Как найти дисперсию оценки ошибки

15. Оценка дисперсии случайной ошибки модели регрессии

При проведении регрессионного анализа основная трудность заключается в том, что генеральная дисперсия случайной ошибки является неизвестной величиной, что вызывает необходимость в расчёте её несмещённой выборочной оценки.

Несмещённой оценкой дисперсии (или исправленной дисперсией) случайной ошибки линейной модели парной регрессии называется величина, рассчитываемая по формуле:

где n – это объём выборочной совокупности;

еi– остатки регрессионной модели:

Для линейной модели множественной регрессии несмещённая оценка дисперсии случайной ошибки рассчитывается по формуле:

где k – число оцениваемых параметров модели регрессии.

Оценка матрицы ковариаций случайных ошибок Cov(?) будет являться оценочная матрица ковариаций:

где In – единичная матрица.

Оценка дисперсии случайной ошибки модели регрессии распределена по ?2(хи-квадрат) закону распределения с (n-k-1) степенями свободы.

Для доказательства несмещённости оценки дисперсии случайной ошибки модели регрессии необходимо доказать справедливость равенства

Доказательство. Примем без доказательства справедливость следующих равенств:

где G2(?) – генеральная дисперсия случайной ошибки;

S2(?) – выборочная дисперсия случайной ошибки;

– выборочная оценка дисперсии случайной ошибки.

Тогда:

т. е.

что и требовалось доказать.

Следовательно, выборочная оценка дисперсии случайной ошибки

является несмещённой оценкой генеральной дисперсии случайной ошибки модели регрессии G2(?).

При условии извлечения из генеральной совокупности нескольких выборок одинакового объёма n и при одинаковых значениях объясняющих переменных х, наблюдаемые значения зависимой переменной у будут случайным образом колебаться за счёт случайного характера случайной компоненты ?. Отсюда можно сделать вывод, что будут варьироваться и зависеть от значений переменной у значения оценок коэффициентов регрессии и оценка дисперсии случайной ошибки модели регрессии.

Для иллюстрации данного утверждения докажем зависимость значения МНК-оценки

от величины случайной ошибки ?.

МНК-оценка коэффициента ?1 модели регрессии определяется по формуле:

В связи с тем, что переменная у зависит от случайной компоненты ? (yi=?0+?1xi+?i), то ковариация между зависимой переменной у и независимой переменной х может быть представлена следующим образом:

Для дальнейших преобразования используются свойства ковариации:

1) ковариация между переменной х и константой С равна нулю: Cov(x,C)=0, C=const;

2) ковариация переменной х с самой собой равна дисперсии этой переменной: Cov(x,x)=G2(x).

Исходя из указанных свойств ковариации, справедливы следующие равенства:

Cov(x,?0)=0 (?0=const);

Cov(x, ?1x)= ?1*Cov(x,x)= ?1*G2(x).

Следовательно, ковариация между зависимой и независимой переменными Cov(x,y) может быть записана как:

Cov(x,y)= ?1G2(x)+Cov(x,?).

В результате МНК-оценка коэффициента ?1 модели регрессии примет вид:

Таким образом, МНК-оценка

может быть представлена как сумма двух компонент:

1) константы ?1, т. е. истинного значения коэффициента;

2) случайной ошибки Cov(x,?), вызывающей вариацию коэффициента модели регрессии.

Однако на практике подобное разложение МНК-оценки невозможно, потому что истинные значения коэффициентов модели регрессии и значения случайной ошибки являются неизвестными. Теоретически данное разложение можно использовать при изучении статистических свойств МНК-оценок.

Аналогично доказывается, что МНК-оценка

коэффициента модели регрессии и несмещённая оценка дисперсии случайной ошибки

могут быть представлены как сумма постоянной составляющей (константы) и случайной компоненты, зависящей от ошибки модели регрессии ?.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Читайте также

11. Критерии оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии

11. Критерии оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии
В ходе регрессионного анализа была подобрана форма связи, которая наилучшим образом отражает зависимость результативной переменной у от факторной переменной х:y=f(x).Необходимо оценить неизвестные

14. Оценка коэффициентов модели парной регрессии с помощью выборочного коэффициента регрессии

14. Оценка коэффициентов модели парной регрессии с помощью выборочного коэффициента регрессии
Помимо метода наименьших квадратов, с помощью которого в большинстве случаев определяются неизвестные параметры модели регрессии, в случае линейной модели парной регрессии

18. Характеристика качества модели регрессии

18. Характеристика качества модели регрессии
Качеством модели регрессии называется адекватность построенной модели исходным (наблюдаемым) данным.Для оценки качества модели регрессии используются специальные показатели.Качество линейной модели парной регрессии

22. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов модели парной регрессии

22. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов модели парной регрессии
Проверкой статистической гипотезы о значимости отдельных параметров модели называется проверка предположения о том, что данные параметры значимо отличаются от нуля.Необходимость проверки

25. Точечный и интервальный прогнозы для модели парной регрессии

25. Точечный и интервальный прогнозы для модели парной регрессии
Одна из задач эконометрического моделирования заключается в прогнозировании поведения исследуемого явления или процесса в будущем. В большинстве случаев данная задача решается на основе регрессионных

32. Построение частных коэффициентов корреляции для модели множественной регрессии через показатель остаточной дисперсии и коэффициент множественной детерминации

32. Построение частных коэффициентов корреляции для модели множественной регрессии через показатель остаточной дисперсии и коэффициент множественной детерминации
Помимо рекуррентных формул, которые используются для построения частных коэффициентов корреляции для

35. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов регрессии и модели множественной регрессии в целом

35. Проверка гипотезы о значимости коэффициентов регрессии и модели множественной регрессии в целом
Проверка значимости коэффициентов регрессии означает проверку основной гипотезы об их значимом отличии от нуля.Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости

39. Модели регрессии, нелинейные по факторным переменным

39. Модели регрессии, нелинейные по факторным переменным
При исследовании социально-экономических явлений и процессов далеко не все зависимости можно описать с помощью линейной связи. Поэтому в эконометрическом моделировании широко используется класс нелинейных

40. Модели регрессии, нелинейные по оцениваемым коэффициентам

40. Модели регрессии, нелинейные по оцениваемым коэффициентам
Нелинейными по оцениваемым параметрам моделями регрессииназываются модели, в которых результативная переменная yi нелинейно зависит от коэффициентов модели ?0…?n.К моделям регрессии, нелинейными по

41. Модели регрессии с точками разрыва

41. Модели регрессии с точками разрыва
Определение. Моделями регрессии с точками разрыва называются модели, которые нельзя привести к линейной форме, т. е. внутренне нелинейные модели регрессии.Модели регрессии делятся на два класса:1) кусочно-линейные модели регрессии;2)

44. Методы нелинейного оценивания коэффициентов модели регрессии

44. Методы нелинейного оценивания коэффициентов модели регрессии
Функцией потерь или ошибок называется функционал вида

Также в качестве функции потерь может быть использована сумма модулей отклонений наблюдаемых значений результативного признака у от теоретических

46. Проверка гипотезы о значимости нелинейной модели регрессии. Проверка гипотезы о линейной зависимости между переменными модели регрессии

46. Проверка гипотезы о значимости нелинейной модели регрессии. Проверка гипотезы о линейной зависимости между переменными модели регрессии
На нелинейные модели регрессии, которые являются внутренне линейными, т. е. сводимыми к линейному виду, распространяются все

57. Гетероскедастичность остатков модели регрессии

57. Гетероскедастичность остатков модели регрессии
Случайной ошибкой называется отклонение в линейной модели множественной регрессии:?i=yi–?0–?1x1i–…–?mxmiВ связи с тем, что величина случайной ошибки модели регрессии является неизвестной величиной, рассчитывается

60. Устранение гетероскедастичности остатков модели регрессии

60. Устранение гетероскедастичности остатков модели регрессии
Существует множество методов устранения гетероскедастичности остатков модели регрессии. Рассмотрим некоторые из них.Наиболее простым методом устранения гетероскедастичности остатков модели регрессии

63. Устранение автокорреляции остатков модели регрессии

63. Устранение автокорреляции остатков модели регрессии
В связи с тем, что наличие в модели регрессии автокорреляции между остатками модели может привести к негативным результатам всего процесса оценивания неизвестных коэффициентов модели, автокорреляция остатков

67. Модели регрессии с переменной структурой. Фиктивные переменные

67. Модели регрессии с переменной структурой. Фиктивные переменные
При построении модели регрессии может возникнуть ситуация, когда в неё необходимо включить не только количественные, но и качественные переменные (например, возраст, образование, пол, расовую

Макеты страниц

Аналитический метод определения дисперсии ошибки.

Этот метод основан на предположении, что как спектральные плотности, так и частотные передаточные функции, входящие в (9.90), являются дробно-рациональными функциями от со. Тогда (9.90) для спектральной плотности ошибки можно представить состоящим из слагаемых вида

где — некоторые полиномы от комплексной переменной

Вычисление отдельных составляющих дисперсии ошибки сводится к вычислению интегралов стандартного типа:

Для удобства интегрирования (9.100) обычно представляют в виде

где

Полином содержит только четные степени , а полином для устойчивой системы имеет все корни, расположенные в верхней полуплоскости корней.

Интегралы вида (9.101) вычисляются обычно с помощью теории вычетов и могут быть для устойчивой системы при любом представлены в виде

где

совпадает со старшим определителем Гурвина, составленным из коэффициентов полинома

совпадает со старшим определителем Гурвица, в котором первая строка заменена на

Имеются таблицы значений стандартных интегралов в виде формул, зависящих от коэффициентов для значений от 1 до 7. Табличные значения стандартных интегралов для от 1 до 5 приведены, например, в приложении 9.1.

Таким образом, при аналитическом методе определения Дисперсий ошибки сначала определяют спектральную плотность ошибки представляя ее в общем случае состоящей

Рис. 9.14

из слагаемых вида (9.99), и находят коэффициенты полиномов После этого, пользуясь стандартными интегралами определяют отдельные составляющие дисперсии ошибки, а затем в соответствии с (9.93) находят дисперсию ошибки .

Содержание:

Регрессионный анализ:

Регрессионным анализом называется раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования корреляционной зависимости между случайными величинами по результатам наблюдений над ними. Сюда включаются методы выбора модели изучаемой зависимости и оценки ее параметров, методы проверки статистических гипотез о зависимости.

Пусть между случайными величинами X и Y существует линейная корреляционная зависимость. Это означает, что математическое ожидание Y линейно зависит от значений случайной величины X. График этой зависимости (линия регрессии Y на X) имеет уравнение Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Линейная модель пригодна в качестве первого приближения и в случае нелинейной корреляции, если рассматривать небольшие интервалы возможных значений случайных величин.

Пусть параметры линии регрессии Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения неизвестны, неизвестна и величина коэффициента корреляции Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Над случайными величинами X и Y проделано n независимых наблюдений, в результате которых получены n пар значений: Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Эти результаты могут служить источником информации о неизвестных значениях Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения надо только уметь эту информацию извлечь оттуда.

Неизвестная нам линия регрессии Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения как и всякая линия регрессии, имеет то отличительное свойство, что средний квадрат отклонений значений Y от нее минимален. Поэтому в качестве оценок для Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения можно принять те их значения, при которых имеет минимум функция Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Такие значения Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения, согласно необходимым условиям экстремума, находятся из системы уравнений:

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Решения этой системы уравнений дают оценки называемые оценками по методу наименьших квадратов.Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

и

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Известно, что оценки по методу наименьших квадратов являются несмещенными и, более того, среди всех несмещенных оценок обладают наименьшей дисперсией. Для оценки коэффициента корреляции можно воспользоваться тем, что Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения средние квадратические отклонения случайных величин X и Y соответственно. Обозначим через Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения оценки этих средних квадратических отклонений на основе опытных данных. Оценки можно найти, например, по формуле (3.1.3). Тогда для коэффициента корреляции имеем оценку Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

По методу наименьших квадратов можно находить оценки параметров линии регрессии и при нелинейной корреляции. Например, для линии регрессии вида Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения оценки параметров Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения находятся из условия минимума функции

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

По данным наблюдений двух случайных величин найти коэффициент корреляции и уравнение линии регрессии Y наРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Вычислим величины, необходимые для использования формул (3.7.1)–(3.7.3):

 Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

По формулам (3.7.1) и (3.7.2) получимРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Итак, оценка линии регрессии имеет вид Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Так как Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения то по формуле (3.1.3)

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Поэтому в качестве оценки коэффициента корреляции имеем по формуле (3.7.3) величину Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Ответ.  Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Получена выборка значений величин X и YРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Для представления зависимости между величинами предполагается использовать модель Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Найти оценки параметров Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Рассмотрим сначала задачу оценки параметров этой модели в общем виде. Линия Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения играет роль линии регрессии и поэтому параметры ее можно найти из условия минимума функции (сумма квадратов отклонений значений Y от линии должна быть минимальной по свойству линии регрессии)Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Необходимые условия экстремума приводят к системе из двух уравнений:Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Откуда

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Решения системы уравнений (3.7.4) и (3.7.5) и будут оценками по методу наименьших квадратов для параметров Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

На основе опытных данных вычисляем:Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

В итоге получаем систему уравнений (?????) и (?????) в виде Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Эта система имеет решения Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Ответ. Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Если наблюдений много, то результаты их обычно группируют и представляют в виде корреляционной таблицы.Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

В этой таблице Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения равно числу наблюдений, для которых X находится в интервале Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения а Y – в интервале Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Через Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения обозначено число наблюдений, при которых Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения а Y произвольно. Число наблюдений, при которых Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения а X произвольно, обозначено через Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Если величины дискретны, то вместо интервалов указывают отдельные значения этих величин. Для непрерывных случайных величин представителем каждого интервала считают его середину и полагают, что Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения и Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения  наблюдались Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения раз.

При больших значениях X и Y можно для упрощения вычислений перенести начало координат и изменить масштаб по каждой из осей, а после завершения вычислений вернуться к старому масштабу.

Пример:

Проделано 80 наблюдений случайных величин X и Y. Результаты наблюдений представлены в виде таблицы. Найти линию регрессии Y на X. Оценить коэффициент корреляции.Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Представителем каждого интервала будем считать его середину. Перенесем начало координат и изменим масштаб по каждой оси так, чтобы значения X и Y были удобны для вычислений. Для этого перейдем к новым переменным Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Значения этих новых переменных указаны соответственно в самой верхней строке и самом левом столбце таблицы.

Чтобы иметь представление о виде линии регрессии, вычислим средние значения Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения при фиксированных значениях Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения:Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Нанесем эти значения на координатную плоскость, соединив для наглядности их отрезками прямой (рис. 3.7.1).Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

По виду полученной ломанной линии можно предположить, что линия регрессии Y на X является прямой. Оценим ее параметры. Для этого сначала вычислим с учетом группировки данных в таблице все величины, необходимые для использования формул (3.31–3.33): Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Тогда

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

В новом масштабе оценка линии регрессии имеет вид Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения График этой прямой линии изображен на рис. 3.7.1.

Для оценки Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения по корреляционной таблице можно воспользоваться формулой (3.1.3):

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Подобным же образом можно оценить Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения величиной Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Тогда оценкой коэффициента корреляции может служить величина Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Вернемся к старому масштабу:

 Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Коэффициент корреляции пересчитывать не нужно, так как это величина безразмерная и от масштаба не зависит.

Ответ. Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пусть некоторые физические величины X и Y связаны неизвестной нам функциональной зависимостью Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Для изучения этой зависимости производят измерения Y при разных значениях X. Измерениям сопутствуют ошибки и поэтому результат каждого измерения случаен. Если систематической ошибки при измерениях нет, то Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения играет роль линии регрессии и все свойства линии регрессии приложимы к Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения. В частности, Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения обычно находят по методу наименьших квадратов.

Регрессионный анализ

Основные положения регрессионного анализа:

Основная задача регрессионного анализа — изучение зависимости между результативным признаком Y и наблюдавшимся признаком X, оценка функции регрессий.

Предпосылки регрессионного анализа:

  1. Y — независимые случайные величины, имеющие постоянную дисперсию;
  2. X— величины наблюдаемого признака (величины не случайные);
  3. условное математическое ожидание Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения можно представить в виде Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Выражение (2.1), как уже упоминалось в п. 1.2, называется функцией регрессии (или модельным уравнением регрессии) Y на X. Оценке в этом выражении подлежат параметры Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения называемые коэффициентами регрессии, а также Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения— остаточная дисперсия.

Остаточной дисперсией называется та часть рассеивания результативного признака, которую нельзя объяснить действием наблюдаемого признака; Остаточная дисперсия может служить для оценки точности подбора вида функции регрессии (модельного уравнения регрессии), полноты набора признаков, включенных в анализ. Оценки параметров функции регрессии находят, используя метод наименьших квадратов.

В данном вопросе рассмотрен линейный регрессионный анализ. Линейным он называется потому, что изучаем лишь те виды зависимостейРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения которые линейны по оцениваемым параметрам, хотя могут быть нелинейны по переменным X. Например, зависимости Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения линейны относительно параметров Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения хотя вторая и третья зависимости нелинейны относительно переменных х. Вид зависимости Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения выбирают, исходя из визуальной оценки характера расположения точек на поле корреляции; опыта предыдущих исследований; соображений профессионального характера, основанных и знании физической сущности процесса.

