Как найти дисперсию дискретной случайной величины пример - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как найти дисперсию?

Лучшее спасибо – порекомендовать эту страницу

Дисперсия – это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая – значения сравнительно близки друг к другу, если большая – далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).

Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии – среднеквадратическое отклонение $sigma(X)=sqrt{D(X)}$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.

Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: “Дисперсия – это второй центральный момент случайной величины” (напомним, что первый начальный момент – это как раз математическое ожидание).

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично

Формула дисперсии случайной величины

Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле:
$$
D(X)=M(X-M(X))^2,
$$
которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$

Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.

Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$), то формула принимает вид:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2.
$$
Если же речь идет о непрерывной случайной величине (заданной плотностью вероятностей $f(x)$ в общем случае), формула дисперсии Х выглядит следующим образом:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx – left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$

Пример нахождения дисперсии

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить и сравнить дисперсию двух законов распределения:
$$
x_i quad 1 quad 2 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$
и
$$
y_i quad -10 quad 10 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$

Для убедительности и наглядности расчетов мы взяли простые распределения с двумя значениями и одинаковыми вероятностями. Но в первом случае значения случайной величины расположены рядом (1 и 2), а во втором – дальше друг от друга (-10 и 10). А теперь посмотрим, насколько различаются дисперсии:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2 =\
= 1^2cdot 0.5 + 2^2 cdot 0.5 – (1cdot 0.5 + 2cdot 0.5)^2=2.5-1.5^2=0.25.
$$
$$
D(Y)=sum_{i=1}^{n}{y_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{y_i cdot p_i} right)^2 =\
= (-10)^2cdot 0.5 + 10^2 cdot 0.5 – (-10cdot 0.5 + 10cdot 0.5)^2=100-0^2=100.
$$
Итак, значения случайных величин различались на 1 и 20 единиц, тогда как дисперсия показывает меру разброса в 0.25 и 100. Если перейти к среднеквадратическому отклонению, получим $sigma(X)=0.5$, $sigma(Y)=10$, то есть вполне ожидаемые величины: в первом случае значения отстоят в обе стороны на 0.5 от среднего 1.5, а во втором – на 10 единиц от среднего 0.

Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной дискретным рядом распределения:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Снова используем формулу для дисперсии дискретной случайной величины:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$
В случае, когда значений много, удобно разбить вычисления по шагам. Сначала найдем математическое ожидание:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Потом математическое ожидание квадрата случайной величины:
$$
M(X^2)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}
= (-1)^2cdot 0.1 + 2^2 cdot 0.2 +5^2cdot 0.3 +10^2cdot 0.3+20^2cdot 0.1=78.4.
$$
А потом подставим все в формулу для дисперсии:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=78.4-6.8^2=32.16.
$$
Дисперсия равна 32.16 квадратных единиц.

Пример 3. Найти дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины Х, заданному плотностью $f(x)=x/18$ при $x in(0,6)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для расчета формулу дисперсии непрерывной случайной величины:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx – left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$
Вычислим сначала математическое ожидание:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x^2}{18} dx =
left.frac{x^3}{54} right|_0^6=frac{6^3}{54} = 4.
$$
Теперь вычислим
$$
M(X^2)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x^3}{18} dx = left.frac{x^4}{72} right|_0^6=frac{6^4}{72} = 18.
$$
Подставляем:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=18-4^2=2.
$$
Дисперсия равна 2.

Другие задачи с решениями по ТВ

Подробно решим ваши задачи на вычисление дисперсии

Вычисление дисперсии онлайн

Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

Введите число значений случайной величины К.
Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
Нажмите на кнопку “Вычислить”.
Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$ и затем искомое значение дисперсии $D(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Лучшее спасибо – порекомендовать эту страницу

Полезные ссылки

Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей – онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала – еще примеры решений задач по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Источник

Дисперсия и ее свойства.
Среднее квадратическое отклонение

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Дисперсия и формула для ее вычисления

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. M[X-M(X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, то есть вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией называется
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины

от

Для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Для вычисления дисперсии
на практике удобно пользоваться следующей формулой:

Свойства дисперсии

Свойство 1.

Дисперсия равна разности между
математическим ожиданием квадрата случайной величины

и
квадратом ее математического ожидания.

Свойство 2.

Дисперсия константы
равна нулю:

Свойство 3.

Постоянный множитель
выносится из-под знака дисперсии в квадрате:

Свойство 4.

Дисперсия суммы
случайных величин:

где

–
ковариация случайных величин

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Следствия из свойств дисперсии.

В частности, если

независимы, то

Прибавление константы

в
случайной величине не меняет ее дисперсии:

Дисперсия разности равна сумме дисперсий:

Среднеквадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Стандартное (среднее
квадратичное) отклонение случайной величины

определяется
как корень из дисперсии и обозначается

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то ее размерность совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается в линейных метрах, то среднее квадратичное отклонение X будет выражаться также в линейных метрах, a дисперсия X – в квадратных метрах.

Смежные темы решебника:

Математическое ожидание и его свойства
Дискретная случайная величина
Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

Пример 1

В коробке 20 конфет, из которых 4 с
вареньем. Х – число конфет с вареньем среди двух случайно выбранных. Найти
дисперсию случайной величины Х.

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Случайная
величина

– число конфет с вареньем, может принимать
значения 0,1,2

Найдем
соответствующие вероятности:

Проверка:

Получаем
следующий закон распределения СВ

Математическое
ожидание:

Дисперсию
можно вычислить по формуле:

Искомая
дисперсия:

Пример 2

Даны
законы распределения независимых случайных величин X и Y:

Найти
закон распределения суммы (X+Y). Проверить равенство D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Распределение суммы

Окончательно получаем:

	2	3	4	Итого
	0.2	0.5	0.3	1

Вычислим математические ожидания:

Вычислим
дисперсии:

Проверим
равенство

Равенство
выполняется.

Пример 3

Вероятность
изготовления бракованной детали на первом станке составляет 3%, на втором
станке 5%. На первом станке было изготовлено 20 деталей, на втором 40 деталей.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей.

Решение

Математическое
ожидание биномиального распределения:

Дисперсия:

Математическое
ожидание величины

– числа бракованных деталей на 1-м станке:

Дисперсия:

Математическое
ожидание величины

– числа бракованных деталей на 2-м станке:

Дисперсия:

Математическое
ожидание числа бракованных деталей:

Дисперсия
числа бракованных деталей:

Ответ:

;

Пример 4

Случайные
величины X,Y распределены по закону
Пуассона. Найдите M{(X+Y)²}, если M(X)=40 и
M(Y)=70, а коэффициент корреляции X и Yравен 0,8.

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Поскольку
случайные величины

распределены по закону Пуассона и известны их
математические ожидания, соответствующие дисперсии равны:

Пользуясь
свойствами математического ожидания и дисперсии:

Подставляя
числовые значения, получаем:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Независимые случайные величины X и Y
заданы следующими законами:

x	2.3	2.5	2.7	2.9
p	0.4	0.3	0.2	0.1

Укажите
законы распределения случайной величины X+Y, X-Y и найдите их
математическое ожидание и дисперсию.

Задача 2

Найти
дисперсию, математическое ожидания, среднекваратическое отклонение ДСВ X,
заданной законом распределения.

x	-5	2	3	4
p	0,4	0,3	0,1	0,2

Написать F(x) и построить ее график.

Задача 3

Случайная
величина X имеет плотность вероятности

Требуется
найти дисперсию D_x.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 4

Вероятность
того, что прибор исправен, равна 0,8. X – число исправных приборов
из двух выбранных. Найти дисперсию случайной величины X.

Задача 5

Случайные
величины X и Y независимы. Найти
дисперсию случайной величины Z=2X+3Y, если известно, что D(X)=4, D(Y)=5.

Задача 6

Найти
дисперсию дискретной случайной величины X – числа отказов элемента
некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа
элемента в каждом опыте равна 0,9.

Задача 7

Дискретная
случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₂>x₁. Вероятность того, что X
примет значение x₁, равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если
математическое ожидание и дисперсия известны: M(X)=1,4; D(X)=0,24.

Задача 8

Закон
распределения случайной величины ξ имеет вид:

ξ	-1	2	3	5
P	1/4	1/2	1/8	1/8

Найти функцию распределения случайной величины ξ,
вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение. Вычислить вероятность P{5⁄2<ξ<5}.

Задача 9

Дискретная
случайная величины X принимает лишь два значения. Большее из значений 3
она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной
величины D(X)=6. Найти математическое
ожидание случайной величины.

Задача 10

Найти
дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины X,
заданному плотностью вероятности

при

в остальных точках.

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

Числовые характеристики распределения вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение

Закон распределения дискретной случайной величины
Математическое ожидание
Дисперсия
Среднее квадратичное отклонение
Правило трёх сигм
Примеры

п.1. Закон распределения дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между полученными на опыте значениями этой величины X= {x_i} и их вероятностями p_i = P(x_i).
При этом сумма всех вероятностей равна 1: (mathrm{sum_{i=1}^n p_i=1})
Закон распределения можно задать таблицей, графиком или аналитически (в виде формулы).

Например:
Закон распределения случайной величины X = {0;1;2;3}, равной числу выпадения орлов при 3 бросках монеты, аналитически задаётся формулой: $$ mathrm{ p_i=P(x_i)=P_3(i)=frac{C_3^{i}}{2^3}, i={0;1;2;3} } $$

В табличном виде:

x_i	p_i
0	1/8
1	3/8
2	3/8
3	1/8

В виде графика:

п.2. Математическое ожидание

Математическое ожидание дискретной случайной величины X = {x_i} равно сумме произведений всех возможных значений x_i на соответствующие вероятности p_i: $$ mathrm{ M(X)=x_1p_1+x_2p_2+…+x_{n}p_{n}=sum_{i=1}^n x_{i}p_{i} } $$ Математическое ожидание является средним значением величины X.

Свойства математического ожидания
1) Размерность математического ожидания равна размерности случайной величины.
2) Математическое ожидание может быть любым действительным числом: положительным, равным 0, отрицательным.
3) Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:

M(C) = C

4) Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме математических ожиданий:

M(X + Y) = M(X) + M(Y)

5) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий:

M(XY) = M(X) · M(Y)

6) Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:

M(CX) = C · M(X)

Например:
Пусть в результате экспериментов получено следующее распределение случайной величины X – числа появления белых шаров (см. пример 1, §40 данного справочника):

Число белых шаров, x_i	0	1	2	3	4	5
p_i	(mathrm{C_5^0q^5})	(mathrm{C_5^1pq^4})	(mathrm{C_5^2p^2q^3})	(mathrm{C_5^3p^3q^2})	(mathrm{C_5^4p^4q})	(mathrm{C_5^5p^5})
0,0074	0,0618	0,2060	0,3433	0,2861	0,0954

Найдём математическое ожидание для данного распределения:

M(X) = 0 · 0,0074 + 1 · 0,0618 + … + 5 · 0,0954 = 3,125

п.3. Дисперсия

Дисперсия дискретной случайной величины X = {x_i} – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $$ mathrm{ D(X)=M(X-M(X))^2 } $$ На практике дисперсия рассчитывается по формуле: $$ mathrm{ D(X)=M(X)^2-M^2(X)=sum_{i=1}^n x_i^2p_i-M^2(X) } $$

Свойства дисперсии
1) Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины.
2) Дисперсия может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(C) = 0

4) Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий:

D(X + Y) = D(X) + D(Y)

5) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии:

D(CX) = C² · D(X)

Например:
Продолжим исследование и найдём дисперсию для распределения случайной величины X – числа появления белых шаров. Составим расчётную таблицу:

p_i

0,0074

0,0618

0,2060

0,3433

0,2861

0,0954

x_ip₁

0,0618

0,4120

1,0300

1,1444

0,4768

3,125

(mathrm{x_i^2})

–

(mathrm{x_i^2p_i})

0,0618

0,8240

3,0899

4,5776

2,3842

10,9375

Получаем: D(X) = 10,9375 – 3,125² ≈ 1,1719.

п.4. Среднее квадратичное отклонение

Среднее квадратичное отклонение (СКО) дискретной случайной величины X = {x_i} – это корень квадратный от дисперсии: $$ mathrm{ sigma(X)=sqrt{D(X)} } $$ СКО характеризует степень отклонения случайной величины от среднего значения.

Свойства СКО
1) Размерность СКО равна размерности случайной величины.
2) СКО может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) СКО постоянной величины равно нулю:

σ(C) = 0

4) Постоянный множитель можно вынести за знак СКО:

σ(CX) = C · σ(X)

п.5. Правило трёх сигм

Большое количество случайных величин, измеряемых в экспериментах (например, в школьных лабораторных работах), имеет так называемое нормальное распределение.
В частности, при больших n, биномиальное распределение можно с хорошей точностью описывать как нормальное с M(X) = np и (mathrm{sigma(X)=sqrt{npq}}).
График плотности нормального распределения p(x) похож на колокол, с максимумом, соответствующим M(X) = X_cp – среднему значению измеряемой величины.

Величина СКО σ(X) характеризует степень отклонения X от среднего значения M(X).

Если величина X имеет нормальное распределение, то в пределах
±σ лежит 68,26% значений, принимаемых этой величиной
±2σ лежит 95,44% значений, принимаемых этой величиной
±3σ лежит 99,72% значений, принимаемых этой величиной
Вероятность того, что нормально распределённая величина примет значение, отклоняющееся от среднего больше, чем на «три сигмы», равна 0,28%, т.е. пренебрежимо мала.

п.6. Примеры

Пример 1. Найдите математическое ожидание, дисперсию и СКО при бросании кубика.

Закон распределения величины X – очки на верхней грани при бросании кубика и расчётная таблица:

p_i

1/6

x_ip₁

1/6

1/3

1/2

2/3

5/6

3,5

(mathrm{x_i^2})

–

(mathrm{x_i^2p_i})

(mathrm{frac16})

(mathrm{frac23})

(mathrm{1frac12})

(mathrm{2frac23})

(mathrm{4frac16})

(mathrm{15frac16})

Получаем: begin{gather*} mathrm{ M(X)=sum_{i=1}^6 x_ip_i=3,5 }\ mathrm{ D(X)=sum_{i=1}^6 x_i^2p_i-M^2(X)=15frac16-3,5^3=2frac{11}{12} }\ mathrm{ sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{2frac{11}{12}}approx 1,7 } end{gather*} Ответ: (mathrm{M(X)=3,5; D(X)=2frac{11}{12}; sigma(X)approx 1,7}).

Пример 2*. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО суммы очков при бросании двух кубиков.

Используем свойства мат.ожиданий и дисперсий.
Пусть X – очки на первом кубике, Y – на втором.
Параметры распределения для каждого из кубиков рассчитаны в примере 1.
(mathrm{M(X)=M(Y)=3,5, D(X)=D(Y)=2frac{11}{12}}).
Для суммы очков получаем:
(mathrm{M(X+Y)=M(X)+M(Y)=3,5+3,5=7})
(mathrm{D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2frac{11}{12}+2frac{11}{12}=5frac56})
(mathrm{sigma(X+Y)=sqrt{D(X+Y)}=sqrt{5frac56}approx 2,4})
Ответ: (mathrm{M(X+Y)=7; D(X+Y)=5frac56; sigma(X+Y)approx 2,4}).

Пример 3*. Докажите, что в опытах по схеме Бернулли математическое ожидание M(X)=np, а дисперсия D(X)=npq.

Проведем один опыт. В нём может быть только два исхода: «успех» и «неудача».
Составим расчётную таблицу:

(mathrm{x_i^2p_i})

Мат.ожидание первого опыта (mathrm{M(X)=sum x_ip_i=p}).
Общее число успехов при n опытах складывается из числа успехов при каждом опыте, т.е. (mathrm{X=X_1+X_2+…+X_n}). Все опыты между собой независимы.
По свойству мат.ожидания суммы независимых событий: begin{gather*} mathrm{ M(X)=M(X_1+X_2+…+X_n)=M(X_1)+M(X_2)+…+M(X_n)= }\ mathrm{=underbrace{p+p+…+p}_{n text{раз}}=np } end{gather*} Дисперсия первого опыта (mathrm{D(X)=sum x_i^2p_i-M(X)=p-p^2=p(1-p)=pq})
По свойству дисперсии суммы независимых событий: begin{gather*} mathrm{ D(X)=D(X_1+X_2+…+X_n)=D(X_1)+D(X_2)+…+D(X_n)= }\ mathrm{=underbrace{pq+pq+…+pq}_{n text{раз}}=npq } end{gather*} Что и требовалось доказать.

Пример 4. 100 канцелярских кнопок высыпали на стул. Вероятность, что кнопка упала острием вверх, равна 0,4. Найдите среднее количество, дисперсию и СКО для числа кнопок, упавших острием вверх. Найдите интервал оценки для количества этих кнопок по правилу «трёх сигм».

По условию n = 100, p = 0,4.
Для каждой кнопки может быть два исхода: упасть острием вверх или вниз.
Таким образом, это испытание Бернулли с биномиальным распределением случайной величины. begin{gather*} mathrm{ M(X)=np=100cdot 0,4=40 }\ mathrm{D(X)=npq=100cdot 0,4cdot 0,6=24 }\ mathrm{sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{24}approx 4,9} end{gather*} Интервал оценки «три сигмы»: begin{gather*} mathrm{ M(X)-3sigma(X)lt Xlt M(X)+3sigma(X) }\ mathrm{40-3cdot 4,9lt Xlt 40+3cdot 4,9 }\ mathrm{25,3lt Xlt 54,7}\ mathrm{26leq Xleq 54} end{gather*} Скорее всего (99,7%), от 26 до 54 кнопок будут острием вверх.
Ответ: (mathrm{M(X)=40; D(X)=24; sigma(X)approx 4,9; 26leq Xleq 54})

Пример 5*. В тесте 10 задач с 4 вариантами ответов. Ответы выбираются наугад. Постройте распределение величины X = «количество угаданных ответов», найдите числовые характеристики этого распределения.
Найдите интервал оценки для количества угаданных ответов по правилу «трёх сигм».
Какова вероятность угадать хотя бы 1 ответ? Хотя бы 5 ответов? Угадать все 10 ответов?

По условию: (mathrm{n=10, p=frac14, q=frac34}).
Для каждого ответа может быть два исхода: «угадал»/ «не угадал».
Таким образом, это испытание Бернулли с биномиальным распределением случайной величины. $$ mathrm{ P_{10}(k)=C_{10}^kp^kq^{10-k}=C_{10}^kfrac{3^{10-k}}{4^{10}}=left(frac34right)^{10}frac{C_{10}^k}{3^k} } $$ Строим расчётную таблицу. Для (mathrm{C_{10}^k}) используем рекуррентную формулу (см. §36 данного справочника): $$ mathrm{ C_{n}^k=frac{n-k+1}{k}C_n^{k-1} } $$

(mathrm{x_i=k})	(mathrm{C_k})	(mathrm{3^k})	(mathrm{p_i(x_i)})	(mathrm{x_icdot p_i})	(mathrm{x_i^2})	(mathrm{x_i^2cdot p_i})
0	1	1	0,0563135	0,0000000	0	0,0000000
1	10	3	0,1877117	0,1877117	1	0,1877117
2	45	9	0,2815676	0,5631351	4	1,1262703
3	120	27	0,2502823	0,7508469	9	2,2525406
4	210	81	0,1459980	0,5839920	16	2,3359680
5	252	243	0,0583992	0,2919960	25	1,4599800
6	210	729	0,0162220	0,0973320	36	0,5839920
7	120	2187	0,0030899	0,0216293	49	0,1514053
8	45	6561	0,0003862	0,0030899	64	0,0247192
9	10	19683	0,0000286	0,0002575	81	0,0023174
10	1	59049	0,0000010	0,0000095	100	0,0000954
Σ			1	2,5		8,125

Получаем: begin{gather*} mathrm{ M(X)=sum_{i=0}^{10} x_ip_i=2,5 }\ mathrm{ D(X)=sum_{i=0}^{10} x_i^2p_i-M^2(X)=8,125=2,5^2=1,875 }\ mathrm{ sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{1,875}approx 1,37 } end{gather*}
Интервал оценки «три сигмы»: begin{gather*} mathrm{ M(X)-3sigma(X) lt Xlt M(X)+3sigma(X) }\ mathrm{ 2,5-3cdot 1,37lt X lt 2,5+3cdot 1,37 }\ mathrm{ -1,61lt Xlt 6,61 }\ mathrm{ 0leq Xleq 6 } end{gather*} Скорее всего (по расчетам – 99,65%), вы угадаете от 0 до 6 ответов.

Вероятность угадать хотя бы один ответ: begin{gather*} mathrm{ P(Xgeq 1)=1-p_0approx 1-0,0563=0,9437 }end{gather*} Очень хорошие шансы – 94,37%.
Вероятность угадать хотя бы 5 ответов: begin{gather*} mathrm{ P(Xgeq 5)=1-left(sum_{i=0}^{4}{p_i} right)approx 1-(0,0563+0,1877+…+0,1460)=0,0781 }end{gather*} Шансов мало – 7,81%. Т.е. «средний балл» при сдаче тестов мало достижим методом научного тыка.
Вероятность угадать все 10 ответов: p₁₀≈ 0,000001. Шанс – один из миллиона.

Источник

Содержание:

Свойства дисперсии

Чтобы осуществить качественный анализ или выполнить хороший прогноз,
недостаточно знать оценку вероятности выполнения события, а также оценку его
чаще всего выпадающего результата. Для качественной полноценной проработки,
необходимо получить больше данных. Требуется при проведении экспериментальных
работ научиться рассчитывать степень отклонения получающихся результатов
(случайных величин) от их матожидания. В Теории вероятностей существует
отдельный параметр, который отвечает за подобный анализ. Он носит название
дисперсия. Другое его наименование — стандартное или
среднеквадратическое отклонение.

Дисперсия без особого труда может быть вычислена для дискретных случайных
величин задаваемы последовательностями значений самих величин $ X_1, X_2 …
X_n$ и рядом, в котором указаны вероятности $ P_1, P_2 … P_n$,
соответствующие каждому конкретному из этих значений.

Определение 1

Для величины, являющейся случайной, дисперсия может быть вычислена
согласно типовой формуле, при этом её обозначение D(X), где Х —
обозначение случайной величины. Типовая формула для определения значения
дисперсии выглядит следующим образом:

$D(X)=M[(X-M[x])^2]$

Здесь указано M, для случайной величины Х это матожидание. Сама дискретная
величина представлена в определённом вероятностном пространстве, что значит
— она задаётся рядом, в котором каждому конкретному значению, ею
принимаемому, соответствует определённая вероятность. Значение дисперсии при
этом имеет тот смысл, что она представляет собой математическое ожидание от
отклонения дискретной случайной величины, возведённого во вторую степень.
Когда говорится «отклонение», то имеется в виду ни что иное, как
отклонение случайной величины от её математического ожидания (оно же
среднеарифметическое значение и наиболее ожидаемый результат).

Определение 2

Другой параметр, который наряду с дисперсией также важен для анализа
систем, рассматриваемых в Теории вероятностей, называется средним
квадратическим отклонением. Параметр также относится к случайной величине
и математически представляет собой квадратный корень из дисперсии:

$sigma(X)=sqrt{D(X)}$

Пример

Допустим имеется случайная величина Х, являющаяся дискретной. Закон
распределения такой величины выражается в следующем виде:

• Вероятность результата Х=1 имеет значение Р=1/6;

• Вероятность результата Х=2 имеет значение Р=1/2;

• Вероятность результата Х=3 имеет значение Р=1/3.

С помощью полученных исходных данных можно произвести вычисления для
матожидания. Оно будет найдено так:

$M(X)=1 cdot frac{1}{6}+2 cdot frac{1}{2}+2 cdot frac{1}{3}=
frac{13}{6}$

Чтобы рассчитать дисперсию, сделаем отдельную запись. Вычислим
распределение отклонения, относящегося к случайной величине и её
матожиданию. Дополнительно определим квадрат данного отклонения:

Х-М(Х)= $-frac{7}{6}$, Р= $frac{1}{6}$.

Х-М(Х)= $-frac{1}{6}$, Р=$frac{1}{2}$.

Х-М(Х)= $frac{5}{6}$, Р=$frac{1}{3}$.

$(X-M(X))^2$=$frac{49}{36}$, P=$frac{1}{6}$.

$(X-M(X))^2$=$frac{1}{36}$, P=$frac{1}{2}$.

$(X-M(X))^2$=$frac{25}{36}$, P=$frac{1}{3}$.

Используя полученные в результате вычисления данные, без труда рассчитаем
значение дисперсии:

$D(X)= frac{49}{36} cdot frac{1}{6} + frac{1}{36} cdot frac{1}{2} +
frac{25}{36} cdot frac{1}{3} = frac{17}{36}$

Теорема 1

Для определения значения дисперсии, можно произвести вычитание следующих
параметров: матожидания в квадрате и матожидания от квадрата
рассматриваемой величины, являющейся случайной. Причём матожидание от
квадрата — будет играть роль вычитаемого.

$D(X)=M(X^2)- M^2(X)$

Доказательство

Понимая, что M(X), $2M(X)$, $M^2(X)$ имеют постоянные значения, а также
используя свойства матожидания. Такие как, свойство о постоянном
множителе, который можно вынести за знак матожидания. А также свойство о
матожидании суммы, которое равняется сумме матожиданий. Можно
преобразовать полученное ранее выражение, взятое как определение
дисперсии.

$$D(X)=M(X-M(X))^2=M(X^2-2XM(X)+M^2(X))=$$
$$M(X^2)-2M(X)M(X)+M^2(X)=$$
$$M(X^2)-2M^2(X)+ M^2(X) = $$
$$M(X^2) – M^2(X) $$

В итоге у нас получится необходимое выражение:

$D(X)=M(X^2)-M^2(X)$

Свойства дисперсии

Свойство 1

Для постоянной величины её дисперсия будет равна нулю.

D(C)=0

Свойство 2

Имеющийся постоянный множитель под знаком дисперсии может быть вынесен,
если перед этим он возведён в квадрат.

$D(СX)=С^2D(X)$

Свойство 3

Когда дискретные случайные величины, являющиеся независимыми, суммируются,
а затем требуется вычислить их дисперсию, то для них допустимо вычислить
дисперсии по отдельности и суммировать полученные результаты, а именно:

$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

Из полученного свойства имеют два следствия, первое из которых определяет
возможность вычислить дисперсию от суммы любого количества случайных
величин, большего двух, как сумму дисперсий этих же самых величин.

$D(X_1+X_2+…+X_n)=D(X_1)+D(X_2)+…+D(X_n)$

Второе следствие определяется для дисперсии взятой от суммы случайной
велчиины и постоянной величины, в таком случае результатом данного
суммирования будет дисперсия от случайной велчиины, ведь согласно ранее
приведённому свойству дисперсия от константы равна нулю.

$D(C+X)=D(X)$

Свойство 4

Из первого и третьего свойства дисперсии нетрудно определить также и то,
что при вычитании одной дискретной случайной величины из другой Рассмотрим
разность двух случайных величин. Общая дисперсия будет равна сумме их
дисперсий. Это утверждение легко вывести из первого и третьего свойств.

$D(X-Y)=D(X)+D(Y)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Источник

1. Понятие дискретной случайной величины (дсв)

Определение
1.
Случайной
величиной
называется переменная величина,
которая в зависимости от исхода
испытания случайно принимает одно
из множества возможных значений.

Определение
2.
Случайная
величина, принимающая различные значения,
которые можно записать в виде
последовательности, называется
дискретной
случайной
величиной.

Примеры:

1)
число покупателей в очереди у
кассы;

2)
число ДТП за сутки;

3)
число бракованных изделий в партии.

Законом
распределения
дискретной
случайной величины называется
соответствие между возможными
значениями случайной величины и их
вероятностями.

Закон
распределения дискретной случайной
величины может быть задан в виде
таблицы, первая строка которой содержит
возможные значения

,
а вторая – соответствующие вероятности

X			…
P			…

События

,
,…,

образуют полную группу, поэтому

Определение
3.
Две случайные
величины называются независимыми,
если закон распределения одной из
них не меняется от того, какие
возможные значения приняла другая
величина. В противном случае случайные
величины называются зависимыми.

