Как найти директрису зная фокус

Уравнение директрисы параболы

Содержание:

• Что такое директриса параболы
• Каноническое уравнение параболы
• Уравнение директрисы параболы, если вершина не в пересечении осей координат
  • Алгоритм расчета
• Фокус параболы
• Примеры решения задач

Что такое директриса параболы

Определение

Директриса параболы — такая прямая, кратчайшее расстояние от которой до любой точки, принадлежащей параболе, точно такое же, как расстояние от этой точки до фокуса.

Вершина параболы — точка пересечения параболы с ее осью. Она считается началом системы координат, канонической для данной кривой.

Вершина — середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису. Таким образом, директриса перпендикулярна оси симметрии и проходит на расстоянии р/2 от вершины параболы. Число р — фокальный параметр, расстояние от фокуса до директрисы. Поскольку все параболы подобны, именно эта характеристика определяет масштаб конкретной параболы.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы:

(y^2;=;2px)

Если расположить параболу слева от оси ординат, уравнение примет вид:

(y^2;=;-;2px)

Уравнение директрисы параболы, если вершина не в пересечении осей координат

Формула директрисы параболы имеет вид:

(х;=;-frac р2)

Если вершину перенести в точку ((x_0;;y_0)), отличную от начала осей координат, каноническое уравнение примет вид:

({(y;-;y_0)}^2;=;2p;times;(x;-;x_0))

Алгоритм расчета

1. Если уравнение параболы приведено в виде квадратного многочлена, перенесем все слагаемые с y в левую часть уравнения, а с х — в правую.
2. Упростим выражение, выделив полный квадрат относительно одной из переменных.
3. Введем новые переменные ((x_1;;y_1)), чтобы привести уравнение к каноническому виду, ведя при этом отсчет с новой точки начала координат.
4. Вычислим параметр р и фокус, запишем уравнение директрисы.
5. Вернемся к старым координатам, заменив ((x_1;;y_1)) на х и y.

Фокус параболы

Определение

Расстояние от точки фокуса (F) до любой точки параболы равняется расстоянию от этой точки к директрисе.

Чтобы составить уравнение директрисы, нужно знать фокальный параметр.

Определение

Фокальный параметр — половина длины хорды, проходящей через её фокус перпендикулярно фокальной оси.

Примеры решения задач

Задача №1

Составить уравнение директрисы параболы (y^2;=;6x).

Решение

Сравнив каноническое уравнение с данным, получим:

(2р = 6 )

(р = 3)

(frac р2;=;frac32)

Уравнение директрисы — (х;=;-frac р2.)

В данном случае оно будет выглядеть так:

(х;=;-;frac32)

Задача №2

Найти директрису параболы, заданной уравнением (4х^2;-;12х;+;y;+;6;=;0.)

Решение

Преображаем многочлен, находим полный квадрат относительно переменной х:

(4х^2;-;12х;+;y;+;6;=;0;Rightarrow;4(х^2;-;3х);+;y;+;6;=;0;Rightarrow;;4((х^2;-;2;timesfrac32х;+;frac94);-;frac94);+;y;+;6;=;0;Rightarrow;)

(;Rightarrow;(4;{(х;-;frac32)}^2;-;9;+;y;+;6;=;0;Rightarrow;y;-;3;=-;4;{(х;-;frac32)}^2;Rightarrow;{(х;-;frac32)}^2;=;-;frac14;(y;-;3))

Пусть ((y — 3)) будет (y_1), а ((х;-;frac32)) — (х_1).

Тогда, перенеся начало координат в точку ((x_1;;y_1)), получим каноническое уравнение (х_1^2;=;-{textstylefrac14}y_1).

(2р;=;frac14;Rightarrow;р;=;frac18;Rightarrow;frac р2;=;frac1{16})

Тогда уравнение директрисы — (y_1=;frac1{16}).

Заменив (y_1) на ((y — 3)), получим уравнение: (y;–;3;=;frac1{16})

Следовательно, (y;–;frac{49}{16};=;0).

В старой системе координат уравнение директрисы:

(16у — 49 = 0, у;=;frac{49}{16}).

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Линии второго порядка

1. Основные понятия.

6. Общее уравнение линий второго порядка.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

.

Коэффициенты уравнения – действительные числа, но, по крайней мере, одно из чисел отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.

ОКРУЖНОСТЬ

Простейшей кривой второго порядка является окружность.

Определение. Окружностью радиуса R с центром в точке называется множество всех точек плоскости, удовлетворяющих условию .

Каноническое уравнение окружности .

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса .

у

с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось.

и называются фокальными радиусами. ,

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

Определение.Характеристикой эллипса, показывающей меру его вытянутости, является эксцентриситет – величина, определяемая отношением: .

Замечание. Для эллипса .

Определение.Прямые называются директрисами эллипса.

Теорема. Если ­­– расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусы директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: .

Замечание. Если a = b, то c = 0, а значит, фокусы сливаются, и эллипс превращается в окружность.

Если же , то уравнение определяет эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, а малая ось – на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках F₁ (0;с); F₂(0;-с), где b 2 = a 2 + c 2 .

Пример. Составьте уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), а большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: .

Расстояние между фокусами: 2c = , таким образом,

a 2 – b 2 = c 2 = .

По условию большая ось равна 2, то есть 2а = 2, откуда получаем, что

а = 1, b = .

Тогда искомое уравнение эллипса имеет вид: .

Гипербола

Определение. Гиперболойназывается линия, для всех точек которой модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы .

y

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси гиперболы связаны соотношением:

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Прямоугольник со сторонами 2а и2b называется основным прямоугольником гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Замечание.Для гиперболы эксцентриситет .

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/ε от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Определение. Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны ( ).

Ее каноническое уравнение .

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояние между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается : .

Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось которой расположена на оси , а мнимая ось – на оси .

Гиперболы и имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Пример. Составьте уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса, заданного уравнением

Найдем фокусное расстояние для эллипса:

Тогда искомое уравнение гиперболы .

Парабола

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы y 2 = 2px .

у

Кривые второго порядка – определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру – значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) – решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b – малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а – правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая – правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А – произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р – положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F – фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число – мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b – соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а – его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат – его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка – это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах – при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ – фокусы.

с – фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а – большая ось эллипса, 2b – малая ось эллипса.

а – большая полуось эллипса, b – малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет – число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола – множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с – фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x – действительная ось, y – мнимая ось.

а – действительная полуось, b – мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы – число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы – прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ – правая директриса, f₂ – левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы – диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Парабола – множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F – фокус параболы, f – директриса параболы.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.evkova.org/krivyie-vtorogo-poryadka

http://matecos.ru/mat/matematika/krivye-vtorogo-poryadka.html

[/spoiler]

В
аналитической геометрии на плоскости
подробно изучаются геометрические
свойства эллипса, гиперболы и параболы,
представляющих собой линии пересечения
кругового конуса с плоскостями, не
проходящими через его вершину. Эти линии
часто встречаются во многих задачах
естествознания и техники. Например,
движение материальной точки под
воздействием центрального поля силы
тяжести происходит по одной из этих
линий; в инженерном деле для конструирования
прожекторов, антенн и телескопов
пользуются важным оптическим свойством
параболы, заключающимся в том, что лучи
света, исходящие из определённой точки
(фокуса параболы), после отражения от
параболы образуют параллельный пучок.

Определение.
Кривой
второго порядка
называется геометрическое место точек
координатной плоскости, координаты
которых удовлетворяют алгебраическому
уравнению 2-й степени с двумя
неизвестными:
.

ОКРУЖНОСТЬ.

Определение.
Окружностью
называется геометрическое место точек
плоскости равноудаленных от одной
фиксированной точки плоскости, называемой
центром
окружности.

Определение.
Расстояние от любой точки окружности
до ее центра называется радиусом
окружности.

Теорема.
Окружность является кривой 2-го порядка
и ее уравнение имеет вид:
где
– координаты центра окружности,– радиус окружности.

Определение.
Если центр окружности находится в начале
координат, то такая система координат
называется канонической
для окружности, а уравнение
называется каноническим уравнением
окружности.

ЭЛЛИПС.

Определение.
Эллипсом
называется геометрическое место точек
плоскости, для которых сумма расстояний
до двух фиксированных точек плоскости,
называемых фокусами,
есть величина постоянная. Эту величину
принято обозначать через
.

Определение.
Расстояние между фокусами эллипса
называется фокусным
расстоянием.
Фокусы эллипса принято обозначать
буквами
и,
расстояние между ними – через.
По определению эллипса.

Определение.
Расстояния от точки
,
лежащей на эллипсе, до фокусовиназываютсяфокальными
радиусами
точки
.

Замечание.
Из определения эллипса следует, что
точка
является точкой эллипса тогда и только
тогда, когда сумма её фокальных радиусов.

Определение.
Число
называетсябольшой
осью
эллипса, число
,
где,
называетсямалой
осью
эллипса. Числа
иназываются соответственнобольшой
и малой
полуосями
эллипса.

Определение.
Отношение фокусного расстояния эллипса
к его большой оси называется эксцентриситетом
эллипса, и обозначается буквой
или:

Определение.
Ось, на которой лежат фокусы эллипса,
называется фокальной
осью
эллипса.

В
канонической для эллипса системе
координат, оси координат являются
главными осями эллипса, а начало координат
является центром эллипса.

Определение.
Точки
эллипса, лежащие на его осях, называются
вершинами
эллипса.

Теорема.
(Каноническое уравнение эллипса.) Эллипс
является кривой 2-го порядка, и в
канонической для эллипса системе
координат его уравнение имеет вид:.

Теорема.
(Фокальные радиусы точки эллипса.) Пусть
в канонической для эллипса системе
координат точка
лежит на эллипсе. Тогда ее фокальные
радиусы равны:,,
где– большая полуось эллипса,–
его эксцентриситет.

Определение.
В канонической для эллипса системе
координат прямые
называютсядиректрисами
эллипса.

Теорема.
(Свойство директрис эллипса.) Пусть
– произвольная точка эллипса,и– ее фокальные радиусы. Обозначим черези,
соответственно, расстояния от точкидо левой и правой директрисы эллипса.
Тогда.

Теорема.
(Зеркальное свойство эллипса.) Луч света,
выпущенный из одного фокуса эллипса
после отражения от зеркала эллипса
проходит через второй его фокус.

Теорема.
В канонической для эллипса системе
координат уравнение касательной к
эллипсу в точке
имеет вид:

ГИПЕРБОЛА

Определение.
Гиперболой
называется геометрическое место точек
плоскости, модуль разности расстояний
которых до двух фиксированных точек
плоскости, называемых фокусами, есть
величина постоянная.

Фокусы
гиперболы принято обозначать буквами
и.
Расстояния от точки,
лежащей на гиперболе, до фокусов
обозначаютсяи,
и называются еёфокальными
радиусами.

Замечание.
Из определения гиперболы следует, что
точка М является точкой гиперболы тогда
и только тогда, когда модуль разности
её фокальных радиусов
есть величина постоянная для данной
гиперболы. Эту константу принято
обозначать через.

Определение.
Расстояние между фокусами гиперболы
называется фокусным
расстоянием.

Фокусное
расстояние для данной гиперболы есть
величина постоянная и ее принято
обозначать через
:.

Замечание.
Так как сторона треугольника больше
модуля разности двух его других сторон,
то отсюда и из определения гиперболы
следует, что

Определение.
Число
называетсядействительной
осью
гиперболы, число
,
где,
называетсямнимой
осью
гиперболы. Числа
иназываются соответственнодействительной
и мнимой полуосями
гиперболы.

Определение.
Отношение фокусного расстояния гиперболы
к её действительной оси называется
эксцентриситетом
гиперболы, и обозначается буквой
или:

В
канонической для гиперболы системе
координат, оси координат являются
главными осями гиперболы, а начало
координат является центром гиперболы.

