Как найти длину дуги через интеграл параметрически

Если кривая C задана уравнениями x=x(t), y=y(t) (t[t₀;T]), где x(t) и y(t) непрерывные на [t₀;T] функции, то длина дуги кривой С равняется определенному интегралу

Из формулы длины дуги кривой, заданной параметрически видим, что здесь нужно хорошо знать производные элементарных функций и иметь отличные знания c интегрирования. Как это выглядит на практике Вы можете увидеть с готовых ответов до заданий.
Примеры подобрано из учебной программы для студентов механико-математического факультета Львовского национального университета имени Ивана Франко.
Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В. “Практикум из математического анализа” (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича). 

Для изучения основных моментов схема интегрирования и формулы вычисления дуги кривой, заданной в параметрической форме будут повторяться из примера в пример.
Часть заданий обязательно проиллюстрируем графиками кривых.

Как найти длину дуги, заданной в параметрическом виде?

Пример 2.127-2443 Найти длину дуги кривой, заданной в параметрическом виде
 x=a(t-sin(t)),  y=a(1-cos (t)), tє[0;2pi].
(См. 2.100)

Вычисление: Найдем производные по переменной t функций:

Пределы интегрирования берем из условия: [0;2pi].
Выражаем подинтегральную функцию:

Интегрированием находим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Для выведения формулы использовали известные тригонометрические формулы.
Длина дуги равна 8a единиц.

Пример 2.128 (2444) Найти длину дуги кривой, заданной параметрически
x=a(cos(t)+t*sin(t)),  y=a(sin(t)-t*cos(t)), tє[0;2*Pi]. (См. 2.103)
Вычисление: Вычисляем производную по переменной t от параметрических уравнений координат функции:

Пределы интегрирования записываем из начального условия: [0;2*Pi].
Складываем подинтегральную функцию:

Ее вид чрезвычайно прост, а длина дуги параметрической кривой через интеграл вычисляется быстро:

Пример 2.129 (2442) Найти длину дуги кривой, заданной параметрически
x=cos⁴(t), y=sin⁴(t).
Вычисление: Найдем производные по переменной t от параметрически заданных координат:

Имеем пределы интегрирования:
[0;Pi/2], поскольку функция принимает только положительные значения.
График кривой приведен на рисунку

Складываем уравнение подинтегральной функции:

Однократно применив замену переменных и метод интегрирования частями находим длину дуги кривой:

Интеграл достаточно распространен для такого сорта примеров, поэтому вспомните все формулы интегрирования, которые в результате дают логарифм.

Пример 2.130 Найти длину дуги кривой, заданной параметрически
x=t²,y=t-t³,

Вычисление: Первым делом находим производные параметрически заданных координат по переменной t:
x’=2t; y’=1-t².

Крайние точки известны:
, отсюда нужно определить чему равен параметр:
из условия y=0 определяем 
Функция симметрична относительно оси Ox, поэтому принимаем  и результат интегрирования умножаем на 2.
График кривой на положительной части оси абсцисс изображен ниже

Составим уравнение подинтегральной функции:

Последним шагом находим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Интеграл достаточно быстро вычисляется.

Пример 2.131 (2445.1) Найти длину дуги кривой, заданной в параметрическом виде
 x=ch³(t), y=sh³(t), [0;T]
Вычисление: Найдем производные от гиперболичного косинуса и синуса по t:

Пределы интегрирования известны: [0;T].
График кривой приведен на рисунке 

Вычислим подинтегральную функцию:

Учитывая формулы для гиперболичных функций при вычислении интеграла синус гиперболический от двойного угла вносим под дифференциал.
В результате придем к формуле, которую и без замены переменных можем проинтегрировать.
 

Пример 2441 Найти длину дуги эволюты эллипса, заданной параметрически
 
Вычисление: Найдем производные параметрически заданных координат эволюты эллипса:

Пределы интегрирования: [0;Pi/2] (оси координат являются осями симметрии).
График эволюты эллипса имеет вид

Складываем уравнение подинтегральной функции:

Чтобы найти длину дуги эволюты эллипса придется превратить подинтегральную функцию, потом свести ее под известные интегралы.
Чтобы облегчить чтение формул на середине вычислений выполняем замену переменных и, соответственно, пересчет пределов интегрирования.
 
Также последние строки показывают, что умение работать с дробями Вам тоже пригодятся.
Если не упрощать, то получим тяжелую для чтения формулу с иррациональными слагаемыми.

Пример 2445 Найти длину дуги кривой, заданной параметрически
x=a(sh(t)-t), x=a(ch(t)-1, tє[0;T].
Вычисление: Вычислим производные от параметрических координат кривой:
x’=a(ch(t)-1;
y’=a*sh(t).
Пределы интегрирования заданы: [0;T].
Подносим к квадрату производные параметрических координат линии:

За формулой находим длину дуги кривой:
для этого превращаем подынтегральную функцию, а дальше методом замены переменных вычисляем интеграл:

Конечная формула длины дуги кривой содержит зависимости от косинуса гиперболического.

При вычислении любой длины следует помнить, что это величина конечная, то есть просто число. Если имеется в виду длина дуги кривой, то такая задача решается с помощью определенного интеграла (в плоском случае) или криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Дуга АВ будет обозначаться UАВ.

Первый случай (плоский). Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ (см. рис. 1а). Для решения этой задачи разбейте рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В результате UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдете длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получите результат, приведенный на рисунке 1b.

Как вычислить длину кривой

Второй случай (дуга UАВ задана параметрически). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на отрезке этом отрезке. Найдите их дифференциалы. dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставьте эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесите dt из квадратного корня под интегралом, положите х(α)=а, x(β)=b и придете к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).

Третий случай. Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ) Полярный угол φ при прохождении дуги изменяется от α до β. Функция ρ(φ)) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще всего использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберите φ в качестве параметра и подставьте в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ y=ρsinφ. Продифференцируйте эти формулы и подставьте квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получите формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).

Четвертый случай (пространственная кривая, заданная параметрически). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Криволинейные интегралы вычисляют переводом их в обычные определенные. В результате ответ останется практическим таким же как и случае два, с тем лишь отличием, что под корнем появится добавочное слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).

Примеры:

Пример 1. Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у’ = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками х₀ = а, х₁…, х_n = b (х₀ < x₁ < …< х_n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183).  Пустьэтим точкам соответствуют точки М₀ = А, M₁,…,M_n =В на кривой АВ. Проведем хорды М₀M₁, M₁M₂,…, М_n-1М_n, длины которых обозначим соответственно через ΔL₁, AL₂,…, ΔL_n. Получим ломаную M₀M₁M₂ … M_n-ιM_n, длина которой равна L_n=ΔL₁ + ΔL₂+…+ ΔL_n =

2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL₁ можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δx_i и Δу_i:

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δу_i=ƒ'(с_i)•Δх_i, где ci є (x_i-1;x_i). Поэтому

а длина всей ломаной M₀M₁… М_n равна

3.Длина l кривой АВ, по определению, равна

.

Заметим, что при ΔL_i→0 также и Δx_i →0 ΔLi =и, следовательно, |Δx_i|<ΔL_i).

Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δx_i→ 0:

Таким образом,или в сокращенной записи l =

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) — непрерывныефункции с непрерывными производными и х(а) = а, х(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой x = x(t),dx = x'(t)dt,

Пример 2. Определить длину окружности x² + y² = r². Решение. Вычислим сначала длину четвертой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги AB будет, откуда,следовательно,

Длина всей окружности L = 2πr.

Пример 3. Найти длину дуги кривой y² = x³ от x = 0 до x = 1 (y > 0). Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем y’ = (3/2)x^1/2, откуда

Пример 4.     Пусть кривая лежит в плоскости x0y и описывается уравнением y = f(x).

     Для нахождения длины дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами a и b, разобьем дугу на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было аппроксимируовать прямолинейным участком (см. рисунок 1).

Рис. 1. Аппроксимация элемента дуги кривой прямолинейным участком.

      Длину dL бесконечно малого участка можно выразить через dx и dy с помощью теоремы Пифагора:

(1)

где y ‘  – производная функции y = f(x)  по переменной x.

      Длина дуги равна сумме длин составляющих ее элементов:

.

Пример 5.