Как найти длину биссектрисы равностороннего треугольника - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Какими свойствами обладает биссектриса равностороннего треугольника? Как, зная сторону правильного треугольника, найти его биссектрису? Чему равна длина биссектрисы через радиус вписанной и описанной окружностей?

Теорема 1

(свойство биссектрисы равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая к любой стороне, является также его медианой и высотой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

Проведем биссектрису BF.

По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и высотой.

Аналогично, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, а его биссектрисы AK и CD — еще и медианы и высоты.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2

(свойство биссектрис равностороннего треугольника)

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

AK, BF CD — биссектрисы треугольника ABC.

В треугольниках ABF, BCD и CAK:

AB=BC=CA (по условию)
∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника)
∠ABF=∠BCD=∠CAK (как как AK, BF CD — биссектрисы равных углов).

Значит, треугольники ABF, BCD и CAK равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=BF=CD.

Что и требовалось доказать.

Из теорем 1 и 2 следует, что в равностороннем треугольнике все биссектрисы, медианы и высоты равны между собой.

1) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через его сторону.

В треугольнике ABC AB=BC=AC=a.

BF — биссектриса, BF=l.

По свойствам равностороннего треугольника, BF — высота ∆ ABC, ∠A=60º.

Из прямоугольного треугольника ABF по определению синуса

$[sin angle A = frac{{BF}}{{AB}}, Rightarrow BF = AB cdot sin angle A,]$

$[BF = AB cdot sin {60^o} = frac{{ABsqrt 3 }}{2}.]$

Таким образом, формула биссектрисы равностороннего треугольника по его стороне:

$[l = frac{{asqrt 3 }}{2}.]$

2) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

В правильном треугольнике ABC центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектрисы равностороннего треугольника также являются его медианами. Медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.

Следовательно, точка O — центр вписанной и описанной окружностей, OF — радиус вписанной окружности, OF=r, BO — радиус описанной окружности, BO=R и BO:OF=2:1.

Отсюда,

$[OF = frac{1}{3}BF,BO = frac{2}{3}BF,]$

$[ Rightarrow BF = 3 cdot OF;BF = frac{3}{2} cdot BO.]$

Таким образом, длина биссектрисы через радиус вписанной окружности равна

через радиус описанной окружности —

$[l = frac{{3R}}{2}.]$

Источник

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равностороннего треугольника, а также разберем пример решения задачи по данной теме.

Примечание: напомним, что равносторонним называется треугольник, в котором равны как все стороны, так и все углы.

Свойства биссектрисы равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Свойство 7
Пример задачи

Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая биссектриса равностороннего треугольника одновременно является и медианой, и высотой, и серединным перпендикуляром.

BD – биссектриса угла ABC, которая также является:

высотой, опущенной на сторону AC;
медианой, делящей сторону AC на два равных отрезка (AD = DC);
серединным перпендикуляром, проведенным к AC.

Свойство 2

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

AF = BD = CE

Свойство 3

Биссектрисы равностороннего треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

AG = 2GF
BG = 2GD
CG = 2GE

Свойство 4

Точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника является центром описанной и вписанной окружностей.

r – радиус вписанной окружности;
R – радиус описанной окружности;
R = 2r.

Свойство 5

Биссектриса равностороннего треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) прямоугольных треугольника.

S₁ = S₂

Примечание: Три биссектрисы равностороннего треугольника делят его на 6 равновеликих прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Любая из внешних биссектрис угла равностороннего треугольника параллельна стороне, лежащей напротив данного угла.

AD и AE – внешние биссектрисы, параллельные BC;
BK и BL – внешние биссектрисы, параллельные AC;
CM и CN – внешние биссектрисы, параллельные AB.

Свойство 7

Длину биссектрисы (l_a) равностороннего треугольника можно выразить через его сторону.

где a – сторона треугольника.

Пример задачи

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 4 см. Найдите длину его стороны.

Решение

Согласно Свойствам 3 и 4, рассмотренным выше, радиус вписанной окружности составляет 1/3 часть от биссектрисы равностороннего треугольника. Следовательно, вся ее длина равняется 12 см (4 см ⋅ 3).

Теперь мы можем найти сторону треугольника с помощью формулы ниже (получена из Свойства 7):

Источник

Биссектриса равностороннего треугольника

(свойство биссектрисы равностороннего треугольника)

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

Проведем биссектрису BF.

По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и высотой.

Что и требовалось доказать .

(свойство биссектрис равностороннего треугольника)

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

AK, BF CD — биссектрисы треугольника ABC.

В треугольниках ABF, BCD и CAK:

AB=BC=CA (по условию)
∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника)
∠ABF=∠BCD=∠CAK (как как AK, BF CD — биссектрисы равных углов).

Значит, треугольники ABF, BCD и CAK равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AK=BF=CD.

Что и требовалось доказать .

1) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через его сторону.

В треугольнике ABC AB=BC=AC=a.

BF — биссектриса, BF=l.

По свойствам равностороннего треугольника, BF — высота ∆ ABC, ∠A=60º.

Из прямоугольного треугольника ABF по определению синуса

Таким образом, формула биссектрисы равностороннего треугольника по его стороне:

2) Найдём биссектрису равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

В правильном треугольнике ABC центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Таким образом, длина биссектрисы через радиус вписанной окружности равна