Теорема.
(Каноническое уравнение гиперболы.)
Гипербола является кривой 2-го порядка,
и в канонической для гиперболы системе
координат её уравнение имеет вид:
.

Определение.
Точки
гиперболы, лежащие на её действительной
оси, называются действительными
вершинами
гиперболы. Две точки плоскости
(в канонической для гиперболы системе
координат), лежащие на мнимой оси
гиперболы называютсямнимыми
вершинами
гиперболы.

Определение.
Две пары прямых, параллельных осям
гиперболы
высекают прямоугольник, который
называетсяосновным
прямоугольником
гиперболы.

Гипербола
состоит из двух кривых, называемых её
ветвями,
которые в канонической системе
координат описываются уравнениями

Теорема.
Прямые
являются асимптотами гиперболы.

Теорема.
(Фокальные радиусы точек гиперболы.)
Пусть в канонической для гиперболы
системе координат точка
лежит на гиперболе. Тогда ее фокальные
радиусы равны:|,,
где– действительная полуось гиперболы,– её эксцентриситет.

Определение.
В канонической для гиперболы системе
координат прямые
называютсядиректрисами
гиперболы.

Теорема.
(Свойство директрис гиперболы.) Пусть
– произвольная точка гиперболы,и– ее фокальные радиусы. Обозначим черези,
соответственно, расстояния от точкидо левой и правой директрисы гиперболы.
Тогда.

Теорема.
(Зеркальное свойство гиперболы.) Луч
света, выпущенный из одного фокуса
гиперболы после отражения от зеркала
гиперболы кажется наблюдателю идущим
из второго её фокуса.

Теорема.
В канонической для гиперболы системе
координат уравнение касательной к
гиперболе в точке
имеет вид:

ПАРАБОЛА

Определение.
Параболой
называется геометрическое место точек
плоскости, расстояние от которых до
фиксированной прямой, называемой
директрисой,
равно расстоянию до фиксированной
точки, называемой фокусом.

Определение.
Расстояние от произвольной точки
плоскости до фокуса параболы называетсяфокальным
радиусом точки
.

Обозначения:
– фокус параболы,– фокальный радиус точки,– расстояние от точкидо директрисы.

По
определению параболы, точка
является точкой параболы тогда и только
тогда, когда.

Определение.
Расстояние от фокуса параболы до ее
директрисы называется фокальным
параметром
параболы, и обозначается буквой
.

Замечание.
Из определений следует, что в канонической
для параболы системе координат фокус
имеет координаты
,
а директриса описывается уравнением.

Теорема.
(Каноническое уравнение параболы.)
Парабола является кривой 2-го порядка,
и в канонической для неё системе координат
её уравнение имеет вид:

Теорема.
В канонической для параболы системе
координат, фокальный радиус точки
параболы равен

Теорема.
(Зеркальное свойство параболы.) Луч
света, выпущенный из фокуса параболы
после отражения от зеркала параболы
проходит параллельно её фокальной оси.

Теорема.
В канонической для параболы системе
координат уравнение касательной к
параболе в точке
имеет вид:.

Определение.
Парабола
имеет одну ось симметрии, называемую
осью
параболы, с которой она пересекается в
единственной точке. Точка пересечения
параболы с осью называется ее вершиной.

Замечание.
Если координатная система выбрана так,
что ось абсцисс совмещена с осью параболы,
начало координат – с вершиной, но
парабола лежит в левой полуплоскости,
то ее уравнение будет иметь вид:

В
случае, когда начало координат находится
в вершине, а с осью совмещена ось ординат,
то парабола будет иметь уравнение:

,
если она лежит в верхней полуплоскости,
и

–
если в нижней полуплоскости.

Полярная
система координат.

Определение.
Точка О называется полюсом,
а луч L
– полярной
осью.

Задание
какой-либо системы координат на плоскости
состоит в том, чтобы каждой точке
плоскости поставить в соответствие
пару действительных чисел, определяющих
положение этой точки на плоскости. В
случае полярной системы координат роль
этих чисел играют расстояние точки от
полюса и угол между полярной осью и
радиус– вектором этой точки. Этот угол

называется полярным
углом.



0

Можно
установить связь между полярной системой
координат и декартовой прямоугольной
системой, если поместить начало декартовой
прямоугольной системы в полюс, а полярную
ось направить вдоль положительного
направления оси
.

Тогда
координаты произвольной точки в двух
различных системах координат связываются
соотношениями:

x
= rcos;
y = rsin;
x²
+ y²
= r².

Взаимосвязь
полярных и декартовых координат
определяется формулами:
.

В
полярной системе координат уравнения
эллипса, параболы или правой ветви
гиперболы имеют вид:
,
причем, данное уравнение задает эллипс,
если;
параболу, если;
гиперболу, если.
Левая ветвь гиперболы задается уравнением.

Инварианты
кривых второго порядка.

Определение.
Инвариантами
уравнения линии второго порядка
называются следующие выражения:,,.

Определение.
Если инвариант
,
то линия называется линией эллиптического
типа, если,
то – гиперболического типа, если,
то – параболического типа.

Таблица
для определения типа кривой второго
порядка.

					парабола	пара параллельных прямых
эллипс	точка		гипербола	пара пересекающихся прямых

Решение
типовых задач.

Задача
№1.

Составить
уравнение параболы, если даны её фокус
и директриса

Решение:

I
способ

Пусть
– произвольная точка параболы, тогда
(по определению параболы) расстояние
от точкидо фокусаF
равно её расстоянию
до директрисы.

Возведём
в квадрат обе части, получим искомое
уравнение:

II
способ

Сделаем
чертёж:

Очевидно, осью симметрии параболы является прямая y = 2. Вершина параболы находится на этой оси на одинаковом расстоянии от фокуса и директрисы, т.е. имеет координаты

Совершим
параллельный перенос системы
на вектор:

В
полученной системе координат
уравнение параболы имеет канонический
вид:

,
где
– расстояние между фокусом и директрисой,.
Тогда.
Из формул параллельного переноса
следует:.
Поэтому уравнение параболы примет вид:.

Ответ:
.

Задача
№2.

Найти
фокус и директрису параболы
.

Решение:
выразим из уравнения:
.

Сделаем
преобразование системы координат
:

.
Тогда
–
это преобразование есть параллельный
перенос.

Уравнение
параболы в системе
примет
вид:

Очевидно, в новой системе координат уравнение директрисы имеет вид:. Фокусимеет координаты

Перейдём
к исходной системе координат: уравнение
директрисы:.

Фокус
F
имеет координаты:

Ответ:
.

Задача
№3.

Точка
лежит на гиперболе, фокус которойа соответствующая директриса задана
уравнением.
Составить уравнение этой гиперболы.

Решение:

Пусть– произвольная точка гиперболы. По
теореме об отношении расстояний
(отношение расстоянияr
от любой точки гиперболы до фокуса к
расстоянию d
от этой точки до соответствующей
директрисы есть величина постоянная,
равная эксцентриситету гиперболы):

,
;

,e
найдём, применив теорему для данной
точки

тогда
.

Сделав
соответствующие преобразования, получим
уравнение:_.

Ответ:
.

Задача
№4.

Точка
лежит
на эллипсе, фокус которогоа соответствующая директриса задана
уравнением.
Составить уравнение этого эллипса.

Решение:

Решение
этой задачи аналогично предыдущей
задачи.

Пусть
– произвольная точка эллипса. По теореме
об отношении расстояний имеем:.

e
найдём по этой же теореме, используя
точку

Тогда
уравнение эллипса примет вид:
.

Ответ:
.

Задача
№5.

Из
фокуса параболы
опущен перпендикуляр на прямую, проходящую
через центр эллипсаи составляющую с осьюугол 135°. Составить уравнение этой прямой
и найти длину перпендикуляра.

Решение:

Найдём
координаты центра эллипса, для этого
преобразуем его уравнение:

;

.

Итак,
координаты
эллипсаПрямая
проходит через точку,
угловой коэффициент прямой,
поэтому уравнение прямой примет вид:,
т.е..

Найдём
фокус параболы
,
т.е.= 8, поэтому

Искомая
длина перпендикуляра – это расстояние
от фокуса до прямой,
поэтому.

Ответ:
,.

Задача
№6.

Даны
вершина параболы
и уравнение её директрисы.
Составить уравнение этой параболы.

Решение:

Найдём
фокус параболы, для этого опустим из
вершины
параболы перпендикуляр на директрису:

.
Эта прямая является осью симметрии
параболы.

Найдём
точку
,
пересечение оси симметрии параболы с
её директрисой:.

Фокус
параболы – это конец отрезка
с известными началоми серединойпоэтомуЗная фокус параболы и её директрису,
найдём её уравнение.

Ответ:
.

Задача
№7.

Определить,
при каких значениях
прямая:

1)
пересекает эллипс
;

2)
касается его;

3)
проходит вне этого эллипса.

Решение:

Решая
систему
,
получим уравнение.

1. Чтобы
   прямая пересекала эллипс, нужно чтобы
   полученное квадратное уравнение
   относительно x
   имело два решения, для этого дискриминант
   D>0.

.
Откуда
.

1. Чтобы
   прямая касалась эллипса, нужно чтобы
   ,
   т.е.

2. Нет
   пересечений, если
   т.е.

Ответ:1)
при
пересекает эллипс;

2)
при
касается эллипса;

3)
при
проходит вне эллипса.

Задача
№8.

Провести
касательные к эллипсу
параллельно прямойи вычислить расстояние между ними.

Решение:

Если
–
точка касания, то уравнение касательной
к эллипсу имеет вид:.

Угловой
коэффициент
к
этой касательной равен:.

Но
касательная параллельна прямой
,
поэтомуПоэтому, чтобы найти точки касания,
решим систему:.

Оттуда
точка
имеет координатыиПоэтому, используя уравнение,
будем иметь уравнения касательных:и.

Расстояние
между касательными – это расстояние
от точки
до второй касательной:

.

Ответ:,,.

Задача
№9.

Написать
уравнение эллипса, для которого прямые
иесть
соответственно большая и малая оси, и
длины полуосей которого,.

Решение:

Найдём
центр
эллипса:

Обозначим через систему координат, началом которой является точкаа оси параллельны осями. Через обозначим систему координат с началом в точкеи осями координат, совпадающими с осями эллипса. В этой системе координат эллипс задаётся каноническим уравнением:

Повернём
систему
на угол, равный -45º, тогда система совпадёт
с системой.
Формулы поворота:

или
.

А
уравнение эллипса примет вид:
.

Сделаем
второе преобразование: параллельно
перенесём систему
на вектор.

Формулы
параллельного переноса:
.

Уравнение
эллипса в системе

примет
вид:
.

Ответ:.

Задача
№10.

Не
приводя преобразование координат,
установить, какой геометрический образ
определяет уравнение, и найти величины
его полуосей:
.

Решение:

.

.

.

Итак,
уравнение определяет эллипс. Составим
характеристическое уравнение:

.

Тогда
преобразованное уравнение примет вид:
.

Откуда
каноническое уравнение примет вид:
.

Ответ:
эллипс,
,.

Задача
№11.

Не
приводя преобразования координат,
установить тип кривой и найти величины
её полуосей:
.

Решение:

Уравнение
определяет гиперболу. Т.к.
>0,
то действительной осью является ось.
Составим характеристическое уравнение:

.

Каноническое
уравнение гиперболы:
,
т.е..

Ответ:
гипербола,
,.

Задача
№12.

Не
приводя преобразования координат,
установить тип кривой и найти величины
её полуосей:.

Решение:

,
,– парабола,.
Каноническое уравнение:.

Ось
параболы определяется уравнением:
.

В
разбираемом случае имеем:
.
Вершину параболы находим как точку
пересечения линии с её осью из системы
уравнений:

или

или

или

.

Вершина
параболы
.
Единичный направляющий вектор оси
параболы в сторону вогнутости приопределяется уравнением и неравенством:.

В
рассматриваемом случае имеем:

Имеем:
;.

Ответ:
парабола,
;.

Задача
№13.

Не
приводя преобразования координат,
установить тип кривой и найти величины
её полуосей:_.

Решение:

,
,– пересекающиеся прямые. Точка пересечения
находиться как центр линий:

Точка
пересечения
.
Направляющие векторы прямых находятся
как векторы асимптотических направлений:

Направляющие
векторы прямых:

Уравнения
прямых:

и
или

Ответ:
пересекающиеся прямые:

Задача
№14.

Не
приводя преобразования координат,
установить тип кривой и найти величины
её полуосей:

Решение:

,
,–
пара прямых (действительных, мнимых или
совпадающих).

Чтобы
решить, какие это прямые, достаточно
найти точки пересечения данной линии
с осью
.

Имеем:
,x
= 0, или
–
действительные параллельные прямые.
Направляющие векторы прямых имеют
асимптотические направления и находятся
из уравнения:.

Направляющие
векторы прямых
.
Их угловой коэффициент.
Уравнения прямых:или.

Ответ:
параллельные прямые:
_.

Задача
№15.

Установить,
какие линии определяются следующими
уравнениями:

1)
;

2)
.

Решение:
1)
.

ОДЗ:
;.

После
преобразований уравнение эллипса
принимает вид:
.

Итак,
координаты центра эллипса
полуосии.
Учитывая, что,
можно сказать, что искомой линией
является половина эллипса, расположенная
над прямой.

2)
.

	ОДЗ:
	Т.к. Итак, преобразуем уравнение: Центр эллипса , . Ответ: половина эллипса , расположенная в левой полуплоскости.

Задача
№16.

Определить,
какие линии определяются следующими
уравнениями:

Изобразить
линии на чертеже.

Решение:

1)

ОДЗ:
,.

Ответ:
часть гиперболы
,
расположенная в верхней полуплоскости.

Ответ: ветвь гиперболы , расположенная в нижней полуплоскости.

_.

Ответ:
Ветвь гиперболы

,
расположенная

в
левой полуплоскости.

Задача
№17.

Уравнение
кривой в полярной системе координат
имеет вид:
.
Найти уравнение кривой в декартовой
прямоугольной системе координат,
определит тип кривой, найти фокусы и
эксцентриситет. Схематично построить
кривую.

Решение.

Воспользуемся
связью декартовой прямоугольной и
полярной системы координат:
;

;
;

;
;

;
;

;
.

Получили
каноническое уравнение эллипса. Из
уравнения видно, что центр эллипса
сдвинут вдоль оси
навправо, большая полуосьa
равна
,
меньшая полуосьравна,
половина расстояния между фокусами
равно1/2.
Эксцентриситет равен.
Фокусыи

y

F₁
F₂

-1 0
½ 1 2

–

Образовательным
результатом после изучения данной темы
является сформированность компонент,
заявленных во введении, совокупности
компетенций (знать, уметь, владеть) на
двух уровнях: пороговый и продвинутый.
Пороговый уровень соответствует оценке
«удовлетворительно», продвинутый
уровень соответствует оценкам «хорошо»
или «отлично» в зависимости от результатов
защиты кейс-заданий.

Для
самостоятельной диагностики данных
компонент вам предлагаются следующие
задания.

Директриса параболы

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Директрисой параболы называют такую прямую, кратчайшее расстояние от которой до любой точки $M$, принадлежащей параболе точно такое же, как и расстояние от этой же точки до фокуса параболы $F$.

Рисунок 1. Фокус и директриса параболы

Основные понятия параболы

Отношение расстояний от точки $M$, лежащей на параболе, до этой прямой и от этой же точки до фокуса $F$ параболы называют эксцентриситетом параболы $ε$.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Чтобы найти эксцентриситет параболы, достаточно воспользоваться следующей формулой из определения эксцентриситета:
$ε =frac{MF}{MM_d}$, где точка $M_d$ – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $M$ c прямой $d$.

Определение 2

Каноническая парабола задается уравнением вида $y^2 = px$, где $p$ обязательно должно быть больше нуля.

Более часто приходится иметь дело с параболой, вершина которой не находится в точке начала координатных осей, и тогда уравнение параболы приобретает следующий вид:

$y = ax^2 + bx + c$, при этом коэффициент $a$ не равен нулю.

Чтобы найти директрису такой параболы, необходимо от такой формы перейти к канонической, ниже в примерах показано, как это сделать.

Расстояние от фокуса до директрисы параболы называется её фокальным параметром $p$.
Уравнение директрисы канонической параболы имеет следующий вид: $x=-p/2$

Алгоритм составления уравнения директрисы параболы, заданной не каноническим уравнением

«Директриса параболы» 👇

Чтобы составить уравнение директрисы параболы, вершина которой не находится на пересечении осей координат, достаточно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Перенесите все слагаемые с $y$ в левую часть уравнения, а с $x$ – в правую.
2. Упростите полученное выражение.
3. Введите дополнительные переменные чтобы прийти к каноническому виду уравнения.

Пример 1

Составьте уравнение директрисы параболы, описанной уравнением $4x^2 + 24 x – 4y + 36 = 0$

1. Переносим все слагаемые с $y$ в левую часть и избавляемся от множителя, получаем:

   $y^2 = x^2 + 6x – y + 9$

2. Приводим в форму квадрата:

   $(x + 3)^2 = y$

3. Вводим дополнительные переменные $t = x + 3$ и $y = z$

4. Получаем следующее уравнение: $t^2 = z$
5. Выражаем $p$ из канонического уравнения параболы, получаем $p = frac{y^2}{2x}$, следовательно, в нашем случае $p = frac{1}{2}$.
6. Уравнение директрисы приобретает следующий вид: $t = -frac{1}{4} cdot t$. Подставляем $t$ и получаем следующее уравнение директрисы $x = -3frac{1}{4}$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 09.12.2022

1. Парабола, её форма, фокус и директриса.

   Начать изучение
   

2. Свойства параболы.

   Начать изучение
   

3. Уравнение касательной к параболе.

   Начать изучение
   

Парабола, её форма, фокус и директриса.

Из уравнения eqref{ref15} вытекает, что для всех точек параболы (x geq 0). Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции (y=ax^{2}). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством (2p=a^{-1}).

Фокусом параболы называется точка (F) с координатами ((p/2, 0)) в канонической системе координат.

Директрисой параболы называется прямая с уравнением (x=-p/2) в канонической системе координат ((PQ) на рис. 8.11).

---

Свойства параболы.

Заметим, что расстояние от точки (M) до директрисы также равно
$$
d=x+frac{p}{2}.nonumber
$$

Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.

Параболе приписывается эксцентриситет (varepsilon=1). В силу этого соглашения формула
$$
frac{r}{d}=varepsilonnonumber
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.

---

Уравнение касательной к параболе.

Выведем уравнение касательной к параболе в точке (M_{0}(x_{0}, y_{0})), лежащей на ней. Пусть (y_{0} neq 0). Через точку (M_{0}) проходит график функции (y=f(x)), целиком лежащий на параболе. (Это (y=sqrt{2px}) или же (y=-sqrt{2px}), смотря по знаку (y_{0}).) Для функции (f(x)) выполнено тождество ((f(x))^{2}=2px), дифференцируя которое имеем (2f(x)f'(x)=2p). Подставляя (x=x_{0}) и (f(x_{0})=y_{0}), находим (f'(x_{0})=p/y_{0}) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_{0}=frac{p}{y_{0}}(x-x_{0}).nonumber
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что (y_{0}^{2}=2px_{0}). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_{0}=p(x+x_{0}).label{ref17}
$$

Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив (y_{0} neq 0), уравнение eqref{ref17} превращается в уравнение (x=0), то есть в уравнение касательной в вершине. Поэтому уравнение eqref{ref17} справедливо для любой точки на параболе.

Заметим, что (|FN|=|FM_{0}|) (см. рис. 8.12).