2. Числовые характеристики дсв

1. Математическое ожидание

Определение.
Математическим ожиданием
дискретной случайной величины

называется сумма произведений значений
этой случайной величины на
соответствующие вероятности:

Математическое
ожидание – это среднее значение данной
случайной величины, центр ее
распределения. Из определения следует,
что M(X)
− величина
неслучайная,
постоянная.

Пример
1._________________________________________________________

Случайная
величина Х
задана законом распределения

Х	1	2	3
P	0,3	0,5	0,2

Вычислим
ее математическое ожидание:

M(X)
= 1∙0,3+2∙0,5+3∙0,2=0,3+1+0,6=1,9.

Свойства
математического ожидания

1⁰.

,
где
C
− const.

2⁰.

.

3⁰.

Следствие:

4⁰.

,
где
C
− const.

5⁰.

,
если X
и Y
независимы.

Пример
2 ._________________________________________________________

Найдем
математическое ожидание случайной
величины 5X−2Y+1
, если известно, что M(X)=2,
M(Y)=3.
Используя свойства математического

ожидания,
получим M(5X−2Y+1)=
5M(X)−2M(Y)+1=
5∙2−2∙3+1=5.

2.
Дисперсия

Определение
1.
Разность

называется отклонением
случайной
величины Х
от ее математического ожидания.

Эта
разность также есть случайная
величина. Пусть M(X)=a.
Тогда
случайная величина X−a
имеет закон
распределения:

Х−a	−a	−a	…	−a
P			…

Теорема.
Математическое
ожидание отклонения
случайной величины от ее математического
ожидания равно
нулю.

Определение
2.
Дисперсией
случайной
величины

называется математическое ожидание
квадрата отклонения этой случайной
величины от ее математического
ожидания:

Если
случайная величина Х − дискретная,
то

Дисперсия
характеризует рассеяние возможных
значений случайной величины около
ее математического ожидания.

Определение
3.
Средним квадратическим отклонением
случайной
величины

называется квадратный корень из
дисперсии:

Из
определения следует, что дисперсия
есть постоянная
величина.

Пример
3._________________________________________________________

Используя
условие примера
1,
убедимся, что математическое
ожидание отклонения равно нулю. Для
этого составим закон распределения
случайной величины Х−M(Х):
из всех значений Х вычтем M(X)=1,9.

Х−M(Х)	−0,9	0,1	1,1
P	0,3	0,5	0,2

Тогда,

−0,9∙0,3+0,1∙0,5+1,1∙0,2=−0,27+0,05+0,22=−0,27+0,27=0.

Вычислим
дисперсию и среднее квадратическое
отклонение:

D(X)=(−0,9)²∙0,3+(0,1)²∙0,5+(1,1)²∙0,2=0,243+0,005+0,242=0,49;

Свойства
дисперсии

1⁰.

где

− const.

2⁰.
Если

− случайная величина,

.

3⁰.

4⁰.

,
если X
и Y
независимы.

Следствие:

5⁰.

Пример
4 ._________________________________________________________

Найдем
дисперсию случайной величины 5X−
2Y+1
, если известно, что D(X)=0,2,
D(Y)=1,
а X
и Y
− независимы. Используя свойства
дисперсии, получим D(5X−2Y+1)=5²
∙D(X)+2²∙D(Y)+0=25∙0,2+4∙1=9.

Формула
для вычисления дисперсии. Дисперсия
случайной
величины
равна
разности между математическим
ожиданием квадрата этой величины и
квадратом ее математического ожидания.

Пример
5._________________________________________________________

Найдем
дисперсию случайной величины Х
из примера
1
по формуле.

Математическое
ожидание уже вычислено в примере
1:
M(X)=1,9.

M(X²)
= 1²∙0,3+2²∙0,5+3²∙0,2
= 1∙0,3+4∙0,5+9∙0,2 = 4,1.

D(X)
= M(X²)
− M²(X)
= 4,1−1,9²=
4,1−3,61= 0,49.

Лекции
5. Основные законы распределения ДСВ

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник