Как найти длину биссектрисы в прямоугольнике

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы прямоугольного треугольника, проведенной из прямого и острого углов, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

Примечание: напомним, что прямоугольным называется треугольник, в котором один из углов прямой (т.е. равен 90°), а два остальных – острые (<90°).

Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника

Свойство 1

Если в прямоугольном треугольнике известны катеты, то длину биссектрисы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, можно вычислить по формуле:

• a и b – катеты;
• c – гипотенуза;
• l_c – биссектриса к гипотенузе.

Свойство 2

Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике, проведенную из острого угла к противолежащему катету, можно вычислить по формуле:

• l_a – биссектриса к катету;
• α – острый угол, из которого проведена биссектриса.

Также можно использовать другую формулу, если известны все три стороны треугольника:

Примечания:

• Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным, и в этом случае к нему, в т.ч., применимы свойства биссектрисы равнобедренного треугольника.
• Общие свойства биссектрисы в любом треугольнике представлены в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.

Примеры задач

Задача 1
Найдите длину биссектрисы, которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 21 и 28 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 1, подставив в нее известные значения:

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Вычислите длину биссектрисы, проведенной к катету с наименьшей длиной.

Решение
Пример катеты за “a” (9 см) и “b” (12 см).

Для начала найдем гипотенузу треугольника (c), воспользовавшись теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов:
c² = a² + b² = 9² + 12² = 225.
Следовательно, c = 15 см.

Теперь мы можем применить формулу, рассмотренную в Свойстве 2 для нахождения длины биссектрисы:

Как найти биссектрису прямого угла

Один из углов прямоугольного треугольника прямой, то есть составляет 90⁰. Это несколько упрощает работу по сравнению с обычным треугольником, так как существует множество закономерностей и теорем, позволяющих легко выражать одни величины через другие. Например, попробуйте найти биссектрису прямого угла, опущенную на гипотенузу.

Вам понадобится

• – прямоугольный треугольник;
• – известная длина катетов;
• – известная длина гипотенузы;
• – известные углы и одна из сторон;
• – известные длины частей, на которые биссектриса делит гипотенузу.

Инструкция

В первую очередь найдите гипотенузу. Пусть ваша гипотенуза будет равна с. Биссектриса прямого угла делит гипотенузу на две, чаще всего неравные, части. Обозначьте одну из них за х, а другая при этом будет равна с-х.

Можно поступить иначе: обозначьте две части за х и у, при этом будет выполняться условие х+у=с, его необходимо будет учесть при решении уравнения.

Воспользуйтесь следующей теоремой: отношения катетов и отношения прилежащих отрезков, на которые биссектриса прямого угла делит гипотенузу, равны. То есть разделите длину катетов друг на друга и приравняйте к отношению х/(с-х). При этом следите за тем, чтобы в числителе стоял прилежащий к х катет. Решите полученное уравнение и найдите х.

Попробуйте поступить по-другому: выразите катеты через гипотенузу и угол α. При этом прилежащий катет будет равен с*cosα, а противолежащий – с*sinα. Уравнение в этом случае получится в следующем виде: х/(с-х)= с*cosα/ с*sinα. После упрощения х=с*cosα/(sinα+cosα).

Узнав длину отрезков, на которые биссектриса прямого угла разделила гипотенузу, найдите длину самой гипотенузы при помощи теоремы синусов. Угол между катетом и биссектрисой вам известен – 45⁰, две стороны внутреннего треугольника тоже.

Подставьте данные в теорему синусов: х/sin45⁰=l/sinα. Упростив выражение, вы получите l=2xsinα/√2. Подставьте найденное значение х: l=2c*cosα*sinα/√2(sinα+cosα)=c*sin2α/2cos(45⁰-α). Это и есть биссектриса прямого угла, выраженная через гипотенузу.

Если вам даны катеты, у вас есть два варианта: либо найдите длину гипотенузы по теореме Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы и решайте указанным выше способом. Либо воспользуйтесь следующей готовой формулой: l=√2*ab/(a+b), где a и b – длины катетов.

Источники:

• как найти длину прямой

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Биссектриса треугольника – это отрезок, делящий любой угол треугольника на два равных угла. Для более
наглядного примера, если угол равняется 120°, то проведенная биссектриса создает уже пару углов по
60 °. В треугольнике можно провести максимум три биссектрисы, по одной из каждого угла. Точка
пересечения всех биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности. Биссектриса
обладает особенными свойствами для некоторых видов треугольников, так, например, проведенная из
вершины равнобедренного треугольника будет являться одновременно и высотой, и медианой.