Важное место в линейном регрессионном анализе занимает так называемая «нормальная регрессия». Она имеет место, если сделать предположения относительно закона распределения случайной величины Y. Предпосылки «нормальной регрессии»:

  1. Y — независимые случайные величины, имеющие постоянную дисперсию и распределенные по нормальному закону;
  2. X— величины наблюдаемого признака (величины не случайные);
  3. условное математическое ожидание Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения можно представить в виде (2.1).

В этом случае оценки коэффициентов регрессии — несмещённые с минимальной дисперсией и нормальным законом распределения. Из этого положения следует что при «нормальной регрессии» имеется возможность оценить значимость оценок коэффициентов регрессии, а также построить доверительный интервал для коэффициентов регрессии и условного математического ожидания M(YX=x).

Линейная регрессия

Рассмотрим простейший случай регрессионного анализа — модель вида (2.1), когда зависимость Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения линейна и по оцениваемым параметрам, и

по переменным. Оценки параметров модели (2.1) Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения обозначил Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияОценку остаточной дисперсии Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения обозначим Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияПодставив в формулу (2.1) вместо параметров их оценки, получим уравнение регрессии Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решениякоэффициенты которого Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения находят из условия минимума суммы квадратов отклонений измеренных значений результативного признакаРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения от вычисленных по уравнению регрессии Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Составим систему нормальных уравнений: первое уравнение

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

откуда   Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

второе уравнениеРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

откудаРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Итак,
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Оценки, полученные по способу наименьших квадратов, обладают минимальной дисперсией в классе линейных оценок. Решая систему (2.2) относительноРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения найдём оценки параметров Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Остаётся получить оценку параметра Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения . Имеем
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где т — количество наблюдений.

Еслит велико, то для упрощения расчётов наблюдавшиеся данные принята группировать, т.е. строить корреляционную таблицу. Пример построения такой таблицы приведен в п. 1.5. Формулы для нахождения коэффициентов регрессии по сгруппированным данным те же, что и для расчёта по несгруппированным данным, но суммыРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решениязаменяют на
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — частоты повторений соответствующих значений переменных. В дальнейшем часто используется этот наглядный приём вычислений.
 

Нелинейная регрессия

Рассмотрим случай, когда зависимость нелинейна по переменным х, например модель вида
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения   Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

На рис. 2.1 изображено поле корреляции. Очевидно, что зависимость между Y и X нелинейная и её графическим изображением является не прямая, а кривая. Оценкой выражения (2.6) является уравнение регрессии

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения —оценки коэффициентов регрессии Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Принцип нахождения коэффициентов тот же — метод наименьших квадратов, т.е.

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

или

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Дифференцируя последнее равенство по Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения и приравнивая правые части нулю, получаем так называемую систему нормальных уравнений:

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

В общем случае нелинейной зависимости между переменными Y и X связь может выражаться многочленом k-й степени от x:

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Коэффициенты регрессии определяют по принципу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений имеет вид

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Вычислив коэффициенты системы, её можно решить любым известным способом.
 

Оценка значимости коэффициентов регрессии. Интервальная оценка коэффициентов регрессии

Проверить значимость оценок коэффициентов регрессии — значит установить, достаточна ли величина оценки для статистически обоснованного вывода о том, что коэффициент регрессии отличен от нуля. Для этого проверяют гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии, соблюдая предпосылки «нормальной регрессии». В этом случае вычисляемая для проверки нулевой гипотезы Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения статистика

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

имеет распределение Стьюдента с к= n-2 степенями свободы (b — оценка коэффициента регрессии, Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения— оценка среднеквадратического отклонения

коэффициента регрессии, иначе стандартная ошибка оценки). По уровню значимости а и числу степеней свободы к находят по таблицам распределения Стьюдента (см. табл. 1 приложений) критическое значениеРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющее условию Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают, коэффициент считают значимым. ПриРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решениянет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Оценки среднеквадратического отклонения коэффициентов регрессии вычисляют по следующим формулам:
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где   Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения— оценка остаточной дисперсии, вычисляемая по
формуле (2.5).

Доверительный интервал для значимых параметров строят по обычной схеме. Из условия

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где а — уровень значимости, находим

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
 

Интервальная оценка для условного математического ожидания

Линия регрессии характеризует изменение условного математического ожидания результативного признака от вариации остальных признаков.

Точечной оценкой условного математического ожидания Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения является условное среднее Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения   Кроме точечной оценки для Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения можно
построить доверительный интервал в точке Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Известно, что Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения имеет распределение
Стьюдента с k=n—2 степенями свободы. Найдя оценку среднеквадратического отклонения для условного среднего, можно построить доверительный интервал для условного математического ожидания Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Оценку дисперсии условного среднего вычисляют по формуле
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
или для интервального ряда
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Доверительный интервал находят из условия
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где а — уровень значимости. Отсюда

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Доверительный интервал для условного математического ожидания можно изобразить графически (рис, 2.2).

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Из рис. 2.2 видно, что в точке Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения границы интервала наиболее близки друг другу. Расположение границ доверительного интервала показывает, что прогнозы по уравнению регрессии, хороши только в случае, если значение х не выходит за пределы выборки, по которой вычислено уравнение регрессии; иными словами, экстраполяция по уравнению регрессии может привести к значительным погрешностям.

Проверка значимости уравнения регрессии

Оценить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая, модель, выражающая зависимость между Y и X, экспериментальным данным. Для оценки значимости в предпосылках «нормальной регрессии» проверяют гипотезу Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Если она отвергается, то считают, что между Y и X нет связи (или связь нелинейная). Для проверки нулевой гипотезы используют основное положение дисперсионного анализа о разбиении суммы квадратов на слагаемые. Воспользуемся разложением Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения– Общая сумма квадратов отклонений результативного признака

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения разлагается на Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения (сумму, характеризующую влияние признака

X) и Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения (остаточную сумму квадратов, характеризующую влияние неучтённых факторов). Очевидно, чем меньше влияние неучтённых факторов, тем лучше математическая модель соответствует экспериментальным данным, так как вариация У в основном объясняется влиянием признака X.

Для проверки нулевой гипотезы вычисляют статистику Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения которая имеет распределение Фишера-Снедекора с АРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения степенями свободы (в п – число наблюдений). По уровню значимости а и числу степеней свободы Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения находят по таблицам F-распределение для уровня значимости а=0,05 (см. табл. 3 приложений) критическое значениеРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющее условию Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения. Если Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решениянулевую гипотезу отвергают, уравнение считают значимым. Если Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Многомерный регрессионный анализ

В случае, если изменения результативного признака определяются действием совокупности других признаков, имеет место многомерный регрессионный анализ. Пусть результативный признак У, а независимые признаки Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияДля многомерного случая предпосылки регрессионного анализа можно сформулировать следующим образом: У -независимые случайные величины со средним Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения и постоянной дисперсией Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения— линейно независимые векторы Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения. Все положения, изложенные в п.2.1, справедливы для многомерного случая. Рассмотрим модель вида 

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Оценке подлежат параметры Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения и остаточная дисперсия.

Заменив параметры их оценками, запишем уравнение регрессии

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Коэффициенты в этом выражении находят методом наименьших квадратов.

Исходными данными для вычисления коэффициентов Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения является выборка из многомерной совокупности, представляемая обычно в виде матрицы X и вектора Y:
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения   

Как и в двумерном случае, составляют систему нормальных уравнений
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
которую можно решить любым способом, известным из линейной алгебры. Рассмотрим один из них — способ обратной матрицы. Предварительно преобразуем систему уравнений. Выразим из первого уравнения значение Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решениячерез остальные параметры:

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Подставим в остальные уравнения системы вместо Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения полученное выражение:

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пусть С — матрица коэффициентов при неизвестных параметрах Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения— матрица, обратная матрице С; Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — элемент, стоящий на пересечении i-Й строки и i-го столбца матрицыРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения    — выражение
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения. Тогда, используя формулы линейной алгебры,

запишем окончательные выражения для параметров:

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Оценкой остаточной дисперсииРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения является

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — измеренное значение результативного признака;Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения значение результативного признака, вычисленное по уравнению регрессий.

Если выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности, то, аналогично изложенному в п. 2.4, можно проверить значимость оценок коэффициентов регрессии, только в данном случае статистикуРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения вычисляют для каждого j-го коэффициента регрессии

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения—элемент обратной матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-
го столбца;Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения —диагональный элемент обратной матрицы.

При заданном уровне значимости а и числе степеней свободы к=n— m—1 по табл. 1 приложений находят критическое значение Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения ЕслиРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают. Оценку коэффициента считают значимой. Такую проверку производят последовательно для каждого коэффициента регрессии. ЕслиРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, оценку коэффициента регрессии считают незначимой.

Для значимых коэффициентов регрессии целесообразно построить доверительные интервалы по формуле (2.10). Для оценки значимости уравнения регрессии следует проверить нулевую гипотезу о том, что все коэффициенты регрессии (кроме свободного члена) равны нулю:Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — вектор коэффициентов регрессии). Нулевую гипотезу проверяют, так же как и в п. 2.6, с помощью статистики Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения, где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — сумма квадратов, характеризующая влияние признаков X; Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтённых факторов; Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияДля уровня значимости а и числа степеней свободы Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения по табл. 3 приложений находят критическое значение Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Если Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения то нулевую гипотезу об одновременном равенстве нулю коэффициентов регрессии отвергают. Уравнение регрессии считают значимым. При Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения нет оснований отвергать нулевую гипотезу, уравнение регрессии считают незначимым.

Факторный анализ

Основные положения. В последнее время всё более широкое распространение находит один из новых разделов многомерного статистического анализа — факторный анализ. Первоначально этот метод

разрабатывался для объяснения многообразия корреляций между исходными параметрами. Действительно, результатом корреляционного анализа является матрица коэффициентов корреляций. При малом числе параметров можно произвести визуальный анализ этой матрицы. С ростом числа параметра (10 и более) визуальный анализ не даёт положительных результатов. Оказалось, что всё многообразие корреляционных связей можно объяснить действием нескольких обобщённых факторов, являющихся функциями исследуемых параметров, причём сами обобщённые факторы при этом могут быть и неизвестны, однако их можно выразить через исследуемые параметры.

Один из основоположников факторного анализа Л. Терстоун приводит такой пример: несколько сотен мальчиков выполняют 20 разнообразных гимнастических упражнений. Каждое упражнение оценивают баллами. Можно рассчитать матрицу корреляций между 20 упражнениями. Это большая матрица размером 20><20. Изучая такую матрицу, трудно уловить закономерность связей между упражнениями. Нельзя ли объяснить скрытую в таблице закономерность действием каких-либо обобщённых факторов, которые в результате эксперимента непосредственно, не оценивались? Оказалось, что обо всех коэффициентах корреляции можно судить по трём обобщённым факторам, которые и определяют успех выполнения всех 20 гимнастических упражнений: чувство равновесия, усилие правого плеча, быстрота движения тела.

Дальнейшие разработки факторного анализа доказали, что этот метод может быть с успехом применён в задачах группировки и классификации объектов. Факторный анализ позволяет группировать объекты со сходными сочетаниями признаков и группировать признаки с общим характером изменения от объекта к объекту. Действительно, выделенные обобщённые факторы можно использовать как критерии при классификации мальчиков по способностям к отдельным группам гимнастических упражнений.

Методы факторного анализа находят применение в психологии и экономике, социологии и экономической географии. Факторы, выраженные через исходные параметры, как правило, легко интерпретировать как некоторые существенные внутренние характеристики объектов.

Факторный анализ может быть использован и как самостоятельный метод исследования, и вместе с другими методами многомерного анализа, например в сочетании с регрессионным анализом. В этом случае для набора зависимых переменных наводят обобщённые факторы, которые потом входят в регрессионный анализ в качестве переменных. Такой подход позволяет сократить число переменных в регрессионном анализе, устранить коррелированность переменных, уменьшить влияние ошибок и в случае ортогональности выделенных факторов значительно упростить оценку значимости переменных.

Представление, информации в факторном анализе

Для проведения факторного анализа информация должна быть представлена в виде двумерной таблицы чисел размерностью Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияаналогичной приведенной в п. 2.7 (матрица исходных данных). Строки этой матрицы должны соответствовать объектам наблюдений Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения столбцы — признакамРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решениятаким образом, каждый признак является как бы статистическим рядом, в котором наблюдения варьируют от объекта к объекту. Признаки, характеризующие объект наблюдения, как правило, имеют различную размерность. Чтобы устранить влияние размерности и обеспечить сопоставимость признаков, матрицу исходных данных    обычно нормируют, вводя единый    масштаб. Самым распространенным видом нормировки является стандартизация. От переменных Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения переходят к переменным Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияВ дальнейшем, говоря о матрице исходных переменных, всегда будем иметь в виду стандартизованную матрицу.

Основная модель факторного анализа. Основная модель факторного анализа имеет вид

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения-j-й признак (величина случайная); Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения— общие факторы (величины случайные, имеющие нормальный закон распределения); Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения— характерный фактор; Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения— факторные нагрузки, характеризующие существенность влияния каждого фактора (параметры модели, подлежащие определению);Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — нагрузка характерного фактора.

Модель предполагает, что каждый из j признаков, входящих в исследуемый набор и заданных в стандартной форме, может быть представлен в виде линейной комбинации небольшого числа общих факторов Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения и характерного фактора Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Термин «общий фактор» подчёркивает, что каждый такой фактор имеет существенное значение для анализа всех признаковРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения, т.е.

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Термин «характерный фактор» показывает, что он относится только к данному j-му признаку. Это специфика признака, которая не может быть, выражена через факторы Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Факторные нагрузки Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения. характеризуют величину влияния того или иного общего фактора в вариации данного признака. Основная задача факторного анализа — определение факторных нагрузок. Факторная модель относится к классу аппроксимационных. Параметры модели должны быть выбраны так, чтобы наилучшим образом аппроксимировать корреляции между наблюдаемыми признаками.

Для j-го признака и i-го объекта модель (2.19) можно записать в. виде

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения значение k-го фактора для i-го объекта.

Дисперсию признака Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения можно разложить на составляющие: часть, обусловленную действием общих факторов, — общность Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения и часть, обусловленную действием j-го характера фактора, характерность Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Все переменные представлены в стандартизированном виде, поэтому дисперсий у-го признака Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияДисперсия признака может быть выражена через факторы и в конечном счёте через факторные нагрузки.

Если общие и характерные факторы не коррелируют между собой, то дисперсию j-го признака можно представить в виде

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения —доля дисперсии признака Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения приходящаяся на k-й фактор.

Полный вклад k-го фактора в суммарную дисперсию признаков

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Вклад общих факторов в суммарную дисперсию Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
 

Факторное отображение

Используя модель (2.19), запишем выражения для каждого из параметров:

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
Коэффициенты системы (2,21) — факторные нагрузки — можно представить в виде матрицы, каждая строка которой соответствует параметру, а столбец — фактору.

Факторный анализ позволяет получить не только матрицу отображений, но и коэффициенты корреляции между параметрами и

факторами, что является важной характеристикой качества факторной модели. Таблица таких коэффициентов корреляции называется факторной структурой или просто структурой.

Коэффициенты отображения можно выразить через выборочные парные коэффициенты корреляции. На этом основаны методы вычисления факторного отображения.

Рассмотрим связь между элементами структуры и коэффициентами отображения. Для этого, учитывая выражение (2.19) и определение выборочного коэффициента корреляции, умножим уравнения системы (2.21) на соответствующие факторы, произведём суммирование по всем n наблюдениям и, разделив на n, получим следующую систему уравнений:

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

гдеРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — выборочный коэффициент корреляции между j-м параметром и к-
м фактором;Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — коэффициент корреляции между к-м и р-м факторами.

Если предположить, что общие факторы между собой, не коррелированы, то уравнения    (2.22) можно записать в виде

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения, т.е. коэффициенты отображения равны
элементам структуры.

Введём понятие, остаточного коэффициента корреляции и остаточной корреляционной матрицы. Исходной информацией для построения факторной модели (2.19) служит матрица выборочных парных коэффициентов корреляции. Используя построенную факторную модель, можно снова вычислить коэффициенты корреляции между признаками и сравнись их с исходными Коэффициентами корреляции. Разница между ними и есть остаточный коэффициент корреляции.

В случае независимости факторов имеют место совсем простые выражения для вычисляемых коэффициентов корреляции между параметрами: для их вычисления достаточно взять сумму произведений коэффициентов отображения, соответствующих наблюдавшимся признакам: Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения —вычисленный по отображению коэффициент корреляции между j-м
и к-м признаком. Остаточный коэффициент корреляции

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Матрица остаточных коэффициентов корреляции называется остаточной матрицей или матрицей остатков

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — матрица остатков; R — матрица выборочных парных коэффициентов корреляции, или полная матрица; R’— матрица вычисленных по отображению коэффициентов корреляции.

Результаты факторного анализа удобно представить в виде табл. 2.10.
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Здесь суммы квадратов нагрузок по строкам — общности параметров, а суммы квадратов нагрузок по столбцам — вклады факторов в суммарную дисперсию параметров. Имеет место соотношение

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Определение факторных нагрузок

Матрицу факторных нагрузок можно получить различными способами. В настоящее время наибольшее распространение получил метод главных факторов. Этот метод основан на принципе последовательных приближений и позволяет достичь любой точности. Метод главных факторов предполагает использование ЭВМ. Существуют хорошие алгоритмы и программы, реализующие все вычислительные процедуры.

Введём понятие редуцированной корреляционной матрицы или просто редуцированной матрицы. Редуцированной называется матрица выборочных коэффициентов корреляцииРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения у которой на главной диагонали стоят значения общностей Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения:Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Редуцированная и полная матрицы связаны соотношением

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

где D — матрица характерностей.

Общности, как правило, неизвестны, и нахождение их в факторном анализе представляет серьезную проблему. Вначале определяют (хотя бы приближённо) число общих факторов, совокупность, которых может с достаточной точностью аппроксимировать все взаимосвязи выборочной корреляционной матрицы. Доказано, что число общих факторов (общностей) равно рангу редуцированной матрицы, а при известном ранге можно по выборочной корреляционной матрице найти оценки общностей. Числа общих факторов можно определить априори, исходя из физической природы эксперимента. Затем рассчитывают матрицу факторных нагрузок. Такая матрица, рассчитанная методом главных факторов, обладает одним интересным свойством: сумма произведений каждой пары её столбцов равна нулю, т.е. факторы попарно ортогональны.

Сама процедура нахождения факторных нагрузок, т.е. матрицы А, состоит из нескольких шагов и заключается в следующем: на первом шаге ищут коэффициенты факторных нагрузок при первом факторе так, чтобы сумма вкладов данного фактора в суммарную общность была максимальной:Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Максимум Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения должен быть найден при условии
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения —общностьРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияпараметраРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Затем рассчитывают матрицу коэффициентов корреляции с учётом только первого фактораРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Имея эту матрицу, получают первую матрицу остатков:Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

На втором шаге определяют коэффициенты нагрузок при втором факторе так, чтобы сумма вкладов второго фактора в остаточную общность (т.е. полную общность без учёта той части, которая приходится на долю первого фактора) была максимальной. Сумма квадратов нагрузок при втором фактореРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Максимум Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения находят из условия
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения
где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения— коэффициент корреляции из первой матрицы остатков; Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения — факторные нагрузки с учётом второго фактора. Затем рассчитыва коэффициентов корреляций с учётом второго фактора и вычисляют вторую матрицу остатков: Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Факторный анализ учитывает суммарную общность. Исходная суммарная общностьРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Итерационный процесс выделения факторов заканчивают, когда учтённая выделенными факторами суммарная общность отличается от исходной суммарной общности меньше чем на Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения— наперёд заданное малое число).

Адекватность факторной модели оценивается по матрице остатков (если величины её коэффициентов малы, то модель считают адекватной).

Такова последовательность шагов для нахождения факторных нагрузок. Для нахождения максимума функции (2.24) при условии (2.25) используют метод множителей Лагранжа, который приводит к системе т уравнений относительно m неизвестных Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Метод главных компонент

Разновидностью метода главных факторов является метод главных компонент или компонентный анализ, который реализует модель вида

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

где m — количество параметров (признаков).

Каждый из наблюдаемых, параметров линейно зависит от m не коррелированных между собой новых компонент (факторов) Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияПо сравнению с моделью факторного анализа (2.19) в модели (2.28) отсутствует характерный фактор, т.е. считается, что вся вариация параметра может быть объяснена только действием общих или главных факторов. В случае компонентного анализа исходной является матрица коэффициентов корреляции, где на главной диагонали стоят единицы. Результатом компонентного анализа, так же как и факторного, является матрица факторных нагрузок. Поиск факторного решения — это ортогональное преобразование матрицы исходных переменных, в результате которого каждый параметр может быть представлен линейной комбинацией найденных m факторов, которые называют главными компонентами. Главные компоненты легко выражаются через наблюдённые параметры.

Если для дальнейшего анализа оставить все найденные т компонент, то тем самым будет использована вся информация, заложенная в корреляционной матрице. Однако это неудобно и нецелесообразно. На практике обычно оставляют небольшое число компонент, причём количество их определяется долей суммарной дисперсии, учитываемой этими компонентами. Существуют различные критерии для оценки числа оставляемых компонент; чаще всего используют следующий простой критерий: оставляют столько компонент, чтобы суммарная дисперсия, учитываемая ими, составляла заранее установленное число процентов. Первая из компонент должна учитывать максимум суммарной дисперсии параметров; вторая — не коррелировать с первой и учитывать максимум оставшейся дисперсии и так до тех пор, пока вся дисперсия не будет учтена. Сумма учтённых всеми компонентами дисперсий равна сумме дисперсий исходных параметров. Математический аппарат компонентного анализа полностью совпадает с аппаратом метода главных факторов. Отличие только в исходной матрице корреляций.

Компонента (или фактор) через исходные переменные выражается следующим образом:

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

где Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения— элементы факторного решения:Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения— исходные переменные; Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения.— k-е собственное значение; р — количество оставленных главных
компонент.

Для иллюстрации возможностей факторного анализа покажем, как, используя метод главных компонент, можно сократить размерность пространства независимых переменных, перейдя от взаимно коррелированных параметров к независимым факторам, число которых р

Следует особо остановиться на интерпретации результатов, т.е. на смысловой стороне факторного анализа. Собственно факторный анализ состоит из двух важных этапов; аппроксимации корреляционной матрицы и интерпретации результатов. Аппроксимировать корреляционную матрицу, т.е. объяснить корреляцию между параметрами действием каких-либо общих для них факторов, и выделить сильно коррелирующие группы параметров достаточно просто:    из корреляционной матрицы одним из методов

факторного анализа непосредственно получают матрицу нагрузок — факторное решение, которое называют прямым факторным решением. Однако часто это решение не удовлетворяет исследователей. Они хотят интерпретировать фактор как скрытый, но существенный параметр, поведение которого определяет поведение некоторой своей группы наблюдаемых параметров, в то время как, поведение других параметров определяется поведением других факторов. Для этого у каждого параметра должна быть наибольшая по модулю факторная нагрузка с одним общим фактором. Прямое решение следует преобразовать, что равносильно повороту осей общих факторов. Такие преобразования называют вращениями, в итоге получают косвенное факторное решение, которое и является результатом факторного анализа.

