Как найти длину бисектрисы

Биссектриса треугольника – это отрезок, делящий любой угол треугольника на два равных угла. Для более
наглядного примера, если угол равняется 120°, то проведенная биссектриса создает уже пару углов по
60 °. В треугольнике можно провести максимум три биссектрисы, по одной из каждого угла. Точка
пересечения всех биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности. Биссектриса
обладает особенными свойствами для некоторых видов треугольников, так, например, проведенная из
вершины равнобедренного треугольника будет являться одновременно и высотой, и медианой.

Через две стороны и угол между ними

Нам дан некий треугольник, известно значение двух сторон и угла между ними. Нам нужно найти
биссектрису. Задача кажется невыполнимой, если не знать формулы:

L = (2bc · cos (α/2)) / b + c

где «L» это непосредственно длина, а «b» и «с» — стороны треугольника, «α» — угол между
ними.

В нашем случае биссектриса равняется среднему двух сторон и угла, лежащего между ними.

Пример. Дан треугольник ABC. Известно, что стороны b = 6 см, а сторона c = 9 см.
Угол между двумя сторонами равен 65°. Нам нужно найти биссектрису. Подставив в формулу данные
значения, мы получаем ответ – биссектриса треугольника АВС равна 6 см. Решение легкое, ведь вам
нужно прибегнуть к обычному применению выведенной формулы. 2 × 6 × 9 × cos(65 ÷ 2) / 9 + 6 = 6 см.

Через две стороны и отрезки

Если вам известно 2 стороны треугольника и дано несколько отрезков на стороне, то вам нужно
руководствоваться следующей формулой:

L = √(b * c — a1 * a2)

где b, c — стороны, a1, a2 — длины отрезков, образованных на стороне.

Пример. Есть треугольник АВС, у которого известны 2 стороны, 2 и 4 см
соответственно. Также дана пара отрезков на стороне, с показателем 2 см и 2 см. От нас просят найти
биссектрису треугольника АВС. Вместо b и c подставляем наши значения длин сторон, вместо а1 и а2 –
длины отрезков. Проводим вычисление и находим квадратный корень конечного результата. √(2 × 4 — 2 × 2) = 2 см.

Через все стороны

Чтобы отыскать длину биссектрисы треугольника, при известном значении каждой стороны фигуры, нужно
воспользоваться формулой ниже:

L = (√(bc (b + c + a)(b + c — a))) / (b + c)

где a, b, c — стороны.

Пример. Нам дан некий треугольник АВС, известна каждая его сторона, допустим а = 10
см, b = 6 см, с = 8 см. Нам нужно отыскать биссектрису треугольника. Для этого подставляем все наши
известные значения в формулу. L = (√(6 * 8 * (6 + 8 + 10)(6 + 8 — 10))) / (6 + 8) = 4,8 см.

В прямоугольном треугольнике через гипотенузу и угол

Формула ниже слегка отличается от остальных, ведь тут использует понятие синуса и косинуса.

L = 2c / √2 * ((sin α * cos α) / (sin α + cos α))

где c — гипотенуза, sin α, cos α — угол.

Именно данное вычисление поможет вам с поисками длины биссектрисы в прямоугольном треугольнике, если
вам известна одна гипотенуза и угол. «с» — гипотенуза, «а» — угол.

Пример. В прямоугольном треугольнике АВС известно значение гипотенузы и угла «а».
Пользуясь выведенной формулой, вы можете заметить, что от вас требуют синусы и косинусы угла «а».
Для того чтобы правильно посчитать, нужно воспользоваться специальной таблицей синусов и косинусов.
Далее решение не составит особого труда. Пусть гипотенуза c =  10 мм, угол α = 30 градусов,
тогда биссектриса L =  2* 10 / √2 * ((sin 30 * cos 30) / (sin 30 + cos 30)) = 4.48 мм.

В прямоугольном треугольнике через катеты

В прямоугольном треугольнике есть 2 катета и гипотенуза, как найти длину биссектрисы, если нам дано
только значение катетов треугольника. Для этого существует формула:

L = √2 * (ab / (a + b))

где «L» — искомая биссектриса, «а» и «b» — известное значение катетов прямоугольного
треугольника.

Пример. Дан некий прямоугольный треугольник АВС, нам известна длина двух катетов,
5.5 см и 6 см. От нас просят найти длину биссектрисы треугольника АВС. √(2) × ((5.5 × 6) ÷ (5.5 + 6)) = 4,06 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и угол

Если вам дан только катет и острый угол в прямоугольном треугольнике, используйте формулу:

L = b / cos β/2

где «b» — известный катет, а β — острый угол.

Пример. Дан прямоугольный треугольник АВС. Известно, что катет «b» равен 9.7 см.,
угол β равен 45º. Нужно найти биссектрису. Нужно 9.7 поделить на косинус половины 45 град.
Подставляем значения в формулу: L = (9,7)/(cos(45)/(2)) = 10,5 см.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол при основании

Для нахождения длины биссектрисы равнобедренного треугольника с помощью боковой стороны и угла при
основании можно воспользоваться данной формулой:

L = b * sin α

где b — боковая сторона, sin α — угол при основании.

Пример. В условии дан равнобедренный треугольник. Известно, что боковая сторона
равна 12 см, а угол основания составляет 60 град. У нас есть все ключевые данные для решения, просто
подставляем их в формулу L = 12 * sin 60 = 10,4 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и гипотенузу

Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике можно найти по формуле:

L = b * √(2c / b + c)

где «b» — гипотенуза, а «с» — катет.

Пример. АВС –прямоугольный треугольник. Гипотенуза равна 8 см, а катет 3.5 см. L = 8 × √((2 × 3.5) ÷ (8 + 3.5)) = 4 см. Подставив значения в формулу,
мы получим результат, что биссектриса приблизительно равна 4 см.

В равнобедренном треугольнике через основание и угол при основании

Как и в предыдущих случаях, для данной задачи есть специальная формула:

L = a / 2 * tg α

где a — основание, tg α — угол при нижнем основании.

Пример. Нам дан равнобедренный треугольник. В условии сказано, что основание «а»
равно 12 см, угол альфа – 60 град. Для решения поставим в формулу значения L = 12 ÷ 2 × tan(60) =  10.4 см

В равнобедренном треугольнике через основание и боковую сторону

Формула, по которой можно найти длину биссектрисы в равнобедренном треугольнике, если по условиям
дано основание и боковая сторона:

L = √(b² — a²/4)

где b и а — основание.

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС известно, что основание равно 9 см, а
боковая сторона 11 см. Нахождение биссектрисы происходит по формуле выше. L = √(9² — (11² ÷ 4)).
Следовательно, проведя сокращения, вычисления и округления у вас должен получится результат – 10 см.
Это и есть длина биссектрисы.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол между боковыми сторонами

Как и все разы до этого, в данном случае применяется выведенная формула:

L = b * cos β/2

где b является боковой стороной, β – угол, который лежит между боковых сторон.

Пример. Дан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 6.5 см.
Известно, что угол между боковыми сторонами равен 45 град. Нужно вычислить биссектрису. Используем
прямую формулу: L = 6.5 × cos(45 ÷ 2) = 6.005. После вычислений у нас
получается 6.005. Округляем до десятых и записываем в ответ 6 см.

В равностороннем треугольнике через сторону

Для нахождения длины биссектрисы в равностороннем треугольнике через сторону используйте формулу
ниже:

L = a√3 / 2

где а является стороной треугольника.

Пример. Рассмотрим равносторонний треугольник, сторона которого равна 5.8 см. Задача
заключается в нахождение биссектрисы. Для решения у нас есть все нужные данные. Подставим их в
формулу: L = (5.8 × √(3)) ÷ 2. Проведя вычисление, мы получаем ответ 5.02,
это и есть значение длины биссектрисы.

Решение задач по геометрии в школе предусматривает детально рассмотрение понятия биссектрисы и всех
ее свойств включительно. Выходя из некоторых особенностей данного отрезка можно решать задачи
высокого уровня. Главное знать все тонкости и нюансы такого элемента как биссектриса.

В данной публикации приведены примеры наиболее распространенных формул, используемых при вычислении
длины биссектрисы в треугольнике. Каждая формула по-своему уникальна, но не является сложной.
Выучить их все будет трудно, но иметь всегда с собой вполне реально.

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Можно вывести различные формулы, с помощью которых можно вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны:

· длины прилежащих сторон и угол между ними

· длины прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону

· длины трех сторон треугольника.

Докажем первую из формул.

Задача 1. Вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны длинны двух прилежащих сторон треугольника и угол между ними.

Решение. Пусть в треугольнике АВС известно, что

.

Обозначим биссектрису AD через la .

.

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

.

Ответ: .

Выражение называется средним гармоническим чисел а и с. Поэтому формулу можно запомнить следующим образом:

биссектриса треугольника равна произведению среднего гармонического прилежащих сторон треугольника на косинус половинного угла между ними.

Доказательство остальных формул можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Задача 2. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления биссектрисы угла, если известны три стороны треугольника:

Задача 3. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.

Пусть в треугольнике АВС АС=35, АВ=14, AD – биссектриса, AD=12.

,

Вычислим , получаем:

, .

(по основному тригонометрическому тождеству).

Далее по формуле синуса двойного угла вычисляем

.

Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой .

Задача 4. . В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD

проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 20 и DE = 10. Найдите BE.

Используя свойство биссектрисы угла треугольника (урок 4), получаем

, то есть .

Таким образом, нам известны длины двух прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону, поэтому

Ответ :.

Задачи для самостоятельного решения

1. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

2. В треугольнике ABC известно, что АВ = 10, АС = 15, BAC = 120°. Найдите биссектрису AD.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

4. В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 18 и DE = 12. Найдите BE.

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Дано:

СF — биссектриса ∠ABC

Доказательство:

Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

По свойству биссектрисы треугольника:

Согласно утверждению 1,

Что и требовалось доказать.

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Длина биссектрисы треугольника через две стороны, образующие угол, из вершины которого исходит биссектриса, и угол между этими сторонами выражается по формуле

Биссектриса треугольника

Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

Определение . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .

Теорема 1 . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

что и требовалось доказать.

Следствие 1 . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.

что и требовалось доказать.

Следствие 2 . Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .

Тогда справедлива формула:

что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

Доказательство . Из рисунка 5 следует формула

Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

Задача . Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .

Доказать, что выполнено равенство:

Решение . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то

Поскольку CE – высота, то

что и требовалось доказать.

Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

Следствие . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

[spoiler title=”источники:”]

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/bisector.htm

[/spoiler]

Как найти длину биссектрисы треугольника? Alexsandr82 [21.4K] 8 лет назад  Как рассчитать длину биссектрисы в треугольнике? Какие есть формулы для расчета длины биссектрисы в треугольнике? Korob­ok [2.1K] 8 лет назад  Биссектрису можно определить, если известны: 1.Две стороны и угол между ними: L = 2abcos1/2α/(a+b) 2.Полупериметр сторон и стороны: L = √abp(p—c)/(a+b) 3.Через длины трёх сторон: L = √ab(a+b+c)(a+b-c)/(a+b) 4.Две стороны и отрезки d и e, на которые делит крыса противоположную сторону: L = √ab-de модератор выбрал этот ответ лучшим комментировать в избранное ссылка отблагодарить Влади­мирЪ [94K] 8 лет назад  Конкретно это сложно. Треугольники могут задаваться по трем сторонам. двум сторонам и углу иежду ними или одной стороне и двум прилегающим углам. Потребуйт. чоб вам задали координаты всех трех углов треугольника. Тогда координаты биссектрисы (начальной и конечной точек) будет выяснить очень легко. А отсюда вы найдете и длину. комментировать в избранное ссылка отблагодарить Galin­a7v7 [120K] 7 лет назад  Пусть даны стороны треугольника АВС-a,b,c,биссектриса L ,делящая угол <ABC=<Y,лежащий между сторонами а,и b.По крайней мере существует 3 формулы,позволяющие выразить длину биссектрисы через стороны треугольника,и угол Y,который эта биссектриса делит.1)L=2ab*cos(Y2)(a+b), 2)L=2V(abp(p-c)(a+b),где.p=(a+b+c)2, 3)L=V(ab(a+b+c)(a+b-c)(a+b).И ещё одна формула:4)L=V(ab-ed),где t,d-отрезки ,на которые делится сторона с биссектрисой.Формул много,но они не так распространены. комментировать в избранное ссылка отблагодарить Карин­а Крафт [259] 8 лет назад  Вы не могли бы привести саму задачу? Конкретной формулы биссектрисы нет, насколько мне известно. комментировать в избранное ссылка отблагодарить Знаете ответ?

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 9 апреля 2022 года; проверки требуют 32 правки.

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла^[1].

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.

Удобно биссектрисы треугольника обозначать следующим образом.

Если ― треугольник, и , , ― длины сторон (или просто стороны), то , , ― биссектрисы, проведённые соответственно из вершин , , к сторонам , , .

Связанные определения[править | править код]

• Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с его стороной, не являющейся стороной этого угла, называется основанием биссектрисы.

Свойства[править | править код]

Свойства точек пересечения биссектрис[править | править код]

• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности (инцентре).
• Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
• Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
• Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же — инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.

Свойства, связанные с углами[править | править код]

• Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
• Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
• Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.

