Как найти дисперсию портфеля акций

What Is Portfolio Variance?

Portfolio variance is a measurement of risk, of how the aggregate actual returns of a set of securities making up a portfolio fluctuate over time. This portfolio variance statistic is calculated using the standard deviations of each security in the portfolio as well as the correlations of each security pair in the portfolio.

Understanding Portfolio Variance

Portfolio variance looks at the co-variance or correlation co-efficients for the securities in a portfolio. Generally, a lower correlation between securities in a portfolio results in a lower portfolio variance.

Portfolio variance is calculated by multiplying the squared weight of each security by its corresponding variance and adding twice the weighted average weight multiplied by the co-variance of all individual security pairs.

Modern portfolio theory says that portfolio variance can be reduced by choosing asset classes with a low or negative correlation, such as stocks and bonds, where the variance (or standard deviation) of the portfolio is the x-axis of the efficient frontier.

Formula and Calculation of Portfolio Variance

The most important quality of portfolio variance is that its value is a weighted combination of the individual variances of each of the assets adjusted by their co-variances. This means that the overall portfolio variance is lower than a simple weighted average of the individual variances of the stocks in the portfolio.

The formula for portfolio variance in a two-asset portfolio is as follows:

• Portfolio variance = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂Cov_1,2

Where:

• w₁ = the portfolio weight of the first asset
• w₂ = the portfolio weight of the second asset
• σ₁ = the standard deviation of the first asset
• σ₂ = the standard deviation of the second asset
• Cov_1,2 = the co-variance of the two assets, which can thus be expressed as p_(1,2)σ₁σ₂, where p_(1,2) is the correlation co-efficient between the two assets

As the number of assets in the portfolio grows, the terms in the formula for variance increase exponentially. For example, a three-asset portfolio has six terms in the variance calculation, while a five-asset portfolio has 15.

Portfolio Variance and Modern Portfolio Theory

Modern portfolio theory (MPT) is a framework for constructing an investment portfolio. MPT takes as its central premise the idea that rational investors want to maximize returns while also minimizing risk, sometimes measured using volatility. Investors seek what is called an efficient frontier, or the lowest level of risk and volatility at which a target return can be achieved.

Risk is lowered in MPT portfolios by investing in non-correlated assets. Assets that might be risky on their own can actually lower the overall risk of a portfolio by introducing an investment that will rise when other investments fall. This reduced correlation can reduce the variance of a theoretical portfolio.

In this sense, an individual investment’s return is less important than its overall contribution to the portfolio, in terms of risk, return, and diversification.

The level of risk in a portfolio is often measured using standard deviation, which is calculated as the square root of the variance. If data points are far away from the mean, then the variance is high, and the overall level of risk in the portfolio is high as well. Standard deviation is a key measure of risk used by portfolio managers, financial advisors, and institutional investors. Asset managers routinely include standard deviation in their performance reports.

Example of Portfolio Variance

For example, assume there is a portfolio that consists of two stocks. Stock A is worth $50,000 and has a standard deviation of 20%. Stock B is worth $100,000 and has a standard deviation of 10%. The correlation between the two stocks is 0.85. Given this, the portfolio weight of Stock A is 33.3% and 66.7% for Stock B. Plugging in this information to the formula, the variance is calculated to be:

• Variance = (33.3%^2 × 20%^2) + (66.7%^2 × 10%^2) + (2 × 33.3% × 20% × 66.7% × 10% × 0.85) = 1.64%

Variance is not a particularly easy statistic to interpret on its own, so most analysts calculate the standard deviation, which is simply the square root of variance. In this example, the square root of 1.64% is 12.81%.

The Bottom Line

Variance is a statistical measure of the volatility or risk of a portfolio and the individual securities in it. Variance itself is not the main number to pay attention to, but rather its standard deviation, which is the square root of a portfolio’s variance. The higher the standard deviation, the more risk the portfolio is carrying, while the opposite is true for a low standard deviation.

Standard deviation is in turn a factor of the variance and correlation of the securities in a portfolio. If the standard deviation is deemed too high or risky, the portfolio manager can adjust their holdings to incorporate lower correlation assets in the portfolio and potentially lower the standard deviation or risk of the portfolio.

Разница в портфеле

По мере роста числа активов в портфеле члены формулы для дисперсии растут экспоненциально. Например, портфель из трех активов имеет шесть членов при расчете дисперсии, а портфель из пяти активов — 15.

Дисперсия портфеля и современная теория портфеля

Современная теория портфеля (MPT) представляет собой основу для построения инвестиционного портфеля. В основе MPT лежит идея о том, что рациональные инвесторы хотят максимизировать доходность, одновременно минимизируя риск, иногда измеряемый с помощью волатильности . Инвесторы стремятся к так называемой эффективной границе или к самому низкому уровню риска и волатильности, при котором может быть достигнута целевая доходность.

Риск портфелей MPT снижается за счет инвестирования в некоррелированные активы. Активы, которые сами по себе могут быть рискованными, могут фактически снизить общий риск портфеля за счет инвестиций, которые будут расти, когда другие инвестиции падают. Эта уменьшенная корреляция может уменьшить дисперсию теоретического портфеля.

В этом смысле доходность отдельных инвестиций менее важна, чем их общий вклад в портфель с точки зрения риска, доходности и диверсификации .

Уровень риска в портфеле часто измеряется с помощью стандартного отклонения, которое рассчитывается как квадратный корень из дисперсии. Если точки данных далеки от среднего, дисперсия высока, и общий уровень риска в портфеле также высок. Стандартное отклонение — это ключевая мера риска, используемая управляющими портфелем, финансовыми консультантами и институциональными инвесторами. Управляющие активами обычно включают стандартное отклонение в свои отчеты о производительности.

Пример отклонения портфеля

Например, предположим, что есть портфель, состоящий из двух акций. Акция A стоит 50 000 долларов и имеет стандартное отклонение 20%. Акция B стоит 100 000 долларов и имеет стандартное отклонение 10%. Корреляция между двумя акциями составляет 0,85. Учитывая это, вес портфеля Акции A составляет 33,3% и 66,7% для Акции B. Подставляя эту информацию в формулу, рассчитывается дисперсия:

• Дисперсия = (33,3% ^ 2 x 20% ^ 2) + (66,7% ^ 2 x 10% ^ 2) + (2 x 33,3% x 20% x 66,7% x 10% x 0,85) = 1,64%

Дисперсия портфеля

В общем случае
дисперсия портфеля, состоящего из n
инвестиционных
активов, имеет вид:

n
n

σ_p²
= ∑ ∑ w_i
w_j
σ_ij (3.9)

i=1
j=1

В частном случае
портфеля, состоящего из двух активов,
дисперсия приобретает

следующий
вид: σ_p²
= w₁²σ₁²
+ w₂²σ₂²
+ 2 w₁
w₂
σ₁₂
,

или,
с учетом
формулы
(3.8),

σ_p²
= w₁²σ₁²
+ w₂²σ₂²
+ 2 w₁
w₂
ρ₁₂
σ₁
σ₂,
(3.10)

В основе современного
подхода к финансовому риску лежит
предположение о невозможности
правильно измерить риск отдельной
ценной бумаги в отрыве от других
составляющих инвестиционного портфеля.
Это положение легко проиллюстрировать,
используя введенное понятие дисперсии
портфеля как количественную меру риска.

Нашей целью будет
показать на примере, как при прочих
равных условиях можно добиться снижения
риска инвестиционного портфеля,
измеряемого его дисперсией, за счет
комбинации инвестиционных активов,
если корреляция последних не является
строго позитивной. Предположим для
простоты, что в распоряжении инвестора
имеются лишь два инвестиционных актива
– актив А и
актив В. Для
иллюстрации именно портфельного
эффекта,
предположим, следуя [Levy,
Sarnat],
что указанные выше активы имеют одинаковые
распределения доходности, не имея при
этом строго позитивной корреляции. Для
определенности предположим, что
корреляция между этими активами нулевая
(ρ_АВ
= 0).
Предположим также, что инвестор может
вложить имеющиеся у него средства либо
только в актив А,
либо только в В,
либо 50% в А,
50% в В.

Если инвестор
вкладывает все средства только в один
актив, то он имеет равные шансы (то есть
вероятность каждого исхода равна 0.5)
как заработать 40 коп. на один вложенный
рубль, так и потерять 20 коп. Это означает,
что ожидаемый доход для портфеля,
составленного из одного актива (А
или В),
составит 40•0.5
+ (-20)•0.5 = 10
коп. на каждый вложенный рубль. Риск
такого портфеля, измеряемый стандартным
отклонением, составит [0.5(40
– 10)²
+ 0.5(-20 – 10)²]^0.5
= 30 коп. на
каждый вложенный рубль. Соответственно,
дисперсия такого портфеля составит 900
коп².
Если инвестор решит распределить свои
вложения поровну между активами А
и В,
то ожидаемый доход в соответствии с
формулой (3.7) составит те же 10 коп.: Ř_p
= w_A
Ř_A
+ w_B
Ř_B
= 0.5•10
+ 0.5•10 = 10 коп. При
этом дисперсия портфеля, рассчитанная
по формуле (3.10) с учетом нулевой корреляции
(ρ_АВ
= 0),
составит:

σ_p²
= w_А²σ_А²
+ w_В²σ_В²
= 0.5²30²
+ 0.5²30²
= 450 коп²,

а
стандартное отклонение будет равно
21.2 коп. Таким образом, риск комбинированного
портфеля существенно снизился по
сравнению с портфелем, состоящим из
одного актива. Этот эффект имеет место
даже несмотря на то, что оба актива,
использованных для комбинации, имеют
идентичные показатели риска и дохода!

Полученный
результат может быть достаточно просто
проиллюстрирован и с позиций теории
вероятностей.

Диверсификация
инвестиционного портфеля

Возвращаясь к
формуле (3.10), легко заметить, что чем
ниже коэффициент корреляции, тем выше
эффект снижения риска в результате
диверсификации. Снижения общего уровня
риска портфеля не будет наблюдаться
только в случае строго позитивной
корреляции между инвестиционными
активами (ρ_АВ
= 1).
Столь же легко заметить, что мера риска
портфеля не равна средневзвешенной
сумме стандартных отклонений или
дисперсий отдельных активов, входящих
в портфель.

Как
уже отмечалось выше, даже в условиях
развитых финансовых рынков весьма
трудно подобрать инвестиционные активы
с негативной корреляцией, идеально
подходящие для диверсификации портфеля.
В лучшем случае инвестиционные активы
будут иметь нулевую, либо слабо негативную
корреляцию. При этом для акций обычно
наблюдается позитивная корреляция,
обусловленная общеэкономическими
условиями. Как следствие, диверсификация
позволяет снизить суммарный риск
портфеля, однако не устраняет его
полностью. Эмпирические исследования
показывают, что обычно достаточно 15-20
случайным
образом
подобранных ценных бумаг, чтобы
практически полностью исчерпать эффект
диверсификации (соответствующая
иллюстрация представлена на рисунке
3.4). Дальнейшее увеличение количества
инвестиционных активов в портфеле не
приводит к сколько-нибудь значимому
снижению риска.

На
основе анализа графической иллюстрации
можно прийти к выводу о теоретической
возможности разбиения суммарного риска
индивидуального инвестиционного актива,
как элемента портфеля, на две составляющие:
диверсифицируемый
(несистемный) и недиверсифицируемый
(системный или рыночный) риск⁴.
Первый можно определить, как риск,
который может быть устранен путем
диверсификации портфеля, элементом
которого конкретный актив является.
Внутренней связи между этой частью
суммарного риска и рыночными колебаниями
не существует. Системный риск путем
диверсификации портфеля устранен быть
не может; он обусловлен внутренней
связью между колебаниями доходности
конкретного актива и изменениями
среднерыночной доходности.

Приведенный
выше анализ портфельного риска не должен
создавать иллюзию возможности
“механического” подхода к
диверсификации инвестиционного портфеля.
Инвестиционные решения имеют достаточно
сложную природу. При этом должны
учитываться не только факторы риска,
но и величина ожидаемого дохода, а также
поведенческие мотивы.

Рис. 3.4. Зависимость
риска от числа финансовых активов в
портфеле

Модель
оценки капитальных активов (САРМ⁵)

Ниже
будет рассмотрена одна из наиболее
важных в теоретическом и практическом
плане проблем финансового менеджмента
– проблема выработки системного подхода
к оценке финансовых активов.

Формулы
оценки финансовых активов как
дисконтированной стоимости будущих
денежных потоков, как было показано в
предыдущем разделе, базируются на
использовании некоторой ставки
дисконтирования. Именно величина
последней и определяет в значительной
степени оценочную стоимость актива.
Установление зависимости между уровнем
риска, присущим конкретному инвестиционному
активу и ожидаемой доходностью и
составляет, таким образом, задачу,
разрешить которую призвана рассматриваемая
модель. Рассмотрение модели САРМ
(читается кяпэм)
именно в курсе финансового менеджмента
обусловлено тем обстоятельством, что
подобная модель необходима при управлении
финансами предприятия как инструмент
анализа при принятии инвестиционных
решений, максимизирующих ожидаемый
доход при заданном уровне риска. Используя
модель САРМ, следует, однако, иметь в
виду, что, как и любая другая модель, она
является лишь приближением реальной
действительности, которое лишь с
определенной долей условности отражает
реальную ситуацию на фондовом рынке.
Современная финансовая наука наработала
и другие подходы к оценке зависимости
между риском и ожидаемой доходностью,
в частности теорию арбитражного
ценообразования С.Росса.

Основными
допущениями, положенными в основу модели
САРМ, являются (приводятся по [Бригхем,
Гапенски] и
[Levy,
Sarnat]):

1. Основной целью
   каждого инвестора (который предполагается
   несклонным к риску) является максимизация
   возможного прироста своего достояния
   на конец планируемого периода; при этом
   инвестиционные решения основываются
   на использовании правила достижения
   компромисса между ожидаемым доходом
   и риском, измеренным при помощи среднего
   квадратичного отклонения

2. Все инвесторы
   могут получать и выдавать неограниченные
   по размерам ссуды по некоторой безрисковой
   процентной ставке r_f;
   ограничений на “короткие продажи”
   любых активов не существует (под
   “короткими продажами” понимается
   продажа покупателем акций, которыми
   он не владеет, с целью их последующего
   выкупа по более низкой цене)

3. Все инвесторы
   имеют одинаковые ожидания относительно
   дохода, дисперсии и ковариации активов.
   Другими словами, можно сказать, что все
   инвесторы находятся в равных условиях
   в плане доступа к информации, необходимой
   для принятия инвестиционных решений

4. Все активы абсолютно
   делимы и совершенно ликвидны (то есть,
   всегда могут быть проданы на рынке по
   существующей цене)

5. Трансакционнные
   издержки и налоги игнорируются

6. Все инвесторы
   принимают цену как экзогенно заданную
   величину (то есть, предполагают, что
   сделки с ценными бумагами не влияют на
   уровень цен последних)

7. Количество всех
   финансовых активов заранее определено
   и фиксировано

8. Инвестиционный
   горизонт постоянен для всех инвесторов
   (то есть, все инвестиционные решения
   принимаются в определенный момент
   времени, а инвестиции делаются на один
   и тот же период).

Перечисленные
допущения являются весьма жесткими и
неосуществимыми на практике. Последующий
анализ применимости модели САРМ
(проведенный, главным образом, в условиях
американского фондового рынка) позволил
несколько ослабить строгость некоторых
из этих допущений. Тем не менее, вывод
о степени применимости данной модели
лежит в области эмпирических исследований
[Бригхем,
Гапенски].

Сделанные допущения
позволят построить равновесную (то
есть, устанавливающую равновесие между
риском и ожидаемым доходом на инвестиционный
актив) модель рынка капиталов. Само
использование термина равновесный
применительно
к рынку, на котором цены непрерывно
изменяются, может вызвать внутренний
протест. Для разрешения кажущегося
противоречия полезно использовать
аналогию анализируемого явления с
погоней собак за механическим зайцем
на собачьих бегах [Levy,
Sarnat]:
“равновесие” достижимо, только
если одна из собак настигнет зайца, но
этого никогда
не случается.
Однако, осознание существования зайца
(равновесие!) позволяет объяснить (и
даже предсказать) поведение собак, в
противном случае труднообъяснимое.

В наиболее
продвинутых курсах финансового
менеджмента до введения концепции
коэффициента Бета (β)
и линии рынка
ценной бумаги
принято вводить в рассмотрение понятие
линии рынка
капитала.
Не углубляясь в теорию инвестирования,
ограничимся лишь ее аналитической
формулой, графической иллюстрацией
(рис. 3.5) и экономической интерпретацией.

Линия
рынка капитала представляет собой
графическое изображение линейной
зависимости между ожидаемой доходностью
инвестиционного портфеля ř_p
с одной
стороны, и мерой портфельного риска –
стандартным отклонением σ_p,
с другой:

Рис.
3.5. Линия рынка капитала

σ

ř_p

^ř_m

^r_f

_m σ_p

Сама
зависимость имеет вид:

ř_p
= r_f
+ ^ř_m
^{– r}_f
σ_p. (3.11)

σ_m

В этом уравнении
через ř_m
обозначен
ожидаемый доход рыночного портфеля, в
то время как ожидаемая доходность ř_p
относится к так называемому эффективному
портфелю, обеспечивающему максимальную
ожидаемую доходность при любом уровне
риска или минимальный уровень риска
при любой ожидаемой доходности (подробнее
эффективные инвестиционные портфели
будут рассмотрены ниже).

Читателю, знакомому
с началами аналитической геометрии,
уравнение (3.11) напомнит уравнение прямой
с угловым коэффициентом. При этом наклон
прямой (тангенс угла наклона) определяется
отношением премии за рыночный риск (ř_m
– r_f)
к стандартному отклонению рыночного
портфеля σ_m.
Очевидно, что чем большую премию за риск
ожидает инвестор, тем большую величину
имеет разность (ř_m
– r_f),
и тем, соответственно, больше угол
наклона линии рынка капитала к
горизонтальной оси.

Использованные
понятия безрисковой ставки, доходности
и стандартного отклонения рыночного
портфеля также, очевидно, нуждаются в
конкретизации. В частности, в качестве
безрисковой ставки в большинстве случаев
принято использовать значение доходности
по самым краткосрочным (чтобы минимизировать
влияние процентного риска) государственным
ценным бумагам. При этом следует иметь
в виду, что в большинстве стран к
государственным относят лишь бумаги,
выпускаемые федеральным (национальным)
казначейством. Понятие “рыночного
портфеля” теоретически включает все
ценные бумаги, присутствующие на рынке.
Очевидно, что на практике приходится
ограничиваться определенным набором
основных компонентов рынка. В частности,
может быть использован какой либо из
наиболее распространенных индексов (в
США это, например, Standard
& Poor‘s
Stock
Price
Index).

Логично,
что следующим шагом будет переход от
риска и ожидаемой доходности портфеля
к риску и ожидаемой доходности отдельной
ценной бумаги. При этом в рамках

модели САРМ
несистемная (диверсифицируемая)
составляющая общего (суммарного) риска
(см. рис. 3.4) индивидуальной
ценной бумаги
уже не рассматривается, так как
предполагается возможность его устранения
путем диверсификации инвестиционного
портфеля.

Концепция
коэффициента Бета (β)

Как уже отмечалось
выше, риск каждой отдельной ценной
бумаги в инвестиционном портфеле зависит
от ее корреляции с остальными составляющими
портфеля. Принять во внимание коэффициенты
корреляции каждого актива, входящего
в портфель, особенно если этот портфель
рыночный, достаточно затруднительно.
Модель САРМ использует единую меру
недиверсифицируемого риска отдельной
ценной бумаги – коэффициент β.

В
соответствии с допущениями САРМ между
риском и ожидаемой доходностью на i–тую
ценную бумагу в портфеле ř_i
устанавливается следующее равновесное
соотношение:

ř_i
= r_f
+ ^ř_m
^{– r}_f
σ_im. (3.12)

σ_m²

В соотношении
(3.12) σ_im.
представляет собой ковариацию между
доходностью i–той
ценной бумаги и доходностью рыночного
портфеля. Анализ зависимости (3.12)
показывает, что ожидаемый доход на
индивидуальную ценную бумагу может
быть представлен как сумма ставки
безрисковой доходности и рыночной
риск-премии (ř_m
– r_f),
взятой с некоторым коэффициентом. Этот
коэффициент, обозначаемый β_i,
учитывает степень вклада рассматриваемой
i–той
ценной бумаги в суммарный риск рыночного
портфеля:

β_i
= σ_im
/
σ_m² (3.13)

Таким образом,
β-коэффициент
служит мерой недиверсифицируемой
составляющей риска, показывая, насколько
рыночная риск-премия увеличивает уровень
риска конкретной ценной бумаги по
сравнению с безрисковым активом. Чем
выше коэффициент β,
тем выше уровень системного риска и,
соответственно, выше уровень ожидаемой
на эту ценную бумагу доходности. Другими
словами, чем лучше конкретная ценная
бумага ко-вариирует с рыночной доходностью,
тем выше будет ожидаемый на нее доход,
определяемый в процессе рыночного
ценообразования на данную бумагу.

Зависимость (3.12)
имеет простую геометрическую интерпретацию.
Линия, выраженная уравнением (3.12), носит
название линии
рынка ценной бумаги
(рис. 3.6). График этой линии представляет
собой прямую, пересекающую вертикальную
ось при β_i
= 0 (для безрисковой ценной бумаги). Этой
точке пересечения соответствует
безрисковая ставка доходности r_f
. Соответственно вклад i–той
ценной бумаги в суммарный риск рыночного
портфеля равен нулю. Если β_i
= 1,
то инвестиционный актив имеет такой же
уровень риска, как и рыночный портфель.
Наклон линии рынка ценной бумаги
характеризует степень склонности (а,
точнее, несклонности) инвесторов к риску
в конкретных экономических условиях.

С течением времени
положение линии рынка ценной бумаги в
пространстве может меняться. Линия
может перемещаться параллельно самой
себе (сдвигаться) в результате изменения
безрисковой ставки, например, в результате
инфляции. Очевидно, что в этом

случае
на соответствующую величину будет
меняться и ожидаемая доходность остальных

активов
рыночного портфеля. С другой стороны,
линия рынка ценной бумаги может менять

свое
положение в пространстве, поворачиваясь
относительно безрисковой ставки r_f.

ř_i

^ř_m

^r_f

0 1 β_i

Рис.
3.6. Линия рынка ценной бумаги

Последнее
может быть связано, в частности, с
оптимизмом или пессимизмом инвесторов
в отношении перспектив экономического
развития.

Кроме того, с
течением времени может меняться и сам
коэффициент β,
характерный для конкретной компании.
Это может происходить, в частности, в
результате изменения как структуры
капитала фирмы, так и структуры ее
активов, и, как следствие, изменения
общего уровня риска ценных бумаг фирмы.
Кроме того, к изменению коэффициента β
могут привести внешние факторы, такие,
например, как изменяющийся уровень
конкуренции. Возможность изменения
β-коэффициента
по сравнению со значением, вычисленным
по историческим данным необходимо
учитывать при использовании этого
коэффициента в практических целях.

Практическое
использование β–коэффициента,
как правило, основано на предположении,
что вычисленное по историческим данным
значение β
(так называемое историческое,
или фактическое
β) достаточно
хорошо отражает уровень будущего
риска и, соответственно уровень ожидаемого
в будущем
дохода. При таком предположении
пользование формулой (3.12) для расчета
ожидаемого от инвестиции в конкретную
ценную бумагу дохода затруднений не
вызывает. При необходимости могут быть
использованы различные методы коррекции
для получения уточненных
или
фундаментальных
β (подробно
эти методы рассмотрены в фундаментальных
курсах финансового менеджмента – см.,
например, [Бригхем,
Гапенски,
гл.6]). Пример расчета β
–коэффициента по историческим данным
приведен в Приложении 1 к настоящему
разделу.

На практике значения
коэффициента β
обычно лежат в пределах от 0.5 до 2, хотя
возможны и выходящие за пределы этого
интервала значения. Для диверсификации
инвестиционного портфеля наиболее
привлекательны ценные бумаги с низкими
β,
хотя их число в общей структуре рынка
весьма незначительно. Как отечественные
([Ковалев]),
так и зарубежные ([Бригхем,
Гапенски],
[Levy,
Sarnat]
и др.) пособия по финансовому менеджменту
обычно содержат примеры рассчитанных
на основе исторической информации
значений коэффициента β
для наиболее
известных компаний.
В качестве
суррогата рынка в условиях США чаще
всего используются либо уже упоминавшийся
индекс Standard
& Poor‘s
500, либо
индекс курсов акций Нью-Йоркской фондовой
биржи (NYSE
Composite
Index).
В российской практике также имеется
опыт расчета β
–коэффициентов агентством АК&М,
результаты которого которые публиковались
в экономической печати. При этом,
используя те или иные опубликованные
данные, следует иметь в виду, что даже
в условиях развитых финансовых рынков
рассчитанные значения показателя β
зависят от ряда субъективных факторов,
в частности временного периода, за
который исчисляется доходность, структуры
и состава суррогата, используемого в
качестве “рыночного” портфеля.

В случаях, когда
необходимо оценить уровень ожидаемой
доходности вложения в акции компании,
для которой не существует рассчитанного
по историческим данным

коэффициента β,
либо в проект, относящийся к виду
деятельности, которым данная компания
до этого не занималась, приходится
использовать данные так называемых
“компаний-представителей”,
действующий в конкретной отрасли.
Подробнее процесс поиска и использования
таких “компаний-представителей”
описан в [Ван
Хорн, гл.
15].

Достаточно часто
возникает вопрос: почему в курсе
финансового менеджмента столько внимания
уделяется инвестициям именно в ценные
бумаги, а не в какие-либо иные материальные
или нематериальные активы, с чем,
собственно, обычно и сталкивается
предприятие прежде всего? Кроме того
очевидного объяснения, что финансовый
менеджмент является базовым курсом, и
большинство его разделов при более
глубоком изучении финансов развивается
в самостоятельной курс (в частности,
Корпоративных финансов или Управления
инвестициями), существуют и другие
причины. В частности, если принять
максимизацию достояния акционеров в
качестве основной цели управления
финансами на предприятии, то главным
объектом изучения естественным образом
становятся акции фирмы – их риск и
доходность, а риск любого материального
актива рассматривается с точки зрения
его влияния на риск акций (и доходность)
[Бригхем,
Гапенски].
Теоретически не только акции, но и другие
активы могут стать предметом анализа
при вычислении коэффициента β.
Однако на практике для расчета используются
практически исключительно акции, в
первую очередь в силу невозможности
достаточно точно оценить доходность
прочих инвестиционных инструментов.

Применимость
модели САРМ до сих пор является предметом
широких дискуссий среди ученых-финансистов.
Существует ряд исследований, как
поддерживающих применение модели, так
и ставящих ее под сомнение. С одной
стороны, модель является фундаментальной
в концептуальном плане, позволяющей на
основе использования однопараметрической
модели проиллюстрировать зависимость
между риском и ожидаемой доходностью.
С другой стороны, целый ряд эмпирических
исследований не подтвердил зависимости
между β
–коэффициентами и историческими
доходностями конкретных акций. Тем не
менее, нельзя не согласиться с Ю.Бригхемом
и Л.Гапенски в том, что факт отсутствия
такой зависимости по результатам
статистических выборок недостаточен
для опровержения концепции САРМ [Бригхем,
Гапенски,
т.1, с 93] . Все дело в том, что модель САРМ
представляет собой модель оценки
ожидаемых
значений доходности, и, как таковая,
может быть признана логически обоснованной.

В заключение можно
привести формулу для β-коэффициента
портфеля:

n

β_p
= ∑
w_i
β_i. (3.14)

i=1

Как и выше, w_i
представляют
собой веса соответствующих ценных бумаг
в портфеле. В соответствии с соотношением
(3.14) общий уровень риска портфеля, мерой
которого служит β_p,
будет повышаться либо снижаться при
добавлении в портфель ценной бумаги
соответственно с β
<1 или
β >1.

Управление
инвестиционным портфелем*

Приведенные
выше критерии выбора инвестиций в случае
одиночных активов были распространены
Г.Марковицем на инвестиционные портфели.
Ниже будут рассмотрены основные принципы
формирования инвестиционного портфеля
(детальное изложение современных
подходов к формированию инвестиционного
портфеля и управлению портфельными
инвестициями выходит далеко за пределы
базового курса финансового менеджмента
и рассматривается в специальных курсах).

Очевидно,
что, формируя инвестиционный портфель,
инвестор будет объективно руководствоваться
принципом оптимизации соотношения
между риском и доходностью. Как уже
отмечалось выше, это означает, что при
любом заданном уровне риска инвестор
будет стремиться к максимизации ожидаемой
доходности, а при заданной ожидаемой
доходности – стремиться к минимизации
риска.
Портфели, удовлетворяющие сформулированным
условиям, носят название эффективных.
Совокупность эффективных портфелей
представляет собой выпуклую⁶
кривую BCDE
на Рис. 3.7 и носит название набора
эффективных портфелей или
границы
эффективности.
Все остальные портфели, находящиеся
внутри фигуры ABCDEGH
(помечены цифрой 2) представляют собой
набор возможных
портфелей (допустимое множество). Вне
этой фигуры лежат портфели, не являющиеся
возможными.

r_p

Е

D

1

А

B

C

G

H

2

σ_p

Рис.
3.7. Эффективный набор и допустимое
множество портфелей.

Технически
построение кривой границы эффективности
не представляет большой сложности;
соответствующие методы изложены в
специальных курсах. Однако это еще не
решает основной задачи – выбораоптимального
с точки зрения инвестора портфеля,
отражающего его (инвестора) уровень
толерантности к риску. Характеристикой
степени толерантности (несклонности)
инвесторов к риску служат так называемые
кривые
безразличия;
при этом для каждого инвестора можно
построить целое семейство таких кривых
(рис 3.8). Очевидно, что с точки зрения
конкретного инвестора оптимальным
будет портфель, соответствующий точке
касания одной из соответствующих кривых
безразличия с границей эффективности.

Необходимо
отметить, что приведенные выше рассуждения
отнюдь не означают, что инвестор, формируя
инвестиционный портфель, выполняет все
описанные процедуры. Скорее наоборот,
эти процедурымоделируют
поведение инвестора, делая возможным
управление инвестиционными процессами.

r_p
%

B

σ_p,
%

А

Рис. 3.8.
Выбор оптимального портфеля из набора
эффективных.

Приложение
1.
Вычисление коэффициента β

Расчет
β– коэффициента по фактическим
(историческим) данным сводится к
построению так называемойхарактеристической
линии, часто называемой такжелинией
регрессии (графиком регрессионной
зависимости) [Бригхем, Гапенски].
Характеристическая линия представляет
собой график зависимости между доходностью
рыночного портфеля (то есть, суррогата,
его заменяющего) и доходностью ценной
бумаги, для которой рассчитывается
коэффициентβ. Для построения
зависимости используются статистические
методы. При этом сама характеристическая
линия аппроксимируется прямой, тангенс
угла наклона которой к горизонтальной
оси и есть коэффициентβ.

В качестве примера
вычисления используем расчет по
гипотетическим данным, приведенный в
[Levy,
Sarnat,
с. 190]. Вычисления можно проводить как с
использованием специального финансового
калькулятора, так и при помощи электронных
таблиц Excel
(последнее является более предпочтительным,
так как позволяет наглядно, в распечатанном
виде представить результаты расчета).

В
рассматриваемом гипотетическом примере
представлены данные, показывающие
доходность некоторой ценной бумаги r_i
и доходность рыночного портфеля r_m
за период с 1978 по 1987 год (см. таблицу).
Если принять безрисковую процентную
ставку r_f

постоянной
в течение всего периода, уравнение
регрессии может быть представлено в
виде:

r_it
= α_i
+ β_i
r_mt
+ e_t
(3.15)

На
основании этого уравнения и может быть
рассчитан коэффициент β.
В этом
уравнении

r_it
– фактический доход на i–тую
ценную бумагу в году t;

r_mt
– фактическая
доходность рыночного портфеля в году
t;

α_i
– точка пересечения характеристической
линии i–той
ценной бумаги с вертикальной осью;

β_i
– наклон характеристической линии, или
мера системного риска;

e_t
– случайная ошибка, отражающая различие
между фактической доходностью i–той
ценной бумаги в году t
и доходностью, прогнозируемой при помощи
характеристической линии.

Используя
известные соотношения для определения
β_i,
можно записать:

n
n

β_i
= σ_im
/ σ_m²
= ∑ p_t
(r_it
– ř_i)
(r_mt
– ř_m)
/ ∑ p_t
(r_mt
– ř_m)². (3.16)

t=
1 t=
1

В
рассматриваемом примере n
= 10, а значения
вероятностей p_t
равны
единице, так как речь идет о фактической
доходности. Результаты вычислений
представлены в таблице 3.1.

В
качестве упражнения рекомендуется
приближенно построить характеристическую
линию в прямоугольной декартовой системе
координат. Для этого по горизонтальной
оси необходимо отложить значения
доходности рыночного портфеля по годам
с 1978 по 1987, а по вертикальной оси – доход
на i–тую
ценную бумагу за те же периоды. Вычислив
тангенс угла наклона построенной прямой
к горизонтальной оси, следует сравнить
его с исчисленным по формуле (3.16) значением
β_i.

Таблица
3.1. Вычисление коэффициента β.

Год	ri	rm	ri – ři	rm – řm	(ri – ři)(rm – řm)	(rm – řm)2
1978	5,20	7,40	-17,83	-12,40	221,09	153,76
1979	7,30	8,20	-15,73	-11,60	182,47	134,56
1980	10,10	12,30	-12,93	-7,50	96,98	56,25
1981	15,40	16,90	-7,63	-2,90	22,13	8,41
1982	19,80	19,10	-3,23	-0,70	2,26	0,49
1983	24,90	22,50	1,87	2,70	5,05	7,29
1984	29,70	25,10	6,67	5,30	35,35	28,09
1985	35,20	26,40	12,17	6,60	80,32	43,56
1986	40,10	29,80	17,07	10,00	170,70	100,00
1987	42,60	30,30	19,57	10,50	205,49	110,25
Итого:	230,30	198,00			1021,83	642,66
Среднее	23,03 ři	19,80 řm

В
соответствии с формулой (3.16) β_i.=
1021.83/642.66 =
1.59.

Задачи для
самостоятельного решения

Задача 3.1.
Инвестиционный фонд владеет акциями
пяти компаний, которые характеризуются
следующими данными:

	Рыночная стоимость инвестиции	Ожидаемая доходность	Дисперсия
Акции А	$19000	32%	8.6
Акции В	$28000	17%	4.8
Акции С	$23000	25%	7.4
Акции D	$14000	38%	14.0
Акции Е	$10000	21%	6.8

а. Найдите ожидаемую
доходность инвестиционного портфеля,
состоящего из акций А, В, С, D
и Е;

б. Найдите ожидаемую
доходность и дисперсию портфеля,
состоящего из акций А и В, если коэффициент
корреляции равен 0.4 (при заданных объемах
инвестирования);

в. Найдите ожидаемую
доходность и дисперсию портфеля,
состоящего из акций С и D,
если коэффициент корреляции равен -0.4
(при заданных объемах инвестирования);

г. Найдите ожидаемую
доходность и дисперсию портфеля,
состоящего из акций Е и D,
если их ожидаемые доходности статистически
независимы (при заданных объемах
инвестирования).

Задача 3.2.
Инвестиционный портфель международной
фирмы состоит из акций, принадлежащих
двум индексам: RTA
и S&P.
В каждый из индексов вложено по $10 млн.
Полагая, что ожидаемая доходность на
эти индексы статистически независима,
найдите ожидаемую доходность и дисперсию
всего портфеля при следующих условиях:

RTA	6% c вероятностью 70%	9% с вероятностью 30%
S&P	-2% с вероятностью 20%	12% с вероятностью 80%

Как изменятся
ожидаемый доход и дисперсия портфеля,
если

а. коэффициент
корреляции акций будет равным 1, -1?

Б. при коэффициенте
корреляции равном 0.5 портфель будет
состоять на 80% из акций S&P
при том же суммарном объеме инвестиций?

Портфолио Формула отклонений – Как рассчитать отклонение портфеля?

• Формула дисперсии портфеля

Формула дисперсии портфеля (Содержание)

• Формула дисперсии портфеля
• Примеры формулы отклонения портфеля (с шаблоном Excel)

Формула дисперсии портфеля

Дисперсия портфеля – это мера дисперсии доходности портфеля. Это относится к общей доходности портфеля за определенный период времени. Формула дисперсии портфеля широко используется в современной теории портфеля. Формула дисперсии портфеля измеряется путем возведения в квадрат весов отдельных акций в портфеле, а затем умножения его на стандартное отклонение отдельных активов в портфеле и его возведения в квадрат. Затем числа складываются из ковариации отдельных активов, умноженной на два, также умноженной на вес каждой акции, также умноженной на корреляцию между различными акциями, присутствующими в портфеле. Следовательно, формула может быть обобщена как

Variance = (w(1)^2 * o(1)^2) + (w(2)^2 * o(2)^2) + (2 * (w(1)*o(1)*w(2)*o(2)*q(1, 2)))

Где символы обозначают: –

• W (1) : Вес одной акции в портфеле в квадрате.
• O (1): стандартное отклонение одного актива в портфеле в квадрате.
• W (2): Вес второй акции в портфеле в квадрате.
• O (2): стандартное отклонение второго актива в квадрате портфеля.
• Q (1, 2): корреляция между двумя активами в портфеле была обозначена как q (1, 2).

Примеры формулы отклонения портфеля (с шаблоном Excel)

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять расчет формулы отклонения портфеля.

Вы можете скачать этот шаблон Excel с формулой отклонения портфеля здесь – Шаблон Excel с формулой отклонения портфеля

Формула отклонения портфеля – пример № 1

Предположим, что акции A, акции B, акции C являются акциями недвижимости в портфеле с весами в портфеле 20%, 35% и 45% соответственно. Стандартное отклонение активов составляет 2, 3%, 3, 5% и 4%. Коэффициент корреляции между A и B составляет 0, 6, между A и C – 0, 8, а между B и C – 0, 5.

Дисперсия портфеля рассчитывается по формуле, приведенной ниже

Дисперсия = (w (1) 2 * o (1) 2) + (w (2) 2 * o (2) 2) + (w (3) 2 * o (3) 2) + (2 * (w (1) o (1) w (2) o (2) q (1, 2)) + (2 * (w (1) o (1) w (3) o (3) q ( 1, 3)) + (2 * (w (2) o (2) w (3) o (3) q (2, 3)))

Дисперсия портфеля станет

• Дисперсия = (20% 2 * 2, 3% 2) + (35% 2 * 3, 5% 2) + (45% 2 * 4% 2) + (2 * (20% * 35% * 2, 3%) * 3, 5 * 0, 6)) + (2 * (20% * 45% * 2, 3% * 4% * 0, 8)) + (2 * (35% * 45% * 3, 5% * 4% * 0, 5))
• Дисперсия = 0, 000916

Формула отклонения портфеля – пример № 2

Акции A и B являются двумя акциями в портфеле с доходностью 6% и 11%, а вес акций A составляет 54%, а вес акций B составляет 46%. Стандартное отклонение A и B составляет 0, 1 и 0, 25. У нас также есть информация, что корреляция между двумя акциями составляет 0, 1

Дисперсия портфеля рассчитывается по формуле, приведенной ниже

Variance = (w(1)^2 * o(1)^2) + (w(2)^2 * o(2)^2) + (2 * (w(1)*o(1)*w(2)*o(2)*q(1, 2)))

Дисперсия портфеля станет

• Дисперсия = (6% 2 * 54% 2) + (11% 2 * 46% 2) + (2 * (0, 1 * 0, 25 * 54% * 46 * 0, 1))
• Дисперсия = 0.004847991

объяснение

Формула дисперсии портфеля рассчитывается с помощью следующих шагов: –

Шаг 1: Во-первых, вес отдельных акций, присутствующих в портфеле, рассчитывается путем деления стоимости этих конкретных акций на общую стоимость портфеля.

Шаг 2: Веса после расчета затем возводятся в квадрат.

Шаг 3: Затем рассчитывается стандартное отклонение акции от среднего значения, сначала вычисляя среднее значение портфеля, а затем вычитая доходность этой отдельной акции из среднего дохода портфеля.

Шаг 4: Стандартные отклонения отдельных запасов рассчитываются и возводятся в квадрат.

Шаг 5: Затем он умножается на их вес в портфеле.

Шаг 6: Соотношение акций, присутствующих в портфеле, рассчитывается путем умножения ковариации между акциями в портфеле на стандартное отклонение количества акций в портфеле.

Шаг 7: Формула умножается на 2.

Актуальность и использование дисперсии портфеля

• Формула дисперсии портфеля помогает аналитику понять дисперсию портфеля, и в случае, если аналитик оценил доходность своего портфеля, когда определенный индекс или любой другой фонд, управляющий рынком, он также может проверить дисперсию того же самого
• Это также полезно для нахождения корреляции между двумя активами. Дисперсия говорит аналитику, насколько тесно связаны акции в портфеле.
• Дисперсия портфеля также является мерой риска, когда портфель, показывающий большее отклонение от среднего, означает, что портфель является гораздо более рискованным портфелем и нуждается в подробном анализе. Дисперсия портфеля может быть уменьшена путем выбора ценных бумаг, которые имеют отрицательную корреляцию, например. акции и облигации.

Рекомендуемые статьи

Это было руководство к формуле отклонения портфеля. Здесь мы обсудим, как рассчитать дисперсию портфеля, а также на практических примерах. Мы также предоставляем загружаемый шаблон Excel. Вы также можете посмотреть следующие статьи, чтобы узнать больше –

1. Как рассчитать ожидаемый доход?
2. Формула для взноса
3. Формула эластичности цены
4. Калькулятор формулы взноса взноса
5. Отчет о прибылях и убытках
6. Формула эластичности | Пример с шаблоном Excel

Если вас не напугал подзаголовок, углубимся в портфельную теорию и разберем, как оптимизировать инвестиционную стратегию.

На фондовом рынке много факторов, влияющих на поведение активов, — как макроэкономических, так и свойственных отдельным секторам и компаниям.

Например, финансовый отчет компании может разочаровать инвесторов — и котировки ее акций рухнут.

Изначально нельзя предугадать все факторы, поэтому рынку свойственна неопределенность и риски. В этой статье рассмотрим, как можно снизить их, при этом не сильно потеряв в доходности.

Алгоритм действий следующий:

1. Отберем оптимальные портфели на основе классического подхода Марковица.
2. Составим матрицу выигрышей на основе критерия эффективности Шарпа.
3. Найдем показатели эффективности по критерию Вальда.
4. Рассчитаем матрицу рисков и определим цену игры по критерию Сэвиджа в чистых стратегиях.
5. Свяжем критерии Вальда и Сэвиджа.
6. Определим приоритетную последовательность инвестиционных портфелей.

Поиск оптимального портфеля

Ключевой способ снизить риски при инвестициях — диверсификация. Ее суть заключается в том, что деньги распределяются между различными классами активов, а также между активами внутри одного класса.

В этом отношении инвестору могут помочь ETF — фонды, которые уже состоят из широкой корзины активов. Например, купив пай фонда FXUS, можно разом вложиться в более чем 500 американских компаний из 11 секторов экономики.

Подобное распределение по многим активам позволяет устранить специфические риски — связанные с конкретной компанией или отраслью. Остается только рыночный риск, который нельзя исключить.

Ведь всегда может произойти природный катаклизм, геополитическое событие или появится новый штамм коронавируса, который приведет к панике на фондовом рынке. В этом случае портфель инвестора, скорее всего, уйдет в просадку. Весь вопрос — насколько сильную.

Таким образом, грамотная диверсификация позволит уравновесить портфель и не даст ему сильно просесть в кризис. Принципы диверсификации заложил в 1952 году Гарри Марковиц, предложив миру современную теорию портфеля.

Современная теория портфеля. Основная ее мысль заключается в том, что на фондовом рынке доходность и риск взаимосвязаны.

При этом доходность актива выражается в так называемом математическом ожидании, а риск — в стандартном отклонении доходности. Стандартное отклонение показывает, насколько доходность актива или портфеля может отличаться от его средней доходности. Чем выше стандартное отклонение, тем сильнее разброс возможных результатов и тем выше риск. Простой пример расчета стандартного отклонения можно найти в статье про всепогодную стратегию.

Что же касается математического ожидания, простыми словами — это средний результат или значение показателя, который можно получить при прочих равных условиях.

Среднюю ожидаемую доходность портфеля мы можем посчитать, умножив вес каждого актива на его доходность.

Например, мы имеем портфель, который состоит из активов А и В в пропорции 50/50. При этом ожидаемая доходность актива А равна 10%, а В — 15%. Таким образом, средняя ожидаемая доходность портфеля: 0,5 × 10 + 0,5 × 15 = 12,5%.

Современная теория портфеля утверждает, что для каждого набора активов существует оптимальная смесь, которая дает лучшую доходность при заданном риске. Такой портфель считается оптимальным. А все множество оптимальных портфелей образуют так называемую эффективную границу. К этому понятию мы вернемся чуть позже — и даже нарисуем, как она выглядит.

Если два актива движутся синхронно, коэффициент корреляции будет ближе к +1. Если в противоположных направлениях — ближе к −1. А если корреляция близка к нулю, значит, взаимосвязи почти нет. То есть при росте или падении одного актива другой может никак себя не проявлять.

Например, корреляция акций и облигаций на рынке США в период с 1950 по 2012 год была 0,11. Это значение ближе к 0, чем к 1, поэтому оба инструмента исторически служат отличным диверсификатором друг для друга. И, например, добавив 10% акций к портфелю из облигаций, зачастую можно не только повысить ожидаемую доходность, но и снизить риск портфеля.

С теорией закончили, теперь перейдем к практике. Возьмем две условные акции и составим для них оптимальный портфель.

ШАГ 1

Поиск оптимального портфеля классическим методом по Марковицу

Возвращаясь к теории Марковица, следует отметить, что она подразумевает некоторые допущения:

1. Финансовый рынок обладает высокой ликвидностью, то есть любой актив можно быстро и в любом объеме реализовать на рынке. В действительности же на рынке далеко не у всех ценных бумаг высокая ликвидность. Например, есть акции третьего эшелона, по которым проходит низкий объем торгов. Тем не менее для голубых фишек предположение справедливо.
2. Не учитываются транзакционные издержки и налоги. На деле же издержки в долгосрочной перспективе могут сильно повлиять на итоговую доходность. Об их оптимизации можно прочитать в статье «4 правила успешного инвестирования».
3. Рынок эффективен — то есть вся возникающая информация немедленно и в полном объеме отражается в стоимости активов. В действительности на рынке существует информационная асимметрия — например, кто-то обладает инсайдерскими данными.

В процессе дальнейшего анализа мы будем исходить из перечисленных допущений.

Для начала скачаем данные котировок с сайта mfd.ru — я взял дневную доходность акций за период с 14.01.2015 по 03.04.2020.

Затем посчитал дневную логарифмическую доходность для каждой акции. Это делается, чтобы сгладить сильные колебания цены в течение каждого дня и сделать данные более симметричными, что улучшает точность расчета.

Описательная статистика. Теперь мы можем посчитать ожидаемую доходность каждой бумаги, то есть среднее значение из всех рассчитанных доходностей за период по ценной бумаге, и ее риск — стандартное отклонение и дисперсию.

Еще нужно определить, как ценные бумаги взаимосвязаны между собой, то есть узнать их корреляцию.

Для этого воспользуемся встроенной функцией КОРРЕЛ в «Экселе»: раздел «Анализ данных» — «Корреляция».

На выбранном временном отрезке корреляция между акциями «Русгидро» и «Лукойл» составляет 0,32. То есть они связаны положительно — при росте цены одной бумаги вторая тоже покажет рост. Но все же корреляция не такая сильная, как, скажем, у «Лукойла» с другой компанией из нефтегазовой отрасли, например «Роснефтью». Ведь это компании со схожей бизнес-моделью, зависящие от тех же факторов, в частности от котировок на нефть.

А при корреляции 0,32 между «Лукойлом» и «Русгидро» диверсификация будет работать неплохо, так что мы сможем снизить уровень риска портфеля.

Поиск самых доходных портфелей. Обратимся к вкладке «Анализ» нашей гугл-таблицы. Соберем различные варианты портфелей из выбранных акций, меняя долю каждой с шагом 10%. То есть портфель № 1 состоит только из акций «Русгидро», портфель № 2 — на 90% из акций «Русгидро» и на 10% из акций «Лукойла» и так далее. Получится 11 портфелей.

Для каждого портфеля рассчитаем его ожидаемую доходность и риск, а именно дисперсию. Для оценки последней задействуем следующую формулу:

Сигма в этом случае обозначает стандартное отклонение ценной бумаги, а тета — удельный вес ценной бумаги в портфеле, r₁₂ — коэффициент корреляции между ценными бумагами в портфеле.

График границы эффективности. По полученным данных построим график, который будет показывать связь риска и доходности каждого портфеля. По оси Y выделяем математическое ожидание, по оси Х — дисперсию портфеля. Ниже представлен получившийся график.

В дальнейшем мы будем использовать только эти оптимальные портфели, а именно № 7, 8, 9, 10, 11.

ШАГ 2

Составляем матрицу выигрышей на основе критерия эффективности Шарпа

Чтобы оценить, какой из пяти полученных портфелей подходит лучше всего, необходимо задать условия неопределенности. Ведь инвестор всегда действует в таких условиях. Например, он не знает, какими будут через год курс доллара и политическая ситуация в стране.

«Условия неопределенности» будем рассматривать на промежутках 2016, 2017, 2018, 2019 годов. А сама неопределенность заключается в том, что мы наверняка не можем знать доходность и риск активов из года в год.

Теперь нам необходимо рассчитать доходность и риск двух ценных бумаг для каждого года, а не за весь период, как делали ранее. Для расчета мы также будем использовать эксель-программу «Описательная статистика» из раздела «Анализ данных». Мы оцениваем данные отдельно за каждый период, чтобы можно было составить матрицу рисков для полноценного использования инструментария теории игр, в частности критериев Вальда и Сэвиджа.

Результаты расчетов представлены на вкладке «Описательные статистики». Там же мы аналогично составим корреляционные матрицы, математическое ожидание и дисперсии для каждого года.

Оценка эффективности. Для оценки эффективности управления портфелем ценных бумаг существует довольно много коэффициентов, но базовые — Шарпа и Трейнора.

Формулы для расчета данных коэффициентов Шарпа и Трейнора следующие:

Числители у коэффициентов одинаковы — разница между доходностью портфеля и доходностью безрискового вложения, то есть реальная доходность от инвестиций. А в знаменателе учитывается риск, который мы на себя приняли.

Эти коэффициенты показывают, сколько пунктов доходности мы получили на единицу риска.

Получившаяся таблица — лишь промежуточные данные, которые понадобятся для дальнейших расчетов, а именно при расчете критериев Вальда и Сэвиджа. О них пойдет речь ниже.

В каждой ячейке таблицы содержатся данные о коэффициенте Шарпа для определенного портфеля в определенном году.

ШАГ 3

Ищем показатели эффективности по критерию Вальда

Синтетический критерий Вальда — Сэвиджа — популярный метод нахождения оптимальных стратегий в теории игр. Он позволяет в полной мере отразить портфельную теорию Марковица, так как связывает выигрыши игрока в условиях неопределенности с его рисками. Рассмотрим критерии Вальда и Сэвиджа более детально.

Критерий Вальда. Определяет оптимальность стратегии с позиции выигрыша. Суть критерия Вальда такой: он обеспечивает максимальный среди минимальных выигрышей. Например, если есть три безрисковых портфеля, мы выберем тот, что имеет наибольшую доходность. Здесь можно провести аналогию с эффективной границей Марковица.

В итоге мы должны получить «гарантированный результат» — тот, на который рассчитывает инвестор независимо от неопределенности на рынке. Поэтому в литературе критерий Вальда также называют принципом гарантированного результата.

Критерию Вальда соответствует столбец Wi в таблице ниже: сначала оцениваем минимальные выигрыши по каждому портфелю, а затем берем максимальный среди этих минимальных. Такое значение помечено синим цветом. Оно соответствует портфелю № 11.

Критерий Сэвиджа. С другой стороны, оптимальной стратегией для инвестора по критерию Сэвиджа будет та, что обеспечит минимальный среди максимальных рисков. Этот критерий еще называют критерием крайнего пессимизма.

Инвестор изначально ориентируется на портфели, которые обеспечивают ему максимальный риск. Таким образом, критерии Вальда и Сэвиджа по своей сути противоположны друг другу.

Критерий Вальда оценивает ситуацию с точки зрения выигрышей инвестора, а критерий Сэвиджа — с точки зрения рисков инвестора. В обоих случаях реализуется концепция Марковица «риск — доходность».

Чтобы воспользоваться критерием Сэвиджа, необходимо рассчитать максимальное значение коэффициента Шарпа для каждого периода. Расчеты представлены в строке Вj таблицы ниже. Это промежуточные данные, которые нам понадобятся на следующем шаге.

ШАГ 4

Считаем матрицу рисков и определяем цену игры по критерию Сэвиджа

Далее необходимо составить матрицу рисков, чтобы мы могли воспользоваться критерием Сэвиджа. Риск в этом случае — отклонение коэффициента Шарпа от своего максимального значения за рассматриваемый период. Другими словами, это риск недополучения доходности.

В итоге по критерию Сэвиджа мы выбираем минимальный риск среди максимальных. Это значение соответствует портфелю № 10.

ШАГ 5

Связать критерии Вальда и Сэвиджа

Теперь нам нужно связать критерии Вальда и Сэвиджа и, соответственно, полученные данные. Линейная комбинация двух критериев позволяет оценить инвестиционный портфель с точки зрения модели «риск — доходность».

Введем уравнение, связывающее два этих показателя. В качестве коэффициента возьмем r, которое задается инвестором и отражает степень его подверженности риску.

В формуле W_i — показатель эффективности стратегии A_i по критерию Вальда; S_i — показатель эффективности стратегии A_i по критерию Сэвиджа, i ∈ I.

Рассчитаем показатели эффективности по указанной выше формуле.

Чтобы понять, пересекаются портфели или нет, необходимо смотреть на пограничные значения при r = 0 и r = 1. Если в каком-то портфеле при r = 0 значения выше, чем у другого, а при r = 1, наоборот, ниже — это значит, что портфели пересекаются.

В нашем случае такая ситуация наблюдается только между портфелями № 10 и 11. При r = 0 значение № 11 меньше значения № 10, а при r = 1 значение № 11 больше значения № 10.

ШАГ 6

Определяем приоритетную последовательность инвестиционных портфелей

Найдем точку пересечения портфелей и проранжируем их. На картинке ниже видно, что портфели № 10 и 11 пересекаются ориентировочно при r = 0,41.

Как видно из результатов ранжирования, степень привлекательности портфеля зависит от значения r — степени подверженности к риску.

Условно можно выделить три типа инвесторов:

1. 0 < r < 0,25 — консервативные инвесторы.
2. 0,25 < r < 0,6 — умеренно-агрессивные инвесторы.
3. 0,6 < r < 1 — агрессивные инвесторы.

В нашем случае, если инвестор консервативен или в небольшой степени разбавляет портфель волатильными бумагами, то есть его склонность к риску от 0 до 0,41, ему следует выбрать портфель № 10: 10% акций «Русгидро» и 90% акций «Лукойла».

Если подверженность инвестора к риску умеренная или агрессивная, то предпочтительнее портфель № 11, состоящий исключительно из акций «Лукойла».

Запомнить

1. Диверсификация портфеля — ключевая методика, которая позволяет сгладить волатильность портфеля и практически полностью устраняет специфические риски, связанные с конкретными эмитентами.
2. Для диверсификации лучше всего подходят активы, которые слабо или отрицательно коррелируют между собой. Например, исторически неплохим диверсификатором для американских акций выступают казначейские облигации и золото.
3. Коэффициенты Шарпа и Трейнора показывают эффективность портфеля — какую доходность дает портфель на единицу риска.
4. Синтетический критерий Вальда — Сэвиджа позволяет связать два ключевых параметра на финансовом рынке: риск и доходность.
5. Суть критерия Вальда — обеспечение максимального среди минимальных выигрышей.
6. По критерию Сэвиджа оптимальной стратегией для инвестора будет та, что обеспечивает минимальный среди максимальных рисков. Это критерий крайнего пессимизма.
7. С помощью критерия Вальда — Сэвиджа мы определяем приоритетную последовательность портфелей для определенного типажа инвестора, в зависимости от его склонности к риску.