Приложения

Значение t – распределения Стьюдента Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Понятие о регрессионном анализе. Линейная выборочная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК)

Основные задачи регрессионного анализа:

  •  Вычисление выборочных коэффициентов регрессии
  •  Проверка значимости коэффициентов регрессии
  •  Проверка адекватности модели
  •  Выбор лучшей регрессии
  •  Вычисление стандартных ошибок, анализ остатков

Построение простой регрессии по экспериментальным данным.

Предположим, что случайные величины Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения связаны линейной корреляционной зависимостью Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения для отыскания которой проведено Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения независимых измерений Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Диаграмма рассеяния (разброса, рассеивания)
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – координаты экспериментальных точек.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения имеет вид

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Задача: подобрать Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения таким образом, чтобы экспериментальные точки как можно ближе лежали к прямой Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Для того, что бы провести прямую Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения воспользуемся МНК. Потребуем,

чтобы Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Постулаты регрессионного анализа, которые должны выполняться при использовании МНК.

  1. Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения подчинены нормальному закону распределения.
  2. Дисперсия Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения постоянна и не зависит от номера измерения.
  3. Результаты наблюдений Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения в разных точках независимы.
  4. Входные переменные Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения независимы, неслучайны и измеряются без ошибок.

Введем функцию ошибок Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения и найдём её минимальное значение

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Решив систему, получим искомые значения Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения является несмещенными оценками истинных значений коэффициентов Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения где 

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения несмещенная оценка корреляционного момента (ковариации),
Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения несмещенная оценка дисперсии Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения выборочная ковариация,

  Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения выборочная дисперсия Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – выборочный коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – наблюдаемое экспериментальное значение Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения при Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – предсказанное значение Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяющее уравнению регрессии

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – средневыборочное значение Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – коэффициент детерминации, доля изменчивости Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения объясняемая  рассматриваемой регрессионной моделью. Для парной линейной регрессии Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем сильнее зависимость. При оценке регрессионных моделей это используется для доказательства адекватности модели (качества регрессии). Для приемлемых моделей предполагается, что коэффициент детерминации должен быть хотя бы не меньше 0,5 (в этом случае коэффициент множественной корреляции превышает по модулю 0,7). Модели с коэффициентом детерминации выше 0,8 можно признать достаточно хорошими (коэффициент корреляции превышает 0,9). Подтверждение адекватности модели проводится на основе дисперсионного анализа путем проверки гипотезы о значимости коэффициента детерминации.

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения регрессия незначима

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения регрессия значима

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – уровень значимости 

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – статистический критерий

Критическая область – правосторонняя; Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Если Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения то нулевая гипотеза отвергается на заданном уровне значимости, следовательно, коэффициент детерминации значим, следовательно, регрессия адекватна.

Мощность статистического критерия. Функция мощности

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Определение. Мощностью критерия Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза.

Задача: построить критическую область таким образом, чтобы мощность критерия была максимальной.

Определение. Наилучшей критической областью (НКО) называют критическую область, которая обеспечивает минимальную ошибку второго рода Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

По паспортным данным автомобиля расход топлива на 100 километров составляет 10 литров. В результате измерения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки были проведены испытания 25 автомобилей с модернизированным двигателем; выборочная средняя расхода топлива по результатам испытаний составила 9,3 литра. Предполагая, что выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности с математическим ожиданием Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения и дисперсией Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения проверить гипотезу, утверждающую, что изменение конструкции двигателя не повлияло на расход топлива.

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

3) Уровень значимости Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

4) Статистический критерий

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

5) Критическая область – левосторонняя

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения  следовательно Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения отвергается на уровне значимости Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

В условиях примера 1 предположим, что наряду с Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения рассматривается конкурирующая гипотеза Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения а критическая область задана неравенством Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Найти вероятность ошибок I рода и II рода.

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения автомобилей имеют меньший расход топлива)

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения  автомобилей, имеющих расход топлива 9л на 100 км, классифицируются как автомобили, имеющие расход 10 литров).

Определение. Пусть проверяется Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – критическая область критерия с заданным уровнем значимости Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения Функцией мощности критерия Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения называется вероятность отклонения Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения как функция параметра Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения т.е.

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – ошибка 1-ого рода

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – мощность критерия

Пример:

Построить график функции мощности из примера 2 для Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения попадает в критическую область.

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Какой минимальный объем выборки следует взять в условии примера 2 для того, чтобы обеспечить Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Лемма Неймана-Пирсона.

При проверке простой гипотезы Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения против простой альтернативной гипотезы Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения наилучшая критическая область (НКО) критерия заданного уровня значимости Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения состоит из точек выборочного пространства (выборок объема Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения для которых справедливо неравенство:

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – константа, зависящая от Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – элементы выборки;

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения – функция правдоподобия при условии, что соответствующая гипотеза верна.

Пример:

Случайная величина Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения имеет нормальное распределение с параметрами Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения известно. Найти НКО для проверки Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения против Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияпричем Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Ошибка первого рода: Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

НКО: Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Для зависимостиРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения заданной корреляционной табл. 13, найти оценки параметров Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения уравнения линейной регрессии Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения остаточную дисперсию; выяснить значимость уравнения регрессии при Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Решение. Воспользуемся предыдущими результатами

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Согласно формуле (24), уравнение регрессии будет иметь вид Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения тогда Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Для выяснения значимости уравнения регрессии вычислим суммы Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияСоставим расчетную таблицу:

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Из (27) и (28) по данным таблицы получим Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решенияРегрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения по табл. П7 находим Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения 

Вычислим статистику

Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

Так как Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения то уравнение регрессии значимо. Остаточная дисперсия равна Регрессионный анализ - определение и вычисление с примерами решения

  • Корреляционный анализ
  • Статистические решающие функции
  • Случайные процессы
  • Выборочный метод
  • Проверка гипотезы о равенстве вероятностей
  • Доверительный интервал для математического ожидания
  • Доверительный интервал для дисперсии
  • Проверка статистических гипотез

Добавить комментарий