Как найти дискриминант квадратного уравнения объяснение

Решение квадратных уравнений

6 июля 2011

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x² − 8x + 12 = 0;
2. 5x² + 3x + 7 = 0;
3. x² − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x² = 0;
3. x² + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x² = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)² − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

[begin{align} & {{x}_{1}}=frac{2+sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=-5; \ & {{x}_{2}}=frac{2-sqrt{64}}{2cdot left( -1 right)}=3. \ end{align}]

Наконец, третье уравнение:
x² + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12² − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

[x=frac{-12+sqrt{0}}{2cdot 1}=-6]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x² + 9x = 0;
2. x² − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax² = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax² + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x² и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax² + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 7x = 0;
2. 5x² + 30 = 0;
3. 4x² − 9 = 0.

x² − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x₁ = 0; x₂ = −(−7)/1 = 7.

5x² + 30 = 0 ⇒ 5x² = −30 ⇒ x² = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x² − 9 = 0 ⇒ 4x² = 9 ⇒ x² = 9/4 ⇒ x₁ = 3/2 = 1,5; x₂ = −1,5.

Смотрите также:

1. Теорема Виета
2. Следствия из теоремы Виета
3. Тест на тему «Значащая часть числа»
4. Метод коэффициентов, часть 1
5. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
6. Задача B4: строительные бригады

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Дискриминант
квадратного уравнения

Поддержать сайт

В 8 классе по алгебре начинают изучать квадратные уравнения и самый популярный способ их решения –  через дискриминант. Формула вычисления дискриминанта известна

   

Дискриминант в математике используется чтобы определить сколько корней в уравнении — 1 корень, 2 корня или действительных корней нет. В этой статье определим, что такое дискриминант и выведем формулу дискриминанта.

Определение

Определим что такое дискриминант и зачем он нужен в математике, а также как его рассчитать.

Дискриминантом называют число, описывающее свойство коэффициентов квадратного многочлена. Хотя есть дискриминанты и кубических многочленов.

По этому числу определяют характер корней уравнения, полученному если многочлен приравнять к нулю. Так, если дискриминант больше нуля, то уравнение будет иметь два корня, равен нулю, то 1 корень, а если будет меньше нуля, то корней не будет.

Дискриминант (определение) помогает определить наличие или отсутствие корней квадратного уравнения, не решая его.

Обозначается дискриминант квадратного уравнения буквой или знаком Δ. И находится по формуле:

D=b^2-4ac , где

, и  — коэффициенты уравнения:

ax^2+bx+c=0

Корни через дискриминант определяются по формулам:

displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}

Пример вычисления дискриминанта:

Вычислим дискриминант в уравнении 6x^2+4x+2=0 .

По формуле находим:

D=b^2-4ac=4^2-4cdot 6 cdot 2=16-48=-32

Мы получили отрицательный дискриминант, значит, данное уравнение не имеет действительных корней. Действительно, так как корни квадратного уравнения находят по формулам:

displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}

Подставим значения для исходного уравнения:

displaystyle x_1=frac{-4-sqrt{-32}}{12} и displaystyle x_2=frac{-4+sqrt{-32}}{12}

Как видим, мы никак не сможем посчитать корни — у нас отрицательное число под знаком радикала. И, действительно, если вы построите график функции f (x)=6x^2+4x+2 — он нигде не пересечет ось , то есть ни при каком мы не получим ноль.