Через две стороны и угол между ними

Нам дан некий треугольник, известно значение двух сторон и угла между ними. Нам нужно найти
биссектрису. Задача кажется невыполнимой, если не знать формулы:

L = (2bc · cos (α/2)) / b + c

где «L» это непосредственно длина, а «b» и «с» — стороны треугольника, «α» — угол между
ними.

В нашем случае биссектриса равняется среднему двух сторон и угла, лежащего между ними.

Пример. Дан треугольник ABC. Известно, что стороны b = 6 см, а сторона c = 9 см.
Угол между двумя сторонами равен 65°. Нам нужно найти биссектрису. Подставив в формулу данные
значения, мы получаем ответ – биссектриса треугольника АВС равна 6 см. Решение легкое, ведь вам
нужно прибегнуть к обычному применению выведенной формулы. 2 × 6 × 9 × cos(65 ÷ 2) / 9 + 6 = 6 см.

Через две стороны и отрезки

Если вам известно 2 стороны треугольника и дано несколько отрезков на стороне, то вам нужно
руководствоваться следующей формулой:

L = √(b * c — a1 * a2)

где b, c — стороны, a1, a2 — длины отрезков, образованных на стороне.

Пример. Есть треугольник АВС, у которого известны 2 стороны, 2 и 4 см
соответственно. Также дана пара отрезков на стороне, с показателем 2 см и 2 см. От нас просят найти
биссектрису треугольника АВС. Вместо b и c подставляем наши значения длин сторон, вместо а1 и а2 –
длины отрезков. Проводим вычисление и находим квадратный корень конечного результата. √(2 × 4 — 2 × 2) = 2 см.

Через все стороны

Чтобы отыскать длину биссектрисы треугольника, при известном значении каждой стороны фигуры, нужно
воспользоваться формулой ниже:

L = (√(bc (b + c + a)(b + c — a))) / (b + c)

где a, b, c — стороны.

Пример. Нам дан некий треугольник АВС, известна каждая его сторона, допустим а = 10
см, b = 6 см, с = 8 см. Нам нужно отыскать биссектрису треугольника. Для этого подставляем все наши
известные значения в формулу. L = (√(6 * 8 * (6 + 8 + 10)(6 + 8 — 10))) / (6 + 8) = 4,8 см.

В прямоугольном треугольнике через гипотенузу и угол

Формула ниже слегка отличается от остальных, ведь тут использует понятие синуса и косинуса.

L = 2c / √2 * ((sin α * cos α) / (sin α + cos α))

где c — гипотенуза, sin α, cos α — угол.

Именно данное вычисление поможет вам с поисками длины биссектрисы в прямоугольном треугольнике, если
вам известна одна гипотенуза и угол. «с» — гипотенуза, «а» — угол.

Пример. В прямоугольном треугольнике АВС известно значение гипотенузы и угла «а».
Пользуясь выведенной формулой, вы можете заметить, что от вас требуют синусы и косинусы угла «а».
Для того чтобы правильно посчитать, нужно воспользоваться специальной таблицей синусов и косинусов.
Далее решение не составит особого труда. Пусть гипотенуза c =  10 мм, угол α = 30 градусов,
тогда биссектриса L =  2* 10 / √2 * ((sin 30 * cos 30) / (sin 30 + cos 30)) = 4.48 мм.

В прямоугольном треугольнике через катеты

В прямоугольном треугольнике есть 2 катета и гипотенуза, как найти длину биссектрисы, если нам дано
только значение катетов треугольника. Для этого существует формула:

L = √2 * (ab / (a + b))

где «L» — искомая биссектриса, «а» и «b» — известное значение катетов прямоугольного
треугольника.

Пример. Дан некий прямоугольный треугольник АВС, нам известна длина двух катетов,
5.5 см и 6 см. От нас просят найти длину биссектрисы треугольника АВС. √(2) × ((5.5 × 6) ÷ (5.5 + 6)) = 4,06 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и угол

Если вам дан только катет и острый угол в прямоугольном треугольнике, используйте формулу:

L = b / cos β/2

где «b» — известный катет, а β — острый угол.

Пример. Дан прямоугольный треугольник АВС. Известно, что катет «b» равен 9.7 см.,
угол β равен 45º. Нужно найти биссектрису. Нужно 9.7 поделить на косинус половины 45 град.
Подставляем значения в формулу: L = (9,7)/(cos(45)/(2)) = 10,5 см.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол при основании

Для нахождения длины биссектрисы равнобедренного треугольника с помощью боковой стороны и угла при
основании можно воспользоваться данной формулой:

L = b * sin α

где b — боковая сторона, sin α — угол при основании.

