Как найти дисперсию суммы случайных величин

Содержание:

1. Числовые характеристики типичных законов распределения
2. Биномиальный закон
3. Закон Пуассона
4. Геометрический закон

Дисперсия суммы случайных величин

Пусть -две случайные величины. Положим,

По теореме сложения математических ожиданий будем иметь:

Вычитая это равенство из предыдущего, получим:

где обозначает, как и раньше, отклонение величины Отсюда

Найдем теперь дисперсию величины Имеем откуда

Число имеет особое значение для характеристики системы случайных величин

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Его называют ковариацией или корреляционным моментом случайных величин и обозначают Таким образом, по определению,

Формула (4.16) принимает теперь следующий вид:

– дисперсия суммы равна сумме дисперсий плюс удвоенная ковариация.

Ковариация или корреляционный момент, как свидетельствует его название (от латинского слова correlatio – соответствие, взаимосвязь), играет определенную роль при оценке зависимости

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Основное свойство ковариации выражается следующим предложением. Если величины независимы, то их ковариация равна нулю.

Действительно, пусть независимы. Тогда, очевидно, величины будут тоже независимы. Отсюда вытекает, что математическое ожидание произведения будет:

Из доказанного предложения следует: если то величины не могут быть независимыми. Таким образом, неравенство нулю ковариации определенно свидетельствует о наличии связи между величинами

Из формулы (4.17) и доказанного выше свойства ковариации получаем важное следствие, носящее название теоремы сложения дисперсий для независимых случайных величин.

Теорема 4.3. Если величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий

Числовые характеристики типичных законов распределения

Теперь мы готовы к тому, чтобы найти математическое ожидание и дисперсию основных законов распределения: биномиального, пуассоновского и геометрического. Но прежде мы рассмотрим числовые характеристики простейшего закона распределения – индикатора случайного события

Пример с решением 4.4.

Пусть закон распределения случайной величины имеет вид

Найти математическое ожидание и дисперсию

Решение:

Очевидно, что Случайная величина имеет тот же закон распределения, поэтому

Таким образом, для индикатора случайного события

Биномиальный закон

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие с вероятностью так что вероятность противоположного события равна Рассмотрим случайную величину число появлений события опытах. Мы знаем, что величина распределена по биномиальному закону, т.е. для любого целого числа справедлива формула

Непосредственное нахождение числовых характеристик в данном случае, используя закон распределения, является делом возможным, но затруднительным. Применим теорему сложения математических ожиданий и дисперсий для независимых величин. Для этого представим случайную величину в виде суммы индикаторов события для каждого испытания:

Согласно примеру 4.4 математическое ожидание и дисперсия каждого слагаемого находится по формуле (4.18):

По теореме сложений математических ожиданий Поскольку случайные величины независимы, то дисперсии тоже складываются, так что

Окончательно имеем

Закон Пуассона

Закон Пуассона задается таблицей:

Отсюда имеем:

Таким образом, параметр характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное как математическое ожидание величины Это легко понять, если вспомнить, что формулы Пуассона получились как предельный вариант формул Бернулли, когда причем Поскольку для биномиального закона математическое ожидание равно то неудивительно, что для пуассоновского закона Более того, мы можем предположить, что дисперсия тоже будет равна поскольку для биномиального закона

Действительно, непосредственный подсчет дисперсии подтверждает это предположение, однако мы не приводим его здесь из-за сложности выкладок. Ниже мы выведем эти формулы более простым способом. Таким образом, для закона Пуассона

Геометрический закон

Напомним, что геометрический закон распределения связан с последовательностью испытаний Бернулли, которые проводятся до первого появления события Как обычно, вероятность появления события в одном испытании равна противоположного события Закон распределения случайной величины числа испытаний был найден ранее и имеет вид

Запишем выражение для математического ожидания

Ряд, записанный в скобках, получается почленным дифференцированием геометрической прогрессии

Следовательно,

Формула для дисперсии будет получена ниже. Таким образом, для геометрического закона распределения

Пример с решением 4.5.

Проводится 160 независимых испытаний, в каждом из которых подбрасывается 5 монет. Пусть число испытаний, в которых выпало 3 герба. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Решение:

Очевидно, что величина распределена по биномиальному закону, а вероятность того, что в данном испытании выпадет 3 герба, можно вычислить по формуле Бернулли

Согласно формуле (4.19)

Пример с решением 4.6.

В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается 5 палаток и 5 рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найти среднее время (в неделях) реализации этого намерения.

