Как найти дисперсию разности

Дисперсия и ее свойства.
Среднее квадратическое отклонение

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

---

Дисперсия и формула для ее вычисления

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. M[X-M(X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, то есть вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией называется
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины

 от

:

Для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Для вычисления дисперсии
на практике удобно пользоваться следующей формулой:

Свойства дисперсии

Свойство 1.

Дисперсия равна разности между
математическим ожиданием квадрата случайной величины

 и
квадратом ее математического ожидания.

Свойство 2.

Дисперсия константы
равна нулю:

Свойство 3.

Постоянный множитель
выносится из-под знака дисперсии в квадрате:

Свойство 4.

Дисперсия суммы
случайных величин:

где 

 –
ковариация  случайных величин

 и

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Следствия из свойств дисперсии.

В частности, если

 и

 независимы, то

Прибавление константы

 в
случайной величине не меняет ее дисперсии:

Дисперсия разности равна сумме дисперсий:

Среднеквадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Стандартное (среднее
квадратичное) отклонение случайной величины

 определяется
как корень из дисперсии и обозначается

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то ее размерность совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается в линейных метрах, то среднее квадратичное отклонение X будет выражаться также в линейных метрах, a дисперсия X – в квадратных метрах.

Смежные темы решебника:

• Математическое ожидание и его свойства
• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

---

Пример 1

В коробке 20 конфет, из которых 4 с
вареньем. Х – число конфет с вареньем среди двух случайно выбранных. Найти
дисперсию случайной величины Х.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Случайная
величина

 – число конфет с вареньем, может принимать
значения 0,1,2

Найдем
соответствующие вероятности:

Проверка:

Получаем
следующий закон распределения СВ

:

Математическое
ожидание:

Дисперсию
можно вычислить по формуле:

Искомая
дисперсия:

---

Пример 2

Даны
законы распределения независимых случайных величин X и Y:

и

Найти
закон распределения суммы (X+Y). Проверить равенство D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Распределение суммы

:

Окончательно получаем:

	2	3	4	Итого
	0.2	0.5	0.3	1

Вычислим математические ожидания:

Вычислим
дисперсии:

Проверим
равенство

:

Равенство
выполняется.

---

Пример 3

Вероятность
изготовления бракованной детали на первом станке составляет 3%, на втором
станке 5%. На первом станке было изготовлено 20 деталей, на втором 40 деталей.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей.

Решение

Математическое
ожидание биномиального распределения:

Дисперсия:

Математическое
ожидание величины

 – числа бракованных деталей на 1-м станке:

Дисперсия:

Математическое
ожидание величины

 – числа бракованных деталей на 2-м станке:

Дисперсия:

Математическое
ожидание числа бракованных деталей:

Дисперсия
числа бракованных деталей:

Ответ:

; 

.

---

Пример 4

Случайные
величины X,Y распределены по закону
Пуассона. Найдите M{(X+Y)²}, если M(X)=40 и
M(Y)=70, а коэффициент корреляции X и Yравен 0,8.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Поскольку
случайные величины

 и

 распределены по закону Пуассона и известны их
математические ожидания, соответствующие дисперсии равны:

Пользуясь
свойствами математического ожидания и дисперсии:

Подставляя
числовые значения, получаем:

Ответ:

.

Задачи контрольных и самостоятельных работ

---

Задача 1

Независимые случайные величины X и Y
заданы следующими законами:

x	2.3	2.5	2.7	2.9
p	0.4	0.3	0.2	0.1

Укажите
законы распределения случайной величины X+Y, X-Y и найдите их
математическое ожидание и дисперсию.

---

Задача 2

Найти
дисперсию, математическое ожидания, среднекваратическое отклонение ДСВ X,
заданной законом распределения.

x	-5	2	3	4
p	0,4	0,3	0,1	0,2

Написать F(x) и построить ее график.

---

Задача 3

Случайная
величина X имеет плотность вероятности

Требуется
найти дисперсию D_x.

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 4

Вероятность
того, что прибор исправен, равна 0,8. X – число исправных приборов
из двух выбранных. Найти дисперсию случайной величины X.

---

Задача 5

Случайные
величины X и Y независимы. Найти
дисперсию случайной величины Z=2X+3Y, если известно, что D(X)=4, D(Y)=5.

---

Задача 6

Найти
дисперсию дискретной случайной величины X – числа отказов элемента
некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа
элемента в каждом опыте равна 0,9.

---

Задача 7

Дискретная
случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₂>x₁. Вероятность того, что X
примет значение x₁, равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если
математическое ожидание и дисперсия известны: M(X)=1,4; D(X)=0,24.

---

Задача 8

Закон
распределения случайной величины ξ имеет вид:

ξ	-1	2	3	5
P	1/4	1/2	1/8	1/8

Найти функцию распределения случайной величины ξ,
вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение. Вычислить вероятность P{5⁄2<ξ<5}.

---

Задача 9

Дискретная
случайная величины X принимает лишь два значения. Большее из значений 3
она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной
величины D(X)=6. Найти математическое
ожидание случайной величины.

---

Задача 10

Найти
дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины X,
заданному плотностью вероятности

 при

 и

 в остальных точках.

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Для
вычисления дисперсии часто бывает
пользоваться следующей теоремой.

Теорема.
Дисперсия равна разности между
математическим ожиданием квадрата
случайной величины X
и квадратом ее математического ожидания:

D(X)
= M(X²)
– [М(X)]².

Доказательство.
Математическое ожидание М(X)
есть постоянная величина, следовательно,
2М(X)
и М²(Х)
есть также постоянные величины. Приняв
это во внимание и пользуясь свойствами
математического ожидания (постоянный
множитель можно вынести за знак
математического ожидания, математическое
ожидание суммы равно сумме математических
ожиданий слагаемых), упростим формулу,
выражающую определение дисперсии:

Итак,

D(X)
= M(X²)
– [М(X)]².

Квадратная
скобка введена в запись формулы для
удобства ее запоминания.

Пример.
Найти дисперсию случайной величины X,
которая задана следующим законом
распределения:

X	2	3	5
р	0,1	0,6	0,3

Решение.
Найдем математическое ожидание М(X):

М(X)
= 20,1
+ 30,6
+ 50,3
= 3,5.

Напишем
закон распределения случайной величины
X²:

X2	4	9	25
р	0,1	0,6	0,3

Найдем
математические ожидания M(X²):

M(X²)
= 40,1
+ 90,6
+ 250,3
= 13,3.

Искомая дисперсия

D(X)
= M(X²)
– [М(X)]²
= 13,3 – (3,5) = 1,05.

Замечание.
Казалось бы, если X
и Y
имеют одинаковые возможные значения и
одно и то же математическое ожидание,
то и дисперсии этих величин равны (ведь
возможные значения обеих величин
одинаково рассеяны вокруг своих
математических ожиданий!). Однако в
общем случае это не так. Дело в том, что
одинаковые возможные значения
рассматриваемых величин имеют, вообще
говоря, различные вероятности, а величина
дисперсии определяется не только самими
возможными значениями, но и их
вероятностями.
Например, если вероятности «далеких»
от математического ожидания возможных
значений Х
больше, чем вероятности этих же значений
Y,
и вероятности «близких» значений X
меньше, чем вероятности тех же значений
Y,
то, очевидно, дисперсия X
больше дисперсии Y.

Приведем
иллюстрирующий пример.

Пример.
Сравнить дисперсии случайных величин,
заданных законами распределения:

X	– 1	1	2	3		Y	– 1	1	2	3
р	0,48	0,01	0,09	0,42		р	0,19	0,51	0,25	0,05

Решение.
Легко убедиться, что

М(Х)
= М(Y)
= 0,97; D(X)

3,69, D(Y)

1,21.

Таким
образом, возможные значения и математические
ожидания X
и Y
одинаковы, а дисперсии различны, причем
D(X)
> D(Y).
Этот результат можно было предвидеть
без вычислений, глядя лишь на законы
распределений.

7.5. Свойства дисперсии

Свойство
1. Дисперсия
постоянной величины С равна нулю:

D(С)
= 0.

Доказательство.
По определению дисперсии,

D(С)
= M{[C
– M(C)]²}.

Пользуясь
первым свойством математического
ожидания (математическое ожидание
постоянной равно самой постоянной),
получим

D(С)
= M[(C
– C)²]
= M(0)
= 0.

Итак,

D(С)
= 0.

Свойство
становится ясным, если учесть, что
постоянная величина сохраняет одно и
то же значение и рассеяния, конечно, не
имеет.

Свойство
2. Постоянный
множитель можно выносить за знак
дисперсии, возводя его в квадрат:

D(СX)
= C²
D(X).

Доказательство.
По определению дисперсии имеем

D(СX)
= M{[CX
– M(CX)]²}.

Пользуясь
вторым свойством математического
ожидания (постоянный множитель можно
выносить за знак математического
ожидания), получим

D(СX)
= M{[CX
– CM(X)]²}
= M{C²[X
– M(X)]²}
= C²M{[X
– M(X)]²}
= C²D(X).

Итак,

D(СX)
= C²
D(X).

Свойство
становится ясным, если принять во
внимание, что при |С|
> 1 величина СХ
имеет возможные значения (по абсолютной
величине), большие, чем величина X.
Отсюда следует, что эти значения рассеяны
вокруг математического ожидания М(СХ)
больше, чем возможные значения X
вокруг М(Х),
т.е. D(СХ)
> D(X).
Напротив, если 0 < |С|
< 1, то D(СХ)
< D(X).

Свойство
3. Дисперсия
суммы двух независимых случайных величин
равна сумме дисперсий этих величин:

D(X
+ Y)
= D(X)
+ D(Y)

Доказательство.
По формуле для вычисления дисперсии
имеем

D(X
+ Y)
= М[(X
+ Y)²]
–
[М(X
+ Y)]².

Раскрыв
скобки и пользуясь свойствами
математического ожидания суммы нескольких
величин и произведения двух независимых
случайных величин, получим

Итак,

D(X
+ Y)
= D(X)
+ D(Y).

Следствие
1. Дисперсия суммы нескольких взаимно
независимых случайных величин равна
сумме дисперсий этих величин.

Например,
для трех слагаемых имеем

.

Для
произвольного числа слагаемых
доказательство проводится методом
математической индукции.

Следствие
2. Дисперсия суммы постоянной величины
и случайной равна дисперсии случайной
величины:

D(С
+ Y)
= D(X).

Доказательство.
Величины С
и X
независимы, поэтому, по третьему свойству,

D(C
+ X)
= D(С)+
D(X).

В
силу первого свойства D(С)
= 0. Следовательно,

D(С
+ Y)
= D(X).

Свойство
становится понятным, если учесть, что
величины X
и Х + С
отличаются лишь началом отсчетам,
значит, рассеяны вокруг своих математических
ожиданий одинаково.

Свойство
4. Дисперсия
разности двух независимых случайных
величин равна сумме их дисперсий:

D(X
– Y)
= D(X)
+ D(Y).

Доказательство.
В силу третьего свойства

D(X
– Y)
= D(X)
+ D(–Y).

По второму свойству,

D(X
– Y)
= D(X)
+ (–1)²D(Y),

или

D(X
– Y)
= D(X)
+ D(Y).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Примеры с решением

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема, Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Доказательство.

Математическое ожидание есть постоянная величина, следовательно, и есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

Итак

Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1.

Найти дисперсию случайной величины которая задана следующим законом распределения:

Решение:

Найдем математическое ожидание

Напишем закон распределения случайной величины

Найдем математические ожидания

Искомая дисперсия

Замечание. Казалось бы, если и имеют одинаковые возможные значения и одно и то же математическое ожидание, то и Дисперсии этих величин равны (ведь возможные значения обеих величин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий!). Однако в общем случае это не так.

Дело в гом, что одинаковые возможные значения рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, а величина дисперсии определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями.

Например, если вероятности «далеких» от математического ожидания возможных значений больше, чем вероятности этих же значений н вероятности «близких» значений меньше, чем вероятности тех же значений то, очевидно, дисперсия больше дисперсии

Приведем иллюстрирующий пример

Пример 2.

Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:

Решение:

Легко убедиться, что

Таким образом, возможные значения н математические ожидания и одинаковы, а дисперсии различны, причем Этот результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на законы распределений.

Свойства дисперсии

Свойство 1.

Дисперсия постоянной величины равна нулю:

Доказательство. По определению дисперсии,

Пользуясь первым свойством математического ожидания (математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), получим

Итак,

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.

Свойство 2.

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Доказательство. По определению дисперсии имеем

Пользуясь вторым свойством математического ожидания (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим

Итак,

Свойство становится ясным, если принять во внимание, что при величина имеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем величина Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания больше, чем возможные значения вокруг т. е. Напротив, если

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Доказательство. По формуле для вычисления дисперсии имеем

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим

Итак,

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Например, для трех слагаемых имеем

Для произвольного числа слагаемых доказательство проводится методом математической индукции.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

Доказательство. Величины и независимы, поэтому, по третьему свойству,

В силу первого свойства

Следовательно,

Свойство становится понятным, если учесть, что величины и отличаются лишь началом отсчетам, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.

Свойство 3. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Доказательство. В силу третьего свойства

По второму свойству,

или

Для нахождения σ(Х) и V(X)% нужно предварительно найти D(Х) – дисперсию величины Х. При её нахождении полезно знать и использовать свойства дисперсии. Эти свойства таковы:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

(1.28)

Доказательство. Согласно определения дисперсии (1.21) и свойства (1.5) при Х=С получаем:

Свойство (1.28) имеет очевидный смысл: константа разброса не имеет.

2. Постоянный множитель выносится из-под знака дисперсии в квадрате:

(1.29)

Доказательство. Согласно определения дисперсии (1.21) и свойства (1.6) математического ожидания получаем:

3. Дисперсия Суммы двух Независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

(1.30)

Доказательство. Используя упрощенную формулу (1.25) для дисперсии и доказанные выше свойства математического ожидания, получим:

4. Дисперсия разности двух Независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

(1.31)

Доказательство. Оно вытекает из уже доказанных свойств (1.29) и (1.30):

Дисперсия случайной величины, как мы знаем, характеризует степень разброса ее возможных значений вокруг ее среднего значения. Свойства 3 и 4, выражаемые равенствами (1.30) и (1.31), означают суммирование (увеличение) такого разброса как при сложении двух независимых случайных величин, так и при их вычитании, что вполне естественно.

Следствие 1 свойств 1– 4: Для любой дискретной случайной величины И для любой константы

(1.32)

Доказательство. Так как и очевидным образом независимы друг от друга, то

Следствие 2 свойств 1– 4: Если () – Взаимно независимые случайные величины, то

(1.33)

Это следствие докажите самостоятельно (за образец возьмите доказательство аналогичного равенства (1.13)).

Упражнения

1. К какому типу случайных величин (дискретным или непрерывным) принадлежат следующие величины:

А) Количество очков, выбиваемых стрелком при стрельбе по мишени в заданной серии выстрелов.

Б) Количество студентов студенческой группы, которые сдадут предстоящий экзамен.

В) Процент выполнения предприятием своего производственного задания.

Г) Количество осадков, которые выпадут ближайшим летом в данной местности.

Ответ: (а) и (б) – к дискретным, (в) и (г) – к непрерывным.

2. Станок-автомат производит в среднем 10% нестандартных деталей. Наудачу из его продукции отобраны три детали. Написать закон распределения дискретной случайной величины – числа нестандартных деталей среди трех отобранных. Найти , , , .

Ответ:

	0	1	2	3
	0,729	0,243	0,027	0,001

; ; ; .

3. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Экзаменатор прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаружит незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна . Составить закон распределения дискретной случайной величины – числа дополнительных вопросов, которые задаст экзаменатор студенту. Найти

Ответ:

					…		…
					…		…

; ; ; .

4. Показать, что если – произвольная дискретная случайная величина, а и – произвольные константы, то

; ;

5. Брошены две игральные кости. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков , выпадающих на обеих костях. Причем найти двумя способами:

А) Составив закон распределения суммы очков.

Б) Воспользовавшись формулами (1.8) и (1.30).

Ответ:

.

6. Пусть , и – следующие случайные величины: – выручка фирмы (доход от продаж); – ее затраты; – ее прибыль. Найти закон распределения прибыли , если выручка фирмы и её затраты – независимые случайные величины, заданные законами распределения:

Найти среднее значение прибыли (все суммы – в млн. рублей).

Ответ:

(млн. руб.)

7. Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения и , причем . Вероятность того, что примет значение , равна . Найти закон распределения величины , если и .

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >

Как найти дисперсию?

Дисперсия – это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая – значения сравнительно близки друг к другу, если большая – далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).

Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии – среднеквадратическое отклонение $sigma(X)=sqrt{D(X)}$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.

Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: “Дисперсия – это второй центральный момент случайной величины” (напомним, что первый начальный момент – это как раз математическое ожидание).

Формула дисперсии случайной величины

Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле:
$$
D(X)=M(X-M(X))^2,
$$
которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$

Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.

Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$), то формула принимает вид:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2.
$$
Если же речь идет о непрерывной случайной величине (заданной плотностью вероятностей $f(x)$ в общем случае), формула дисперсии Х выглядит следующим образом:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx – left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$

Пример нахождения дисперсии

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить и сравнить дисперсию двух законов распределения:
$$
x_i quad 1 quad 2 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$
и
$$
y_i quad -10 quad 10 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$

Для убедительности и наглядности расчетов мы взяли простые распределения с двумя значениями и одинаковыми вероятностями. Но в первом случае значения случайной величины расположены рядом (1 и 2), а во втором – дальше друг от друга (-10 и 10). А теперь посмотрим, насколько различаются дисперсии:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2 =\
= 1^2cdot 0.5 + 2^2 cdot 0.5 – (1cdot 0.5 + 2cdot 0.5)^2=2.5-1.5^2=0.25.
$$
$$
D(Y)=sum_{i=1}^{n}{y_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{y_i cdot p_i} right)^2 =\
= (-10)^2cdot 0.5 + 10^2 cdot 0.5 – (-10cdot 0.5 + 10cdot 0.5)^2=100-0^2=100.
$$
Итак, значения случайных величин различались на 1 и 20 единиц, тогда как дисперсия показывает меру разброса в 0.25 и 100. Если перейти к среднеквадратическому отклонению, получим $sigma(X)=0.5$, $sigma(Y)=10$, то есть вполне ожидаемые величины: в первом случае значения отстоят в обе стороны на 0.5 от среднего 1.5, а во втором – на 10 единиц от среднего 0.

Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной дискретным рядом распределения:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Снова используем формулу для дисперсии дискретной случайной величины:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$
В случае, когда значений много, удобно разбить вычисления по шагам. Сначала найдем математическое ожидание:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Потом математическое ожидание квадрата случайной величины:
$$
M(X^2)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}
= (-1)^2cdot 0.1 + 2^2 cdot 0.2 +5^2cdot 0.3 +10^2cdot 0.3+20^2cdot 0.1=78.4.
$$
А потом подставим все в формулу для дисперсии:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=78.4-6.8^2=32.16.
$$
Дисперсия равна 32.16 квадратных единиц.

Пример 3. Найти дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины Х, заданному плотностью $f(x)=x/18$ при $x in(0,6)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для расчета формулу дисперсии непрерывной случайной величины:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx – left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$
Вычислим сначала математическое ожидание:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x^2}{18} dx =
left.frac{x^3}{54} right|_0^6=frac{6^3}{54} = 4.
$$
Теперь вычислим
$$
M(X^2)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x^3}{18} dx = left.frac{x^4}{72} right|_0^6=frac{6^4}{72} = 18.
$$
Подставляем:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=18-4^2=2.
$$
Дисперсия равна 2.

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление дисперсии онлайн

Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку “Вычислить”.
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$ и затем искомое значение дисперсии $D(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей – онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала – еще примеры решений задач по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро: