Как найти дифференциал третьего порядка функции

Содержание:

  • Случай независимой переменной
  • Случай зависимой переменной

Пусть функция $y=f(x)$ зависит от переменной
$x$ и дифференцируема в точке
$x$. Может оказаться, что в точке
$x$ дифференциал
$d y=f^{prime}(x) d x$, рассматриваемый как функция от
$x$, есть также дифференцируемая функция. Тогда существует
дифференциал от дифференциала $d(dy)$ данной функции,
который называется дифференциалом второго порядка функции $y=f(x)$.
Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

$d^2y=d(dy)$

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Определение

Дифференциалом
$n$-го порядка

$d_ny$ функции
$y=f(x)$ называется дифференциал от дифференциала
$(n-1)$-го порядка этой функции, то есть

$$d^{n} y=dleft(d^{n-1} yright)$$

Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.

Случай независимой переменной

Пусть $y=f(x)$ – функция независимой переменной
$x$, имеющая дифференциалы любого порядка.
Первый дифференциал функции

$$d y=f^{prime}(x) d x$$

где $dx=Delta x$ – некоторое приращение независимой
переменной $x$, которое мы задаем сами и которое не
зависит от $x$. По определению

$$d^{2} y=d(d y)=dleft(f^{prime}(x) d xright)$$

Переменной является аргумент $x$. Значит, для
дифференциала величина $dx$ является постоянной и
поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

$$d^{2} y=dleft(f^{prime}(x) d xright)=d x cdot dleft(f^{prime}(x)right)$$

Для вычисления дифференциала $dleft(f^{prime}(x)right)$ применим формулу
дифференциала первого порядка к функции $f^{prime}(x)$. Тогда получим:

$$dleft(f^{prime}(x)right)=left(f^{prime}(x)right)^{prime} cdot d x=d x cdot f^{prime prime}(x) d x=f^{prime prime}(x)(d x)^{2}=f^{prime prime}(x) d x^{2}$$

Итак,

$$d^{2} y=f^{prime prime}(x) d x^{2}$$

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала
$n$-го порядка:

$$d^{n} y=f^{n}(x) d x^{n}$$

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции $y(x)=4x^3-12x+5$

Решение. По формуле

$$d^{3} y=y^{prime prime prime}(x) d x^{3}$$

Найдем третью производную заданной функции:

$$begin{array}{c}
y^{prime}(x)=left(4 x^{3}-12 x+5right)^{prime}=left(4 x^{3}right)^{prime}-(12 x)^{prime}+(5)^{prime}= \
4left(x^{3}right)^{prime}-12(x)^{prime}+0=4 cdot 3 x^{2}-12 cdot 1=12 x^{2}-12 \
y^{prime prime}(x)=left(y^{prime}(x)right)^{prime}=left(12 x^{2}-12right)^{prime}=left(12 x^{2}right)^{prime}-(12)^{prime}= \
=12left(x^{2}right)^{prime}-0=12 cdot 2 x=24 x \
y^{prime prime prime}(x)=left(y^{prime prime}(x)right)^{prime}=(24 x)^{prime}=24(x)^{prime}=24
end{array}$$

Тогда

$$d^{3}y=24dx^3$$

Ответ. $d^{3}y=24dx^3$

Случай зависимой переменной

Пусть задана дифференцируемая функция $y=f(u(x))$. Тогда

$$d y=f^{prime}(u) d u$$

где $d u=u^{prime}(x) d x$ в общем случае не является постоянной величиной.
Поэтому дифференциал от функции $f^{prime}(u) d u$ берем как дифференциал от произведения

$$d^{2} y=dleft(f^{prime}(u) d uright)=dleft(f^{prime}(u)right) cdot d u+f^{prime}(u) cdot d(d u)=f^{prime prime}(u) d u^{2}+f^{prime}(u) d^{2} u$$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти дифференциал второго порядка
$d^{2}u$ функции $f(u)=sqrt{u}$, где
$u(x)=3x+7$ и $x$ – независимая переменная.

Решение. Решим пример разными способами и сравним ответы.

1-ый способ. Согласно формуле, имеем, что искомый дифференциал

$$d^{2} y=f^{prime prime}(u) d u^{2}+f^{prime}(u) d^{2} u$$

Найдем все необходимые компоненты формулы. Из условия имеем:

$$begin{array}{c}
f^{prime}(u)=(sqrt{u})^{prime}=frac{1}{2 sqrt{u}} \
f^{prime prime}(u)=left(f^{prime}(u)right)^{prime}=left(frac{1}{2 sqrt{u}}right)^{prime}=frac{1}{2} cdotleft(u^{-frac{1}{2}}right)^{prime}= \
=frac{1}{2} cdotleft(-frac{1}{2}right) cdot u^{-frac{3}{2}}=-frac{1}{4 sqrt{u^{3}}} \
d u=d(3 x+7)=(3 x+7)^{prime} d x=left[(3 x)^{prime}+(7)^{prime}right] d x= \
=left[3(x)^{prime}+0right] d x=3 cdot 1 cdot d x=3 d x \
d^{2} u=d(3 d x)=d x cdot d(3)=d x cdot 0=0
end{array}$$

А тогда:

$$begin{aligned}
d^{2} y=&-frac{1}{4 sqrt{u^{3}}} d u^{2}+frac{1}{2 sqrt{u}} cdot 0=-frac{1}{4 sqrt{u^{3}}} cdot(3 d x)^{2}=\
&=-frac{9}{4 sqrt{u^{3}}} d x^{2}=-frac{9}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} d x^{2}
end{aligned}$$

2-ой способ. Из того, что $f(u)=sqrt{u}$ и
$u(x)=3 x+7$, получаем:

$$f(x)=sqrt{3 x+7}$$

А тогда

$$d^{2} y=f^{prime prime}(x) d x^{2}$$

Найдем вторую производную функции $f(x)=sqrt{3 x+7}$:

$$f^{prime}(x)=(sqrt{3 x+7})^{prime}=frac{1}{2 sqrt{3 x+7}} cdot(3 x+7)^{prime}=$$
$$=frac{1}{2 sqrt{3 x+7}} cdotleft[(3 x)^{prime}+(7)^{prime}right]=frac{1}{2 sqrt{3 x+7}} cdotleft[3(x)^{prime}+0right]=$$
$$=frac{3 cdot 1}{2 sqrt{3 x+7}}=frac{3}{2 sqrt{3 x+7}}$$
$$f^{prime prime}(x)=left(f^{prime}(x)right)^{prime}=left(frac{3}{2 sqrt{3 x+7}}right)^{prime}=frac{3}{2}left((3 x+7)^{-frac{1}{2}}right)^{prime}=$$
$$=frac{3}{2} cdotleft(-frac{1}{2}right) cdot(3 x+7)^{-frac{3}{2}} cdot(3 x+7)^{prime}=$$
$$=-frac{3}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} cdotleft[(3 x)^{prime}+(7)^{prime}right]=-frac{3}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} cdot 3(x)^{prime}=$$
$$=-frac{3 cdot 3 cdot 1}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}}=-frac{9}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}}$$

Окончательно имеем:

$$d^{2} y=-frac{9}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} d x^{2}$$

Ответ. $d^{2} y=-frac{9}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} d x^{2}$

Читать дальше: производная функции, заданной неявно.

Дифференциалы высших порядков

Автор статьи

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Пусть дана функция y = f(x), где х – независимая переменная. Дифференциал этой функции есть некоторая функция от х, но от х зависит только первый сомножитель f ‘(x) второй же сомножитель dx является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит.

$dy = f ‘(x)dx$

Функция dy есть функция от x и называется дифференциалом.

Что такое дифференциал второго, третьего и n-го порядка функции

Определение

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается $d^2y$.

$d^2y = d(dy)$

Определение

Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется~дифференциал~от ее второго дифференциала:

$d^3y = d(d^2y) = f ”'(x)dx^3$

Логотип baranka

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Определение

Дифференциалом n-го порядка является дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка:

$d^ny = d(d^{n-1}y)$

Пример 1

Найти дифференциал третьего порядка функции.

[y(x)=x^{4} +2arccos x]

Решение.

  1. По определению дифференциала, дифференциал 3 порядка равен:

    [d^{3} y=y”'(x)dx^{3} ]

  2. Продифференцируем данную функцию по х:
  3. [y'(x)=(x^{4} +2arccos x)’=(x^{4} )’+2(arccos x)’=4x^{3} -frac{2}{sqrt{1-x^{2} } } ]

  4. Вычислим вторую производную
  5. [y”(x)=left(4x^{3} -frac{2}{sqrt{1-x^{2} } } right)^{{‘} } =12x^{2} -2left((1-x^{2} )^{-frac{1}{2} } right)^{{‘} } =12x^{2} -2frac{1}{2} (1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } (1-x^{2} )’]

    [y”(x)=12x^{2} -2x(1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } ]

  6. Вычислим третью производную
  7. [y”'(x)=left(12x^{2} -2x(1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } right)^{{‘} } =24x-left(2(1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } +2xleft((1-x^{2} )^{-frac{1}{2} } right)^{{‘} } right)]

    [y”'(x)=left(12x^{2} -2x(1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } right)^{{‘} } =24x-2(1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } -4frac{3}{2} x^{2} (1-x^{2} )^{-frac{5}{2} } ]

    [y”'(x)=24x-frac{2}{sqrt{(1-x^{2} )^{3} } } -frac{6x^{2} }{sqrt{(1-x^{2} )^{5} } } ]

  8. Подставим полученную производную в формулу дифференциала второго порядка:
  9. [d^{3} y=y”'(x)dx^{3} =left(24x-frac{2}{sqrt{(1-x^{2} )^{3} } } -frac{6x^{2} }{sqrt{(1-x^{2} )^{5} } } right)dx^{3} ]

«Дифференциалы высших порядков» 👇

Пример 2

Найти дифференциал 4 порядка функции.

[y(x)=e^{4x} sin 3x]

Решение.

  1. Запишем производную по формуле Лейбница
  2. [y^{(4)} (x)=left(e^{4x} right)^{(4)} sin 3x+C_{4}^{1} left(e^{4x} right)^{(3)} sin 3x’+C_{4}^{2} left(e^{4x} right)^{(2)} sin 3x”+C_{4}^{3} left(e^{4x} right){{‘} } sin 3x”’+e^{4x} sin 3x^{(4)} ]

  3. Посчитаем коэффициенты при слагаемых
  4. [C_{4}^{1} =frac{4!}{1!(4-1)!} =frac{4!}{3!} =frac{3!4}{3!} =4]

    [C_{4}^{2} =frac{4!}{2!(4-2)!} =frac{4!}{2!2!} =frac{1cdot 2cdot 3cdot 4}{1cdot 2cdot 1cdot 2} =6]

    [C_{4}^{3} =frac{4!}{3!(4-3)!} =frac{4!}{3!1!} =frac{3!4}{3!} =4]

  5. Найдем производные первого сомножителя
  6. [left(e^{4x} right){{‘} } =e^{4x} cdot 4x’=4e^{4x} ]

    [left(e^{4x} right){{‘} } {{‘} } =left(4e^{4x} right){{‘} } =16e^{4x} ]

    [left(e^{4x} right){{‘} } {{‘} } {{‘} } =left(16e^{4x} right){{‘} } =64e^{4x} ]

    [left(e^{4x} right)^{(4)} =left(64e^{4x} right){{‘} } {{‘} } {{‘} } =256e^{4x} ]

  7. Найдем производные второго сомножителя
  8. [sin 3x’=cos 3xcdot 3x’=3cos 3x]

    [sin 3x”=left(3cos 3xright){{‘} } =3left(-sin 3xright)cdot left(3xright){{‘} } =-9sin 3x]

    [sin 3x”’=left(-9sin 3xright){{‘} } ^{} =-27cos 3x]

    [sin 3x^{(4)} =left(-27cos 3xright){{‘} } =81sin 3x]

  9. Подставим найденные значения в формулу Лейбница
  10. [y^{(4)} (x)=256e^{4x} sin 3x+4cdot 64e^{4x} cdot 3cos 3x+6cdot 16e^{4x} cdot left(-9sin 3xright)+4cdot 4e^{4x} cdot left(-27cos 3xright)+e^{4x} cdot 81sin 3x]

  11. Упростим
  12. [y^{(4)} (x)=e^{4x} (336cos 3x-527sin 3x)]

  13. Формула дифференциала 4 порядка имеет вид:
  14. [d^{left(4right)} y=y^{(4)} (x)dx^{4} ]

    [d^{left(4right)} y=e^{4x} (336cos 3x-527sin 3x)dx^{4} ]

Пример 3

Найти дифференциал 3 порядка функции

[y=5^{2x-5} ]

Решение.

Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка

[left(a^{kx+b} right)^{(n)} =k^{n} a^{kx+b} ln ^{n} a]

Где $k = 2, b = -5, a = 5, n = 3$

[y^{(3)} =left(5^{2x-5} right)^{(3)} =2^{3} cdot 5^{2x-5} cdot ln ^{3} 5]

[y^{(3)} =2^{3} cdot 5^{2x-5} cdot ln ^{3} 5=frac{8cdot 25^{x} }{3125} ln ^{3} 5]

Формула дифференциала 3 порядка имеет вид:

[d^{left(3right)} y=y^{(3)} (x)dx^{3} ]

[d^{left(3right)} y=frac{8cdot 25^{x} }{3125} ln ^{3} 5dx^{3} ]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 15.12.2022

Содержание:

Пусть функция Дифференциал функции с примерами решения

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала. На рис. 12.1 Дифференциал функции с примерами решения — касательная в точке Дифференциал функции с примерами решения к графику функции Дифференциал функции с примерами решения длина отрезкаДифференциал функции с примерами решенияУчитывая, что согласно геометрическому смыслу производной Дифференциал функции с примерами решения из прямоугольного треугольника Дифференциал функции с примерами решения получаем Дифференциал функции с примерами решения то есть Дифференциал функции с примерами решения Поэтому длина отрезка Дифференциал функции с примерами решенияравна величине дифференциала функции Дифференциал функции с примерами решения в точке Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Исходя из того, что Дифференциал функции с примерами решения можно сформулировать геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции с примерами решения

С геометрической точки зрения, Дифференциал функции с примерами решенияявляется приращением ординаты касательной, проведенной к графику функции Дифференциал функции с примерами решения в точке Дифференциал функции с примерами решения которому соответствует приращение аргумента Дифференциал функции с примерами решения

При нахождении дифференциала функции Дифференциал функции с примерами решения в любой точке Дифференциал функции с примерами решения на основании формулы (1) получим Дифференциал функции с примерами решения

Это равенство справедливо для любой функции. В частности, для функцииДифференциал функции с примерами решенияравенство (2) обращается в равенство Дифференциал функции с примерами решения Отсюда получаем, что дифференциал аргумента Дифференциал функции с примерами решения равен приращению аргумента Дифференциал функции с примерами решения

Подставляя Дифференциал функции с примерами решения вместо Дифференциал функции с примерами решения в формулу (2), получаем Дифференциал функции с примерами решения

Найденное равенство является основанием для нахождения дифференциала функции.

Пример:

Найдите Дифференциал функции с примерами решения для функции Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Поскольку Дифференциал функции с примерами решения Равенство (3) также показывает, что между понятием производной и понятием дифференциала существует тесная связь, поэтому правила нахождения дифференциалов аналогичны правилам дифференцирования функций, а именно:

Дифференциал функции с примерами решения

Обоснуем, например, правило 2: Дифференциал функции с примерами решения Другие правила обосновываются аналогично (обоснуйте их самостоятельно). Вспомним, что согласно определению производной Дифференциал функции с примерами решения Используя понятие бесконечно малой функции, это равенство можно записать так: Дифференциал функции с примерами решенияТогда приращение Дифференциал функции с примерами решениядифференцируемой в точке Дифференциал функции с примерами решения функции Дифференциал функции с примерами решения где Дифференциал функции с примерами решения

В этом равенстве первое слагаемое правой части является дифференциалом функции, следовательно, Дифференциал функции с примерами решения

Учитывая, что Дифференциал функции с примерами решения получаем, что второе слагаемое при Дифференциал функции с примерами решения стремится к нулю быстрее, чем Дифференциал функции с примерами решения В этом случае говорят, что Дифференциал функции с примерами решенияявляется величиной более высокого порядка малости, чем Дифференциал функции с примерами решения то есть второе слагаемое значительно меньше первого. Это позволяет сделать следующий вывод:

  • Дифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения является главной частью приращения функции.

С геометрической точки зрения (см. рис. 12.1), при Дифференциал функции с примерами решения расстояние Дифференциал функции с примерами решениястановится значительно меньше, чем расстояние Дифференциал функции с примерами решения поэтомуДифференциал функции с примерами решения — главная (т. е. большая) часть отрезка Дифференциал функции с примерами решения Если в равенстве (4) принебречь вторым слагаемым (которое при малых значениях Дифференциал функции с примерами решения значительно меньше первого), то получим приближенное равенствоДифференциал функции с примерами решения то естьДифференциал функции с примерами решения Тогда Дифференциал функции с примерами решения

Последнее равенство используется для разных приближенных вычислений функций в тех случаях, когда Дифференциал функции с примерами решения нетрудно вычислить.

Пример:

Пользуясь формулой (5), найдите приближенное значение Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Если рассмотреть функцию Дифференциал функции с примерами решения Возьмем Дифференциал функции с примерами решения Тогда Дифференциал функции с примерами решения и /Дифференциал функции с примерами решения По Формуле (5) имеем: Дифференциал функции с примерами решения При Дифференциал функции с примерами решения получаем Дифференциал функции с примерами решения

Комментарий:

При вычислении значения Дифференциал функции с примерами решения по формуле (5) Дифференциал функции с примерами решения естественно рассмотреть функцию Дифференциал функции с примерами решения и взять за Дифференциал функции с примерами решениячисло 9, поскольку 9,06 близко к 9. Тогда Дифференциал функции с примерами решения и значения /Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения легко находятся при Дифференциал функции с примерами решения Значение Дифференциал функции с примерами решения вычисленное с помощью калькулятора, равно 3,00998… .

Понятие о дифференциале функции

Пусть имеем некоторую дифференцируемую функцию

Дифференциал функции с примерами решения

Приращение Дифференциал функции с примерами решения функции у служит важной характеристикой изменения этой функции на заданном конечном отрезке Дифференциал функции с примерами решения. Однако непосредственное определение приращения функции иногда затруднительно. Тогда обычно поступают следующим образом: разбивают отрезок Дифференциал функции с примерами решения на конечное число достаточно малых отрезков Дифференциал функции с примерами решения и приближенно считают, что на каждом из них прирост функции происходит по закону прямой пропорциональности (например, малый элемент кривой линии рассматривают как прямолинейный; неравномерное движение точки в течение малого промежутка времени трактуют как равномерное ит. п., где «малость» понимается в известном смысле). Иными словами, предполагается, что на достаточно малом отрезке Дифференциал функции с примерами решения имеет место приближенное равенство

Дифференциал функции с примерами решения

где коэффициент пропорциональности k не зависит от Дифференциал функции с примерами решения, но, вообще говоря, зависит от х. Если при этом окажется, что при надлежащем подборе коэффициента пропорциональности погрешность Дифференциал функции с примерами решения будет бесконечно малой величиной высшего порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения:, т. е. отношение

Дифференциал функции с примерами решения

будет бесконечно малым при Дифференциал функции с примерами решения, то величина

Дифференциал функции с примерами решения

называется дифференциалом функции у в точке х (здесь буква d — знак дифференциала). В этом случае, как следует из соотношения (1), справедливо равенство

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения при Дифференциал функции с примерами решения.

Иначе говоря,

Дифференциал функции с примерами решения

Определение: Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная приращению независимой переменной и отличающаяся от приращения функции на бесконечно малую функцию высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной.

Слагаемое k Дифференциал функции с примерами решения в формуле (2) часто называют главной линейной частью приращения функции (или главным линейным членом приращения). Поэтому можно сказать: дифференциал функции представляет собой главную линейную часть бесконечно малого приращения этой функции.

Пример:

Пусть функция Дифференциал функции с примерами решения есть площадь квадрата, сторона которого равна х (рис. 126). Если стороне х дать приращение Дифференциал функции с примерами решения, то новое ее значение станет х + Дифференциал функции с примерами решения и, следовательно, площадь у квадрата получит приращение

Дифференциал функции с примерами решения

Первое слагаемое суммы, стоящей в правой части последнего равенства, очевидно, является главной линейной частью приращения функции при Дифференциал функции с примерами решения Поэтому

Дифференциал функции с примерами решения

На рис. 126 приращение Дифференциал функции с примерами решения функции у изображается площадью всей заштрихованной части, тогда как дифференциал dy функции изображается площадью заштрихованной части без площади маленького квадрата, находящегося в правом верхнем углу большого квадрата.

Дифференциал функции с примерами решения

Сформулируем теорему единственности дифференциала:

Теорема: Данная функция может иметь только один дифференциал.

Доказательство: В самом деле, пусть функция у = f(x) имеет два дифференциала: Дифференциал функции с примерами решения. В силу определения дифференциала имеем

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения — бесконечно малые при Дифференциал функции с примерами решения. Отсюда

Дифференциал функции с примерами решения

и, следовательно, при Дифференциал функции с примерами решения имеем Дифференциал функции с примерами решения

Переходя к пределу при Дифференциал функции с примерами решения в последнем равенстве, получаем

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. Дифференциал функции с примерами решения. Таким образом, дифференциалы dy и dxy совпадают. Теорема доказана.

Из определения дифференциала непосредственно следует: дифференциал функции отличается от приращения этой функции на величину высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной. Этим обстоятельством часто пользуются при приближенных вычислениях.

Пример:

Пусть Дифференциал функции с примерами решения. Найти Дифференциал функции с примерами решения и dy при значении х = 1 и сравнить их между собой в трех случаях: Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Имеем Дифференциал функции с примерами решения Производя алгебраические выкладки, получим

Дифференциал функции с примерами решения

Первое слагаемое, стоящее в правой части последнего равенства, очевидно, является главной линейной частью приращения функции. Следовательно,

Дифференциал функции с примерами решения

Полагая х = 1, получим следующую таблицу:

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда ясно видно, что доля дифференциала dy в приращении Дифференциал функции с примерами решения стремится к 100%, если Дифференциал функции с примерами решения.

Подробное объяснение понятия дифференциала функции:

Пусть функция у = f(x) дифференцируема на отрезке Дифференциал функции с примерами решения Производная этой функции в некоторой точке отрезка определяется равенством
Дифференциал функции с примерами решения
Отношение Дифференциал функции с примерами решения не равно, а лишь стремится к Дифференциал функции с примерами решения и, следовательно, отличается от производной на величину бесконечно малую

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, приращение функции Дифференциал функции с примерами решения состоит из двух слагаемых.

Так как в общем случае Дифференциал функции с примерами решения то при постоянном х и переменном Дифференциал функции с примерами решенияпроизведение Дифференциал функции с примерами решения есть бесконечно малая величина 1-го порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения

Второе слагаемое – величина бесконечно малая высшего порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения так как Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решенияглавная часть приращения, называют дифференциалом функции и обозначают dy или df(x).

Итак, если функция у = f(x) имеет производную Дифференциал функции с примерами решения в точке х, то произведение производной на приращение аргумента называется дифференциалом функции

Дифференциал функции с примерами решения

Найдём дифференциал функции у = х.

Дифференциал функции с примерами решения

Следовательно, производную Дифференциал функции с примерами решения можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Дифференциал функции с примерами решения

Очевидно, что задача нахождения дифференциала равносильна задаче нахождения производной, поэтому большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняют свою силу и для дифференциалов.

Свойства дифференциала:

  1. Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций Дифференциал функции с примерами решенияравен сумме дифференциалов этих функций: Дифференциал функции с примерами решения
  2. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения определяется формулой: Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Дифференциал функции с примерами решения

3. Дифференциал сложной функции. Пусть Дифференциал функции с примерами решения тогда Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.

Форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это важнейшее свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример:

Дифференциал функции с примерами решения

но Дифференциал функции с примерами решения

Дополнительный разбор дифференциала функции:

Пусть функцияДифференциал функции с примерами решения определена на промежутке Дифференциал функции с примерами решения и дифференцируема в некоторой окрестности точки Дифференциал функции с примерами решения Тогда существует конечная производная

Дифференциал функции с примерами решения

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения — бесконечно малая величина при Дифференциал функции с примерами решения откуда

Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, приращение функции Дифференциал функции с примерами решения состоит из двух слагаемых: 1) линейного относительно Дифференциал функции с примерами решения 2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем Дифференциал функции с примерами решения, ибо

(см. замечание в § 6.3) Дифференциал функции с примерами решения

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Ах часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Найти приращение и дифференциал функции

Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Приращение функции

Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения При Дифференциал функции с примерами решения имеем Дифференциал функции с примерами решения Различие между Дифференциал функции с примерами решения составляет всего 0,02, или 0,5%. ►

Пример:

Найти дифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Дифференциал функции с примерами решения откуда

Дифференциал функции с примерами решения

т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. ►

Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде

Дифференциал функции с примерами решения

откуда Дифференциал функции с примерами решения Теперь мы видим, что Дифференциал функции с примерами решения не просто символическое обозначение производной, а обычная дробь с числителем Дифференциал функции с примерами решения и знаменателем Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Определение дифференцируемости функции, её дифференциала. Геометрический и физический смысл дифференциала

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (а, b) и Дифференциал функции с примерами решения– любая точка из интервала (а; b); приращение Дх настолько малое, что точка Дифференциал функции с примерами решения – прирашение функции в точкеДифференциал функции с примерами решения, соответствующее приращению аргумента Дифференциал функции с примерами решения.

Определение 12.1.1. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки Дифференциал функции с примерами решения– Функция f называется дифференцируемой в точке Дифференциал функции с примерами решения, если приращение этой функции может быть представлено в виде:

Дифференциал функции с примерами решения

где А – постоянная величина, не зависящая от х, а Дифференциал функции с примерами решения – бесконечно малая функция при Дифференциал функции с примерами решения.

Линейная функция Дифференциал функции с примерами решения называется дифференциалом функции f в точке Дифференциал функции с примерами решения и обозначается Дифференциал функции с примерами решения или dу. Второе слагаемое в правой части (12.1.1) Дифференциал функции с примерами решения – это произведение двух бесконечно малых функций в точке Дифференциал функции с примерами решения и, следовательно, является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем Дифференциал функции с примерами решения, поэтому Дифференциал функции с примерами решения. Тогда представление (12.1.1) можно переписать в виде:

Дифференциал функции с примерами решения или Дифференциал функции с примерами решения, гдеДифференциал функции с примерами решения. (12.1.2)

ЕслиДифференциал функции с примерами решенияи, следовательно, дифференцируемость функции в точке Дифференциал функции с примерами решенияозначает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение аргумента Дифференциал функции с примерами решения, приращение функции является линейной функцией отДифференциал функции с примерами решения . Т.е. функция f в окрестности точки Дифференциал функции с примерами решения ведет себя «почти как линейная функцияДифференциал функции с примерами решения:

Если f дифференцируема в точке Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения при Дифференциал функции с примерами решения, T.e.f заведомо непрерывна в этой точке. А вот из непрерывности функции f дифференцируемость не всегда следует, что показывает пример Дифференциал функции с примерами решения. Действительно, приращение этой функции

Дифференциал функции с примерами решенияпри х=0 равно:

Дифференциал функции с примерами решения

что противоречит определению, т.к. мы должны получить Дифференциал функции с примерами решения, для любою Дифференциал функции с примерами решения, где А – постоянная одна и та же величина.

Для тождественной функции у = х: Дифференциал функции с примерами решения, поэтому дифференциалом независимой переменной х считают Дифференциал функции с примерами решения и обозначают dx, тогда: Дифференциал функции с примерами решения.

Связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в этой точке устанавливается следующей теоремой.

Теорема 12.1.1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке Дифференциал функции с примерами решения, необходимо и достаточно, чтобы она имела в той точке конечную производную, причем в этом случае

Дифференциал функции с примерами решения (12.1.3)

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке Дифференциал функции с примерами решения, тогда её приращениеДифференциал функции с примерами решения можно представить в

виде

Дифференциал функции с примерами решения. (12.1.4)

Считая Дифференциал функции с примерами решения и разделив обе части (12.1.4) на Дифференциал функции с примерами решения, получим:

Дифференциал функции с примерами решения

Правая (и потому и левая) часть этого равенства имеет предел равный А при Дифференциал функции с примерами решения. Предел левой части при Дифференциал функции с примерами решения (в случае, ссли он существует) по определению равен производнойДифференциал функции с примерами решения:

Дифференциал функции с примерами решения

так как Дифференциал функции с примерами решения – бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем Дифференциал функции с примерами решения. Тогда, подставив в формулу Дифференциал функции с примерами решения вместо А производную Дифференциал функции с примерами решения, получим Дифференциал функции с примерами решения.

Итак, мы доказали, что если для функции f справедливо представление (12.1.4), то эта функция имеет в точкеДифференциал функции с примерами решенияпроизводнуюДифференциал функции с примерами решения, причемДифференциал функции с примерами решения .

Достаточность. Пусть существует конечная производнаяДифференциал функции с примерами решения, то есть существует конечный предел

Дифференциал функции с примерами решения

Всякую функцию, имеющую предел в точке можно представить в виде суммы предела и бесконечно малой функции (п. 10.5):

Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения

Умножив это равенство на Дифференциал функции с примерами решения, придем к представлению, совпадающему с представлением Дифференциал функции с примерами решения, при Дифференциал функции с примерами решения. что и означает дифференцируемость функции f в точке Дифференциал функции с примерами решения

Из доказательства теоремы следует, что дифференцируемость определяется однозначно. Кроме того, производную Дифференциал функции с примерами решения можно обозначать Дифференциал функции с примерами решения. Из теоремы следует также, что понятие дифференцируемости функции в данной точке можно отождествлять с вычислением производной функции в этой точке.

Рассмотрим функциюДифференциал функции с примерами решения. Она непрерывна при Дифференциал функции с примерами решения. Как показано ранее, эта функция не имеет производной в точке Дифференциал функции с примерами решения. Тогда, учитывая формулу Дифференциал функции с примерами решения, можно утверждать, что эта функция не дифференцируема в точке Дифференциал функции с примерами решения ив точке Дифференциал функции с примерами решения не существует и дифференциал этой функции.

Формула (12.1.3) дает возможность вычислять дифференциалы, зная производные функций. Для этого достаточно производные функций умножить на dx.

Дифференциал, с геометрической точки зрения представляет собой приращение, которое мы получим, если в окрестности рассматриваемой точки Дифференциал функции с примерами решения заменим график функции Дифференциал функции с примерами решения отрезком касательной к графику при Дифференциал функции с примерами решения (рис. 12.1).

Дифференциал функции с примерами решения

Как видно из рисунка Дифференциал функции с примерами решения (рис. 12.1, а) или Дифференциал функции с примерами решения фис 12.1,6), или Дифференциал функции с примерами решения, если у=с.

Мы знаем, что производная пути это величина мгновенной скорости, т.е. Дифференциал функции с примерами решения. По определению дифференциала Дифференциал функции с примерами решения; следовательно, дифференциал пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от момента t до момента времениДифференциал функции с примерами решения, если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной величине мгновенной скорости точки в момент t.

Пример №1

Дана функция Дифференциал функции с примерами решения. Найти: 1) выражение для дифференциала, соответствующее аргументу х и приращение Дифференциал функции с примерами решения; 2) dy и Дифференциал функции с примерами решения при переходе от точки Дифференциал функции с примерами решения к точке Дифференциал функции с примерами решения.

Решение:

1). Для того чтобы найги дифференциал Дифференциал функции с примерами решения, находим производную Дифференциал функции с примерами решения. Подставив значение производной, получим выражение для дифференциала Дифференциал функции с примерами решения.

2). Поскольку Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения и dx = 0,2. Подставив эти значения, найдем дифференциал функции: Дифференциал функции с примерами решения. Приращение заданной функции будет равно:Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения Так как выполняется неравенство 1,0 > 0,52, то дифференциал больше приращения функции: Дифференциал функции с примерами решения.

Дифференциал сложной функции

Когда аргумент х дифференцируемой функции у = f(x) представляет собой независимую переменную, для дифференциала dy этой функции справедливо равенство Дифференциал функции с примерами решения. Покажем, что это представление дифференциала является универсальным и оно справедливо также и в случае, когда аргумент x сам является дифференцируемой функцией.

Рассмотрим сложную функцию Дифференциал функции с примерами решения. где Дифференциал функции с примерами решения.

Определим dz, предполагая, что z зависит от х. По определению дифференциала будем иметь Дифференциал функции с примерами решения. С другой стороны, так как

Дифференциал функции с примерами решения.

Следовательно,Дифференциал функции с примерами решения Сопоставляя это равенство с равенством Дифференциал функции с примерами решения, замечаем, что, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной – независимо от того, является эта переменная в свою очередь функцией или независимой переменной. Это свойство инвариантности формы первого дифференциала относительно выбора переменных

Пример №2

Дана сложная функцияДифференциал функции с примерами решения. Вычислить её дифференциал.

Решение:

Поскольку выражение дифференциала является универсальным. то Дифференциал функции с примерами решения .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Из изложенного выше следует, что Дифференциал функции с примерами решения т.е. приращение функции Дифференциал функции с примерами решения отличается от ее дифференциала dy на бесконечно малую величину более высокого порядка, чемДифференциал функции с примерами решения Поэтому при достаточно малых значениях Дифференциал функции с примерами решенияили Дифференциал функции с примерами решения откуда

Дифференциал функции с примерами решения

Чем меньше значение Дифференциал функции с примерами решения, тем точнее формула (9.5). Формула (9.5) может оказаться полезной в приближенных вычислениях.

Пример №3

Вычислить приближенно: Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

а) Получим вначале приближенную формулу для вычисления корней любой Дифференциал функции с примерами решения-й степени. Полагая Дифференциал функции с примерами решения , найдем Дифференциал функции с примерами решения в соответствии с (9.5) Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения или Дифференциал функции с примерами решения.

В данном примере Дифференциал функции с примерами решения

В качестве Дифференциал функции с примерами решения возьмем число, наиболее близкое к 16,64, но чтобы был известен Дифференциал функции с примерами решения, при этом Дифференциал функции с примерами решения должно быть достаточно малым. Очевидно, следует взять Дифференциал функции с примерами решения (но, например, неДифференциал функции с примерами решения). Итак,

Дифференциал функции с примерами решения

б) Полагая Дифференциал функции с примерами решения найдем Дифференциал функции с примерами решения и в соответствии

Дифференциал функции с примерами решения Учитывая, что Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения,

возьмемДифференциал функции с примерами решения Тогда Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Используя дифференциал, по формуле (9.5) легко получить формулы, часто используемые на практике при Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

С помощью дифференциала может быть решена задача определения абсолютной и относительной погрешностей функции по заданной погрешности нахождения (измерения) аргумента.

Пусть необходимо вычислить значение данной функции Дифференциал функции с примерами решения при некотором значении аргумента Дифференциал функции с примерами решения, истинная величина которого неизвестна, а известно лишь его приближенное значение Дифференциал функции с примерами решения с абсолютной погрешностью |Дифференциал функции с примерами решения. Если вместо истинного значения Дифференциал функции с примерами решения возьмем величинуДифференциал функции с примерами решения, то мы допустим ошибку, равную Дифференциал функции с примерами решения

При этом относительная погрешность функции Дифференциал функции с примерами решения

может быть вычислена (при достаточно малых Дифференциал функции с примерами решения) по формуле:Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения– эластичность функции (см. § 7.6) (по абсолютной величине); Дифференциал функции с примерами решения— относительная погрешность нахождения (измерения) аргумента Дифференциал функции с примерами решения.

Пример №4

Расход бензина Дифференциал функции с примерами решения автомобиля на 100 км пути в зависимости от скорости Дифференциал функции с примерами решения (км/ч) описывается функцией Дифференциал функции с примерами решения. Оценить относительную погрешность вычисления расхода бензина при скорости Дифференциал функции с примерами решения, определенной с точностью до 5%.

Решение:

Найдем эластичность функции (по абсолютной величине).

Дифференциал функции с примерами решения

и по формуле (9.6) относительная погрешность Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал функции с примерами решения

Пример №5

С какой точностью может быть вычислен объем шара, если его радиус измерен с точностью до 2%?

Решение. Объем шара радиуса Дифференциал функции с примерами решения равен Дифференциал функции с примерами решения Найдем Дифференциал функции с примерами решения и по формуле (9.6)

Дифференциал функции с примерами решения

Существенным недостатком применения дифференциала в приближенных вычислениях является невозможность вычисления значений функций с наперед заданной точностью. Этого недостатка лишено использование рядов в приближенных вычислениях (см. § 14.3).

Применение дифференциала в приближенных вычислениях и в экономических исследованиях:

Производные и дифференциалы принадлежат к числу основных научных понятий математического анализа и применяются очень часто в практических приложениях.

Применение дифференциала первого порядка основано на том, что разность между приращением функции и ее дифференциалом является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем дифференциал (см. п. 12.1).

Действительно, из рис. 12.1.1 видно, что дифференциал dy сколь угодно мало отличается от приращения функции Дифференциал функции с примерами решения, если Дифференциал функции с примерами решения достаточно мало. И если в достаточно малой окрестности некоторой точки Дифференциал функции с примерами решения вместо кривой рассмотреть касательную к ней в этой точке, то возникающая при этом погрешность сколь угодно мала, т.е.Дифференциал функции с примерами решения в сравнении с величинамиДифференциал функции с примерами решения и dv.

Указанное обстоятельство позволяет с большой степенью точности заменять приращение функции ее дифференциалом, т.е. Дифференциал функции с примерами решения

ОтношениеДифференциал функции с примерами решения естественно назвать относительном погрешностью, а разностьДифференциал функции с примерами решения– абсолютной погрешностью формулы (12.3.1).

Формула (12.3.1) позволяет вычислить приближенное значение функции, соответствующее приращенному значению аргумента, если известно её значение в некоторой точке и значение производной в этой точке, когда приращение аргумента является достаточно малым.

Так, например, для конкретных функций Дифференциал функции с примерами решения и

Дифференциал функции с примерами решения формула (12.3.1) принимает вид:

Дифференциал функции с примерами решения

Пример №6

Найти приближенное значениеДифференциал функции с примерами решения. Решение: Рассмотрим функцию y = cosx и воспользуемся формулой (12.3.1.). Положим Дифференциал функции с примерами решения, тогда Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения

Вычислим производную функции Дифференциал функции с примерами решения

Её значение и значение функции в точке Дифференциал функции с примерами решения равны:Дифференциал функции с примерами решения

Подставив в формулу (12.3.1) значение функции, её производной и приращения аргумента, вычислим значение cos31°:

Дифференциал функции с примерами решения

Подробное объяснение применение дифференциала в приближенных вычислениях:

Из рисунка 5.1 видно, что дифференциал функции f(х), равен приращению ординаты касательной к кривой у = f(х) в данной точке х.

Также видно, что величина дифференциала функции f(х) при Дифференциал функции с примерами решенияприближается к величине приращения Дифференциал функции с примерами решения Данное свойство в виде приближенного равенства Дифференциал функции с примерами решения часто используется в приближенных вычислениях.

Дифференциал функции с примерами решения

т.е. Дифференциал функции с примерами решения-формула для приближённых вычислений.

Дифференциал функции с примерами решения
Рисунок 5.1 – Геометрический смысл дифференциала
 

Пример №7

Вычислить арифметическое значение Дифференциал функции с примерами решенияОбозначив Дифференциал функции с примерами решенияи заменив Дифференциал функции с примерами решения получаем Дифференциал функции с примерами решения Запишем приближенное соотношение Дифференциал функции с примерами решеният.е. Дифференциал функции с примерами решения Подставив известные значения Дифференциал функции с примерами решения получаем Дифференциал функции с примерами решения В наших обозначениях и при таких исходных данных имеем Дифференциал функции с примерами решения (берется только арифметическое значение квадратного корня) и окончательно Дифференциал функции с примерами решения

Точное (с точностью до 6 знаков после запятой) значение Дифференциал функции с примерами решения

Дополнительное объяснение применения дифференциала в приближенных вычислениях:

Рассмотрим формулу (6.2):

Дифференциал функции с примерами решения

Откуда

Дифференциал функции с примерами решения

Если пренебречь Дифференциал функции с примерами решения то Дифференциал функции с примерами решения или

Дифференциал функции с примерами решения    (6.3)

а это означает, что в достаточно малой окрестности точки Дифференциал функции с примерами решения график функции Дифференциал функции с примерами решения можно «заменить» графиком касательной

Дифференциал функции с примерами решения

проведенной к графику функции в этой точке.

Если Дифференциал функции с примерами решения то формула (6.3) принимает вид Дифференциал функции с примерами решения и тогда очевидными становятся ряд эквивалентностей бесконечно малых функций.

Пример:

Дифференциал функции с примерами решенияОсновной принцип применения дифференциала к приближенным вычислениям значений функции сводится к следующему: если необходимо вычислить значение функции Дифференциал функции с примерами решения для Дифференциал функции с примерами решения но сделать это весьма затруднительно, то «вблизи» точки Дифференциал функции с примерами решениявыбирается точка Дифференциал функции с примерами решения такая, чтобы значения Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения находились легко, и на основании (6.3) приближенно вычисляется значение Дифференциал функции с примерами решения

Пример №8

Вычислить приближенно Дифференциал функции с примерами решения 

Решение.

Рассмотрим функцию Дифференциал функции с примерами решения Пусть Дифференциал функции с примерами решения тогда Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения и на основании формулы (6.3) получим Дифференциал функции с примерами решения

ОтветДифференциал функции с примерами решения

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором интервале (а; b). Ее дифференциалДифференциал функции с примерами решения является функцией двух переменных: точки х и переменной dx. Но дифференциал независимой переменной dx не зависит от х и рассматривается как постоянная величина. Значение дифференциала от первого дифференциала называется вторым дифференциалом функции f в точкеДифференциал функции с примерами решения и обозначается Дифференциал функции с примерами решения, т.е.

Дифференциал функции с примерами решения

Для дифференциала n-ого порядка справедлива формула: Дифференциал функции с примерами решения

Докажем это. Для n=1 и n=2 эта формула доказана. Пусть эта формула справедлива для дифференциалов порядка n-1, т.е.Дифференциал функции с примерами решения

Тогда вычисляя дифференциал от дифференциала Дифференциал функции с примерами решения получим:

Дифференциал функции с примерами решения

поскольку Дифференциал функции с примерами решенияне зависит от х и рассматривается как постоянная.

Заметим, что формула (12.4.1) справедлива, когда аргумент х является независимой переменной, тогда второй дифференциал независимой переменной равен нулю: Дифференциал функции с примерами решения. Эта формула позволяет представить производную n-ого порядка в виде частногоДифференциал функции с примерами решения

Пример №9

Найти Дифференциал функции с примерами решения, если у = cos х.

Решение:

Воспользуемся формулой (12.4.1) дляДифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения. Для этого вычислим производную второго порядка функцииДифференциал функции с примерами решения . Подставив, получим: Дифференциал функции с примерами решения.

Дифференциалы высших порядков по зависимым переменным не удовлетворяют формуле (12.4.1).Так. для сложной функцииДифференциал функции с примерами решения, дифференциал второго порядка вычисляется по формуле:

Видно, что полученная формула существенно отличается от формулы (12.4.1), т.к. Дифференциал функции с примерами решения, вообще говоря. Другими словами, дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Пример №10

Вычислить дифференциал второго порядка сложной функции Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Чтобы воспользоваться формулой (12.4.2) для дифференциала второго порядка сложной функции, перепишем её в виде

Дифференциал функции с примерами решенияи вычислим производные и дифференциалы функций Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Подставив значения производных и дифференциалов, получим: Дифференциал функции с примерами решения где производная функцииДифференциал функции с примерами решения преобразована к виду:Дифференциал функции с примерами решения

Как определить дифференциал высшего порядка:

Пусть x — независимая переменная, у = f(x) — дифференцируемая функция. Согласно формуле (4)  имеем

Дифференциал функции с примерами решения

таким образом, дифференциал функции f(x) есть функция от двух аргументов: х и dx.

В дальнейшем мы будем предполагать, что dx — дифференциал независимой переменной х — имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от независимой переменной х и одно и то же для всех рассматриваемых функций.

Если dx фиксировано, то df(x) есть некоторая функция от х, пропорциональная производной f'(x), с коэффициентом пропорциональности, равным dx. Может случиться, что эта функция также имеет дифференциал в таком случае последний называется дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции f(x); а дифференциал, определяемый формулой (1), носит более точное название дифференциала первого порядка (или первого дифференциала).

Определение: Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) d2f(x) функции f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т. е.

Дифференциал функции с примерами решения

Аналогично, дифференциалом третьего порядка (или третьим дифференциалом) d3f(x) функции f(x) называется дифференциал от дифференциала второго порядка этой функции, т.е.

Дифференциал функции с примерами решения

Так последовательно определяются дифференциалы высших порядков.

Выведем теперь формулу для дифференциала второго порядка функции f(x) от независимой переменной х, предполагая, что эта функция дважды дифференцируема, т. е. имеет произврдную второго порядка. Так как

Дифференциал функции с примерами решения

то вследствие формулы (2) имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Если х — независимая переменная, то dx, равный Ах, очевидно, не зависит от х, т. е. dx по отношению к переменной х играет роль постоянной. Поэтому в формуле (3) множитель dx можно вынести за знак дифференциала и мы получим

Дифференциал функции с примерами решения

Так как f'(x) снова есть некоторая функция от х, то из формулы (1) следует

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда окончательно находим

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, получаем теорему:

Дифференциал второго порядка от данной функции равен произведению производной второго порядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной.

Замечание. Формула (4), вообще говоря, неверна, если х не является независимой переменной, так как здесь dx нельзя рассматривать как множитель, не зависящий от х.

Если положить f(x) = y, то формулу (4) можно переписать так: Дифференциал функции с примерами решения; отсюда имеем

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. производная второго порядка от данной функции равна отношению дифференциала второго порядка этой функции к квадрату дифференциала независимой переменной.

Если х есть независимая переменная, то аналогично формуле (4) имеем

Дифференциал функции с примерами решения

И т. д.

Положим теперь в формулах (4) и (5)

Дифференциал функции с примерами решения

Тогда Дифференциал функции с примерами решения . Следовательно,

Дифференциал функции с примерами решения

Получаем теорему:

Дифференциалы высших порядков от независимой переменной равны нулю.

Подробнее о дифференциалах высших порядков:

Если рассмотреть дифференциал первого порядка Дифференциал функции с примерами решения и определить дифференциал второго порядка как дифференциал от дифференциала первого порядка, то в результате получим

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. Дифференциал функции с примерами решения

Выполнив аналогичные действия можно получить дифференциал третьего порядка Дифференциал функции с примерами решения и т. д. Тогда дифференциал

Дифференциал функции с примерами решенияго порядка Дифференциал функции с примерами решения

Следует заметить, что уже дифференциал второго порядка сложной функции не обладает свойством инвариантности формы.

Понятие о дифференциалах высших порядков:

Для дифференцируемой функции у = f(х) согласно (5.1) Дифференциал функции с примерами решения где дифференциал функции есть функция от двух аргументов: х и dx.

Полагаем, что дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от х. В этом случае dy есть функция х, которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка Дифференциал функции с примерами решения функции у = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка, т.е.

Дифференциал функции с примерами решения

Аналогично дифференциалом n-го порядка Дифференциал функции с примерами решения функции у = f(х) называется дифференциал от дифференциала n-1 порядка этой функции, т.е.

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциалы второго и более порядков не обладают свойством инвариантности формы в отличие от дифференциала первого порядка.

Геометрический смысл дифференциала

Возьмем на графике функции Дифференциал функции с примерами решения произвольную точку Дифференциал функции с примерами решения. Дадим аргументу Дифференциал функции с примерами решения приращение Дифференциал функции с примерами решения. Тогда функция Дифференциал функции с примерами решения получит приращение Дифференциал функции с примерами решения (см. рис. 9.1)

Проведем касательную к кривой Дифференциал функции с примерами решения в точке Дифференциал функции с примерами решения, которая образует угол Дифференциал функции с примерами решения с положительным направлением оси Дифференциал функции с примерами решения т.е. Дифференциал функции с примерами решения Из прямоугольного треугольника Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

т.е. в соответствии с (9.2) Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции Дифференциал функции с примерами решения в данной точке, когда Дифференциал функции с примерами решения получает приращение Дифференциал функции с примерами решения.

Не следует думать, что всегда Дифференциал функции с примерами решения Так, на рис. 9.2 показан случай, когда Дифференциал функции с примерами решения

Подробнее о геометрическом смысле дифференциала:

Выясним геометрический смысл дифференциала функции. Рассмотрим график функции у = f(x).

Пусть Дифференциал функции с примерами решения — две точки данной кривой (рис. 127). В точке М проведем касательную МТ к графику функции (здесь Т — точка пересечения касательной с M’N || Оу) и рассмотрим Д MTN с катетами MДифференциал функции с примерами решения. Если через Дифференциал функции с примерами решения обозначить угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох, то будем иметь

Дифференциал функции с примерами решения

Но из геометрического смысла производной следует Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения. Поэтому

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, имеем теорему:

Дифференциал функции у = f(x) в данной точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение Дифференциал функции с примерами решения

Замечание. Приращение функции Дифференциал функции с примерами решения (рис. 127), вообще говоря, не равно дифференциалу dy = NT этой функции. В частности:

1)если график функции вогнут вверх, то

Дифференциал функции с примерами решения

2)если же график функции вогнут вниз, то

Дифференциал функции с примерами решения

Свойства дифференциала

Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной. Приведем их без доказательства:

Дифференциал функции с примерами решения

Остановимся теперь на важном свойстве, которым обладает дифференциал функции, но не обладает ее производная.

Рассмотрим теперь некоторые свойства дифференциала, аналогичные свойствам производной.

В дальнейших формулировках мы будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз, что все рассматриваемые функции имеют производные, т. е. являются дифференцируемыми.

Дифференциал постоянной

Дифференциал постоянной равен нулю.

Полагая в формуле (4) из  у = с и Дифференциал функции с примерами решения = 0, получаем

dc = 0.

Дифференциал суммы

Дифференциал алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равен такой же алгебраической сумме дифференциалов этих функций.

В самом деле, если и, v и w — дифференцируемые функции от независимой переменной х, то, например, имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Умножая обе части на dx, получаем

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда согласно формуле (4) из  выводим

Дифференциал функции с примерами решения

Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то дифференциалы их равны между собой.

Имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Полагая здесь с постоянной и, следовательно, dc = 0, получим

Дифференциал функции с примерами решения

Постоянный множитель может быть вынесен за знак дифференциала.

В самом деле, если с постоянно, то

Дифференциал функции с примерами решения

Умножив обе части этого равенства на dx, получим

Дифференциал функции с примерами решения

или

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал произведения

Дифференциал произведения двух сомножителей равен произведению первого сомножителя на дифференциал второго плюс произведение второго сомножителя на дифференциал первого.

В самом деле, если и и v — дифференцируемые функции от х, то имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Умножая обе части на dx, получаем

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал частного

Дифференциал дроби (частного) равен также дроби, числитель которой есть произведение знаменателя дроби на дифференциал числителя минус произведение числителя на дифференциал знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя дроби.

Мы имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Умножив обе части на dx, получим

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал сложной функции

Дифференциал сложной функции (функции от функции) равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента (обе функции дифференцируемы).

Пусть Дифференциал функции с примерами решения. Положим ф(х) = и и, следовательно, у = f(u). Если f(u) и ф(х) — дифференцируемые функции, то согласно теореме о производной функции от функции можно написать

Дифференциал функции с примерами решения

Умножив обе части этого равенства на дифференциал dx независимой переменной х, получим

Дифференциал функции с примерами решения

Но Дифференциал функции с примерами решения; следовательно, равенство (1) можно переписать так:

Дифференциал функции с примерами решения

Замечание. Формула (2) по внешнему виду совпадает с формулой (4) из, но между ними есть принципиальное различие: в формуле (4) х естьлезависимая переменная и, следовательно, dx = Дифференциал функции с примерами решения, тогда как в формуле (2) и есть функция от независимой переменной х и поэтому, вообще говоря, Дифференциал функции с примерами решения.

Из формулы (2) следует такая теорема.

Независимость вида дифференциала от выбора независимой переменной

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, будет ли этот аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией от другой независимой переменной.

На основании формул для производных получаем соответствующую таблицу для дифференциалов, где и — произвольная дифференцируемая функция.

Инвариантность формы дифференциала

Рассматривая  Дифференциал функции с примерами решения как функцию независимой переменной Дифференциал функции с примерами решения, мы получили, что Дифференциал функции с примерами решения Рассмотрим функцию Дифференциал функции с примерами решения, где аргумент Дифференциал функции с примерами решения сам является функцией от Дифференциал функции с примерами решения, т.е. рассмотрим сложную функцию Дифференциал функции с примерами решения. Если Дифференциал функции с примерами решения–дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции в соответствии с теоремой, приведенной в § 7.4, равна Дифференциал функции с примерами решения

Тогда дифференциал функции

Дифференциал функции с примерами решения

ибо по формуле (9.2) Дифференциал функции с примерами решения Итак,

Дифференциал функции с примерами решения

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной Дифференциал функции с примерами решения рассматривать функцию от зависимой переменной Дифференциал функции с примерами решения. Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или формулы) дифференциала.

Однако в содержании формул (9.3) и (9.4) все же есть различие: в формуле (9.3) дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. Дифференциал функции с примерами решения, а в формуле (9.4) дифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения есть лишь линейная часть приращения этой функции Дифференциал функции с примерами решения и только при малых Дифференциал функции с примерами решения

Понятие о дифференциалах высших порядков

Для дифференцируемой функции Дифференциал функции с примерами решения согласно (9.3) Дифференциал функции с примерами решения т.е. дифференциал функции есть функция от двух аргументов: Дифференциал функции с примерами решения

Будем полагать, что дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от Дифференциал функции с примерами решения. В этом случае Дифференциал функции с примерами решения есть некоторая функция Дифференциал функции с примерами решения, которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) Дифференциал функции с примерами решенияфункции Дифференциал функции с примерами решения называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е.

Дифференциал функции с примерами решения

Аналогично дифференциалом Дифференциал функции с примерами решения-го порядка (или Дифференциал функции с примерами решениядифференциалом) Дифференциал функции с примерами решения называется дифференциал от дифференциала Дифференциал функции с примерами решения-го порядка этой функции, т.е. Дифференциал функции с примерами решения.

Найдем выражение для Дифференциал функции с примерами решения. По определению Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения. Так как Дифференциал функции с примерами решения не зависит от Дифференциал функции с примерами решения, т.е. по отношению к переменной Дифференциал функции с примерами решения является постоянной величиной, то множитель Дифференциал функции с примерами решения можно вынести за знак дифференциала, т.е.

Дифференциал функции с примерами решения

Итак,

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения, а в общем случае

Дифференциал функции с примерами решения

т.е. дифференциал второго (и вообще Дифференциал функции с примерами решения-го) порядка равен произведению производной второго (Дифференциал функции с примерами решения-го) порядка на квадрат (Дифференциал функции с примерами решения-ю степень) дифференциала независимой переменной. Из формул (9.8) и (9.9) следует, что

Дифференциал функции с примерами решения

и вообще

Дифференциал функции с примерами решения

В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы (или формулы) в отличие от дифференциала первого порядка.

Бесконечно малые величины

1.В этом параграфе чаще всего независимое переменное будем обозначать через Дифференциал функции с примерами решения.

О пределение. Бесконечно малой величиной вблизи Дифференциал функции с примерами решения называется функция, зависящая от Дифференциал функции с примерами решения и имеющая предел, равный нулю при условии, что независимое переменное стремится к Дифференциал функции с примерами решения.

Например, Дифференциал функции с примерами решения является бесконечно малой величиной при условии, что Дифференциал функции с примерами решения стремится к 3; Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения являются бесконечно малыми при условии, что Дифференциал функции с примерами решения стремится к нулю.

Бесконечно малые величины при условии, что независимое переменное стремится к нулю, будем называть «бесконечно малыми», не указывая, а только подразумевая условие Дифференциал функции с примерами решения. Таким образом, будем говорить, что Дифференциал функции с примерами решения, Дифференциал функции с примерами решения, Дифференциал функции с примерами решения являются «бесконечно малыми», а не бесконечно малыми при условии Дифференциал функции с примерами решения.

Приведем примеры геометрического и физического содержания.

Пример:

Площадь Дифференциал функции с примерами решения прямоугольника со сторонами Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения является бесконечно малой при любых Дифференциал функции с примерами решения, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Объема Дифференциал функции с примерами решения прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 3, 2 и Дифференциал функции с примерами решения, является бесконечно малым, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Объем Дифференциал функции с примерами решения прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения является бесконечно малым, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

По закону Ома Дифференциал функции с примерами решения, где Дифференциал функции с примерами решения — напряжение, Дифференциал функции с примерами решения— сопротивление и Дифференциал функции с примерами решения— ток. Отсюда следует, что при постоянном сопротивлении напряжение является бесконечно малым относительно тока, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Пусть дана бесконечно малая величина Дифференциал функции с примерами решения, т. е. Дифференциал функции с примерами решения. Рассмотрим предел отношения Дифференциал функции с примерами решения при Дифференциал функции с примерами решения:

Дифференциал функции с примерами решения

Если этот предел существует и равен нулю,то бесконечно малая величина Дифференциал функции с примерами решения называется бесконечно малой более высокого порядка, чем Дифференциал функции с примерами решения.

Если предел равен конечному числу Дифференциал функции с примерами решения*, то бесконечно малые Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения называются величинами одного порядка; если Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения называются эквивалентными бесконечно малыми.

* – этот предел может зависеть от других переменных, отличных от Дифференциал функции с примерами решения.

Пример:

Пусть Дифференциал функции с примерами решения. Это бесконечно малая величина порядка более высокого, чем Дифференциал функции с примерами решения, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Пусть Дифференциал функции с примерами решения; Дифференциал функции с примерами решения — бесконечно малая того же порядка, что и Дифференциал функции с примерами решения, поскольку

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Дифференциал функции с примерами решения—бесконечно малая, эквивалентная Дифференциал функции с примерами решения, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Дифференциал функции с примерами решения. Так как Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Дифференциал функции с примерами решения.

В заключение параграфа рассмотрим функцию Дифференциал функции с примерами решения. Пусть приращение независимого переменного равно Дифференциал функции с примерами решения, тогда приращение функции равно Дифференциал функции с примерами решения. Так как приращение Дифференциал функции с примерами решения независимого переменного Дифференциал функции с примерами решения не зависит от величины Дифференциал функции с примерами решения, то для вычисления Дифференциал функции с примерами решения нужно задать величину Дифференциал функции с примерами решения и величину Дифференциал функции с примерами решения, т. е. приращение функции одного переменного является функцией двух независимых переменных Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения.

Пример:

Пусть дана функция Дифференциал функции с примерами решения. Ее приращение равно Дифференциал функции с примерами решения. Если Дифференциал функции с примерами решения, а Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал функции с примерами решения. Если же Дифференциал функции с примерами решения и по-прежнему Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения. Здесь Дифференциал функции с примерами решения сохраняет значение 1, но, поскольку Дифференциал функции с примерами решения меняется, изменяется и Дифференциал функции с примерами решения.

Если Дифференциал функции с примерами решения, а Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения. Если же Дифференциал функции с примерами решения, а Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения. Здесь Дифференциал функции с примерами решения сохраняет значение 2, но Дифференциал функции с примерами решения меняется, поэтому меняется и Дифференциал функции с примерами решения.

Если Дифференциал функции с примерами решения—функция непрерывная, то, по определению, ее приращение Дифференциал функции с примерами решения стремится к нулю при условии, что приращение Дифференциал функции с примерами решения независимого переменного Дифференциал функции с примерами решения стремится к нулю. Поэтому, используя введенное понятие бесконечно малой величины, можно сказать, что приращение непрерывной функции есть величина бесконечно малая относительно приращения независимого переменного.

Что такое дифференциал

Пусть дана непрерывная функция Дифференциал функции с примерами решения, имеющая производную. Тогда, по определению производной,

Дифференциал функции с примерами решения

Поэтому, если в правой части откинем знак предела, то получим ошибку, величина которой зависит и от Дифференциал функции с примерами решения и от Дифференциал функции с примерами решения. Обозначим эту ошибку через Дифференциал функции с примерами решения. Тогда вместо равенства (1) можно написать

Дифференциал функции с примерами решения

Про ошибку Дифференциал функции с примерами решения мы знаем, что

Дифференциал функции с примерами решения

Это следует из равенства (1). Значит, ошибка Дифференциал функции с примерами решения является бесконечно малой относительно приращения Дифференциал функции с примерами решения независимого переменного. Если умножим обе части равенства (2) на Дифференциал функции с примерами решения, то получим

Дифференциал функции с примерами решения

или

Дифференциал функции с примерами решения

В левой части равенства (4) стоит приращение функции Дифференциал функции с примерами решения, а в правой части—два члена: Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения. Оценим порядок малости этих членов:

Дифференциал функции с примерами решения

Очевидно, что первый член Дифференциал функции с примерами решения (если Дифференциал функции с примерами решения) одного порядка с Дифференциал функции с примерами решения, т. е. является линейным относительно Дифференциал функции с примерами решения, а второй член Дифференциал функции с примерами решения является бесконечно малой величиной более высокого порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения. Из равенства (4) получаем, что приращение функции с точностью до бесконечно малой высшего порядка равноДифференциал функции с примерами решения; это выражение называется дифференциалом функции.

Определение дифференциала

Определение: Дифференциал есть та часть приращения функции Дифференциал функции с примерами решения, которая линейна относительно h. Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной на приращение независимого переменного. Дифференциал функции обозначают или Дифференциал функции с примерами решения, или Дифференциал функции с примерами решения, так что

Дифференциал функции с примерами решения

Для симметрии записей вводится определение дифференциала независимого переменного.

Определение: Дифференциалом независимого переменного называется его приращение.

Дифференциал независимого переменного обозначается Дифференциал функции с примерами решения, так что имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Операция нахождения дифференциала называется дифференцированием.

Пример №11

Найдем дифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения.

Решение:

Так как Дифференциал функции с примерами решения, тоДифференциал функции с примерами решения.

Пример №12

Вычислим значение дифференциала функции Дифференциал функции с примерами решения, если Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения.

Решение:

Так как Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения. Подставляя сюда вместо Дифференциал функции с примерами решения его значение 2, а вместо Дифференциал функции с примерами решения его значение 0,1, получим Дифференциал функции с примерами решения

Из определения дифференциала функции следует, что дифференциал функции одного переменного является функцией двух переменных. Из формул (5) и (6) следует, что Дифференциал функции с примерами решения. Таким образом, производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

С этого момента для обозначения производной будем пользоваться и знаком ( )’ и отношением дифференциалов.

Таблица дифференциалов

Дифференциал функции с примерами решения

Таблица дифференциалов функции:

Дифференциал функции с примерами решения

Применение к приближенным вычислениям

Перепишем формулу в следующем виде:

Дифференциал функции с примерами решения

и для начала посмотрим на примере, как будут выглядеть отдельные ее члены при некоторых числовых значениях Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения.

Пример №13

Пусть Дифференциал функции с примерами решения. Положим Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения. Применяя формулу куба суммы, получаем

Дифференциал функции с примерами решения

С другой стороны, применяя формулу (1) и зная, что Дифференциал функции с примерами решения, получим

Дифференциал функции с примерами решения

Сравнивая формулы Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения, видим, что в левых частях стоит одно и то же, в правых же частях совпадают первые два члена, следовательно, третий член в формуле Дифференциал функции с примерами решения равен двум последним членам в формуле Дифференциал функции с примерами решения, т. е. Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения. Вычислим все члены, встречающиеся в этом примере, при указанных числовых значениях Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения:

Дифференциал функции с примерами решения

Если бы мы захотели вычислить Дифференциал функции с примерами решения не точно, а приближенно с точностью до 0,01, то член Дифференциал функции с примерами решения никакого значения бы не имел, т. е. его можно было бы просто откинуть.

Аналогично в общем случае формулу (1) заменяют приближенной формулой, откидывая бесконечно малую высшего порядка, т. е. член Дифференциал функции с примерами решения. Тогда получается приближенная формула

Дифференциал функции с примерами решения

(знак ≈: обозначает приближенное равенство). Эту формулу имеет смысл употреблять только при малых значениях величины Дифференциал функции с примерами решения, так как в противном случае ошибка может оказаться очень большой.

Приведем примеры применения формулы (2).

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления кубического корня. Возьмем Дифференциал функции с примерами решения, тогда Дифференциал функции с примерами решения. Применяя формулу (2), получаем

Дифференциал функции с примерами решения

Если положить Дифференциал функции с примерами решения, то полученному результату можно придать следующий вид:

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда видно, что если нам известен кубический корень из числа, то для близких чисел можно с удобством воспользоваться выведенной формулой.

Например, зная, что Дифференциал функции с примерами решения, вычисляем Дифференциал функции с примерами решения. Здесь Дифференциал функции с примерами решения, поэтому получаем

Дифференциал функции с примерами решения

Сделаем проверку, возведя 10,01 в куб. Видим, что вместо 1003 получили число 1003,003001, т. е. ошибка меньше 0,005.

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления тангенсов малых углов. Так как Дифференциал функции с примерами решения применяя формулу (2), получаем

Дифференциал функции с примерами решения

Зная, что Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения, и полагая в предыдущей формуле Дифференциал функции с примерами решения, найдем

Дифференциал функции с примерами решения

Напоминаем, что здесь Дифференциал функции с примерами решения есть радианная мера угла. Например, вычислим Дифференциал функции с примерами решения. Переведем сначала градусную меру угла в радианную: Дифференциал функции с примерами решения , тогда

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал площади криволинейной трапеции

Определение: Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная с трех сторон прямыми, а с четвертой стороны кривой. При этом две прямые параллельны между собой и перпендикулярны третьей, а кривая пересекается с любой прямой, параллельной боковым сторонам, в одной точке.

Дифференциал функции с примерами решения

Не исключается случай, когда одна или обе боковые стороны обращаются в точку. На рис. 69, 70, 71 изображены криволинейные трапеции. Все плоские фигуры, с которыми нам придется встречаться, могут быть представлены как совокупность криволинейных трапеций. Например, на рис. 72 фигура разбита на четыре криволинейные трапеции.

Дифференциал функции с примерами решения

Конечная наша цель — определить площадь криволинейной трапеции, но пока эту задачу мы еще не можем решить. Однако мы сумеем найти дифференциал площади криволинейной трапеции. Решим эту задачу, предполагая, что трапеция расположена определенным образом.

Пусть дана криволинейная трапеция Дифференциал функции с примерами решения, ограниченная осью Дифференциал функции с примерами решения, двумя прямыми, перпендикулярными этой оси, и кривой, заданной уравнением Дифференциал функции с примерами решения (рис. 73).

Будем считать, что прямая Дифференциал функции с примерами решения неподвижна в процессе всех рассуждений, т. е. абсцисса точки Дифференциал функции с примерами решения есть постоянная величина. Прямую же Дифференциал функции с примерами решения будем двигать, т. е. абсцисса точки Дифференциал функции с примерами решения будет переменной. Обозначим ее через Дифференциал функции с примерами решения.

Ясно, что площадь криволинейной трапеции Дифференциал функции с примерами решения будет изменяться в зависимости от величины Дифференциал функции с примерами решения; значит, площадь есть функция Дифференциал функции с примерами решения. Обозначим ее Дифференциал функции с примерами решения. Этой функции мы не знаем, но несмотря на это найдем ее дифференциал. Дадим Дифференциал функции с примерами решения приращение Дифференциал функции с примерами решения, тогда площадь Дифференциал функции с примерами решения получит приращение Дифференциал функции с примерами решения (это приращение на рис. 73 заштриховано).

При изменении независимого переменного от величины Дифференциал функции с примерами решения до Дифференциал функции с примерами решения (от точки Дифференциал функции с примерами решения до точки Дифференциал функции с примерами решения) функция Дифференциал функции с примерами решения, т. е. ордината точки, лежащей на кривой, также изменяется и при этом достигает наибольшего значения Дифференциал функции с примерами решения и наименьшего значения Дифференциал функции с примерами решения. На рис. 73 Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения.

Рассмотрим прямоугольник с основанием Дифференциал функции с примерами решения и высотой Дифференциал функции с примерами решения, его площадь равна Дифференциал функции с примерами решения. Прямоугольнике тем же основаниемДифференциал функции с примерами решения и высотой Дифференциал функции с примерами решения имеет площадь, равную Дифференциал функции с примерами решения.

Очевидно, что площадь второго прямоугольника Дифференциал функции с примерами решения меньше площади Дифференциал функции с примерами решения первого на величину Дифференциал функции с примерами решения. Также очевидно, что площадь второго прямоугольника меньше приращения Дифференциал функции с примерами решения, а площадь первого больше этого приращения, так что

Дифференциал функции с примерами решения

Следовательно, приращение Дифференциал функции с примерами решения отличается и от площади первого, и от площади второго прямоугольника на величину, меньшую чем Дифференциал функции с примерами решения. Обозначим разность между приращением Дифференциал функции с примерами решения и площадью Дифференциал функции с примерами решения через Дифференциал функции с примерами решения, тогда

Дифференциал функции с примерами решения

Величина Дифференциал функции с примерами решения меняется вместе с Дифференциал функции с примерами решения и всегда меньше Дифференциал функции с примерами решения. Обозначим через Дифференциал функции с примерами решения разность между площадью Дифференциал функции с примерами решения и приращением Дифференциал функции с примерами решения, получим: Дифференциал функции с примерами решения. Остановимся на формуле (1) и проследим, как меняются ее члены при стремлении Дифференциал функции с примерами решения к нулю.

Предварительно заметим, что, во-первых, всегда, т. е. при любых значениях Дифференциал функции с примерами решения,

Дифференциал функции с примерами решения

и, во-вторых, если Дифференциал функции с примерами решения, то точка Дифференциал функции с примерами решения приближается к точке Дифференциал функции с примерами решения. Точка Дифференциал функции с примерами решения, абсциссу которой обозначим через Дифференциал функции с примерами решения, заключена между Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения поэтому при Дифференциал функции с примерами решения точка Дифференциал функции с примерами решения также приближается к точке Дифференциал функции с примерами решения, следовательно, Дифференциал функции с примерами решения. Функция Дифференциал функции с примерами решения предполагается непрерывной. В силу свойств непрерывной функции (см. гл. VI, § 6) находим

Дифференциал функции с примерами решения

а это значит, что можно записать (см. начало § 2 этой главы)

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения—бесконечно малая относительно Дифференциал функции с примерами решения. Также можно заключить, что

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения—бесконечно малая относительно Дифференциал функции с примерами решения. Исследуем порядок малости членов, стоящих в правой части равенства (1). Для этого найдем следующие пределы:

Дифференциал функции с примерами решения

Первый предел находим непосредственно [применяя (3)]:

Дифференциал функции с примерами решения

Чтобы найти второй предел, найдем сначала [используя (4) и (5)]

Дифференциал функции с примерами решения

Так как Дифференциал функции с примерами решения удовлетворяет неравенству (2), то Дифференциал функции с примерами решения, а в силу равенства (7)

Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, установлено, что и Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения являются бесконечно малыми. Кроме того, член Дифференциал функции с примерами решения есть бесконечно малая высшего порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения.

Учитывая все эти рассуждения и применяя равенство (4), можно переписать равенство (1) в виде

Дифференциал функции с примерами решения

В правой части равенства (8) стоят три члена. Каждый из них является бесконечно малым относительно Дифференциал функции с примерами решения: первый из них линеен относительно Дифференциал функции с примерами решения, а два других имеют высший порядок малости.

Применяя результаты, заключаем, что приращение площади криволинейной трапеции равно Дифференциал функции с примерами решения плюс величина высшего порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения, а поэтому дифференциал площади криволинейной трапеции равен Дифференциал функции с примерами решения, т. е.

Дифференциал функции с примерами решения

Этим результатом мы воспользуемся в следующих главах.

Пример:

Найдем дифференциал площади Дифференциал функции с примерами решения криволинейной трапеции, ограниченной осьюДифференциал функции с примерами решения, кривой, заданной уравнением Дифференциал функции с примерами решения прямой Дифференциал функции с примерами решения и подвижной прямой, параллельной оси Дифференциал функции с примерами решения.

Применяя только что полученный результат, будем иметь

Дифференциал функции с примерами решения

Пример №14

Найти производную от площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Дифференциал функции с примерами решения, кривой, заданной уравнением Дифференциал функции с примерами решения, прямой Дифференциал функции с примерами решения и подвижной прямой, параллельной оси Дифференциал функции с примерами решения.

Решение:

Находим дифференциал этой площади: Дифференциал функции с примерами решения, а следовательно и производную:

Дифференциал функции с примерами решения

Применение дифференциала к различным задачам

Рассуждения не только приводят к понятию дифференциала, но в некоторых случаях позволяют найти производную. Предположим, что приращение некоторой функции представлено в виде

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения не зависит от Дифференциал функции с примерами решения, и

Дифференциал функции с примерами решения

Тогда

Дифференциал функции с примерами решения

откуда

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. Дифференциал функции с примерами решения—производная заданной функции.

Пример №15

Найти производную от функции Дифференциал функции с примерами решения, определенной геометрически как объем, ограниченный:

  1. поверхностью Дифференциал функции с примерами решения, полученной от вращения вокруг оси Дифференциал функции с примерами решения дуги Дифференциал функции с примерами решения, принадлежащей параболе Дифференциал функции с примерами решения;
  2. плоскостью Дифференциал функции с примерами решения перпендикулярной оси Дифференциал функции с примерами решения и отстоящей от начала координат на расстояние Дифференциал функции с примерами решения (рис. 74).

Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Ясно, что объем зависит от величины Дифференциал функции с примерами решения, т. е. является функцией Дифференциал функции с примерами решения. Возьмем произвольное число Дифференциал функции с примерами решения. Соответствующее значение функцииДифференциал функции с примерами решения будет определяться объемом, ограниченным поверхностью Дифференциал функции с примерами решения и плоскостью Дифференциал функции с примерами решения Дадим Дифференциал функции с примерами решения приращение Дифференциал функции с примерами решения. Объем, т. е. функция Дифференциал функции с примерами решения, в связи с этим получит приращение Дифференциал функции с примерами решения. Это приращение показано на рис. 75 и отдельно а рис. 76: оно ограничено поверхностью Дифференциал функции с примерами решения и плоскостями Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения. Плоскости Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения пересекаются с поверхностью Дифференциал функции с примерами решения по окружностям (так как Дифференциал функции с примерами решения—поверхность вращения). Обозначим эти окружности Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения.

Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения

Рассмотрим два цилиндра: первый из них имеет основанием Дифференциал функции с примерами решения образующую, параллельную оси Дифференциал функции с примерами решения, и высоту Дифференциал функции с примерами решения; второй имеет основанием Дифференциал функции с примерами решения и образующую, также параллельную оси Дифференциал функции с примерами решения (рис. 77). Объем первого цилиндра обозначим

Дифференциал функции с примерами решения

через Дифференциал функции с примерами решения, а второго — через Дифференциал функции с примерами решения. Из чертежей ясно, что приращение функции Дифференциал функции с примерами решения больше объема Дифференциал функции с примерами решения, и меньше объема Дифференциал функции с примерами решения, т. е. Дифференциал функции с примерами решения. Но объемы Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения легко подсчитать:

Дифференциал функции с примерами решения

Разность объемов Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения (т. е. объем цилиндрического кольца) равна

Дифференциал функции с примерами решения

Приращение Дифференциал функции с примерами решения отличается от Дифференциал функции с примерами решения, на некоторую часть разности Дифференциал функции с примерами решения поэтому

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения — некоторое положительное число, меньшее единицы. Так как

Дифференциал функции с примерами решения

то член Дифференциал функции с примерами решения, стоящий в правой части равенства Дифференциал функции с примерами решения, является бесконечно малой высшего порядка малости относительно Дифференциал функции с примерами решения. Поэтому равенство Дифференциал функции с примерами решения является частным случаем равенства Дифференциал функции с примерами решения. Следовательно, вывод, который был сделан в начале параграфа, может быть перенесен и на равенство Дифференциал функции с примерами решения, т. е. производная от функции Дифференциал функции с примерами решения равна Дифференциал функции с примерами решения.

В этом примере следует обратить внимание на то, что функция Дифференциал функции с примерами решения была определена чисто геометрически, нам не была известна формула, определяющая эту функцию, однако производную мы нашли.

Пример №16

Рассмотрим цилиндрическую трубу, у которой радиус внешней поверхности Дифференциал функции с примерами решения, радиус внутренней поверхности Дифференциал функции с примерами решения, высота Дифференциал функции с примерами решения. Найдем объем Дифференциал функции с примерами решения материала, из которого сделана эта труба (рис. 78).

Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Будем называть этот объем объемом цилиндрического слоя. Поскольку объем внешнего цилиндра равен Дифференциал функции с примерами решения, а объем внутреннего равен Дифференциал функции с примерами решения, то объем цилиндрического слоя равен

Дифференциал функции с примерами решения

или

Дифференциал функции с примерами решения

Если стенка трубы тонкая, то Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения мало отличаются друг от друга. Обозначим их разность через Дифференциал функции с примерами решения. Тогда формула Дифференциал функции с примерами решения примет вид

Дифференциал функции с примерами решения

или

Дифференциал функции с примерами решения

Второй член, стоящий в правой части равенства Дифференциал функции с примерами решения, второго порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения. Поэтому при Дифференциал функции с примерами решения член Дифференциал функции с примерами решения становится бесконечно малой высшего порядка. Отбрасывая его, мы получим приближенную формулу для подсчета объема тонкого цилиндрического слоя:

Дифференциал функции с примерами решения

Интересно отметить еще один способ получения этой формулы (рис. 79).

Дифференциал функции с примерами решения

Если разрезать трубку вдоль ее образующей и развернуть на плоскость, то получим «почти» прямоугольный параллелепипед с измерениями Дифференциал функции с примерами решения и . Его объем равен Дифференциал функции с примерами решения, т. е. как раз тому, что дает формула Дифференциал функции с примерами решения.

Дифференциал функции и его свойства и геометрический смысл

Пусть функция Дифференциал функции с примерами решения дифференцируема в некоторой Дифференциал функции с примерами решения-окрестности точки х, т.е. существует конечный предел Дифференциал функции с примерами решения Так как предел конечен, то можно записать приращение функции в виде Дифференциал функции с примерами решения где Дифференциал функции с примерами решения – бесконечно малая функция в изучаемой окрестности данной точки. Сравним первое и второе слагаемые с бесконечно малой функцией Дифференциал функции с примерами решения Для первого слагаемого имеем Дифференциал функции с примерами решения т.е. оно является бесконечно малой функцией того же порядка малости, что и величина Дифференциал функции с примерами решения Для второго слагаемого получаем, что Дифференциал функции с примерами решения те оно является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем величина Дифференциал функции с примерами решения Это означает, что первое слагаемое является главной частью указанной суммы.

Определение: Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента Дифференциал функции с примерами решения называется дифференциалом функции: Дифференциал функции с примерами решения

Пример №17

Найти дифференциал функции, Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Используя определение, находим Дифференциал функции с примерами решения

Если Дифференциал функции с примерами решения то ее дифференциал Дифференциал функции с примерами решения Следовательно, дифференциал аргумента равен его приращению: Дифференциал функции с примерами решения Отсюда получаем, что дифференциал функции можно записать в виде Дифференциал функции с примерами решения Таким образом, для производной можно ввести новую формулу Дифференциал функции с примерами решения Такая форма записи производной очень удобна для вывода различных формул.

Пример №18

Получить формулу производной от сложной функции Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Используя формулу для производной от функции, записанную в дифференциалах, найдем Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции обладает следующими свойствами:

  • 1. Дифференциал функции с примерами решения ;
  • 2. Дифференциал функции с примерами решения;
  • 3.Дифференциал функции с примерами решения;
  • 4. Дифференциал от сложной функции равен Дифференциал функции с примерами решения.

Выясним геометрический смысл дифференциала функции (Рис. 73):

Дифференциал функции с примерами решения

Рис. 73. Геометрический смысл дифференциала.

Из рисунка видно, что дифференциал функции с геометрической точки зрения описывает приращение касательной при приращении аргумента Дифференциал функции с примерами решения

Применение дифференциала функции

Пусть дана функция у = f(x), тогда при приращении аргумента Дифференциал функции с примерами решения функция получает приращение Дифференциал функции с примерами решения Это приближенное равенство позволяет по виду функции и известному значению функции в заданной точке вычислить значение функции в приращенной точке:Дифференциал функции с примерами решения

Замечание: Полученное приближенное равенство тем точнее дает значение функции в приращенной точке, чем меньше приращение аргумента.

Пример №19

Вычислить Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

В данном примере задана функция Дифференциал функции с примерами решения В качестве точки х выбираем значение х = 4, из которого легко извлекается квадратный корень: Дифференциал функции с примерами решенияПриращенной точкой является точка Дифференциал функции с примерами решения Таким образом, приращение аргумента равно Дифференциал функции с примерами решения Производная от заданной функции согласно таблице производных Дифференциал функции с примерами решения Следовательно, Дифференциал функции с примерами решения

Пример №20

Вычислить Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

В этом примере Дифференциал функции с примерами решения Следовательно, Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциалы и производные высших порядков

Пусть дана функция Дифференциал функции с примерами решения тогда согласно определению ее дифференциал равен Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал аргумента dx равен его приращению и не зависит от переменной х. Однако производная функции Дифференциал функции с примерами решения в общем случае является функцией аргумента х. В связи с этим дифференциал функции является функцией аргумента х. Следовательно, можно поставить вопрос о дифференцируемости дифференциала функции.

Определение: Дифференциал от первого дифференциала функции называется вторым дифференциалом функции: Дифференциал функции с примерами решения

Определение: Производная от первой производной функции называется второй производной функции, т.е. Дифференциал функции с примерами решения

Пример №21

Вывести формулу второй производной от параметрически заданной функции.

Решение:

Воспользуемся формулой:

Дифференциал функции с примерами решения Таким образом, вторая производная от параметрически заданной функции задается системой Дифференциал функции с примерами решения Аналогично вводятся дифференциалы и производные высших порядков: Дифференциал функции с примерами решения и так далее.

Замечание: Отметим, что обозначение производной, начиная с четвертой, берется в скобки.

Замечание: Производные высших порядков могут быть записаны в виде Дифференциал функции с примерами решения и т. д.

Пример №22

Найти второй дифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Используя формулу для второго дифференциала, найдем вторую производную от заданной функцииДифференциал функции с примерами решения Следовательно, второй дифференциал равен Дифференциал функции с примерами решения

Пример №23

Найти n-ую производную от функции Дифференциал функции с примерами решения

Вычислим последовательно первую Дифференциал функции с примерами решения вторую Дифференциал функции с примерами решения и третью производные Дифференциал функции с примерами решения Используя последовательное дифференцирование, найдем n-ую производную от функции Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Определение: Произведение чисел от 1 до n, равное n!, называется факториалом.

Пример №24

Найти n-ую производную от функции Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Вычислим последовательно первую Дифференциал функции с примерами решения вторую Дифференциал функции с примерами решения и третью производные Дифференциал функции с примерами решения Таким образом, n-ая производная от функции Дифференциал функции с примерами решения равна самой функции.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма

Рассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании функции.

Теорема 12.5.1. (теорема Ферма). Пусть функция f(x) определена на некотором интервале (а. b) ив точке Дифференциал функции с примерами решения принимает наибольшее или наименьшее значение на этом интервале. Тогда, если в точке Дифференциал функции с примерами решения существует производная Дифференциал функции с примерами решениято она равна нулю.

Доказательство: Пусть для определенности функция f принимает в точке Дифференциал функции с примерами решениянаибольшее значение, т.е.Дифференциал функции с примерами решения для всех Дифференциал функции с примерами решения. Тогда для разностного отношения справедливы неравенства:

Дифференциал функции с примерами решения

Предположим, что в точкеДифференциал функции с примерами решениясуществует производная функции f т.е. существует предел

Дифференциал функции с примерами решения

Тогда из неравенства (12.5.1) следует, что производная справа Дифференциал функции с примерами решения а. из неравенства (12.5.2)- что производная слеваДифференциал функции с примерами решения. Поскольку производная существует, то производная справа должна бьггь равна производной слева. Равенство производных может бьггь в том случае, если производная функцииДифференциал функции с примерами решения в точке Дифференциал функции с примерами решения равна нулю: Дифференциал функции с примерами решения

Геометрически, теорема Ферма означает, что если в точкеДифференциал функции с примерами решения функция f принимает наибольшее или наименьшее значения, то касательная в точке Дифференциал функции с примерами решения к графику функции параллельна оси Ох (рис. 12.2).

Дифференциал функции с примерами решения

Заметим, что если функция f определена на отрезкеДифференциал функции с примерами решения, то в случае, когда она принимает наибольшее или наименьшее значение на одном из концов а или b, и когда в этой точке существует производная, то она, вообще говоря, не равна нулю.

Дифференциал функции с примерами решения

Например, функция у=х на отрезке [0, 1] достигает наибольшего и наименьшего значений в точке х=1 и х=0 (рис. 12.3) и в этих двух точках производная не обращается в нуль, хотя производная в этих I очках существует.

Теорема Ролля

Теорема: Пусть дана функция f(х), которая

  • непрерывна на сегменте [a; b];
  • дифференцируема на открытом интервале (a; b);
  • на концах сегмента принимает равные значения Дифференциал функции с примерами решения

Тогда существует хотя бы одна точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство: Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что внутри сегмента Дифференциал функции с примерами решения есть, по крайней мере, одна такая точка с, в которой касательная к графику функции f(х) параллельна оси абсцисс (Ох), так как в этой точке производная Дифференциал функции с примерами решения (Рис. 74). Дифференциал функции с примерами решения

Рис. 74. Геометрический смысл теоремы Ролля.

В силу того, что функция f(х) непрерывна на сегменте Дифференциал функции с примерами решения, то по теореме о непрерывных функциях она достигает своего наименьшего m и наибольшего M значений на этом интервале. Рассмотрим два возможных случая:

Вычисляя пределы от полученных неравенств при Дифференциал функции с примерами решения получим Дифференциал функции с примерами решения

Так как производная функции в точке с не может быть одновременно и положительной, и отрицательной, то в этой точке она равна нулю, т.е. Дифференциал функции с примерами решенияАналогично теорема доказывается, если в точке с функция достигает наименьшего значения.

Замечание: Для выполнения теоремы Ролля важны все три вышеперечисленных условия. Приведем примеры нарушения одного из условий теоремы Ролля Дифференциал функции с примерами решения

Рис. 75. Примеры нарушения одного из условий теоремы Ролля. В случае а) значения функции на концах не равны между собой; в случае б) функция терпит разрыв первого рода в точке с; в случае в) функция не дифференцируема в точке с.

Определение: Точки, в которых первая производная функции равна нулю, называются критическими (стационарными или подозрительными на экстремум).

Теорема: (теорема Ферма). Необходимым условием существования экстремума в точке л- функции f(х), которая непрерывна на сегменте [a; b] и дифференцируема на открытом интервале (a; b), является обращение в нуль в этой точке первой производной функции, Дифференциал функции с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Дополнительное объяснение теоремы Ролля:

Теорема 12.6.1. (теорема Ролля) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезкеДифференциал функции с примерами решения, дифференцируема на интервале (а,b) и f(а)

=f(b). Тогда внутри отрезка найдется точка , такая, что значение производной в этой точке равно нулю:Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство. Согласно теореме 10.9.2 непрерывная на отрезке Дифференциал функции с примерами решения функция достигает на этом отрезке своего наибольшего М и наименьшего т значений. Если оба значения достигаются на концах отрезкгц/го они равны ио условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на Дифференциал функции с примерами решения. Производная такой функции в любой точке интервала (а,b) равна нулю и, следовательно, в качестве точки Дифференциал функции с примерами решенияможно брать любую точку.

В случае, когда М >m и Дифференциал функции с примерами решения. то хотя бы одно из двух значений М или m достигается в некоторой внутренней точке Дифференциал функции с примерами решения отрезкаДифференциал функции с примерами решения. Тогда, по теореме Ферма, производная функции будет равна нулю в этой точке, так как в этой точке она имеет производную. Дифференциал функции с примерами решения

Геометрический смысл этой теоремы хорошо иллюстрируется на следующем рисунке (рис. 12.4): по теореме Ролля существует хотя бы одна точка интервала (а,b), в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, поскольку в этой точке производная равна нулю.Дифференциал функции с примерами решения

Отметим, что все условия теоремы существенны, при невыполнении хотя бы одного из них утверждение теоремы неверно.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа

Теорема Лагранжа

ТЗ. Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [a; b] и дифференцируема на открытом интервале (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство: Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что внутри сегмента [a; b] есть, по крайней мере, одна такая точка с, в которой касательная к графику функции f(х) параллельна секущей, соединяющей крайние точки графика функции (Рис. 76): Дифференциал функции с примерами решения

Рис. 76. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Составим уравнение секущей AВ, угловой коэффициент которой равен Дифференциал функции с примерами решенияТак как эта прямая проходит через точку Дифференциал функции с примерами решения то ее уравнение имеет вид Дифференциал функции с примерами решения Составим вспомогательную функцию Дифференциал функции с примерами решения В силу того, что эта функция составлена из непрерывных на сегменте Дифференциал функции с примерами решения и дифференцируемых на открытом интервале Дифференциал функции с примерами решения функций, следовательно, функция Дифференциал функции с примерами решения непрерывна на сегменте Дифференциал функции с примерами решения и дифференцируема на открытом интервале Дифференциал функции с примерами решения. Кроме того, легко видеть, что на концах сегмента Дифференциал функции с примерами решения она принимает равные значения, т.е. имеем Дифференциал функции с примерами решения Отсюда находим, что функция Дифференциал функции с примерами решения удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует, по крайней мере, одна точка Дифференциал функции с примерами решения в которой Дифференциал функции с примерами решения Откуда следует утверждение теоремы Лагранжа Дифференциал функции с примерами решения

Дополнительное объяснение теоремы Лагранжа:

Теорема 12.7.1. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезкеДифференциал функции с примерами решенияи дифференцируема на интервале (а;b). Тогда внутри отрезка Дифференциал функции с примерами решения существует точкаДифференциал функции с примерами решения такая, что Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство. Введем на отрезке Дифференциал функции с примерами решения новую функцию Дифференциал функции с примерами решения

где число X выберем таким образом, чтобыДифференциал функции с примерами решения, т.е. чтобы

Дифференциал функции с примерами решения. Для этого достаточно взять Дифференциал функции с примерами решения

тогда функция F(x) примет вид;

Дифференциал функции с примерами решения

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке Дифференциал функции с примерами решения, дифференцируема на интервале (а,b) и F(a) = F(b) = 0. Следовательно, существует точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что Дифференциал функции с примерами решения,T.e.

Дифференциал функции с примерами решения

Откуда следует, чтоДифференциал функции с примерами решения. Теорема доказана.

Формулу (12.7.1) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 12.5.

Заметим, что отношение Дифференциал функции с примерами решения является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки Дифференциал функции с примерами решения кривой Дифференциал функции с примерами решения это угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку Дифференциал функции с примерами решения. Из теоремы Лагранжа следует, что на кривойДифференциал функции с примерами решения между точками А и В найдется такая точка С, касательная в которой параллельна секущей АВ.

Дифференциал функции с примерами решения

Следствие 12.7.1. Если функция f определена на некотором отрезке, имеет производную, равную нулю во всех внутренних точках и непрерывна на концах отрезка, то она постоянна на рассматриваемом отрезке.

Действительно, каковы бы ни были точки Дифференциал функции с примерами решениярассматриваемого промежутка, функция f удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке Дифференциал функции с примерами решения и> значит,Дифференциал функции с примерами решения

Но Дифференциал функции с примерами решения и следовательно,Дифференциал функции с примерами решения для любых двух точек Дифференциал функции с примерами решения из области определения функции f, что и означает, что f постоянна.

Следствие 12.7.2. Если две функции f и g дифференцируемы во всех внутренних точках некоторого отрезка и Дифференциал функции с примерами решения в этих точках, а на концах отрезка функции f и g непрерывны, то они отличаются лишь на постоянную величину: Дифференциал функции с примерами решения

Действительно, функция Дифференциал функции с примерами решения удовлетворяет следствию 12.7.1, т.е. Дифференциал функции с примерами решения во всех внутренних точках отрезка, поэтому Дифференциал функции с примерами решения.

Теорема Коши

Теорема 12.8.1. (Теорема Коши) Пусть функции f и g определены, непрерывны на отрезке Дифференциал функции с примерами решения и дифференцируемы на интервале (а;b), причем Дифференциал функции с примерами решения на интервале (а;b). Тогда внутри отрезка [а;b] существует точкаДифференциал функции с примерами решения такая, что выполняется равенство:

Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство’. Заметим, что так как функция g удовлетворяет теореме Лагранжа, то на интервале Дифференциал функции с примерами решения существует точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что выполняется равенство Дифференциал функции с примерами решения,

ПосколькуДифференциал функции с примерами решения, на интервале (a,b), то и Дифференциал функции с примерами решения следовательно,Дифференциал функции с примерами решения.

Введем на отрезке [а,Ь] вспомогательную функцию F(x):

Эта функция непрерывна на отрезке [а;b] как разность непрерывных функций, дифференцируема на интервале (а,b) и на концах отрезка принимает значения Дифференциал функции с примерами решения. По теореме Ролля существует точка Дифференциал функции с примерами решения, такая, что: Дифференциал функции с примерами решения. ПосколькуДифференциал функции с примерами решения то Дифференциал функции с примерами решения

Учитывая, что Дифференциал функции с примерами решения, отсюда получаем формулу Коши:

Дифференциал функции с примерами решения

Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа для случая когда х = g(x).

Правило Лопиталя

Теорема: Если функции f(х) и g(x) непрерывны на сегменте Дифференциал функции с примерами решения, дифференцируемы на открытом интервале Дифференциал функции с примерами решения и при Дифференциал функции с примерами решения одновременно стремятся к нулю или бесконечности (Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения), то для раскрытия неопределенности Дифференциал функции с примерами решения применяется формула Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство: Докажем случай, когда при Дифференциал функции с примерами решения функции Дифференциал функции с примерами решения то есть в точке Дифференциал функции с примерами решения функции имеют значение Дифференциал функции с примерами решения Тогда Дифференциал функции с примерами решения(по теореме Лагранжа)Дифференциал функции с примерами решения (в силу произвольности точки с)= Дифференциал функции с примерами решения

Замечание: Теорема Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей вида Дифференциал функции с примерами решения или Дифференциал функции с примерами решения. Для раскрытия других типов неопределенностей, они должны путем тождественных преобразований вначале приведены к одной из двух указанных неопределенностей, после чего можно применять правило Лопиталя.

Замечание: При применении правила Лопиталя производная дерется отдельно от числителя и отдельно от знаменателя дроби.

Пример №25

Вычислить Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Так как Дифференциал функции с примерами решения(применим правило Лопиталя)Дифференциал функции с примерами решения

Пример №26

ВычислитьДифференциал функции с примерами решения

Решение:

Дифференциал функции с примерами решения

Замечание: При необходимости правило Лопиталя применяется повторно.

Пример №27

Вычислить Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

В данном примере имеем дело с неопределенностью Дифференциал функции с примерами решения Предположим, что данный предел существует и равен А, т.е. Дифференциал функции с примерами решения Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства Дифференциал функции с примерами решения(применим правило Лопиталя)= Дифференциал функции с примерами решения Отсюда находим предельное значение заданной функции Дифференциал функции с примерами решения

Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал независимой переменной

Теорема: Если функция имеет дифференциал, то эта функция имеет также и производную.

Доказательство: В самом деле, пусть дана некоторая функция у = f(x) и пусть

Дифференциал функции с примерами решения

есть дифференциал этой функции. Согласно формуле (2), приращение Дифференциал функции с примерами решения может быть записано в следующем виде;

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения — бесконечно малая при Дифференциал функции с примерами решения. Отсюда Дифференциал функции с примерами решения и, следовательно,

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. производная у’ существует и равна величине k.

Следствие. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на приращение независимой переменной, т. е.

Дифференциал функции с примерами решения

Теорема: Если функция имеет производную, то эта функция имеет также и дифференциал.

Доказательство: Пусть функция Дифференциал функции с примерами решения имеет производную

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда Дифференциал функции с примерами решения, где Дифференциал функции с примерами решения — бесконечно малая при Ах 0 и, Ах

следовательно,

Дифференциал функции с примерами решения

В сумме (2) первое слагаемое Дифференциал функции с примерами решения, очевидно, представляет собой главную линейную часть приращения Дифференциал функции с примерами решения, т. е. является дифференциалом функции у. Таким образом, функция имеет дифференциал

Дифференциал функции с примерами решения

Теорема доказана.

Замечание. Теперь понятно, почему функция от одной независимой переменной, имеющая производную, называется дифференцируемой.

До сих пор мы пользовались понятием дифференциала функции. Введем понятие дифференциала независимой переменной.

Определение: Под дифференциалом независимой переменной понимается дифференциал функции, тождественной с независимой переменной, т. е. функции у = х. Так как

Дифференциал функции с примерами решения

то согласно формуле (1) имеем

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой независимой переменной.

Пользуясь этим последним свойством, формулу (1) можно переписать в следующем симметричном виде:

Дифференциал функции с примерами решения

Итак, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Разделив обе части последней формулы на dx, получим

Дифференциал функции с примерами решения

Иными словами, производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу независимой переменной.

До сих пор обозначение Дифференциал функции с примерами решения имело символический характер;

сейчас это выражение мы можем рассматривать как обычную дробь с числителем dy и знаменателем dx.

Физическое значение дифференциала

Пусть известен закон движения точки М по оси Ох:

Дифференциал функции с примерами решения

где х — расстояние точки М от начала отсчета О, t — время, причем будем предполагать, что точка М движется в одном и том же направлении. За бесконечно малый промежуток времени dt точка М переместится в точку М’, пройдя при этом путь

Дифференциал функции с примерами решения

Это есть истинное приращение пути.

Дифференциал пути dx согласно формуле (4) из равен

Дифференциал функции с примерами решения

Но Дифференциал функции с примерами решения, представляющая собой производную пути по времени, есть скорость движения v в момент времени t; поэтому

Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, дифференциал пути равен тому фиктивному приращению пути, которое получится, если предположить, что начиная с данного момента времени точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

Например, если спидометр автомобиля показывает 60 км/ч, то шофер, рассчитывая, что за 1 мин пробег машины составит 1 км, фактически вычисляет не приращение пути за 1 мин (которое вследствие неравномерности движения может быть не равно 1 км!), а дифференциал пути.

Приближенное вычисление малых приращений функции

Если Дифференциал функции с примерами решения мало по абсолютной величине, то для дифференцируемой функции fix) ее приращение

Дифференциал функции с примерами решения

отличается от дифференциала

Дифференциал функции с примерами решения

на величину, бесконечно малую относительно Ах. Отсюда имеем приближенное равенство

Дифференциал функции с примерами решения

Эти равенства весьма полезны при приближенных расчетах. Заметим, что формула (1′) представляет собой линейный член формулы Тейлора.

Пример №28

Найти Дифференциал функции с примерами решения.

Решение:

Полагая в формуле Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решениябудем иметь Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения

По таблицам же находим Дифференциал функции с примерами решения = 1,032.

Рассмотрим еще одну задачу, важную для приближенных вычислений.-

Пример №29

Для данной функции

Дифференциал функции с примерами решения

предельная абсолютная погрешность ее аргумента х равна Дифференциал функции с примерами решения, т. е.

Дифференциал функции с примерами решения

Каковы предельные абсолютная Дифференциал функции с примерами решения и относительная Дифференциал функции с примерами решения погрешности функции у?

Решение:

Из формулы (1) имеем

Дифференциал функции с примерами решения

следовательно, при Дифференциал функции с примерами решения можно принять

Дифференциал функции с примерами решения

Пример №30

Угол х = 60° определен с точностью до 1°. Как отразится это обстоятельство на синусе угла?

Решение:

Здесь Дифференциал функции с примерами решения. Поэтому ошибка для у = sin х на основании формулы (2), где у’ = cos х, может достигать величины Дифференциал функции с примерами решения. ‘

Эквивалентность приращения функции и дифференциала функции

Введем понятие эквивалентных или асимптотически равных бесконечно малых функций.

Определение: Две бесконечно малые функции Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения называются эквивалентными или равносильными при Дифференциал функции с примерами решения, если предел их отношения равен единице, т. е. тогда, когда

Дифференциал функции с примерами решения

Для обозначения равносильности бесконечно малых Дифференциал функции с примерами решения употребляется знак эквивалентности а именно, пишут Дифференциал функции с примерами решения.

Так, например,

Дифференциал функции с примерами решения

при Дифференциал функции с примерами решения, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Заметим, что если бесконечно малые Дифференциал функции с примерами решения эквивалентны, то разность между ними есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них.

В самом деле, если Дифференциал функции с примерами решения, то имеем

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. Дифференциал функции с примерами решения имеет порядок выше, чем Дифференциал функции с примерами решения. Аналогичное рассуждение можно провести также и для а.

Обратно, если разность двух бесконечно малых а и (3 есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с одной из них, то эти бесконечно малые эквивалентны.

Действительно, предполагая, например, что

Дифференциал функции с примерами решения

получаем Дифференциал функции с примерами решения и, следовательно,

Дифференциал функции с примерами решения

В частности, отбрасывая {или прибавляя) от бесконечно малой бесконечно малую высшего порядка, получаем величину, равносильную исходной.

Например, при Дифференциал функции с примерами решения имеем Дифференциал функции с примерами решения.

Отметим важное свойство эквивалентных бесконечно малых.

Теорема: При нахождении предела отношения двух бесконечно малых данные бесконечно малые можно заменять эквивалентными им (предполагая, что предел отношения последних, конечный или бесконечный, существует).

Доказательство: Действительно, пусть Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения при Дифференциал функции с примерами решения. Имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Переходя к пределу в тождестве (1), получим

Дифференциал функции с примерами решения

Пример №31

Так как при Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения (поскольку Дифференциал функции с примерами решения), то

Дифференциал функции с примерами решения

Теорема: Бесконечно малое приращение функции эквивалентно дифференциалу этой функции при всех значениях независимой переменной у для которых производная функции конечна и отлична от нуля.

Доказательство: В самом деле, если функция у = f(x) дифференцируема, то из формулы (2) имеем

Дифференциал функции с примерами решения

где а — бесконечно мало при Дифференциал функции с примерами решения.

Так как согласно условию теоремы при Дифференциал функции с примерами решения имеем Дифференциал функции с примерами решения, то

Дифференциал функции с примерами решения

Следовательно,

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. бесконечно малые Дифференциал функции с примерами решения и dy эквивалентны при Дифференциал функции с примерами решения Пример. Пусть f(x) = Дифференциал функции с примерами решения. Имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Поэтому

Дифференциал функции с примерами решения

Замечание. Вообще, если функция f(x) дифференцируема в точке х = 0, то при Дифференциал функции с примерами решения имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Из формулы (3), в частности, при Дифференциал функции с примерами решения, получаем:

а)sin х ~ х;

б)ах – 1 ~ х In а (а > 0);

в)1n(1 + х) ~ х.

Что такое дифференцируемость функции

Определение 6.1. Функция Дифференциал функции с примерами решения называется дифференцируемой в точке Дифференциал функции с примерами решения если ее приращение в этой точке Дифференциал функции с примерами решения может быть представлено в виде

Дифференциал функции с примерами решения   (6.1)

где Дифференциал функции с примерами решения – некоторое действительное число, а Дифференциал функции с примерами решения