Решение:

Обозначим через число розыгрышей лотереи до реализации желания туриста. число розыгрышей до первого выигрыша, число розыгрышей до очередного желаемого выигрыша (рюкзака, если первый выигрыш был палаткой, или наоборот). Случайные величины распределены по геометрическому закону, причем для параметр равен 100 10 для По теореме сложения вероятностей и формуле (4.21) имеем

Пример с решением 4.7.

Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока не выпадут все грани. Найти математическое ожидание и дисперсию числа бросаний.

Решение:

Случайная величина число бросаний до выпадения всех граней представима в виде суммы шести независимых случайных величин

Здесь число бросаний после выпадения различных граней до выпадения разных граней. Каждая случайная величина распределена по геометрическому закону, причем параметр

Применяя теорему сложения для математических ожиданий и дисперсий, а также формулы 6

(4.21), имеем

Дисперсия и ее свойства.
Среднее квадратическое отклонение

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

---

Дисперсия и формула для ее вычисления

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. M[X-M(X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, то есть вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией называется
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины

 от

:

Для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Для вычисления дисперсии
на практике удобно пользоваться следующей формулой:

Свойства дисперсии

Свойство 1.

Дисперсия равна разности между
математическим ожиданием квадрата случайной величины

 и
квадратом ее математического ожидания.

Свойство 2.

Дисперсия константы
равна нулю:

Свойство 3.

Постоянный множитель
выносится из-под знака дисперсии в квадрате:

Свойство 4.

Дисперсия суммы
случайных величин:

где 

 –
ковариация  случайных величин

 и

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Следствия из свойств дисперсии.

В частности, если

 и

 независимы, то

Прибавление константы

 в
случайной величине не меняет ее дисперсии:

Дисперсия разности равна сумме дисперсий:

Среднеквадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Стандартное (среднее
квадратичное) отклонение случайной величины

 определяется
как корень из дисперсии и обозначается

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то ее размерность совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается в линейных метрах, то среднее квадратичное отклонение X будет выражаться также в линейных метрах, a дисперсия X – в квадратных метрах.

Смежные темы решебника:

• Математическое ожидание и его свойства
• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

---

Пример 1

В коробке 20 конфет, из которых 4 с
вареньем. Х – число конфет с вареньем среди двух случайно выбранных. Найти
дисперсию случайной величины Х.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Случайная
величина

 – число конфет с вареньем, может принимать
значения 0,1,2

Найдем
соответствующие вероятности:

Проверка:

Получаем
следующий закон распределения СВ

:

Математическое
ожидание:

Дисперсию
можно вычислить по формуле:

Искомая
дисперсия:

---

Пример 2

Даны
законы распределения независимых случайных величин X и Y:

и

Найти
закон распределения суммы (X+Y). Проверить равенство D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Распределение суммы

:

Окончательно получаем:

	2	3	4	Итого
	0.2	0.5	0.3	1

Вычислим математические ожидания:

Вычислим
дисперсии:

Проверим
равенство

:

Равенство
выполняется.

---

Пример 3

Вероятность
изготовления бракованной детали на первом станке составляет 3%, на втором
станке 5%. На первом станке было изготовлено 20 деталей, на втором 40 деталей.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей.

Решение

Математическое
ожидание биномиального распределения:

Дисперсия:

Математическое
ожидание величины

 – числа бракованных деталей на 1-м станке:

Дисперсия:

Математическое
ожидание величины

 – числа бракованных деталей на 2-м станке:

Дисперсия:

Математическое
ожидание числа бракованных деталей:

Дисперсия
числа бракованных деталей:

Ответ:

; 

.

---

Пример 4

Случайные
величины X,Y распределены по закону
Пуассона. Найдите M{(X+Y)²}, если M(X)=40 и
M(Y)=70, а коэффициент корреляции X и Yравен 0,8.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Поскольку
случайные величины

 и

 распределены по закону Пуассона и известны их
математические ожидания, соответствующие дисперсии равны:

Пользуясь
свойствами математического ожидания и дисперсии:

Подставляя
числовые значения, получаем:

Ответ:

.

Задачи контрольных и самостоятельных работ

---

Задача 1

Независимые случайные величины X и Y
заданы следующими законами:

x	2.3	2.5	2.7	2.9
p	0.4	0.3	0.2	0.1

Укажите
законы распределения случайной величины X+Y, X-Y и найдите их
математическое ожидание и дисперсию.

---

Задача 2

Найти
дисперсию, математическое ожидания, среднекваратическое отклонение ДСВ X,
заданной законом распределения.

x	-5	2	3	4
p	0,4	0,3	0,1	0,2

Написать F(x) и построить ее график.

---

Задача 3

Случайная
величина X имеет плотность вероятности

Требуется
найти дисперсию D_x.

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 4

Вероятность
того, что прибор исправен, равна 0,8. X – число исправных приборов
из двух выбранных. Найти дисперсию случайной величины X.

---

Задача 5

Случайные
величины X и Y независимы. Найти
дисперсию случайной величины Z=2X+3Y, если известно, что D(X)=4, D(Y)=5.

---

Задача 6

Найти
дисперсию дискретной случайной величины X – числа отказов элемента
некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа
элемента в каждом опыте равна 0,9.

---

Задача 7

Дискретная
случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₂>x₁. Вероятность того, что X
примет значение x₁, равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если
математическое ожидание и дисперсия известны: M(X)=1,4; D(X)=0,24.

---

Задача 8

Закон
распределения случайной величины ξ имеет вид:

ξ	-1	2	3	5
P	1/4	1/2	1/8	1/8

Найти функцию распределения случайной величины ξ,
вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение. Вычислить вероятность P{5⁄2<ξ<5}.

---

Задача 9

Дискретная
случайная величины X принимает лишь два значения. Большее из значений 3
она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной
величины D(X)=6. Найти математическое
ожидание случайной величины.

---

Задача 10

Найти
дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины X,
заданному плотностью вероятности

 при

 и

 в остальных точках.

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

1. Дисперсия суммы случайных величин. Корреляционный момент.

Пусть
ислучайные величины.
Рассмотрим их сумму.

Математическое ожидание этой суммы
будет равно сумме математических
ожиданий.

Найдем дисперсию суммы случайных величин

Вычтем из первого уравнения второе и
возведем в квадрат.

Для сокращения записи введем обозначения:

Тогда,

Величину
принято обозначатьи называть корреляционным моментом,
или моментом связи случайных величини.
Тогда дисперсии суммы равна сумме
дисперсий плюс удвоенный корреляционный
момент.

Основное свойство корреляционного
момента.

Если величины
инезависимы, то их корреляционный момент
равен нулю.

Обратное утверждение неверно.

1. Теорема сложения дисперсий.

Из последнего свойства следует, что
если величины
и
независимы, то дисперсия их суммы
рав­на сумме их дисперсий.

.

Этой теоремой широко пользуются в теории
погрешностей при обработке результатов
косвенных измерений, так как входящие
в расчетные формулы величины в большинстве
случаев являются независимыми, и поэтому
подсчитывая среднеквадратичную
погрешность вы суммируете квадраты
всех погрешностей.

1. Коэффициент корреляции.

Полученный выше корреляционный момент
зависит от выбора единиц измерения
и
.Это за­труд­няет сравнение
корреляционных моментов различных
случайных величин. Поэтому удобнее
поль­зоваться безразмерной величинойкоэффициентом
корреляции:

где
среднеквадратичные
отклонения случайных величин
и
.

Без доказательства дадим следующие
свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции
   ;

2. Если
   близко к 1, зависимость между
   и
   близка к линейной; если,
   то корреляция положительна, еслиотрицательная.

3. Когда
   ,
   величины
   и
   связаны функциональной линейной
   зависимостью.

1. Оценка значимости коэффициента корреляции.

При проведении корреляционного анализа
часто возникает вопрос, являются ли
полученные из на­блю­дений коэффициенты
значимыми и не объясняется ли их появление
случайным характером вы­борки.

Фактически, полученный коэффициент
корреляции всегда является выборочным,
так как он вы­чис­ляется на основе
ограниченной совокупности, представляющей
выборку из генеральной. Поэтому он имеет
ошибку выборочности, которая является
мерой расхождения между

и коэффициентом корреляции для
генеральной совокупности.
Определив среднюю ошибку, мож­но
судить о степени достоверности.

Принимается нулевая гипотеза, согласно
которой
,
то есть считается, что в генеральной
со­во­купности нет корреляции между
варьирующими признаками. Тогда критерий
Стьюдента рас­счи­ты­вается по
формуле:

Если выборка достаточно велика
,
то

Т.к. распределение
при малыхвыборках
может значительно отличаться от
нор­маль­но­го, для расчета критерия
Стьюдента пользуются формулой:

Если найденное значение превышает
табличное
для заданного уровня значимости и числа
степеней свободы,
можно считать нулевую гипотезу
отвергнутой, т.е. признать данное значениедостоверным. Если же,
то нулевая гипотеза принимается и
найденный коэффициент корреляции нельзя
считать достоверным, т.е. корреляции
между варьирующими признаками нет.

1. Измерение связи. Регрессия.

   1. Понятие о регрессии. Уравнение регрессии.

Коэффициент корреляции указывает лишь
на степень связи в вариации двух
переменных ве­личин, но не дает
возможности судить о том, как количественно
меняется одна величина по мере изменения
другой. На этот вопрос отвечает метод
регрессии. Регрессия может быть
двусторонней: определение изменения
по изменению,
и определение измененияпо изменению.
Эмпирическая линия регрессии обычно
представляет собой ломаную линию. Если
в силу каких-либо причин мы можем
предположить, что исследуемая зависимость
является линейной, то мы можем заменить
ломаную линию прямой. Уравнение прямой
линии имеет вид:
Задача состоит в определении
коэффициентов регрессииВ общем случае они определяют наклон
прямой линии и пересечение с осью У.

Для двусторонней регрессии следует
различать

Коэффициент
можно найти по известным значениям

Содержание:

Числовые характеристики случайных величин:

Как мы уже выяснили, закон распределения полностью характеризует случайную величину, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных с этой случайной величиной. Однако, во-первых, закон распределения не всегда известен, а, во-вторых, для решения многих практических задач совсем необязательно знать закон распределения. Достаточно знать отдельные числовые характеристики, которые в сжатой, компактной форме выражают наиболее существенные черты распределения.

Например, можно составить законы распределения двух случайных величин – числа очков, выбиваемых двумя стрелками, – и выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Однако, даже не зная законов распределения, можно сказать, что лучше стреляет тот, кто в с р е д н е м выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является математическое ожидание.

Математическое ожидание случайной величины

Определение: Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) д и с к р е т н о й случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент xi – непрерывно меняющимся

Рассмотрим свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С. (5.3)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(СX) = С·M(X). (5.4)
3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е
4. Математическое ожидание произведений конечного числа случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(XY) = M(X)·M(Y). (5.6)
5. Если все значения случайной величины увеличить (или уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (или уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:
6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

Пример:

Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8X – – 5Y + 7, если известно, что M(X) = 3, M(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим

Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.

Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).

Дисперсия случайной величины

Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид:

Для непрерывной случайной величины: На практике для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: Для непрерывной случайной величины:

Рассмотрим свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, т.е.
3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

Пример №1

Найти дисперсию случайной величины Z = 8X – 5Y + 7, если известно, что D(X) = 1, D(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства дисперсии, находим

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину

Определение: Средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) σ(Х) случайной величины Х называют значение квадратного корня из ее дисперсии:

Свойства среднего квадратического отклонения вытекают из свойств дисперсии.

Мода и медиана. Квантили

Кроме математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Определение: Модой Мо(Х) случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности f(x) достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Определение: Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее медианы или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая х = Ме(Х), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке х = Ме(Х) функция распределения равна 1/2.

Пример №2

Найти моду, медиану случайной величины Х с плотностью вероятности

Решение:

Кривая распределения представлена на рис. 5.1 Очевидно, что плотность вероятности максимальна при х= Мо(Х) = 1. Медиану Ме(Х) = найдем из условия или откуда

Наряду с модой и медианой для описания случайной величины используется понятие квантиля.

Определение: Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение хq случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е.

Пример №3

По данным примера 5.3 найти квантиль

Решение:

Находим функцию распределения

Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс

Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты – начальные и центральные.

Определение: Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины: Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид: Для непрерывной случайной величины:

Определение: Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:

Для непрерывной случайной величины: Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожиданиепри k = 2 второй центральный момент – дисперсия

Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент – степень рассеяния распределения Х относительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.

Третий центральный момент μ3 служит для характеристики ассиметрии (т.е. скошенности ) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на , где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины: Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А = 0.

На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А > 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А < 0).

Четвертый центральный момент μ4 служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число (Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального распределения, которое встречается наиболее часто, отношение Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Числовые характеристики независимых испытаний

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (т.е. повторные независимые испытания). В этом случае математическое ожидание числа появлений события А в n испытаниях находится по формуле M(X) = np, (5.30) а дисперсия по формуле D(X) = npq. (5.31)

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляют числовые характеристики среднего арифметического этих величин.

Обозначим среднее арифметическое n взаимно независимых случайных величин через

Сформулируем положения, устанавливающие связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:
2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии D каждой из величин:
3. Среднее квадратическое отклонение n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин:

Пример:

По данному распределению выборки (табл. 2.1) найти эмпирическую функцию распределения.

Решение. Определяем объем выборки: 
Определяем относительные частоты вариант (табл. 2.2):  

Так  как  значение    есть  сумма  относительных  частот вариант попадающих в интервал  запишем эмпирическую функцию распределения:

График примет вид: 

Числовые характеристики распределения вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение