Как найти директрису гиперболы с центром

Отношение
расстояния от центра гиперболы до фокуса
к действительной полуоси гиперболы
называется эксцентриситетом гиперболы
и обозначается буквой е:

.

Так как
для гиперболы
,
то эксцентриситет гиперболы больше 1.

Формулы
теперь
можно переписать так:

(1)

и

(2)

Эти
четыре формулы можно объединить:

(3)

Две
прямые, перпендикулярные действительной
оси гиперболы и отстоящие от центра
гиперболы на расстоянии
,
называются директрисами гиперболы.

Если
гипербола задана каноническим уравнением

,

то уравнение
директрис имеют вид

и
.

Так как
эксцентриситет гиперболы больше 1, то
директрисы гиперболы отстоят от ее
центра на расстоянии, меньшем действительной
полуоси (рис. 169). Фокус и директриса
гиперболы, расположенные по одну сторону
от мнимой оси, называются соответствующими
друг другу. Таким образом, фокусу

соответствует директриса
,
а фокусу

– директриса
.

Рис. 169

Теорема.
Для того, чтобы точка лежала на гиперболе,
необходимо и достаточно, чтобы отношение
расстояния от этой точки до фокуса
гиперболы к расстоянию от той же точки
до директрисы, соответствующей
рассматриваемому фокусу, было равно
эксцентриситету гиперболы.

Доказательство
необходимости. Рассмотрим, например,
фокус

и соответствующую ему директрису
.

Расстояние

от точки М(х,
у)
гиперболы

до фокуса

равно
,

а
расстояние от той же точки М(х,
у)
до директрисы

равно
.

Отсюда

.

Аналогично
доказывается, что
,

где

– есть расстояние от точки М(х,
у)
гиперболы до ее фокуса
,
а

– расстояние от той же точки М
до директрисы
,
соответствующей фокусу
,
а

– расстояние от той же точки М
до директрисы
,
соответствующей фокусу
.

(Доказательство
достаточности такое же, как и для
эллипса).

Расстояние
от фокуса

до директрисы

гиперболы равно
,

а
эксцентриситет

отсюда

Если
задана произвольная точка

прямая

не проходящая через точку

и число
,
то существует, и притом только одна
гипербола, эксцентриситет которой
равен е,

– фокус, а

– соответствующая директриса.

Центр
О
этой
гиперболы отстоит от точки

на расстоянии

причем
точки О
и

расположены по разные стороны от прямой

(рис.170), а большая полуось этой гиперболы
равна

Рис. 170

Доказанная
теорема и последнее утверждение позволяют
дать гиперболе другое определение,
эквивалентное принятому выше: гипербола
есть геометрическое место точек, для
каждой из которых отношение расстояния
от данной точки

к расстоянию до данной прямой
,
не проходящей через точку
,
равно данному числу
.

§ 115. Параметрические уравнения гиперболы

Перепишем уравнение
гиперболы:

в виде

Отсюда
видно, что

Положим

тогда

и

следовательно,

(1)

§ 116. Сопряженные гиперболы

Две
гиперболы, заданные уравнениями

и

в одной
и той же декартовой прямоугольной
системе координат с одними и теми же
значениями полуосей а
и b,
называются сопряженными (рис. 172).

Выше доказано,
что всякая гипербола

может
быть выражена параметрическими
уравнениями
;

параметрические
уравнения гиперболы, сопряженной с
данной, будут

.

Рис. 172

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #



3.7.2. Директрисы гиперболы

У гиперболы, как и у эллипса, две директрисы, и определяются они точно так же.

В каноническом положении  директрисы расположены между ветвями

гиперболы и задаются теми же уравнениями , где «эпсилон» – эксцентриситет

данной гиперболы.

В нашей задаче:

Более того, для гиперболы справедлива абсолютно такая же теорема:

Гипербола – есть множество всех точек плоскости, таких, что отношение расстояния от каждой точки до фокуса к расстоянию от неё до

соответствующей (ближайшей) директрисы равно эксцентриситету:

То есть, для любой точки  гиперболы отношение её

расстояния до фокуса  к расстоянию от неё же до ближайшей директрисы  равно эксцентриситету: . Для пары  и любой точки  гиперболы (ради разнообразия я выбрал демонстрационную точку

дальней ветви) отношение такое же:

К слову, у параболы с её единственным фокусом и единственной директрисой по определению эти длины

относятся «один к одному», поэтому эксцентриситет любой параболы и равен единице.

Ответ: искомая линия представляет собой гиперболу  с

центром симметрии в точке  и повёрнутую на  относительно своего канонического положения. Каноническое уравнение: , фокусы: , эксцентриситет: , асимптоты: , директрисы: .

Но я вас просто так не отпущу 🙂 – всё-таки разберу второй способ приведения линии  к каноническому виду. Осуществим поворот системы  на угол   радиан против часовой

стрелки и её параллельный перенос в точку . Тогда в системе  уравнение примет вид: .

Чертёж будет выглядеть точно так же, как и чертежи выше – с той поправкой, что гиперболу мы изобразим в системе . Соответственно, все вычисления будут проводиться в новых координатах, и переменные

следует записывать со значком  «тильда»: . В частности, асимптоты запишутся

так: , а директрисы – так: .

Очень хотелось упростить и даже вообще не рассматривать эту задачу, но она взята из конкретной контрольной работы, причём, заочного отделения.

Поэтому пришлось с упорным занудством разобрать все-все-все тонкости и технические приёмы.

Налью вам стакан молока за вредность и предложу задачу для самостоятельного решения, она проще:)

Задача 110

Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки  к расстоянию до прямой  постоянно и равно . Сделать точный чертеж.

Подумайте, о какой это точке и о какой прямой шепчет условие 😉 Краткое решение и чертёж в конце книги.

И теперь вы готовы! (в хорошем смысле:))

– готовы рассмотреть суперзадачу, к которой я вас морально и технически готовил чуть ли не с первых параграфов темы.

…анекдот тут ещё вспомнился садистский про готовку, но, пожалуй, не буду – он неэтичный 🙂

3.8. Приведение уравнения к каноническому виду

3.7.1. Директрисы эллипса

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Гипербола: определение, свойства, построение

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек и есть величина постоянная , меньшая расстояния между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы.

Фокальное свойство гиперболы

Точки и называются фокусами гиперболы, расстояние между ними — фокусным расстоянием, середина отрезка — центром гиперболы, число — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, — действительной полуосью гиперболы). Отрезки и , соединяющие произвольную точку гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение , где , называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения следует, что .

Геометрическое определение гиперболы, выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки к точке ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат оказалась правой).

Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов и . Для произвольной точки , принадлежащей гиперболе, имеем:

Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:

Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:

где , т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

---

Директориальное свойство гиперболы

Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии от нее (рис.3.41,а). При , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.

Гиперболу с эксцентриситетом можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство гиперболы). Здесь и — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

В самом деле, например, для фокуса и директрисы (рис.3.41,а) условие можно записать в координатной форме:

Избавляясь от иррациональности и заменяя , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса и директрисы :

---

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат (рис.3.41,б) имеет вид

, где — фокальный параметр гиперболы.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус гиперболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке , принадлежащий прямой , но не содержащий точки (рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки , принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем . Выражаем расстояние между точками и (см. пункт 2 замечаний 2.8):

Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

Выражаем полярный радиус и делаем замены :

что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( для гиперболы, для эллипса).

---

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение , находим абсциссы точек пересечения: . Следовательно, вершины имеют координаты . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна . Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число — действительной полуосью гиперболы. Подставляя , получаем . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки , равна . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число — мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.

Замечания 3.10.

1. Прямые ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).

2. Прямые , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).

Для равносторонней гиперболы, описываемой уравнением (т.е. при ), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат (рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).

В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами

Подставляя эти выражения в уравнение равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр — центром симметрии.

Действительно, если точка принадлежит гиперболе . то и точки и , симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.

Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.

4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси ( при ).

5. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем больше , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).

Действительно, величина угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: . Учитывая, что и , получаем

Чем больше , тем больше угол . Для равносторонней гиперболы имеем и . Для угол тупой, а для угол острый (рис.3.43,а).

6. Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями и называются сопряженными друг с другом. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б). Уравнение сопряженной гиперболы приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение определяет гиперболу с центром в точке , оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение определяет сопряженную гиперболу с центром в точке .

---

Параметрическое уравнение гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид

где — гиперболический косинус, a гиперболический синус.

Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству .

---

Пример 3.21. Изобразить гиперболу в канонической системе координат . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: — действительная полуось, — мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами с центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя в уравнение гиперболы, получаем

Следовательно, точки с координатами и принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние

эксцентриситет ; фокальныи параметр . Составляем уравнения асимптот , то есть , и уравнения директрис: .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

1. Гипербола и её форма.

   Начать изучение
   

2. Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.

   Начать изучение
   

3. Точки гиперболы и их свойства.

   Начать изучение
   

4. Уравнение касательной к гиперболе.

   Начать изучение
   

Гипербола и её форма.

Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1.label{ref9}
$$

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы (|x| geq a), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины (2a) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами ((a, 0)) и ((-a, 0)), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа (a) и (b) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде (y=kx), поскольку мы уже знаем, что прямая (x=0) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{k^{2}x^{2}}{b^{2}}=1.
$$
Поэтому, если (b^{2}-a^{2}k^{2} > 0), то
$$
x=pm frac{ab}{sqrt{b^{2}-a^{2}k^{2}}}.
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения ((ab/v, abk/v)) и ((-ab/v, -abk/v)), где обозначено (v=(b^{2}-a^{2}k^{2})^{1/2}). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении (k) (рис. 8.7).

Числитель дроби (ab/v) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при (k=0). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина ((a, 0)). С ростом (k) знаменатель убывает, и (x) растет, стремясь к бесконечности, когда (k) приближается к числу (b/a). Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то (k) будет убывать, (k^{2}) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).

К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

Запишем уравнения асимптот в виде (bx-ay=0) и (bx+ay=0). Расстояния от точки (M(x, y)) до асимптот равны соответственно
$$
h_{1}=frac{|bx-ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}, h_{2}=frac{|bx+ay|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}.nonumber
$$
Если точка (M) находится на гиперболе, то (b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}), и
$$
h_{1}h_{2}=frac{|b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}|}{a^{2}+b^{2}}=frac{a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.nonumber
$$

Отсюда следует важное свойство асимптот.

---

Фокусы, эксцентриситет и директрисы гиперболы.

Отношение (varepsilon=c/a), как и для эллипса, называется эксцентриситетом. У гиперболы (varepsilon > 1).

Заметим, что равенства eqref{ref11} можно подробнее записать так:

• для правой ветви гиперболы ((x geq a))
  $$
  r_{1}=varepsilon x-a, r_{2}=varepsilon x+a;nonumber
  $$
• для левой ветви гиперболы ((x leq -a))
  $$
  r_{1}= a-varepsilon x, r_{2}=-varepsilon x-a;nonumber
  $$

Итак, для правой ветви (r_{2}-r_{1}=2a), а для левой ветви (r_{1}-r_{2}=2a). В обоих случаях
$$
|r_{2}-r_{1}|=2a.label{ref12}
$$

Директрисами гиперболы называются прямые, задаваемые в канонической системе координат уравнениями
$$
x=frac{a}{varepsilon}, x=-frac{a}{varepsilon}.label{ref13}
$$

Директрисы лежат ближе к центру, чем вершины, и, следовательно, не пересекают гиперболу. Директриса и фокус, лежащие по одну сторону от центра, считаются соответствующими друг другу.

---

Точки гиперболы и их свойства.

---

Уравнение касательной к гиперболе.

Уравнение касательной к гиперболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), лежащей на ней, выводится так же, как соответствующее уравнение касательной для эллипса. Оно имеет вид
$$
frac{xx_{0}}{a^{2}}-frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.label{ref14}
$$

515 Составить уравнение гиперболы,
фокусы которой расположены на оси абсцисс
симметрично относительно начала координат, зная,
кроме того, что:
515.1 ее оси 2a=10 и 2b=8;
515.2 расстояние между
фокусами 2c=10 и ось 2b=8;
515.3 расстояние между
фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/2;
515.4 ось 2a=16 и
эксцентриситет e=5/4;
515.5 уравнения асимптот и расстояние между фокусами 2c=20;
515.6 расстояние между
директрисами равно 228/13 и расстояние между
фокусами 2c=26;
515.7 расстояние между
директрисами равно 32/5 и ось 2b=6;
515.8 расстояние между
директрисами равно 8/3 и эксцентриситет e=3/2;
515.9 уравнения асимптот и расстояние между директрисами
равно 64/5; 516 Составить
уравнение гиперболы, фокусы которого
расположены на оси ординат симметрично
относительно начала координат, зная, кроме того,
что: 516.1 ее полуоси a=6, b=18
(буквой а мы обозначаем полуось гиперболы,
расположенной на оси абсцисс); 516.2 расстояние между
фокусами 2с=10 и эксцентриситет e=5/3;
516.3 уравнения асимптот и расстояние между вершинами равно
48; 516.4 расстояние между
директрисами равно 50/7 и эксценриситет e=7/5; 516.5 уравнения асимптот и расстояние между директрисами
равно 32/5. 517 Определить полуоси
а и b каждой из следующих гипербол: 517.1 ; 517.2 ; 517.3 ; 517.4 ; 517.5  ; 517.6 ; 517.7 . 518 Дана гипербола . Найти: полуоси а и b, фокусы,
эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения
директрис. 519 Дана гипербола . Найти: полуоси а и b, фокусы,
эксцентриситет, уравнения асимптот, уравнения
директрис. 520 Вычислить площадь
треугольника, образованного асимптотами
гиперболы и прямой . 521 Установить, какие
линии определяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже. 521.1  ; 521.2 ; 521.3  ; 521.4 . 522 Дана точка M₁(10; ) на гиперболе . Составить
уравнения прямых, на которых лежат фокальные
радиусы точки М₁. 523 Убедившись, что
точка М₁(-5; 9/4) лежит
на гиперболе , определить фокальные радиусы точки
М₁. 524 Эксцентриситет
гиперболы e=2, фокальный радиус ее точки М,
проведенный из некоторого фокуса, равен 16.
Вычислить расстояние от точки М до односторонней
с этим фокусом директрисы. 525 Эксцентриситет
гиперболы e=3, расстояние от точки М гиперболы до
директрисы e=3, расстояние от точки М гиперболы до
директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки
М до фокуса, одностороннего с этой директрисой. 526 Эксцентриситет
гиперболы e=2, центр ее лежит в начале координат,
один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от
точки М₁ гиперболы
с абсциссой, равной 13, до директрисы,
соответствующей заданному фокусу. 527 Эксцентриситет
гиперболы e=3/2, центр ее лежит в начале координат,
одна из директрис дана уравнением x=-8. Вычислить
расстояние от точки М₁ гиперболы с абсциссой, равной 10, до
фокуса, соответствующего заданной директрисе. 528 Определить точки
гиперболы , расстояние от которых до
правого фокуса равно 4,5. 529 Определить точки
гиперболы , расстояние которых до
левого фокуса равно 7. 530 Через левый фокус
гиперболы проведен перпендикуляр к
ее оси, содержащей вершины. Определить
расстояние от фокусов до точек пересечения этого
перпендикуляра с гиперболой. 531 Пользуясь одним
циркулем, построить фокусы гиперболы (считая,
что оси координат изображены и масштабная
единица задана). 532 Составить
уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси
абсцисс симметрично относительно начала
координат, если даны: 532.1 точки M₁(6;
-1), M₂(-8; ) гиперболы; 532.2 точка М₁(-5;
3) гиперболы и эксцентриситет e=; 532.3 точка М₁(9/2;
-1) гиперболы с уравнения асимптот
; 532.4 точка М₁(-3;
5/2) гиперболы и уравнения
директрис ; 532.5 уравнения асимптот и уравнения директрис .
533 Определить
эксцентриситет равносторонней гиперболы. 534 Определить
эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее
вершинами виден из фокусов сопряженной
гиперболы под углом 60⁰. 535 Фокусы гиперболы
совпадают с фокусами эллипса . Составить
уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет e=2. 536 Составить
уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в
вершинах эллипса , а директрисы
проходят через фокусы этого эллипса. 537 Доказать, что
расстояние от фокуса гиперболы до ее
асимптоты равно b. 538 Доказать, что
произведение расстояний от любой точки
гиперболы до двух ее асимптот есть
величина постоянная, равная . 539 Доказать, что
площадь параллелограмма, ограниченного
асимптотами гиперболы и
прямыми, проведенными через любую ее точку
параллельно асимптотами, есть величина
постоянная, равная ab/2. 540 Составить
уравнение гиперболы, если известны ее полуоси a и
b, центр C(x₀; y₀) и фокусы расположены на прямой: 540.1 параллельной оси Ox; 540.2 параллельной оси Oy. 541 Установить, что
каждое из следующих уравнений определяет
гиперболу, и найти координаты ее центра С,
полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и
уравнения директрис: 541.1  ; 541.2 ; 541.3 . 542 Установить, какие
линии определяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже.
542.1 ;
542.2 ; 542.3 ; 542.4 . 543 Составить
уравнение гиперболы, зная, что: 543.1 расстояние между ее
