Как найти дифференциалы высших порядков - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Случай независимой переменной
Случай зависимой переменной

Пусть функция $y=f(x)$ зависит от переменной
$x$ и дифференцируема в точке
$x$. Может оказаться, что в точке
$x$ дифференциал
$d y=f^{prime}(x) d x$, рассматриваемый как функция от
$x$, есть также дифференцируемая функция. Тогда существует
дифференциал от дифференциала $d(dy)$ данной функции,
который называется дифференциалом второго порядка функции $y=f(x)$.
Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

$d^2y=d(dy)$

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Определение

Дифференциалом
$n$-го порядка
$d_ny$ функции
$y=f(x)$ называется дифференциал от дифференциала
$(n-1)$-го порядка этой функции, то есть

$$d^{n} y=dleft(d^{n-1} yright)$$

Получим формулы, выражающие дифференциалы высших порядков. Рассмотрим несколько случаев.

Случай независимой переменной

Пусть $y=f(x)$ – функция независимой переменной
$x$, имеющая дифференциалы любого порядка.
Первый дифференциал функции

$$d y=f^{prime}(x) d x$$

где $dx=Delta x$ – некоторое приращение независимой
переменной $x$, которое мы задаем сами и которое не
зависит от $x$. По определению

$$d^{2} y=d(d y)=dleft(f^{prime}(x) d xright)$$

Переменной является аргумент $x$. Значит, для
дифференциала величина $dx$ является постоянной и
поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

$$d^{2} y=dleft(f^{prime}(x) d xright)=d x cdot dleft(f^{prime}(x)right)$$

Для вычисления дифференциала $dleft(f^{prime}(x)right)$ применим формулу
дифференциала первого порядка к функции $f^{prime}(x)$. Тогда получим:

$$dleft(f^{prime}(x)right)=left(f^{prime}(x)right)^{prime} cdot d x=d x cdot f^{prime prime}(x) d x=f^{prime prime}(x)(d x)^{2}=f^{prime prime}(x) d x^{2}$$

Итак,

$$d^{2} y=f^{prime prime}(x) d x^{2}$$

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала
$n$-го порядка:

$$d^{n} y=f^{n}(x) d x^{n}$$

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции $y(x)=4x^3-12x+5$

Решение. По формуле

$$d^{3} y=y^{prime prime prime}(x) d x^{3}$$

Найдем третью производную заданной функции:

$$begin{array}{c}
y^{prime}(x)=left(4 x^{3}-12 x+5right)^{prime}=left(4 x^{3}right)^{prime}-(12 x)^{prime}+(5)^{prime}= \
4left(x^{3}right)^{prime}-12(x)^{prime}+0=4 cdot 3 x^{2}-12 cdot 1=12 x^{2}-12 \
y^{prime prime}(x)=left(y^{prime}(x)right)^{prime}=left(12 x^{2}-12right)^{prime}=left(12 x^{2}right)^{prime}-(12)^{prime}= \
=12left(x^{2}right)^{prime}-0=12 cdot 2 x=24 x \
y^{prime prime prime}(x)=left(y^{prime prime}(x)right)^{prime}=(24 x)^{prime}=24(x)^{prime}=24
end{array}$$

Тогда

$$d^{3}y=24dx^3$$

Ответ. $d^{3}y=24dx^3$

Случай зависимой переменной

Пусть задана дифференцируемая функция $y=f(u(x))$. Тогда

$$d y=f^{prime}(u) d u$$

где $d u=u^{prime}(x) d x$ в общем случае не является постоянной величиной.
Поэтому дифференциал от функции $f^{prime}(u) d u$ берем как дифференциал от произведения

$$d^{2} y=dleft(f^{prime}(u) d uright)=dleft(f^{prime}(u)right) cdot d u+f^{prime}(u) cdot d(d u)=f^{prime prime}(u) d u^{2}+f^{prime}(u) d^{2} u$$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти дифференциал второго порядка
$d^{2}u$ функции $f(u)=sqrt{u}$, где
$u(x)=3x+7$ и $x$ – независимая переменная.

Решение. Решим пример разными способами и сравним ответы.

1-ый способ. Согласно формуле, имеем, что искомый дифференциал

$$d^{2} y=f^{prime prime}(u) d u^{2}+f^{prime}(u) d^{2} u$$

Найдем все необходимые компоненты формулы. Из условия имеем:

$$begin{array}{c}
f^{prime}(u)=(sqrt{u})^{prime}=frac{1}{2 sqrt{u}} \
f^{prime prime}(u)=left(f^{prime}(u)right)^{prime}=left(frac{1}{2 sqrt{u}}right)^{prime}=frac{1}{2} cdotleft(u^{-frac{1}{2}}right)^{prime}= \
=frac{1}{2} cdotleft(-frac{1}{2}right) cdot u^{-frac{3}{2}}=-frac{1}{4 sqrt{u^{3}}} \
d u=d(3 x+7)=(3 x+7)^{prime} d x=left[(3 x)^{prime}+(7)^{prime}right] d x= \
=left[3(x)^{prime}+0right] d x=3 cdot 1 cdot d x=3 d x \
d^{2} u=d(3 d x)=d x cdot d(3)=d x cdot 0=0
end{array}$$

А тогда:

$$begin{aligned}
d^{2} y=&-frac{1}{4 sqrt{u^{3}}} d u^{2}+frac{1}{2 sqrt{u}} cdot 0=-frac{1}{4 sqrt{u^{3}}} cdot(3 d x)^{2}=\
&=-frac{9}{4 sqrt{u^{3}}} d x^{2}=-frac{9}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} d x^{2}
end{aligned}$$

2-ой способ. Из того, что $f(u)=sqrt{u}$ и
$u(x)=3 x+7$, получаем:

$$f(x)=sqrt{3 x+7}$$

А тогда

$$d^{2} y=f^{prime prime}(x) d x^{2}$$

Найдем вторую производную функции $f(x)=sqrt{3 x+7}$:

$$f^{prime}(x)=(sqrt{3 x+7})^{prime}=frac{1}{2 sqrt{3 x+7}} cdot(3 x+7)^{prime}=$$
$$=frac{1}{2 sqrt{3 x+7}} cdotleft[(3 x)^{prime}+(7)^{prime}right]=frac{1}{2 sqrt{3 x+7}} cdotleft[3(x)^{prime}+0right]=$$
$$=frac{3 cdot 1}{2 sqrt{3 x+7}}=frac{3}{2 sqrt{3 x+7}}$$
$$f^{prime prime}(x)=left(f^{prime}(x)right)^{prime}=left(frac{3}{2 sqrt{3 x+7}}right)^{prime}=frac{3}{2}left((3 x+7)^{-frac{1}{2}}right)^{prime}=$$
$$=frac{3}{2} cdotleft(-frac{1}{2}right) cdot(3 x+7)^{-frac{3}{2}} cdot(3 x+7)^{prime}=$$
$$=-frac{3}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} cdotleft[(3 x)^{prime}+(7)^{prime}right]=-frac{3}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} cdot 3(x)^{prime}=$$
$$=-frac{3 cdot 3 cdot 1}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}}=-frac{9}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}}$$

Окончательно имеем:

$$d^{2} y=-frac{9}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} d x^{2}$$

Ответ. $d^{2} y=-frac{9}{4 sqrt{(3 x+7)^{3}}} d x^{2}$

Читать дальше: производная функции, заданной неявно.

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 22 сентября 2019 года; проверки требуют 7 правок.

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

${displaystyle d^{n}z=d(d^{n-1}z)}$

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной[править | править код]

Для функции, зависящей от одной независимой переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

${displaystyle d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=dz'dx=(z''dx)dx=z''dx^{2}}$

${displaystyle d^{3}z=d(d^{2}z)=d(z''dx^{2})=dz''dx^{2}=(z'''dx)dx^{2}=z'''dx^{3}}$

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции , при условии, что — независимая переменная:

${displaystyle d^{n}z=z^{(n)}dx^{n}}$

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от , которое при дифференцировании по следует рассматривать как постоянный множитель. Если не является независимой переменной, то дифференциал будет другим (см. ниже)^[1].

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных[править | править код]

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: ${displaystyle d^{2}z=d(dz)}$ .

${displaystyle d^{2}z=dleft({frac {partial z}{partial x}}dx+{frac {partial z}{partial y}}dyright)=left({frac {partial z}{partial x}}dx+{frac {partial z}{partial y}}dyright)'_{x}dx+left({frac {partial z}{partial x}}dx+{frac {partial z}{partial y}}dyright)'_{y}dy=}$

${displaystyle =left({frac {partial ^{2}z}{partial x^{2}}}dx+{frac {partial ^{2}z}{partial ypartial x}}dyright)dx+left({frac {partial ^{2}z}{partial xpartial y}}dx+{frac {partial ^{2}z}{partial y^{2}}}dyright)dy}$

$d^{2}z={frac {partial ^{2}z}{partial x^{2}}}dx^{2}+2{frac {partial ^{2}z}{partial xpartial y}}dxdy+{frac {partial ^{2}z}{partial y^{2}}}dy^{2}$

${displaystyle d^{2}z=left({frac {partial }{partial x}}dx+{frac {partial }{partial y}}dyright)^{2}z}$

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции
${displaystyle z=f(x_{1},...,x_{r})}$ выглядит следующим образом:

${displaystyle d^{n}z=left({frac {partial }{partial x_{1}}}dx_{1}+{frac {partial }{partial x_{2}}}dx_{2}+...+{frac {partial }{partial x_{r}}}dx_{r}right)^{n}z}$

где ${displaystyle z=f(x_{1},x_{2},...x_{r})}$ , а ${displaystyle dx_{1},...,dx_{r}}$ произвольные приращения независимых переменных ${displaystyle x_{1},...,x_{r}}$ .
Приращения ${displaystyle dx_{1},...,dx_{r}}$ рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.
Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка[править | править код]

При -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение ${displaystyle d^{n}f}$ зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, .

Так, для независимой переменной второй дифференциал, как было сказано выше, имеет вид:

${displaystyle d^{2}z=z''(dx)^{2}}$

Если же переменная сама может зависеть от других переменных, то ${displaystyle d(dx)=d^{2}xneq 0}$ . В этом случае формула для второго дифференциала будет иметь вид^[1]:

${displaystyle d^{2}z=d(dz)=d(z'dx)=z'',(dx)^{2}+z'd^{2}x}$

Аналогично, третий дифференциал примет вид:

${displaystyle d^{3}z=z''',(dx)^{3}+3z''dx,d^{2}x+z'd^{3}x}$

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и ${displaystyle y=f(x)=x^{3}}$ :

С учётом зависимости ${displaystyle x=t^{2}}$ , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Дополнения[править | править код]

для функции с одной переменной:

${displaystyle {mathcal {4}}F(x_{0})=dF(x_{0})+{frac {d^{2}F(x_{0})}{2!}}+...+{frac {d^{n}F(x_{0})}{n!}}+{frac {d^{n+1}F(x_{0}+theta {mathcal {4}}x)}{(n+1)!}}}$

;

для функции с несколькими переменными:

${displaystyle {mathcal {4}}F(x_{0},y_{0})=dF(x_{0},y_{0})+{frac {d^{2}F(x_{0},y_{0})}{2!}}+...+{frac {d^{n}F(x_{0},y_{0})}{n!}}+{frac {d^{n+1}F(x_{0}+theta {mathcal {4}}x,y_{0}+theta {mathcal {4}}y)}{(n+1)!}}}$

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Баранова Елена Семеновна, Васильева Наталья Викторовна, Федотов Валерий Павлович. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты: Учебное пособие. 2-е изд.. — “Издательский дом “”Питер”””, 2012. — С. 196-197. — 400 с. — ISBN 9785496000123.

Литература[править | править код]

Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1

Источник

Дифференциалы высших порядков

Пусть у = f (х) дифференцируемая функция, а её аргумент х- независимая переменная. Тогда её первый дифференциал dy = f′ (x) dx есть также функция от х; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции у = f (х) называется её вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2y или d 2 f (x):

d 2 y = f ′′ (x) dx 2

Здесь dx 2 обозначает (dx)2.

Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка: d 3 y = d (d 2 y) = d (f ′′ (x) dx 2) = f ′′′ (x) dx 3.

Вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)–го порядка: d n y = d (d n – 1y) = f (n) (x) (dx) n.

Отсюда находим, что f (n)(x)= d n y . В частности, при n = 1, 2, 3 соответственно получаем: dxn

f ′(x)=	dy	,	f ′′(x)=	d 2 y	,	f ′′′(x)=	d 3 y	, т.е. производную функции можно рассматривать как
	dx			dx2			dx3

отношение её дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.

Отметим, что все приведённые выше формулы справедливы только, если х – независимая переменная.

Пример. Найти d 2 y, если y = e 3x и х – независимая переменная. Решение: так как y′ = 3e 3x, y′′ = 9e 3x, то имеем d 2y = 9e 3x dx 2.

Правила Лопиталя

Правила Лопиталя применяются для раскрытия неопределённостей вида 00 и ∞∞ , которые называются основными.

Теорема 3. (Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида 00 ).

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х0 и

обращаются в нуль в этой точке: f (x0) = g (x0) = 0. Пусть g′ (x) ≠ 0 в окрестности точки x0. Если

существует предел

lim

f ′(x)

= l , то

lim

f (x)

= lim

f ′(x)

= l .

g(x)

g′(x)

x→x0

′

x→ x0

(x)

Пример. Найти lim1− cos6x .

x→0

2x2

Решение: lim

1− cos 6x

п.Л.

6sin 6x

п.Л.

36 cos 6x

= lim

= 9.

x→0

Теорема 4. (Правило Лопиталя раскрытия неопределённостей вида ∞∞ ).

Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х0 (кроме,
может быть, точки х0), в этой окрестности lim f (x)= lim g(x)= ∞ , g′ (x) ≠ 0. Если существует
	f ′(x)		f (x)	f ′(x)	x→ x0	x→ x0
предел lim	, то lim	= lim	.
g′(x)		g(x)
x→ x0	x→ x0	x→ x0	g′(x)

tg 3x

Пример. Найти lim tg 5x

x→π2

Решение:

lim tg 3x =

∞ =

= lim 3cos

0 =

lim

cos

п.Л.

x→

tg 5x

x→

5cos

∞

cos2 5x

lim − 10 cos 5x sin 5x

= lim sin10x

lim10cos10x

= 5 .

5 x→

− 6 cos 3x sin 3x

x→

sin6x

x→

6cos6x

Неопределённости вида [0∞], [∞ − ∞], [1∞], [∞ 0], [0 0] сводятся к двум основным путём тождественных преобразований.

Пусть f (x) → 0, и g (x) → 0 при х → х0. Тогда очевидны следующие преобразования:

lim(f (x)g(x))= [0 ∞]= lim

f (x)

(или lim

f (x)

∞ ).

x→ x

∞

x→ x

g(x)

Пример.

Найти limtg

π x

(2 − x).

x→2

Решение:

2 − x

= 0 = lim

−1

= 4 .

limtg π x (2 − x)= [∞ 0]= lim

п.Л.

x→2

π x

ctg 4

x→2

−

sin

2 π x

Пусть f (x) → ∞, и g (x) → ∞ при х → х0. Тогда можно поступить так:

										1			1
			1			1						−			0
lim(f (x)− g(x))= [∞ − ∞]= lim					g(x)	f (x)
				−				= lim						=		.
	1		1		1				1		0
x→ x0	x→ x0						x→ x0

		f (x)		g(x)		g(x)		f (x)

Пусть f (x) → 1, и g (x) → ∞, или f (x) → ∞, и g (x) → 0, или f (x) → 0, и g (x) → 0 при х → х0.

Для нахождения предела вида lim f (x)g (x ) вспомним свойство логарифма

x→ x0

eln f (x ) g (x ) = f (x)g (x ) .

Пример. Найти limx→0(cos2x) x2 .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что ~dx есть произвольное и не зависящее от , которое при дифференцировании по следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: ~d^2z= .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:

где , а произвольные приращения независимых переменных .
Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При , -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение ~d^nf зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, .

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При n = 2 и :

С учётом зависимости , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Дополнения

С помощью дифференциалов, функция при условии существования её (n + 1) первых производных может быть представлена по формуле Тейлора:

для функции с одной переменной:

$~mathcal{4}F(x_0)$

;

для функции с несколькими переменными:

$~mathcal{4}F(x_0,y_0)$

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Источник

Дифференциалы высших порядков

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Пусть дана функция y = f(x), где х – независимая переменная. Дифференциал этой функции есть некоторая функция от х, но от х зависит только первый сомножитель f ‘(x) второй же сомножитель dx является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит.

$dy = f ‘(x)dx$

Функция dy есть функция от x и называется дифференциалом.

Что такое дифференциал второго, третьего и n-го порядка функции

Определение

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается $d^2y$.

$d^2y = d(dy)$

Определение

Третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется~дифференциал~от ее второго дифференциала:

$d^3y = d(d^2y) = f ”'(x)dx^3$

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Определение

Дифференциалом n-го порядка является дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка:

$d^ny = d(d^{n-1}y)$

Пример 1

Найти дифференциал третьего порядка функции.

[y(x)=x^{4} +2arccos x]

Решение.

По определению дифференциала, дифференциал 3 порядка равен:
[d^{3} y=y”'(x)dx^{3} ]
Продифференцируем данную функцию по х:

[y'(x)=(x^{4} +2arccos x)’=(x^{4} )’+2(arccos x)’=4x^{3} -frac{2}{sqrt{1-x^{2} } } ]

Вычислим вторую производную

[y”(x)=left(4x^{3} -frac{2}{sqrt{1-x^{2} } } right)^{{‘} } =12x^{2} -2left((1-x^{2} )^{-frac{1}{2} } right)^{{‘} } =12x^{2} -2frac{1}{2} (1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } (1-x^{2} )’]

[y”(x)=12x^{2} -2x(1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } ]

Вычислим третью производную

[y”'(x)=left(12x^{2} -2x(1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } right)^{{‘} } =24x-left(2(1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } +2xleft((1-x^{2} )^{-frac{1}{2} } right)^{{‘} } right)]

[y”'(x)=left(12x^{2} -2x(1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } right)^{{‘} } =24x-2(1-x^{2} )^{-frac{3}{2} } -4frac{3}{2} x^{2} (1-x^{2} )^{-frac{5}{2} } ]

[y”'(x)=24x-frac{2}{sqrt{(1-x^{2} )^{3} } } -frac{6x^{2} }{sqrt{(1-x^{2} )^{5} } } ]

Подставим полученную производную в формулу дифференциала второго порядка:

[d^{3} y=y”'(x)dx^{3} =left(24x-frac{2}{sqrt{(1-x^{2} )^{3} } } -frac{6x^{2} }{sqrt{(1-x^{2} )^{5} } } right)dx^{3} ]

«Дифференциалы высших порядков» 👇

Пример 2

Найти дифференциал 4 порядка функции.

[y(x)=e^{4x} sin 3x]

Решение.

Запишем производную по формуле Лейбница

[y^{(4)} (x)=left(e^{4x} right)^{(4)} sin 3x+C_{4}^{1} left(e^{4x} right)^{(3)} sin 3x’+C_{4}^{2} left(e^{4x} right)^{(2)} sin 3x”+C_{4}^{3} left(e^{4x} right){{‘} } sin 3x”’+e^{4x} sin 3x^{(4)} ]

Посчитаем коэффициенты при слагаемых

[C_{4}^{1} =frac{4!}{1!(4-1)!} =frac{4!}{3!} =frac{3!4}{3!} =4]

[C_{4}^{2} =frac{4!}{2!(4-2)!} =frac{4!}{2!2!} =frac{1cdot 2cdot 3cdot 4}{1cdot 2cdot 1cdot 2} =6]

[C_{4}^{3} =frac{4!}{3!(4-3)!} =frac{4!}{3!1!} =frac{3!4}{3!} =4]

Найдем производные первого сомножителя

[left(e^{4x} right){{‘} } =e^{4x} cdot 4x’=4e^{4x} ]

[left(e^{4x} right){{‘} } {{‘} } =left(4e^{4x} right){{‘} } =16e^{4x} ]

[left(e^{4x} right){{‘} } {{‘} } {{‘} } =left(16e^{4x} right){{‘} } =64e^{4x} ]

[left(e^{4x} right)^{(4)} =left(64e^{4x} right){{‘} } {{‘} } {{‘} } =256e^{4x} ]

Найдем производные второго сомножителя

[sin 3x’=cos 3xcdot 3x’=3cos 3x]

[sin 3x”=left(3cos 3xright){{‘} } =3left(-sin 3xright)cdot left(3xright){{‘} } =-9sin 3x]

[sin 3x”’=left(-9sin 3xright){{‘} } ^{} =-27cos 3x]

[sin 3x^{(4)} =left(-27cos 3xright){{‘} } =81sin 3x]

Подставим найденные значения в формулу Лейбница

[y^{(4)} (x)=256e^{4x} sin 3x+4cdot 64e^{4x} cdot 3cos 3x+6cdot 16e^{4x} cdot left(-9sin 3xright)+4cdot 4e^{4x} cdot left(-27cos 3xright)+e^{4x} cdot 81sin 3x]

Упростим

[y^{(4)} (x)=e^{4x} (336cos 3x-527sin 3x)]

Формула дифференциала 4 порядка имеет вид:

[d^{left(4right)} y=y^{(4)} (x)dx^{4} ]

[d^{left(4right)} y=e^{4x} (336cos 3x-527sin 3x)dx^{4} ]

Пример 3

Найти дифференциал 3 порядка функции

[y=5^{2x-5} ]

Решение.

Вычисления производим по формуле нахождения производной высшего порядка

[left(a^{kx+b} right)^{(n)} =k^{n} a^{kx+b} ln ^{n} a]

Где $k = 2, b = -5, a = 5, n = 3$

[y^{(3)} =left(5^{2x-5} right)^{(3)} =2^{3} cdot 5^{2x-5} cdot ln ^{3} 5]

[y^{(3)} =2^{3} cdot 5^{2x-5} cdot ln ^{3} 5=frac{8cdot 25^{x} }{3125} ln ^{3} 5]

Формула дифференциала 3 порядка имеет вид:

[d^{left(3right)} y=y^{(3)} (x)dx^{3} ]

[d^{left(3right)} y=frac{8cdot 25^{x} }{3125} ln ^{3} 5dx^{3} ]

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 15.12.2022

Источник

Случай независимой переменной

Случай зависимой переменной

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной[править | править код]

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных[править | править код]

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка[править | править код]

Дополнения[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Дифференциалы высших порядков

Правила Лопиталя

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

Дополнения

Дифференциалы высших порядков

Что такое дифференциал второго, третьего и n-го порядка функции

Вам также может понравиться

Смещение носовой перегородки как исправить

Как найти честного юриста

Как найти показатели рентабельности предприятия

Добавить комментарий Отменить ответ