Геометрический смысл дискриминанта

Что означает дискриминант на графике, каков его геометрический смысл? Графически дискриминант квадратного уравнения характеризует расстояние по оси абсцисс между точкой — вершиной параболы (парабола — график квадратичной функции) и точкой пересечения графика с осью абсцисс. Посмотрите на рисунок. На нем видно:

1. Если дискриминант равен нулю (D=0), это значит, что вершина параболы и является точкой пересечения с осью абсцисс — расстояние между точкой пересечения и вершиной параболы равно нулю.
2. Когда D>0, то справа и слева от точки абсцисс вершины параболы на одинаковом расстоянии displaystyle frac{sqrt{D}}{2a} будут находиться точки пересечения параболы ax^2+bx+c=y, которые являются корнями уравнения ax^2+bx+c=0.
3. Когда D<0 — это означает, что точек действительных отметить на оси абсцисс нельзя, то есть от вершины отложить расстояние до точек пересечения графика с осью абсцисс невозможно, то есть этих точек пересечения нет. График не пересекает ось абсцисс и корней уравнения [katex]ax^2+bx+c=0[/katex] нет.

Корни квадратного уравнения через дискриминант.

Полное квадратное уравнение

Пусть нам дано уравнение вида ax^2+bx+c=0. Вычисляем дискриминант по известной формуле. Затем определяем корни уравнения.

1. Если D>0 получаем два вещественных корня displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}.
2. Если D=0 корни будут совпадать: displaystyle x_1=x_2=frac{-b}{2a}
3. Если D<0, вещественных корней нет, но есть мнимые корни или так называемые комплексные корни (обычно изучаются в курсе математического анализа в ВУЗах, хотя иногда и встречаются в алгебре 9-11 классов).

Неполное квадратное уравнение

Неполным называется такое квадратное уравнение, когда один из коэффициентов такого уравнения равен нулю.

1. Пусть коэффициент a=0, тогда уравнение сводится к линейному уравнению вида kx+b=0 и уже не будет считаться неполным.
2. Если равны нулю два коэффициента: и , тогда . Решением такого уравнения будет: .
3. Если равен нулю коэффициент b, то имеем D=-4ac и displaystyle x_1= frac{sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2= -frac{sqrt{D}}{2a}.
4. При равенстве нулю свободного члена c=0 имеем D=b^2 и displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}.

Приведенное квадратное уравнение

Приведенным квадратным уравнением называется такое уравнение вида , в котором старший коэффициент равен a=1. Оно решается обычно по теореме Виета.

Дискриминант находится по формуле: .

Если второй коэффициент кратен 2

Если коэффициент b можно разделить на 2 (с четным вторым коэффициентом), то тогда вычисляется не полный дискриминант, а displaystyle frac{D}{4} по формуле:

displaystyle frac{D}{4}=left ( frac{b}{2} right)^2-ac,

а корни: displaystyle x_1=frac{-frac{b}{2}-sqrt{frac{D}{4}}}{a} и второй корень displaystyle x_2=frac{-frac{b}{2}+sqrt{frac{D}{4}}}{a}.

Примеры нахождения корней уравнения с помощью дискриминанта

Пример 1

Решим уравнение: 4x^2+5x-5=0

Находим дискриминант: D=25-4 cdot 4 cdot (-5)=25+80=105

Пример 2

Сколько корней в данном уравнении 2x^2-3x+6=0?

Для ответа на этот вопрос необходимо найти дискриминант:

D=3^2-4 cdot 2 cdot 6=9-48=-39
D<0[/katex] — действительных корней нет.</p> <h3>Пример 3</h3> <p>[katex]x^2-6x-72=0 — найти корень.
D=b^2-4ac=(-6)^2-4 cdot (-72)=36+288=324

Так как , имеем два корня:

displaystyle x_1=frac{6-sqrt{324}}{2},      x_2=frac{6+sqrt{324}}{2}
displaystyle x_1=frac{6-18}{2}=-6,      x_2=frac{6+18}{2}=12   

Пример 4

Решить неполное уравнение

x^2-4=0

Способ 1

Разложим левую часть по формуле разность квадратов:

(x-2)(x+2)=0

Тогда корни:

x_1=-2,  x_2=2

Способ 2

Решим задачу с помощью дискриминанта: , тогда displaystyle x_1=sqrt{D}/2=sqrt{16}/2=4/2=2,

displaystyle x_2=-sqrt{D}/2=-sqrt{16}/2=-4/2=-2

Пример 5

Придумайте такое квадратное уравнение, в котором будет нулевой дискриминант.

Решение:

Так как формула дискриминанта: D=b^2-4ac, то выберем любые коэффициенты и , а найдем, если приравняем D=b^2-4ac к нулю.

Пусть , a , тогда displaystyle D=4^2-4cdot 7cdot c=0
4^2-4cdot 7cdot c=0
16-28c=0
-28c=-16 Разделим левую и правую части на -4.

7c=4
displaystyle c=frac{4}{7}

И, получаем: displaystyle 7x^2+4x+frac{4}{7}=0

Ответ: displaystyle 7x^2+4x+frac{4}{7}=0

Выводы

Самое важное, что надо запомнить, это формулу:

D=b^2-4ac

и как определяются корни квадратного уравнения:

displaystyle x_1=frac{-b-sqrt{D}}{2a} и displaystyle x_2=frac{-b+sqrt{D}}{2a}

Можно забыть, как определяются корни в разных видах квадратных уравнений, неполных, приведенных, но если вы знаете главное — как определяется дискриминант и корни в полном квадратном уравнении, то вы сможете решить любое уравнение второй степени.

Доброго времени суток, дорогие любители математики! Предлагаю Вам сегодня еще раз разобраться, как решать квадратные уравнения. Думаю, для многих читателей данный вопрос покажется простым, но сможете ли Вы навскидку назвать семь способов? А их, конечно, больше! Думаю, другие способы вспомните в комментариях.

Кстати, о комментариях! Там я часто вижу вопрос: «Почему Вы игнорируете формулы Виета?». Мне кажется, что на широкую аудиторию стоит транслировать наиболее простой способ — решение через дискриминант. Он понятный, его все помнят, а значит смогут разобраться в решении [и дочитают статью ;)].

Всем известно, что квадратное уравнение имеет вид:

Коэффициенты a, b и c здесь — это некоторые числа, а x — неизвестная. Для решения квадратного уравнения придумали общие формулы, понятные и простые.

Способ первый. Дискриминант.

Для решения квадратного уравнения через дискриминант его нужно вычислить:

А затем найти корни:

Все супер просто! Берем числа, получаем результат.

Пример:

Способ первый с половиной. Дискриминант, деленный на четыре.

Существует еще одна формула — для случая, когда второй коэффициент четный. Выведем ее:

Как видите, для четного коэффициента двойка будет всегда сокращаться, поэтому говорят о дискриминанте, деленном на четыре:

А корни будут находиться по такой формуле:

Проверим на нашем примере:

Корни сошлись, работает!

Способ второй. Выделение полного квадрата.

Формулы для дискриминанта очень занятные, но откуда они взялись?

Вернемся к началу:

Поделим все уравнение на a:

А дальше начнем шаманить. Мы хотим собрать полный квадрат по формуле сокращенного умножения:

В нашем уравнении на первом месте стоит x². На втором должно находиться удвоенное произведение. Создадим двойку искусственно, умножив и поделив на нее одномоментно:

Теперь у нас есть произведение двойки, x и некоторого числа. Для того чтобы получить формулу квадрата суммы прибавим это “некоторое число” в квадрате и сразу вычтем, дабы сумма не изменилась:

Все готово для формулы сокращенного умножения:

Перенесем все числа в правую часть:

Приведем к общему знаменателю:

Извлечем корень [считаем, что мы можем это сделать]:

Выразим икс и посмотрим, что же у нас получилось:

Да это же и есть формула из предыдущего способа!

Рассмотрим на примере:

Нам повезло и здесь двойка уже есть в наличии. Выделим полный квадрат:

Соберем полный квадрат:

Согласитесь, в числах выглядит гораздо проще и приятнее! Двигаемся дальше.

Способ третий. Разложение на множители.

Тут даже не буду пытаться сделать общие выкладки. Просто берем и раскладываем, как учили в восьмом классе.

Добавим «лишний» икс, получится:

Из первых двух слагаемых вынесем икс, из оставшихся — минус:

Вынесем за скобки общий множитель:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

Просто и надежно!

Способ четвертый. Формулы Виета.

Мы можем разложить квадратное уравнение на множители (как в прошлом способе). Получим такую картину:

Раскроем скобки:

Получили соответствие коэффициентам исходного уравнения:

Или, в привычном виде:

Удобнее всего пользоваться этими формулами, когда a = 1.

Приведем пример:

Здесь все еще можно воспользоваться дискриминантом, но вычисления будут некрасивые. Поэтому запишем формулы Виета:

Осталось подобрать корни. Для этого разложим 98 на множители:

Если первый способ разложения ничего не дает [ 2 + 49 = 51 ≠ 21]. То второй вариант дает нам корни:

Нахождение корней уравнения по формулам Виета — это простой и быстрый способ, всем рекомендую!

Способ пятый. Метод переброски.

Данный способ — эффективная модификация предыдущего способа для случая, когда a ≠ 1. Возьмем квадратное уравнение в общем виде:

И умножим все на a:

Введем замену:

Получим новое квадратное уравнение:

Таким образом мы как бы перебросили a к c. Теперь корни легко найдутся по формулам Виета. А для того, чтобы найти корни исходного уравнения, поделим найденные корни на a:

Приведем пример:

Произведем переброску:

О, а эти корни мы уже знаем:

Найдем иксы:

На мой взгляд, неплохо. Для участников олимпиад — обязательно к изучению.

Способ шестой. По свойствам коэффициентов.

Здесь все просто. Нужно запомнить, если:

То корни будут:

При этом второй корень мы нашли по формулам Виета.

И второе важное свойство, если:

То корни:

Список свойств не исчерпывающий, но другие свойства сильно сложнее, поэтому не будем их приводить.

В этот раздел также можно отнести старый добрый подбор корней.

Пример:

Здесь уже никакими дискриминантам и перебросками не поможешь. Но если заметить, что:

То сразу запишем:

Способ седьмой. Графический.

Есть два возможных варианта решения и оба имеют не очень хорошую точность. Во-первых, можно представить квадратное уравнение в виде:

И изобразить на координатной плоскости два графика: параболу и прямую.

Приведем пример:

Изобразим графики:

Получаем корни:

Конечно, график построенный автоматически позволяет достаточно точно углядеть корни. Но если у вас под рукой компьютер, то легче будет воспользоваться калькулятором и посчитать их. А вот изобразив график на бумаге определить корни будет сложно.

Разберем еще один графический вариант решения. На этот раз с помощью окружности.

Возьмем на оси абсцисс точки B ( x₁ ; 0 ) и C ( x₂ ; 0 ).

Посередине, между этими точками, будет находиться точка F, с координатами:

По формулам Виета:

На оси ординат возьмем точки A ( 0 ; 1 ) и D ( 0 ; c / a ). Посередине между ними будет находиться точка:

Точка S будет центром окружности:

Пусть O начало координат. Тогда OB · OC=OA · OD :

Таким образом для x₁ и x₂ выполняются формулы Виета.

Приведем пример:

Центр окружности будет иметь координаты:

Проведем окружность через точку A ( 0 ; 1 ) :

Получаем точки B ( 2 ; 0 ) и C ( 3 ; 0 ). А значит:

Как видите — способ рабочий, но опять же требует точности, которую на бумаге получить достаточно трудно.

Существует еще способ решения с помощью номограммы. Про него говорят “незаслуженно забытый”. Но на мой взгляд он забыт абсолютно заслуженно, так как преимуществ у него особых нет, а понять его сложнее, чем решение через дискриминант.

На практике я чаще всего использую формулы Виета и дискриминант. А какими способами пользуетесь Вы?

Спасибо за внимание и удачи!

Если вам понравилась статья, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!