вершинами равно 24 и фокусы суть F₁(-10;
2), F₂(16; 2); 543.2 фокусы суть F₁(3; 4), F₂(-3; -4) и
расстояние между директрисами равно 3,6; 543.3 угол между
асимптотами равен 90⁰ и фокусы суть F₁(4; -4), F₂(-2;
2). 544 Составить
уравнение гиперболы, если известны ее
эксцентриситет e=5/4, фокус F(5; 0) и уравнение
соответствующей директрисы . 545 Составить
уравнение гиперболы, если известны ее
эксцентриситет e=13/12, фокус F(0; 13) и уравнение
соответствующей директирсы . 546 Точка А(-3; -5) лежит
на гиперболе, фокус которой F(-2; -3), а
соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этой гиперболы. 547 Составить
уравнение гиперболы, если известны ее
эксцентриситет e=, фокус F(2; -3) и
уравнение соответствующей директрисы . 548 Точка М₁(1;
-2) лежит на гиперболе, фокус
которой F(-2; 2), а соответстующая директриса дана
уравнением . Составить уравнение этой гиперболы. 549 Дано уравнение
равносторонней гиперболы . Найти
ее уравнение в новой системе, приняв за оси
координат ее асимптоты. 550 Установив, что
каждое из следующих уравнений определяет
гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси,
уравнения асимптот и построить их на чертеже: 550.1 ; 550.2  ; 550.3 . 551 Найти точку
пересечения прямой и гиперболы . 552 Найти точки
пересечения прямой и гиперболы . 553 Найти точки
пересечения прямой и гиперболы . 554 В следующих случаях
определить, как расположена прямая относительно
гиперболы: пересекает ли, касается или проходит
вне ее: 554.1  , ; 554.2 , ; 554.3 , . 555 Определить, при
каких значениях m прямая : 555.1 пересекает
гиперболу : 555.2 касается ее; 555.3 проходит вне этой
гиперболы. 556 Вывести условие,
при котором прямая касается гиперболы . 557 Составить
уравнение касательной к гиперболе в ее
точке M₁(x₁; y₁). 558 Доказать, что
касательные к гипербле, проведенные в концах
одного и того же диаметра, параллельны. 559 Составить
уравнения касательных к гиперболе , перпендикулярных
к прямой . 560 Составить
уравнения касательных к гиперболе , параллельных
прямой . 561 Провести
касательные к гиперболе параллельно
прямой и вычислить расстояние d между ними. 562 На гиперболе найти точку М₁, ближайшую к прямой , и
вычислить расстояние d от точки М₁ до этой прямой. 563 Составить
уравнение касательной к гиперболе , проведенных
из точки А(-1; -7). 564 Из точки С(1; -10)
проведены касательные к гиперболе . Составить
уравнение хорды, соединяющей точки касания. 565 Из точки Р(1; -5)
проведены касательные к гиперболе . Вычислить
расстояние d от точки Р до хорды гиперболы,
соединяющей точки касания. 566 Гипербола проходит
через точку А(; 3) и касается прямой . Составить
уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси
совпадают с осями координат. 567 Составить
уравнение гиперболы, касающейся прямых , , при
условии, что ее оси совпадают с осями координат. 568 Убедившись, что
точки пересечения эллипса и
гиперболы являются вершинами прямоугольника,
составить уравнения его сторон. 569 Даны гиперболы и какая-нибудь ее касательная, Р –
точка пересечения касательной с осью Ох, Q –
проекция точки касания на ту же ось. Доказать, что
. 570 Доказать, что
фокусы гиперболы расположены по разные стороны
от любой ее касательной. 571 Доказать, что
произведение расстояний от фокусов до любой
касательной к гиперболе есть
величина постоянная, равная b². 572 Прямая касается
гиперболы, фокусы которой находятся в точках F₁(-3;
0), F₂(3; 0). Составить
уравнение этой гиперболы. 573 Составить
уравнение гиперболы, фокусы которой расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала
координат, если известны уравнение касательной к
гиперболе и расстояние между ее
вершинами 2а=8. 574 Доказать, что
прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М,
составляет равные углы с фокальными радиусами F₁M, F₂M и проходит
внутри угла F₁MF₂. 575 Из правого фокусы
гиперболы под углом (<<) к
оси Ох направлен луч света. Известно, что . Дойдя
до гиперболы, луч от нее отразился. Составить
уравнение прямой, на которой лежит отраженный
луч. 576 Доказать, что
эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы,
пересекаются под прямым углом. 577 Коэффициент
равномерного сжатия плоскости к оси Ох равен 4/3.
Определить уравнение линии, в котороую при этом
сжатии преобразуется гипербола . 578 Коэффициент
равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 4/5.
Определить уравнение линии, в которую при этом
сжатии преобразуется гипербола . 579 Найти уравнение
линии, в которую преобразуется гипербола при двух последовательных
равноменых сжатиях плоскости к координатным
осям, если коэффициенты равномерного сжатия
плоскости к осям Ох и Оу соответствуют 2/3 и 5/3. 580 Определить
коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Ох, при котором гипербола преобразуется
в гиперболу . 581 Определить
коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Оу, при котором гипербола преобразуется
в гиперболу . 582 Определить
коэффициенты q₁, q₂ двух последовательных равномерных
сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых
гипербола преобразуется в гиперболу .