые три уравнения, получаем:

Т. к. по смыслу задачи отличны от нуля, из первых трех уравнений имеем:

Из первых двух уравнений находим из второго и третьего из последнего:

Из геометрических соображений следует, что полученная критическая точка дает максимум, т.к. минимум объема будет при или или

Ответ: Объем коробки наибольший, когда коробка имеет форму куба
с ребром равным

Понятие о численных методах поиска экстремума

В связи с тем, что аналитические методы зачастую приводят к громоздким вычислениям, в связи с развитием вычислительной техники большое распространение получили численные методы поиска экстремума.

Ряд таких методов, получивших название градиентных, основаны на
свойстве градиента указывать направление наибольшего возрастания функции в данной точке.

Иногда градиентные методы называют «методами наискорейшего
спуска» — применяя их для нахождения точки минимума.
Кроме градиентных методов широкое распространение получили
также численные методы поиска экстремума, основанные на приближении (линейном или более высокого порядка) значения функции в данной точке.

В заключение лекций посвященных функциям нескольких переменных кратко остановимся на понятии интеграла по длине дуги, находящейся в плоском скалярном поле.

Криволинейный интеграл по длине дуги

Понятие длины
дуги плоской кривой было введено нами в лекции 45. Пусть кривая (рис 19) находится в скалярном поле, определяемом функцией По аналогии с пунктом 45.4 для кривой определяемом уравнением введем интегральную сумму

Определение:

Предел интегральной суммы 55.10 при условии,
что все и, следовательно, называется криволинейным интегралом по длине дуги в скалярном поле или криволинейным интегралом 1-го рода, и обозначается

где дифференциал дуги

Если кривая задана в параметрическом виде или в полярных координатах

то криволинейный интеграл по длине дуги будет вычисляться в соответствие с выражением дифференциала дуги (см. п. 45.4) по формулам:

где — значение параметра t или полярного угла в точках

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл по дуге окружности

от точки до точки от функции

Решение:

По формуле 55.12

Из условия определяем из условия находим Получаем:

Следует обратить внимание на то. что точки

Установим физический смысл криволинейного интеграла по длине
дуги. Пусть вдоль кривой распределена масса с линейной плотностью Напомним, что линейной плотностью массы в точке называется предел отношения массы участка содержащего точку к его длине, когда длина стремится к нулю

Точное значение массы получится предельным переходом и, в соответствии с определением 55.2, будет равно криволинейному интегралу:

Если формула 55.14 переходит в формулу 45.9 для вычисления дуги

Пример:

Найти массу проволоки, имеющей форму параболы на участке если плотность определяется формулой

Решение:

По формуле 55.14, учитывая, что получаем:

Позже мы рассмотрим криволинейные интегралы 2°
ют более широкие приложения рода, которые имеют более широкие приложения.

Решение заданий на тему: условный экстремум

Пример:

Найдите условные экстремумы функции при условии

Решение:

Графиком функции является верхняя полусфера (см. рис. 66), линия есть прямая на плоскости

Из геометрических соображений ясно, что для точек этой линии
наибольшее значение функции достигается в точке лежащей посередине между точками а наименьшее значение — в точках

Заметим, что условный максимум — точка не совпадает с глобальным максимумом — точкой

Находя производную определяем критическую точку принадлежащую отрезку, вычисляем значение функции в
этой критической точке и на концах отрезка:

и находим как раз те локальные экстремумы, которые были определены из геометрических соображений:

Пример:

Найдите экстремумы функций при условии, что

Решение:

Составим функцию Лагранжа:

Необходимые условия экстремума дают систему:

Для определения наличия экстремума и его характера, определим знак

при данных зналениях переменных.

Если

и следовательно, в этой точке минимум.

Если

и следовательно, в этой точке максимум.

Заметим, что геометрически данная задача сводится к нахождению самой «высокой» и самой «низкой» точек пересечения плоскости с цилиндром

Ответ: точка максимума

Пример:

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции в области

Решение:

Найдем стационарные точки данной функции

Проверим принадлежность этой точки данной области:

Найдем критические точки, принадлежащие отрезку

Найдем значение функции в этой точке

Найдем значение функции на концах отрезка:

Заключаем, что наибольшее значение при функция достигает при наименьшее — при

Аналогично найдем наименьшее и наибольшее значения функции при Самостоятельно убедитесь, что наибольшее значение при функция достигает при

наименьшее — при

Для исследования функции на третьей границе: выразим из этого уравнения и подставим в правую часть уравнения функции. Получим

Из условия

заключаем, что на третьей границе меняется в пределах от 0 до 4. Самостоятельно найдите наименьшее и наибольшее значения функции Убедитесь, что наименьшее значение функция достигает при наибольшее — при

(Впрочем, эти значения уже были). Выбирая из всех найденных значений функции самое большое и самое маленькое, окончательно заключаем, что наибольшее значение в данной области функция принимает в точках а наименьшее

Ответ:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторная алгебра
128. Векторный анализ
129. Векторы
130. Скалярное произведение векторов
131. Векторное произведение векторов
132. Смешанное произведение векторов
133. Операции над векторами
134. Непрерывность функций
135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
136. Предел и непрерывность функции одной переменной
137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
140. Матрицы
141. Линейные и евклидовы пространства
142. Линейные отображения
143. Дифференциальные теоремы о среднем
144. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
145. Функции комплексного переменного
146. Преобразование Лапласа
147. Теории поля
148. Операционное исчисление
149. Системы координат
150. Рациональная функция
151. Интегральное исчисление
152. Интегральное исчисление функций одной переменной
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат