Как найти длину диагонали ромба по углу

Диагонали ромба онлайн

1. Диагонали ромба через высоту и угол

Пусть известны высота и угол ромба (Рис.1).

Покажем, что диагонали ромба через высоту и угол вычисляются по формулам

Формула стороны ромба через высоту и угол имеет следующий вид:

Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то треугольник AOB прямоугольный. Тогда из теоремы синусов, имеем:

или, учитывая (small AO=frac{large d_1}{large 2} ,) (small BO=frac{large d_2}{large 2} ,) ( small AB=a ,) ( small sin(90°-frac{alpha}{2})=cos frac{alpha}{2} ,) получим

Подставляя (3) в (4) и (5), и учитывая формулу синуса двойного угла ( small sin alpha=2sin frac{alpha}{2}cos frac{alpha}{2} ,) получим:

Мы вывели формулы диагоналей ромба (1) и (2) через высоту и угол.

2. Диагонали ромба через площадь и высоту

Рассмотрим ромб с высотой h и площадью S (Рис.2).

Покажем, что диагонали ромба через высоту и площадь вычисляются по формулам:

где

В параграфе 1 мы вывели формулы длин диагоналей (6), (7) через высоту и угол. Покажем, что угол ромба через площадь и высоту вычисляется формулой (8).

В статье Сторона ромба мы вывели формулы стороны ромба через площадь и высоту, а также через высоту и угол:

Сравнивая (9) и (10), получим:

Откуда:

или

Заметим, что высота ромба не может быть больше стороны ромба ( ( small h≤a ) ) и, следовательно, ( small h^2≤acdot h=S .)

3. Диагонали ромба через площадь и угол

Выведем формулу вычисления диагоналей ромба через площадь и угол. В статье Площадь ромба были выведены формулы площади ромба через угол и противолежащую диагональ и через угол и диагональ из данного угла:

Из (11) и (12) найдем ( small d_1 ) и ( small d_2: )

4. Диагональ ромба через угол и противолежащую диагональ

Пусть известна один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d₁=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления диагонали d₂=BD ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Кроме этого, диагонали ромба делят углы ромба пополам. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:

Откуда, учитывая, что (small AO=frac{large d_1}{large 2}, ) (small BO=frac{large d_2}{large 2}, ) получим формулу диагонали ромба через угол и противолежащую диагональ:

или

5. Диагональ ромба через угол и диагональ из данного угла

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d₂=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления диагонали d₁=AC ромба.

Из формулы (15) найдем d₁:

или

6. Диагонали ромба через сторону и угол

Пусть известны сторона ромба и угол (Рис.6). Найдем диагонали ромба.

В статье Сторона ромба мы вывели формулу стороны ромба через угол и противолежащую диагональ, а также формулу стороны ромба через угол и диагональ из данного угла:

Из формул (17) и (18) найдем d₁ и d₂:

Получили формулы диагоналей ромба через угол и сторону ((19),(20)).

7. Диагонали ромба через площадь и радиус вписанной окружности

Пусть известны площадь ромба и радиус впианной в ромб окружности (Рис.7). Найдем диагонали ромба.

В параграфе 2 мы вывели формулы диагоналей ромба через площадь и высоту. Учитывая, что высота ромба равна радиусу вписанной в ромб окружности, умноженная на 2 (( small h=2r )), формулы (6)−(8) примут следующий вид:

где

Получили формулы длин диагоналей ромба через площадь и радиус вписанной окружности.

Каким способом высчитать диагональ:

Способ расчёта

Введите размеры:

Результат:

Решение:

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Ромб – это параллелограмм у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

• Диагонали ромба делят его углы пополам.
• Cумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (90°).
• Диагонали ромба в точке пересечения делятся попалам.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Диагональ – это отрезок, соединяющий несмежные вершины многоугольника или многогранника.

Формулы расчёта диагонали ромба

  Длину диагоналей ромба можно посчитать несколькими способами. В зависимости от известных данных, для расчёта применяют следующие формулы:

Через сторону и другую диагональ

D
d
a
a
a
a

D = sqrt{4a^2 – d^2}

d = sqrt{4a^2 – D^2}

• D – большая диагональ ромба
• d – меньшая диагональ ромба
• a – сторона ромба

---

Через сторону и угол

D
d
a
a
a
a

α

β

• D – большая диагональ
• d – меньшая диагональ ромба
• a – сторона ромба
• α – острый угол ромба (от 0° до 90°)
• β – тупой угол ромба (от 90° до 180°)

D = a sqrt{2 + 2 cdot cos alpha}

D = a sqrt{2 – 2 cdot cos beta}

d = a sqrt{2 – 2 cdot cos alpha}

d = a sqrt{2 + 2 cdot cos beta}

---

Через угол и вторую диагональ

D = d cdot tg ( dfrac{beta}{2} )

d = D cdot tg ( dfrac{alpha}{2} )

• D – большая диагональ ромба
• d – меньшая диагональ ромба
• α – острый угол ромба (от 0° до 90°)
• β – тупой угол ромба (от 90° до 180°)

Через площадь и вторую диагональ

D = dfrac{2 cdot S}{d}

d = dfrac{2 cdot S}{D}

• D – большая диагональ ромба
• d – меньшая диагональ ромба
• S – площадь ромба

---

Похожие калькуляторы:

Войдите чтобы писать комментарии

Когда в ромбе проводятся диагонали, они делят его на четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника, катетами которого являются половины диагоналей. В любом из полученных прямоугольных треугольников можно, зная гипотенузу (сторона ромба), вычислить оба катета. Для этих целей используются тригонометрические отношения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике – так как оба катета, примем их временно за a и b, неизвестны, для вычислений понадобится один из острых углов в треугольнике.

Чтобы перевести эти формулы в параметры ромба, необходимо связать стороны треугольника со сторонами и диагоналями ромба, а также острый угол треугольника с углами ромба.

Сторона ромба, как было оговорено, становится гипотенузой треугольника, а половины диагоналей берут на себя роль катетов. Тогда в обратном порядке, чтобы найти полноценные диагонали, нужно будет каждый вычисленный катет увеличить в два раза.

Угол, используемый в синусе и косинусе для нахождения катетов и затем диагоналей ромба, является ничем иным как половинным углом самого ромба, так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов. То есть будет справедливо следующее равенство:

α_ромба=2 α_{треугольника}
Или
α_ромба/2=α_{треугольника}

Теперь для выведения общей формулы диагоналей ромба через сторону ромба и его угол (кстати, выбор острого или тупого угла не сказывается на результате расчетов) выписанные замены должны быть подставлены в исходные формулы треугольника, с которых начинался алгоритм вычислений.

Произведя вычисления обратным ходом, можно также найти сторону ромба через диагонали или угол между сторонами ромба.

Диагональ параллелограмма – это отрезок, соединяющий противоположные вершины фигуры. В зависимости от
вида геометрической фигуры диагональ обладает важными свойствами, на которые основываются базовые
правила и формулы. Рассмотрим подробнее, как найти длину данного отрезка, построенного в
параллелограмме с равными сторонами, т.е. ромбе.

Диагональ ромба через сторону и другую известную диагональ

В случае, если в ромбе известны значения одной диагонали (d) и стороны (a) фигуры, прийти к
определению длины второго отрезка будет несложно, благодаря тождеству параллелограмма, которое
гласит, что сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4:

d = √(4a² — d²)

где a — сторона, d — известная диагональ.

Пример. Дан ромб с диагональю равной 6 мм и стороной, длина которой 5 мм. Нужно
найти вторую диагональ ромба. d = √(4 * 5² — 6²) = √(4 * 25 — 36) = √(100 — 36) = √64 = 8 мм
– длина неизвестной диагонали.

Как найти длину большей диагонали через сторону и острый угол

Найти величину длинной диагонали можно по формуле:

d = a * √(2 + 2 * cos α)

где a — сторона, cos α — острый угол.

Проведенный отрезок, который соединяет противоположные вершины фигуры, делит ее на равнобедренные
треугольники. По свойствам равнобедренного треугольника косинус углов при основании равен половине
основания (в данном случае диагонали), деленного на боковую сторону (сторону ромба).

Пример. Острый угол между сторонами ромба длиной 6 см равен 45 градусам. Найти
биссектрису острого угла ромба (в данном случае диагональ). d = 6 * √(2 + 2 * cos 45°) = 6 * √(2 + 2 * √2 / 2) = 6 * √(2 + 2 * 0,7) = 11см
– длинна неизвестного отрезка.

Как найти длину большей диагонали через сторону и известное значение тупого угла

Как уже известно, построенная диагональ в ромбе, делит его на 2 равнобедренных треугольника. Если
дополнить картину второй проведенной диагональю, получится прямоугольный треугольник. Косинус
половинки тупого угла (c) это отношение прилежащего катета к гипотенузе (стороне ромба a). На
основании всех этих свойств можно прийти к простой формуле нахождения нужной диагонали через сторону
ромба (в данном случае гипотенузу) и косинус тупого угла:

d = a * √( 2 — 2 * cos β)

где a — сторона, cos β — тупой угол

Пример. Дан ромб со стороной 4,65 м, величина тупого угла которого равна 120
градусам. Необходимо найти противолежащую известному углу диагональ. d = 4,65 * √(2 — 2 * cos 120°) = 4,65 * √(2 — 2 * (-0,5) = 8 м
– длина неизвестного отрезка.

Как вычислить длину меньшей диагонали через сторону и острый угол

Так как ситуация аналогична предыдущей (только известный противолежащий угол острый), формула
нахождения короткой диагонали практически ничем не отличается от алгоритма определения длинного
отрезка, соединяющего противолежащие вершины ромба.

d = a * √(2 — 2 * cos α)

где a — сторона, cos α — острый угол

Пример. В ромбе со стороной 4,65 м проведена диагональ, которая является основанием
равнобедренного треугольника с углом при вершине равным 52 градусам. Найти основание треугольника
(меньшую диагональ). d = 4,65 * √(2 — 2 * cos 52°) = 4 м.

Короткая диагональ ромба через длинную диагональ и острый угол

Аналогично с предыдущей ситуацией, через тангенс острого угла находим величину неизвестного катета
(половинку искомой диагонали). Упрощенная формула:

d = D * tg (α / 2)

где D — длинная диагональ, α — острый угол

Пример. Острый угол ромба, в котором построена диагональ длиной 11 мм, равен 58
градусам. Найти длину второй диагонали. d = 11 * tg 29° = 6 мм – длина
меньшей диагонали ромба.

Короткая диагональ через сторону и тупой угол

Формула для нахождения меньшей диагонали ромба при помощи значения стороны и тупого угла такова:

d = a * √(2 + 2 * cos β)

где a — сторона, cos β — тупой угол

Пример. Дан ромб со стороной 4,65 мм, один из углов которого равен 128 градусов, а
меньшая диагональ фигуры – искомая величина. d = a * √(2 + 2 * cos β) = 4,65 *  √(2 + 2 * cos 128°) = 4 мм.

Длинная диагональ ромба через короткую диагональ и тупой угол

Длина большей диагонали ромба легко находится по формуле:

D = d * tg (β / 2)

где d — короткая диагональ, β — тупой угол

Благодаря теореме Пифагора, зная длину короткой диагонали (половина катета прямоугольного
треугольника) и значение тупого угла ромба (половина которого является углом прямоугольного
треугольника), не составит труда определить значение большей диагонали ромба через тангенс тупого
угла.

Пример. Дан ромб с диагональю 6,5 см, которая является биссектрисой тупого угла
величиной 119 градусов. Нужно найти неизвестную диагональ ромба. D = 6,5 * tg (119 / 2) = 11 см
– искомая величина.

Диагональ ромба через площадь и другую известную диагональ

Найти любую из двух диагоналей ромба можно по формуле:

D = 2 * S / d

где d – длина известного отрезка, а S-площадь фигуры.

Пример. Дан ромб с площадью равной 64 см², его диагональ равна 8,5 см. Необходимо
найти длину второго отрезка, соединяющего противолежащие вершины. D = 2 * S / d = 2 * 64 / 8,5 = 15 см.

Ромб относится к плоским выпуклым геометрическим фигурам. Данный вид параллелограмма отличается
равными сторонами, а также тем, что его диагонали при пересечении перпендикулярны друг другу.
Существуют и другие свойства ромба, которые подробно раскрывают смысл указанных выше формул:

• Диагонали, пересекаясь под прямым углом, делятся точкой пересечения пополам. Таким образом, они
  всегда разделяют фигуру на 4 прямоугольных треугольника.
• Противоположные стороны ромба попарно параллельны.
• Противолежащие углы равны, а смежные – в сумме образуют 180 градусов.
• Диагонали служат биссектрисами всех углов ромба.
• Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.
• Если соединить середины сторон ромба, получится прямоугольник.
• Точка пересечения диагоналей — центр вписанной окружности.

Определение диагонали ромба часто встречается в задачах школьной программы. Найдя данное значение,
можно прийти к искомому результату задания. Через диагональ можно найти стороны ромба, площадь,
периметр и все внутренние углы ромба.

Геометрия в школьной программе включается в себя немалое количество формул, основанных на теоремах и
правилах. Некоторые из которых помогают значительно сократить время для решения задач на контрольной
или при выполнении домашней работы. Данная статья поможет быстро прийти к логическому решению
задания и правильному результату. Знание и применение выше перечисленных формул способствуют умению
решать задачи по геометрии любой сложности.