Пример. В условии дан равнобедренный треугольник. Известно, что боковая сторона
равна 12 см, а угол основания составляет 60 град. У нас есть все ключевые данные для решения, просто
подставляем их в формулу L = 12 * sin 60 = 10,4 см.

Из острого угла в прямоугольном треугольнике через катет и гипотенузу

Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике можно найти по формуле:

L = b * √(2c / b + c)

где «b» — гипотенуза, а «с» — катет.

Пример. АВС –прямоугольный треугольник. Гипотенуза равна 8 см, а катет 3.5 см. L = 8 × √((2 × 3.5) ÷ (8 + 3.5)) = 4 см. Подставив значения в формулу,
мы получим результат, что биссектриса приблизительно равна 4 см.

В равнобедренном треугольнике через основание и угол при основании

Как и в предыдущих случаях, для данной задачи есть специальная формула:

L = a / 2 * tg α

где a — основание, tg α — угол при нижнем основании.

Пример. Нам дан равнобедренный треугольник. В условии сказано, что основание «а»
равно 12 см, угол альфа – 60 град. Для решения поставим в формулу значения L = 12 ÷ 2 × tan(60) =  10.4 см

В равнобедренном треугольнике через основание и боковую сторону

Формула, по которой можно найти длину биссектрисы в равнобедренном треугольнике, если по условиям
дано основание и боковая сторона:

L = √(b² — a²/4)

где b и а — основание.

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС известно, что основание равно 9 см, а
боковая сторона 11 см. Нахождение биссектрисы происходит по формуле выше. L = √(9² — (11² ÷ 4)).
Следовательно, проведя сокращения, вычисления и округления у вас должен получится результат – 10 см.
Это и есть длина биссектрисы.

В равнобедренном треугольнике через боковую сторону и угол между боковыми сторонами

Как и все разы до этого, в данном случае применяется выведенная формула:

L = b * cos β/2

где b является боковой стороной, β – угол, который лежит между боковых сторон.

Пример. Дан равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 6.5 см.
Известно, что угол между боковыми сторонами равен 45 град. Нужно вычислить биссектрису. Используем
прямую формулу: L = 6.5 × cos(45 ÷ 2) = 6.005. После вычислений у нас
получается 6.005. Округляем до десятых и записываем в ответ 6 см.

В равностороннем треугольнике через сторону

Для нахождения длины биссектрисы в равностороннем треугольнике через сторону используйте формулу
ниже:

L = a√3 / 2

где а является стороной треугольника.

Пример. Рассмотрим равносторонний треугольник, сторона которого равна 5.8 см. Задача
заключается в нахождение биссектрисы. Для решения у нас есть все нужные данные. Подставим их в
формулу: L = (5.8 × √(3)) ÷ 2. Проведя вычисление, мы получаем ответ 5.02,
это и есть значение длины биссектрисы.

Решение задач по геометрии в школе предусматривает детально рассмотрение понятия биссектрисы и всех
ее свойств включительно. Выходя из некоторых особенностей данного отрезка можно решать задачи
высокого уровня. Главное знать все тонкости и нюансы такого элемента как биссектриса.

В данной публикации приведены примеры наиболее распространенных формул, используемых при вычислении
длины биссектрисы в треугольнике. Каждая формула по-своему уникальна, но не является сложной.
Выучить их все будет трудно, но иметь всегда с собой вполне реально.

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Утверждение 1

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

   

   

Дано:

ΔABC,

СF — биссектриса ∠ABC

Доказать:

   

Доказательство:

Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

∠CBF=∠CDA (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AC).

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

   

   

По свойству пересекающихся хорд

   

Отсюда

   

   

   

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Утверждение 2

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

   

Доказательство:

По свойству биссектрисы треугольника:

   

a₁+b₁=c, b₁=c-a₁, поэтому

   

   

   

   

   

Согласно утверждению 1,

   

   

   

   

   

   

   

откуда

   

   

Что и требовалось доказать.

Аналогично,

   

   

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Утверждение 3

Длина биссектрисы треугольника через две стороны, образующие угол, из вершины которого исходит биссектриса, и угол между этими сторонами выражается по формуле

   

Доказательство:

Найдем площади треугольников BCF, ACF и ABC.

   

   

   

Так как

   

то

   

   

   

   

   

Что и требовалось доказать.