Свойства, связанные с дугами[править | править код]

• Свойство биссектрисы вписанного угла: биссектриса вписанного угла делит на две равные части дугу, на которую этот угол опирается.
• То же свойство верно и для биссектрисы центрального угла.

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника[править | править код]

• Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
• Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
• В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
• Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной внутреннему углу стороне — основанию, если треугольник равнобедренный.
• У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
• У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.

Свойства оснований биссектрис[править | править код]

• Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (то есть делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть или .
• Теорема о биссектрисе — частный случай теоремы Штейнера.
• Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
• Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
• Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
• Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания трёх биссектрис.
• В общем случае не пересекаются в одной точке 3 перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через основания 3 внутренних его биссектрис, которые лежат на этих сторонах. ^[4]

Свойства осей биссектрис[править | править код]

• Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис.
• Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Обера четырёхсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис.

Свойство проекции одной вершины на биссектрисы двух других вершин[править | править код]

• Если из двух вершин треугольника провести сразу две пары биссектрис (две внутренние и две внешние), а затем на четыре полученные биссектрисы ортогонально спроектировать третью вершину, тогда полученные четыре точки проекций вершины на биссектрисы будут лежать на одной прямой (коллинеарны)^[5]. Эта прямая является средней линией треугольника, параллельной той стороне, концами которой являются упомянутые выше две вершины.

Замечание[править | править код]

• В утверждении: ” Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Обера четырёхсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис”,- не понятно, о каких конкретно четырёх осях биссектрис идет речь. Видимо, речь идет о каких-то осях биссектрис четырёх треугольников, фигурирующих в теореме Микеля. Возможно, что речь идет об осях внешних биссектрис или антиортовых осях этих треугольниов.

Другие свойства[править | править код]

• Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
• Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.
• Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно,^[6] причём даже при наличии трисектора.^[7]
• Три внешние биссектрисы любого треугольника пересекаются в трёх разных точках, которые являются центрами вневписанных окружностей исходного треугольника или вершинами так называемого треугольника трёх внешних биссектрис исходного треугольника^[8].
• Три продолжения трёх биссектрис исходного треугольника, через три их основания до их пересечения в трёх вершинах его треугольника трёх внешних биссектрис оказываются в последнем треугольнике в качестве трёх высот.

Тройки отрезков, параллельных трем бессектрисам треугольника[править | править код]

Тройки отрезков, параллельных трем бессектрисам и одновременно пересекающихся в одной точке[править | править код]

• Каждый кливер есть отрезок, один конец которого находится в середине стороны треугольника и который параллелен биссектрисе угла, противоположного этой стороне. Три кливера, подобных описанному выше, пересекаются в центре Шпикера.
• Если проведен отрезок с одним концом в точке касания вписанной окружности треугольника с его стороной в направлении параллельно биссектрисе угла, противоположного этой стороне, а затем для двух других сторон построены аналогичные отрезки, то эти три отрезка пересекаются в одной точке^[9].

Тройки отрезков, параллельных трем бессектрисам и одновременно образующих 2 треугольника[править | править код]

• Во вся­кий треугольник ABC мож­но впи­сать 2 треугольника, 3 сто­ро­ны ко­то­рых па­рал­лель­ны 3 биссектрисам треугольника ABC. Эти треугольники име­ют об­щую окруж­ность типа окружности Эйле­ра, то есть 6 их вершин лежат на 1 окруж­ности.^[10]

Длина биссектрис в треугольнике[править | править код]

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

, где  — полупериметр.

Для трёх биссектрис углов , и с длинами соответственно и , справедлива формула^[11]

,

,

где:

•  — стороны треугольника против вершин соответственно,
•  — внутренние углы треугольника при вершинах соответственно,
•  — высота треугольника, опущенная на сторону .
•  — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне ,
•  — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса делит сторону ,
•  — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины к продолжению стороны .
•  — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса делит сторону и её продолжение до основания самой биссектрисы.
• Если медиана , высота и внутренняя биссектриса выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса , тогда^{[12]:p.122,#96}

Длина частей биссектрис в треугольнике[править | править код]

Уравнения биссектрис[править | править код]

См. также[править | править код]

• Антибиссектриса
• Высота (геометрия)
• Высота треугольника
• Инцентр
• Медиана треугольника
• Симедиана
• Теорема о биссектрисе
• Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
• Треугольник
• Треугольник трёх внешних биссектрис
• Центроид
• Чевиана

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Коган Б. Ю. Приложение механики к геометрии. — М.: Наука, 1965. — 56 с.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0.