Как найти диоганали куба

Куб является базовым геометрическим телом, когда речь заходит об объеме и объемных телах. Недаром третья степень, которая получается умножением трех одинаковых чисел друг на друга (как при нахождении объема куба – трех его измерений одинаковых измерений) названа в его честь.

Основным и единственным параметром куба является его ребро a,так как все ребра у куба конгруэнтны, и представляют собой одновременно и длину, и ширину, и высоту. Соответственно, всего одно значение определяет все возможные характеристики куба, связанные с его измерениями.

Помимо ребер, вершины куба можно соединить диагоналями. Диагонали могут проходить через грани куба, тогда они будут просто диагональю основания или диагональю квадрата в плоскости, либо диагонали могут быть проведены внутри самого куба, соединяя противоположные основания в крайних точках (вершинах).

Чтобы найти диагональ куба через его ребро, необходимо сначала провести дополнительное построение в виде диагонали одного из соединяемых оснований, тогда диагональ куба станет гипотенузой новоиспеченного прямоугольного треугольника, катетами которого являются ребро куба и диагональ основания. Если ребро куба задано условиями задачи, то диагональ квадрата в основании придется сначала вычислить по формуле:
d=a√2

Тогда диагональ куба можно будет выразить через теорему Пифагора, и она примет следующий вид:

Факт 2.
(bullet) Если сфера вписана в куб (то есть касается всех его граней), то ее радиус равен (0,5a), где (a) – ребро куба.
(bullet) Если сфера описана около куба (то есть все вершины куба лежат на сфере), то ее радиус равен (0,5d), где (d) – диагональ куба.
(bullet) Центр сферы, вписанной в куб или описанной около куба, лежит в точке пересечения диагоналей куба.

Куб или как его еще называют гексаэдр – это правильный многогранник, каждая из граней которого имеет форму квадрата. Куб – это частный случай призмы и параллелепипеда.

Разные дисциплины используют значение этого термина по отношению к различным свойствам геометрического прототипа. Например, в аналитике применяют аналитические многомерные кубы, которые позволяют наглядно сопоставить данные из разных таблиц.

Свойства куба

• В куб можно вписать тетраэдр двумя вариантами, причем вершины тетраэдра, а их четыре, будут совпадать с четырьмя вершинами куба. Все шесть ребер тетраэдра будут располагаться на всех шести гранях куба и будут равны диагонали грани квадрата.
• Четыре сечения куба это правильные шестиугольники, они проходят по центру куба перпендикулярно четырем диагоналям.
• В куб вписывается октаэдр, причем все шесть вершин октаэдра совместятся с центрами шести граней куба.
• Куб вписывается в октаэдр, причем все восемь вершин куба расположатся в центрах восьми граней октаэдра.
• В куб можно вписать икосаэдр, так, что шесть взаимно параллельных ребер икосаэдра расположатся на шести гранях куба, остальные двадцать четыре ребра внутри куба, все 12 вершин икосаэдра лягут по шести граням куба.

Формулы для куба

• Поверхность куба: A = 6*a2
• Объем куба: V = a3
• Диагональ куба: d = a*√3

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).

Определение куба

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

• Вершины куба – это точки, являющиеся вершинами его граней.
  Всего их 8: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁ и D₁.
• Ребра куба – это стороны его граней.
  Всего их 12: AB, BC, CD, AD, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁ и A₁D₁.
• Грани куба – это квадраты, из которого состоит фигура.
  Всего их 6: ABCD, A₁B₁C₁D₁, AA₁B₁B, BB₁C₁C, CC₁D₁D и AA₁D₁D.

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

• ABCD || A₁B₁C₁D₁
• AA₁B₁B || CC₁D₁D
• BB₁C₁C || AA₁D₁D

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

• AC₁ = BD₁ = A₁C = B₁D (диагонали куба).
• О – точка пересечения диагоналей:
  AO = OC₁ = BO = OD₁ = A₁O = OC = B₁O = OD.

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.

Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA₁B₁B является прямым.

Формулы для куба

Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:

• a – ребро куба;
• d – диагональ куба или его грани.

Диагональ

Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Периметр ребер

Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.

Объем

Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.

Радиус описанного вокруг шара

Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.

Радиус вписанного шара

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.