Как найти дискретизацию по времени

Для удобства
изложения будем считать сигнал

динамическим
сигналом (t
– текущее время),
хотя все ниже приведенные рассуждения
будут справедливы и для статических
сигналов, для которых t
– текущая пространственная координата.

Непрерывный сигнал
может быть преобразован в непрерывный
сигнал дискретного аргумента путем
взятия отсчетов мгновенных значений
(выборок) через интервалы времени,,
и т.д.
(рис.1.5).

Такое преобразование
называют дискретизацией или квантованием
по времени. Полученный в результате
сигнал

называют
квантованным по времени, и он представляет
собой последовательность отсчетов
мгновенных значений, взятых в дискретные
моменты времени.

Интервалы
дискретизации
,,
и т.д. могут
быть различны, хотя с практической точки
зрения их часто берут одинаковыми

,
.
(1.17)

В этом случае
говорят, что дискретизация по времени
производится с постоянным шагом.

Для аналитического
описания процесса дискретизации по
времени используют импульсную функцию
дискретизации
,
которая представляет собой периодическую
последовательность -функций,
то есть:

,
(1.18)

где
– дельта-функция;

k
– номер дельта-функции в последовательности;

– период следования
дельта-функции;

Следует отметить,
что дельта-функция
определяется следующим образом:

(1.19)

причем площадь,
ограниченная -функцией
равна 1, то есть

.
(1.20)

Процесс дискретизации
по времени непрерывного сигнала
может рассматриваться как умножение
этого сигнала на импульсную функцию
дискретизации,
то есть

.
(1.21)

Учитывая то, что
функция
отлична от 0 только в моменты времени,
выражение (1.21) может быть записано в
следующем виде

.
(1.22)

Отсюда следует,
что умножение непрерывного сигнала

на -функцию
приводит к тому, что площадь, ограниченная
-функцией
становиться численно равной значению
сигнала в момент времени
.
Эту площадь обычно называют весом-функции
и он равен мгновенному отсчету сигнала
в момент времени.

Таким образом,
процесс дискретизации по времени
соответствует образованию периодической
последовательности -функций,
вес каждой составляющей которой численно
равен мгновенным значениям сигнала в
момент взятия отсчета.

При практическом
выполнении дискретизации по времени,
естественно, возникает вопрос:

каков должен быть
оптимальный интервал дискретизации
,
чтобы можно было восстановить по
квантованному сигналу
исходный непрерывный сигнал

с достаточной точностью. Действительно,
если интервал дискретизации

будет достаточно велик, это приведет к
большим погрешностям восстанавливаемого
непрерывного сигнала в промежутках
между отсчетами, а если интервал
дискретизации будет мал, то это значительно
увеличит число отсчетов и, следовательно,
увеличиться объем обрабатываемых
данных.

Для
реальных сигналов,
то есть таких сигналов, у которых
длительность (Т)
конечна, максималльная частота в спектре
()
и мощность сигнала ограничены из-за
инерционности и ограниченности по
мощности реальных источников сообщений,
оптимальный интервал дискретизации
может быть определен на основе теоремы
Котельникова (теорема отсчетов),
доказательство которой приведено в Гл.
. Из этой теоремы следует, что непрерывный
сигнал длительностиТ
и не содержащий частот в спектре выше

полностью определяется последовательностью
своих раноотстоящих мгновенных значений,
взятых с интервалом
,
общее число которых не превышаетN,
причем

;
(1.23)

.

Исходный непрерывный
сигнал

может быть
точно восстановлен по квантованному
сигналу
в соответствии с уравнением

,
(1.24)

причем
предварительно квантованный сигнал
должен быть пропущен через фильтр с
верхней границей пропускания равной_.

Дискретизация по
времени является неотъемлемой и
ответственной частью аналого-цифрового
преобразования, нарушения при проведении
которого ёведет к появлению шумов и
погрешностей дискретизации, причем
можно выделить несколько причин их
появления.

Во-первых,
из-за инерционности реальных устройств,
процесс дискретизации по времени
осуществляется ни на основе
последовательности дельта-функций (как
того требует соотношение (1.21)), а на
основе последовательности импульсов
конечной длины
,близким
по форме к прямоугольным. Поэтому
результат дискретизации по времени
можно представить в виде:

.
(1.25)

Различия в спектрах
последовательности -функций
и последовательности конечных импульсов
ведут к искажению спектра квантованного
сигнала

и, как следствие, к искажению
восстанавливаемого непрерывного сигнала
.

Второй причиной
появления шумов и погрешностей является
неограниченность спектра или наличие
в спектре сигнала частот, превышающих
априорно максимальную ().В этом
случае условие теоремы Котельникова
нарушается, и частотные составляющие
непрерывного сигнал
с частотами,
большими половины частоты отсчетов
создают помеху – так называемый «шум
дискретизации».

Еще одна возможность
появления шумов в процессе дискретизации
возникает при дискретизации изображений
или сигналов хотя и с ограниченным
спектром, но зашумленных «белым шумом»,
для которого
.
В этом случае отдельные отсчеты слишком
далеко отстоят друг от друга и они могут
нести в себе вклад как от высоких частот
белого шума, так и от низких частот
исходного сигнала. Это явление носит
название маскировки частот и представляет
собой источник ошибок, присущий только
цифровым системам обработки.

Для устранений
явления маскировки частот и шума
дискретизации необходимо выбирать
интервал дискретизации ()
из наивысшей частоты,
возможной в квантуемом непрерывном
сигнале
.
Кардинальный метод борьбы с этими
явлениями заключается в фильтрации
сигналов до процесса дискретизации по
времени таким образом, чтобы составляющие
с частотами, нарушающие условие теоремы
Котельникова, отсутствовали.

Рассмотренные
методы дискретизации по времени с
постоянным шагом ()
всегда подразумевает априорные сведения
о характеристиках сигнала, в частности.
Эти методы отличаются простотой, так
как нет необходимости регистрировать
моменты взятия отсчетов. Однако
несоответствие интервала дискредитации
()
конкретным текущим характеристикам
квантуемого сообщения или отклонение
этих характеристик от априорных ведет
к избыточности отсчетов.

Наряду с дискретизацией
с постоянным шагом, которую часто еще
называют равномерной дискретизацией,
существует и неравномерная дискретизация,
при которой интервал дискретизации
может изменяться либо по случайному
закону, либо в соответствии с изменениями
характеристик квантуемого сигнала.
Последний вид дискретизации часто
называют адаптивной дискретизацией.
Методы адаптивной дискретизации более
сложны в алгоритмическом смысле и в
технической реализации, однако они
позволяют существенно уменьшить
избыточность отсчетов, что очень важно
при обработке больших потоков информации.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Автор материалов – Лада Борисовна Есакова.

При оцифровке звука в памяти запоминаются только отдельные значения сигнала. Чем чаще записывается сигнал, тем лучше качество записи.

Частота дискретизации f – это количество раз в секунду, которое происходит преобразование аналогового звукового сигнала в цифровой. Измеряется в Герцах (Гц).

Глубина кодирования (а также, разрешение) – это количество бит, выделяемое на одно преобразование сигнала. Измеряется в битах (Бит).

Возможна запись нескольких каналов: одного (моно), двух (стерео), четырех (квадро).

Обозначим частоту дискретизации – f (Гц), глубину кодирования – B(бит), количество каналов – k, время записи – t(Сек).

Количество уровней дискретизации d можно рассчитать по формуле: d = 2^B.

Тогда объем записанного файла V(бит)  = f * B * k * t.

Или, если нам дано количество уровней дискретизации,

V(бит)  = f * log₂d * k * t.

Единицы измерения объемов информации:

1 б (байт) = 8 бит

1 Кб (килобайт) = 2¹⁰ б

1 Мб (мегабайт) = 2²⁰ б

1 Гб (гигабайт) = 2³⁰ б

1 Тб (терабайт) = 2⁴⁰ б

1 Пб (петабайт) = 2⁵⁰ б

При оцифровке графического изображения качество картинки зависит от количества точек и количества цветов, в которые можно раскрасить точку.

Если X – количество точек по горизонтали,

Y – количество точек по вертикали,

I – глубина цвета (количество бит, отводимых для кодирования одной точки), то количество различных цветов в палитре N = 2^I. Соответственно, I = log₂N.

Тогда объем файла, содержащего изображение, V(бит) = X * Y * I

Или, если нам дано количество цветов в палитре, V(бит) = X * Y * log₂N.

Скорость передачи информации по каналу связи (пропускная способность канала) вычисляется как количество информации в битах, переданное за 1 секунду (бит/с).

Объем переданной информации вычисляется по формуле V = q * t, где q – пропускная способность канала, а t – время передачи.

Кодирование звука

Пример 1.

Производится двухканальная (стерео) звукозапись с частотой дискретизации 16 кГц и глубиной кодирования 32 бит. Запись длится 12 минут, ее результаты записываются в файл, сжатие данных не производится. Какое из приведенных ниже чисел наиболее близко к размеру полученного файла, выраженному в мегабайтах?

1) 30               2) 45           3)  75         4)  90

Решение:

V(бит)  = f(Гц)* B(бит) * k * t(Сек),

где V – размер файла, f – частота дискретизации, B – глубина кодирования, k – количество каналов, t – время.

Значит, V(Мб) = (f * B * k * t ) / 2²³

Переведем все величины в требуемые единицы измерения:

V(Мб) = (16*1000 * 32 * 2 * 12 * 60 ) / 2²³

Представим все возможные числа, как степени двойки:

V(Мб) = (2⁴ * 2³ * 125 * 2⁵ * 2 * 2² * 3 * 15 * 2²) / 2²³ = (5625 * 2¹⁷) / 2²³ = 5625 / 2⁶ =

5625 / 64 ≈ 90.

Ответ: 4

!!! Без представления чисел через степени двойки вычисления становятся намного сложнее.

!!! Частота – это физическая величина, а потому 16 кГц = 16 * 1000 Гц, а не 16 * 2¹⁰. Иногда этой разницей можно пренебречь, но на последних диагностических работах она влияла на правильность ответа.

Пример 2.

В те­че­ние трех минут про­из­во­ди­лась четырёхка­наль­ная (квад­ро) зву­ко­за­пись с ча­сто­той дис­кре­ти­за­ции 16 КГц и 24-бит­ным раз­ре­ше­ни­ем. Сжа­тие дан­ных не про­из­во­ди­лось. Какая из при­ве­ден­ных ниже ве­ли­чин наи­бо­лее близ­ка к раз­ме­ру по­лу­чен­но­го файла?

1) 25 Мбайт

2) 35 Мбайт

3) 45 Мбайт

4) 55 Мбайт

Решение:

V(бит)  = f(Гц)* B(бит) * k * t(Сек),

где V – размер файла, f – частота дискретизации, B – глубина кодирования (или разрешение), k – количество каналов, t – время.

Значит, V(Мб) = (f * B * k * t ) / 2²³ = (16 * 1000 * 24 * 4 * 3 * 60) / 2²³ = (2⁴ * 2³ * 125 * 3 * 2³ * 2² * 3 * 15 * 2²) / 2²³ = (125 * 9 * 15 * 2¹⁴) / 2²³ = 16875 / 2⁹ = 32, 96 ≈ 35

Ответ: 2

Пример 3.

Ана­ло­го­вый зву­ко­вой сиг­нал был записан сна­ча­ла с ис­поль­зо­ва­ни­ем 64 уров­ней дис­кре­ти­за­ции сиг­на­ла, а затем с ис­поль­зо­ва­ни­ем 4096 уров­ней дис­кре­ти­за­ции сиг­на­ла. Во сколь­ко раз уве­ли­чил­ся ин­фор­ма­ци­он­ный объем оциф­ро­ван­но­го звука?

            1) 64

2) 8

3) 2

4) 12

Решение:

V(бит)  = f * log₂d * k * t, где V – размер файла, f – частота дискретизации, d – количество уровней дискретизации, k – количество каналов, t – время.

V₁ = f * log₂64 * k * t = f * 6 * k * t

V₂ = f * log₂4096 * k * t = f * 12 * k * t

V₂ / V₁ = 2

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

Кодирование изображения

Пример 4.

Какой минимальный объём памяти (в Кбайт) нужно зарезервировать, чтобы можно было сохранить любое растровое изображение размером 64×64 пикселей при условии, что в изображении могут использоваться 256 различных цветов? В ответе запишите только целое число, единицу измерения писать не нужно.

Решение:

V(бит) = X * Y * log₂N, где V – объем памяти, X,Y – количество пикселей по горизонтали и вертикали, N – количество цветов.

V (Кб) = (64 * 64 * log₂256) / 2¹³ = 2¹² * 8 / 2¹³ = 4

Ответ: 4

Пример 5.

Для хранения растрового изображения размером 64×32 пикселя отвели
1 килобайт памяти. Каково максимально возможное число цветов в палитре изображения?

Решение:

V(бит) = X * Y * log₂N, где V – объем памяти, X,Y – количество пикселей по горизонтали и вертикали, N – количество цветов.

log₂N = V /( X*Y) = 2¹³ / (2⁶ * 2⁵) = 4

N = 16

Ответ:16

Сравнение двух способов передачи данных

Пример 6.

До­ку­мент объ­е­мом 5 Мбайт можно пе­ре­дать с од­но­го ком­пью­те­ра на дру­гой двумя спо­со­ба­ми:

А) Сжать ар­хи­ва­то­ром, пе­ре­дать архив по ка­на­лу связи, рас­па­ко­вать.

Б) Пе­ре­дать по ка­на­лу связи без ис­поль­зо­ва­ния ар­хи­ва­то­ра.

Какой спо­соб быст­рее и на­сколь­ко, если

– сред­няя ско­рость пе­ре­да­чи дан­ных по ка­на­лу связи со­став­ля­ет 2¹⁸ бит в се­кун­ду,

– объем сжа­то­го ар­хи­ва­то­ром до­ку­мен­та равен 80% от ис­ход­но­го,

– время, тре­бу­е­мое на сжа­тие до­ку­мен­та – 35 се­кунд, на рас­па­ков­ку – 3 се­кун­ды?

В от­ве­те на­пи­ши­те букву А, если спо­соб А быст­рее или Б, если быст­рее спо­соб Б. Сразу после буквы на­пи­ши­те ко­ли­че­ство се­кунд, на­сколь­ко один спо­соб быст­рее дру­го­го. Так, на­при­мер, если спо­соб Б быст­рее спо­со­ба А на 23 се­кун­ды, в от­ве­те нужно на­пи­сать Б23. Слов «се­кунд», «сек.», «с.» к от­ве­ту до­бав­лять не нужно.

Решение:

Спо­соб А. Общее время скла­ды­ва­ет­ся из вре­ме­ни сжа­тия, рас­па­ков­ки и пе­ре­да­чи. Время пе­ре­да­чи t рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле t = V / q, где V — объём ин­фор­ма­ции, q — скорость пе­ре­да­чи дан­ных.

Объем сжатого документа: 5 * 0,8 = 4 Мб =4 * 2²³ бит.

Найдём общее время: t = 35 с + 3 с + 4 * 2²³ бит / 2¹⁸ бит/с = 38 + 2⁷ с = 166 с.

Спо­соб Б. Общее время сов­па­да­ет с вре­ме­нем пе­ре­да­чи: t = 5 * 2²³ бит / 2¹⁸ бит/с = 5 * 2⁵ с = 160 с.

Спо­соб Б быст­рее на 166 – 160 = 6 с.

Ответ: Б6

Определение времени передачи данных

Пример 7.

Ско­рость пе­ре­да­чи дан­ных через ADSL─со­еди­не­ние равна 128000 бит/c. Через дан­ное со­еди­не­ние пе­ре­да­ют файл раз­ме­ром 625 Кбайт. Опре­де­ли­те время пе­ре­да­чи файла в се­кун­дах.

Решение:

Время t = V / q, где V — объем файла, q — скорость пе­ре­да­чи дан­ных.

t = 625 * 2¹⁰ байт / (2 ⁷ * 1000) бит/c = 625 * 2¹³ бит / (125 * 2¹⁰) бит/c = 5 * 2³ с = 40 с.

Ответ: 40

Пример 8.

У Васи есть до­ступ к Ин­тер­нет по вы­со­ко­ско­рост­но­му од­но­сто­рон­не­му ра­дио­ка­на­лу, обес­пе­чи­ва­ю­ще­му ско­рость по­лу­че­ния им ин­фор­ма­ции 2¹⁷ бит в се­кун­ду. У Пети нет ско­рост­но­го до­сту­па в Ин­тер­нет, но есть воз­мож­ность по­лу­чать ин­фор­ма­цию от Васи по низ­ко­ско­рост­но­му те­ле­фон­но­му ка­на­лу со сред­ней ско­ро­стью 2¹⁵ бит в се­кун­ду. Петя до­го­во­рил­ся с Васей, что тот будет ска­чи­вать для него дан­ные объ­е­мом 4 Мбай­та по вы­со­ко­ско­рост­но­му ка­на­лу и ре­транс­ли­ро­вать их Пете по низ­ко­ско­рост­но­му ка­на­лу. Ком­пью­тер Васи может на­чать ре­транс­ля­цию дан­ных не рань­ше, чем им будут по­лу­че­ны пер­вые 512 Кбайт этих дан­ных. Каков ми­ни­маль­но воз­мож­ный про­ме­жу­ток вре­ме­ни (в се­кун­дах), с мо­мен­та на­ча­ла ска­чи­ва­ния Васей дан­ных, до пол­но­го их по­лу­че­ния Петей? В от­ве­те ука­жи­те толь­ко число, слово «се­кунд» или букву «с» до­бав­лять не нужно.

Решение:

Нужно опре­де­лить, сколь­ко вре­ме­ни будет пе­ре­да­вать­ся файл объ­е­мом 4 Мбай­та по ка­на­лу со ско­ро­стью пе­ре­да­чи дан­ных 2¹⁵ бит/с; к этому вре­ме­ни нужно до­ба­вить за­держ­ку файла у Васи (пока он не по­лу­чит 512 Кбайт дан­ных по ка­на­лу со ско­ро­стью 2¹⁷ бит/с).

Время скачивания дан­ных Петей: t₁= 4*2²³ бит / 2¹⁵ бит/с = 2¹⁰ c.

Время за­держ­ки: t₂ = 512 кб / 2¹⁷ бит/с = 2^{(9 + 10 + 3) – 17} c = 2⁵ c.

Пол­ное время: t₁ + t₂ = 2¹⁰ c + 2⁵ c = (1024 + 32) c = 1056 c.

Ответ: 1056

Пример 9.

Данные объемом 60 Мбайт передаются из пункта А в пункт Б по каналу связи, обеспечивающему скорость передачи данных 2¹⁹ бит в секунду, а затем из пункта Б в пункт В по каналу связи, обеспечивающему скорость передачи данных 2²⁰ бит в секунду. Задержка в пункте Б (время между окончанием приема данных из пункта А и началом передачи в пункт В) составляет 25 секунд. Сколько времени (в секундах) прошло с момента начала передачи данных из пункта А до их полного получения в пункте В? В ответе укажите только число, слово «секунд» или букву «с» добавлять не нужно.

Решение:

Полное время складывается из времени передачи из пункта А в пункт Б (t₁), задержки в пункте Б (t2) и времени передачи из пункта Б в пункт В (t₃).

t₁ = (60 * 2²³) / 2¹⁹ =60 * 16 = 960 c

t₂ = 25 c

t₃ = (60 * 2²³) / 2²⁰ =60 * 8 = 480 c

Полное время t₁ + t₂ +t₃ = 960 + 25 + 480 = 1465 c

Ответ: 1465

1