Дуга окружности – это фрагмент окружности. Если на окружности отметить две точки A И B, то она разобьётся на 2 части, называемые дугами окружности.
Для того, чтобы найти длину дуги окружности, необходимо использовать значение центрального угла, измеряемого в радианах или градусах.
Существует 2 формулы длины дуги окружности:
1) Если дан центральный угол в радианах: l = R*α, где R – радиус, α – величина угла AOB в радианах.
2) Если дан центральный угол в градусах: l = R*π*C/180, где R – радиус, C – величина угла AOB в градусах.
Пример
Дано:
1) радиус окружности R = 6 дм.
2) центральный угол AOB = 45°.
Найти:
Длину дуги AB.
Решение:
l = 6*3,14*1/4 дм. = 4,71 дм.
Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Основные определения и свойства
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Часть круга, ограниченная хордой
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
| Фигура | Рисунок | Определения и свойства |
| Окружность |  |
|
| Дуга |  |
|
| Круг |  |
|
| Сектор |  |
|
| Сегмент |  |
|
| Правильный многоугольник |  |
|
 |
| Окружность |
|
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности
Дуга
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор
Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент
Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Формулы для площади круга и его частей
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
| Числовая характеристика | Рисунок | Формула |
| Площадь круга |  |
|
| Площадь сектора |  |
|
| Площадь сегмента |  |
| Площадь круга |
|
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Площадь сектора
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь сегмента
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Формулы для длины окружности и её дуг
где R – радиус круга, D – диаметр круга
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
| Длина окружности |
 |
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Длина дуги
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь круга
Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).
Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .
Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .
Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна
Длина окружности
то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :
Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем
Геометрия. Урок 5. Окружность
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Определение окружности
- Отрезки в окружности
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности .
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Дуга в окружности
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .
Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360 ° .
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ A C B – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Длина окружности, длина дуги
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .
Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Длина дуги
На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности — через радиус и угол между ними и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькуляторов, которые используют эти формулы.
Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.
[spoiler title=”источники:”]
http://mnogoformul.ru/dlina-dugi
[/spoiler]
Длина дуги, которую описывают концы радиусов, пропорциональна величине центрального угла, образованного этими же радиусами. Именно поэтому длину дуги можно измерять в градусах.
За 1° дуги принимают 
часть окружности.
Необходимо понимать, что величина центрального угла никак не зависит от дины дуги.
Формула длины дуги окружности
Найдем длину дуги окружности, центральный угол которой равен n°
Так как длина окружности равна 
, то развернутому углу будет соответствовать длина дуги 
. Тогда длина дуги центрального угла 1° будет равна 
.
Следовательно, длина дуги центрального угла n° будет выражаться по формуле
Очень часто в задачах на вычисление длины дуги окружности используется радиальная мера угла. Радиальная мера угла – это отношение длины дуги к радиусу окружности. Из формулы длины дуги окружности получаем 
Чтобы получить радиальную меру угла необходимо градусную меру умножить на 
.
Радиальная мера угла 180° равна 
.
Радиальная мера угла 90° равна 
.
Тогда длину дуги окружности центрального угла имеющего радиальную меру θ можно выразить формулой 
.
Пример задачи на нахождение длины дуги окружности
Вычислите длину дуги окружности с радиусом 3, если ее градусная мера составляет 150°
Формула длины дуги центрального угла n° выражается формулой 
Подставив значения из условия задачи, получаем 
Содержание:
Окружность:
Определение: Кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением 
Замечание: Если коэффициенты 
При определенных значениях параметров, входящих в это уравнение, оно дает канонические у равнения окружности, эллипса (не путать с овалом), гиперболы и параболы. Рассмотрим эти кривые второго порядка в указанной последовательности.
Определение: Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки 
называемой центром окружности, на расстояние R, которое называется радиусом окружности.
Получим уравнение окружности (Рис. 27). Пусть точка М(х;у) лежит на окружности:
Рис. 27. Вывод уравнения окружности.
Из рисунка видно, что по теореме Пифагора 
которое определяет уравнение окружности (Рис. 28): 
Рис. 28. Окружность. 
Если 
то уравнение принимает вид 
который называется каноническим уравнением окружности.
Пример:
Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с точкой М (2; 1), прямая линия 
является касательной к окружности.
Решение:
Радиус окружности равен расстоянию от центра окружности точки М (2; 1) до прямой l, т.е.
В уравнении окружности 
таким образом оно имеет вид: 
Пример:
Составить уравнение окружности, касающейся двух параллельных прямых 
причем одной из них в т. А (1; 2).
Решение:
Прежде всего определим, на какой из прямых 
или 
лежит точка A(1; 2). Для этого подставим ее координаты в уравнения прямых 
следовательно, точка A(1; 2) принадлежит линии 
(в сокращенной форме это предложение пишут так: 
где значок 
означает “принадлежит”. Таким образом, диаметр окружности D равен расстоянию от точки A(1; 2) до прямой 
а радиус окружности 
Найдём координаты центра окружности точки 
которая делит отрезок АВ пополам. Вначале составим уравнение прямой (АВ) и вычислим координаты точки 
перейдем от общего уравнения прямой 
к уравнению прямой с угловым коэффициентом 
Так как прямая
то её угловой коэффициент 
Прямая (АВ) проходит через известную точку A(1;2), следовательно, 
Отсюда находим 
Таким образом,уравнение прямой (АВ):
Найдем координаты точки B, которая является пересечением прямых 
и (АВ), т.е. решим систему линейных алгебраических уравнений, составленную из уравнений прямых 
и (АВ): (В): 
Подставим выражение для переменной у из второго у равнения в первое, получим 
Подставив это значение во второе уравнение системы, найдем 
т.е. 
Для вычисления координат точки О применим формулы деления отрезка пополам (О): 
в этой формуле 
(координаты точки О), 
(координаты точки А), 
(координаты точки В), следовательно, 
т.е. координаты точки О 
Таким образом, уравнение искомой окружности имеет вид: 
Окружность в высшей математике
Рассмотрим уравнение
которое получается из уравнения (I), если положить 
, 
.
Если в формулу, выражающую расстояние между двумя точками, подставить 
, 
, то получим 
Из уравнения (1) находим, что 
, т. е. 
. Это значит, что все точки 
, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), находятся на расстоянии 
от начала координат. Следовательно, геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), есть окружность радиуса 
с центром в начале координат. Аналогично получаем, что уравнение 
определяет окружность радиуса с центром в точке 
.
Пример:
Найдем уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом, равным 10.
Решение:
Полагая
, 
получим 
.
Разрешим это уравнение относительно 
, будем иметь
и
Первое из этих уравнений есть уравнение верхней половины окружности, второе—нижней.
Центральный угол. Градусная мера дуги
Дуга окружности. Если отметить на окружности точки 
и 
, то окружность разделится на две дуги: большую дугу (мажорная дуга) и меньшую дугу (минорная дуга). Если точка 
является какой-либо точкой дуги 
, то 
. Если точки и являются концами диаметра, го каждая дуга является полуокружностью.
Центральный угол. Угол, вершина которого находится в центре окружности, называется центральным углом. Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла: 
Сумма всех центральных углов окружности, не имеющих общую внутреннюю точку, равна 
Дуги окружности и их величины
Пример: 
минорная дуга: 
мажорная дуга: 
Конгруэнтные дуги
В окружности конгруэнтным центральным углам соответствуют конгруэнтные дуги и наоборот.
Если 
Если 
Длина дуги
Какую часть составляет центральный угол от всей окружности, такую же часть длина дуги составляет от длины всей окружности.
Длина дуги в 
равна 
части длины окружности.
Длина дуги, соответствующей центральному углу с градусной мерой 
, составляет 
части длины окружности: 
Длина дуги выражается единицами измерения длины (мм, см, м, и т.д.)
Пример №1
Длина окружности равна 72 см. Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу 
.
Решение:
Так как центральный угол 
составляет 
часть полного угла, то длина искомой дуги: 
Пример №2
Найдите длину дуги, соответствующей центральному углу 
в окружности радиусом 15 см.
Решение: подставляя значения 
в формулу длины дуги находим: 
Окружность и хорда
Теорема о конгруэнтных хордах
Теорема 1. Хорды, стягивающие конгруэнтные дуги окружности, конгруэнтны.
Обратная теорема 1. Дуги, стягиваемые конгруэнтными хордами окружности, конгруэнтны.
1)Если 
, то 
2)Если 
Доказательство теоремы 1:
Теорема о серединном перпендикуляре хорд
Теорема 2.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и соответствующую дугу пополам.
Если 
Доказательство теоремы 2.
Дано: 
– центральный угол, 
Докажите: 
Начертите радиусы 
и 
окружности.
Следствие 1. Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и ее дугу пополам.
Следствие 2. Центр окружности расположен на серединном перпендикуляре хорды. Серединный перпендикуляр хорды проходит через центр окружности.
Пример: Найдите расстояние от центра до хорды длиной 30 единиц в окружности радиусом 17 единиц. Если 
, то 
. Из 
по теореме Пифагора имеем: 
Теорема о хордах, находящихся на одинаковом расстоянии от центра окружности
Теорема 3.
Конгруэнтные хорды окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
Если 
, то 
Обратная теорема 3. Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, конгруэнтны.
Доказательство теоремы 3
Дано: Окружность с центром 
Докажите: 
Доказательство (текстовое): Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит хорду и стягивающую ее дугу пополам. 
и 
– серединные перпендикуляры конгруэнтных хорд 
и 
. 
, так как они являются половиной конгруэнтных хорд. Начертим радиусы окружности 
и 
: 
. Прямоугольные треугольники, 
и 
конгруэнтны (по катету и гипотенузе). Так как и являются соответствующими сторонами данных треугольников, то они конгруэнтны: 
. Теорема доказана.
Задача. Хорды 
и 
находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. 
. Если радиус окружности равен 41 единице, то найдите 
.
Решение: Так как хорды и находятся на одинаковом расстоянии от центра, то они конгруэнтны: 
Соединим точки 
и 
с точкой 
В прямоугольном треугольнике 
; 
; 
; 
Так как 
Угол, вписанный в окружность
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется углом вписанным в окружность. Дуга, соответствующая углу, вписанному в окружность, называется дугой, на которую опирается этот угол.
является углом вписанным в окружность с центром 
, а 
дуга, на которую опирается этот угол. Ниже показаны три разных угла, вписанных в окружность.
Угол, вписанный в окружность:
Теорема 1. Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. 
Доказательство (текстовое): 
и 
радиусы окружности и 
равнобедренный треугольник. Значит, 
Так как 
является внешним углом 
, 
Если примем, что 
, то 
Так как градусные меры центрального угла и опирающейся на него дуги равны, то 
Следовательно, 
.
Следствие 1. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
Следствие 2. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр (полуокружность), является прямым углом.
Конгруэнтные углы, вписанные в окружность
Следствие 3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, конгруэнтны. 
, 
.
Следствие 4. Вписанные углы, опирающиеся на конгруэнтные дуги, конгруэнтны. Если 
, то 
.
Касательная к окружности
Касательная. Признак касательной
Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью, называется касательной. Теорема 1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Прямая 
является касательной к окружности. Значит, 
Обратная теорема (признак касательной): Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку, является касательной окружности.
Прямая, касающаяся обеих окружностей, называется общей касательной этих окружностей. Окружности, касаясь друг друга изнутри или извне, могут иметь общую касательную в одной точке. Также окружности могут касаться одной касательной в разных точках.
Две окружности могут иметь несколько общих касательных или вообще не иметь общих касательных.
Доказательство теоремы 1. Если прямая 
– касательная к окружности, значит, она имеет единственную общую точку с окружностью. Допустим, что прямая 
не перпендикулярна радиусу 
Проведем 
и на прямой выделим отрезок 
Тогда 
так как 
Значит, точка 
также находится на окружности. То есть прямая имеет с окружностью две общие точки, что противоречит условию. Значит, 
Свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки
Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, конгруэнтны, и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного касательными.
и 
касательные, проведенные из точки 
к окружности с центром 
Углы, образованные секущими и касательными
Прямая, имеющая две общие точки с окружностью, называется секущей окружности.
Углы между двумя секущими
Вершина угла находится внутри окружности
Теорема. Если вершина угла, образованного двумя секущими, находится внутри окружности, то градусная мера угла равна полусумме величин дуг на которые опирается этот угол и угол вертикальный данному. 
Углы между касательной и секущей
Вершина угла находится на окружности
Теорема. Если вершина угла, образованного касательной и секущей, находится на окружности, то градусная мера угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Углы, образованные касательной и секущей
Вершина угла находится вне окружности
Теорема 1.
Градусная мера угла, образованного секущей и касательной, двумя касательными, двумя секущими окружности (если вершина угла находится вне окружности), равна половине разности градусных мер дуг, находящихся между сторонами угла.
Отрезки секущих и касательных
Длина отрезков, секущих окружность
Теорема 1. При пересечении двух хорд, произведение отрезков одной хорды, полученных точкой пересечения, равно произведению отрезков второй хорды.
Теорема 2. Если из точки 
провести две прямые, пересекающие окружность соответственно в точках 
и 
, 
и 
то верно равенство 
Теорема 3. Если из точки 
проведены прямая, которая пересекает окружность в точках и и касательная к окружности в точке 
то верно равенство: 
Уравнение окружности
Используя формулу расстояния между двумя точками, можно написать уравнение окружности с радиусом 
и с центром в начале координат. Расстояние между центром окружности 
и ее любой точкой 
равно радиусу окружности.
Расстояние между двумя точками
Упрощение
Возведение обеих частей в квадрат
Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 
: 
Например, уравнение окружности с центром в начале координат 
и радиусом 2 имеет вид: 
По формуле расстояния между центром окружности 
и точки 
на окружности радиуса 
имеем 
Возведя в квадрат обе части, получаем уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом 
Например, уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом 4 имеет вид: 
Пример №3
Постройте на координатной плоскости окружность, заданную уравнением 
Решение: Напишем уравнение в виде 
Как видно, 
Отметим 4 точки, находящиеся на расстоянии 5 единиц от начала координат. Например, 
Проведем окружность через эти точки.
Пример №4
Точка 
находится на окружности, центром которой является начало координат. Напишите уравнение этой окружности.
Решение: Записав координаты точки 
в уравнении 
, получим: 
Уравнение этой окружности: 
Пример №5
Найдем центр и радиус окружности, заданной уравнением 
Решение: 
Центр окружности точка 
Радиус 
Пример №6
Мобильные телефоны работают с помощью передачи сигналов посредством спутников из одной передающей станции в другую. Компания мобильного оператора старается расположить передающую станцию так, чтобы обслуживать больше пользователей. Представим, что три больших города находятся в точках 
На координатной плоскости 1 единица равна расстоянию в 100 км. Передающая станция должна быть расположена в точке, находящейся на одинаковом расстоянии от этих городов. Напишите координаты этой точки и уравнение соответствующей окружности.
Решение: Сначала соединим эти точки и найдем точку пересечения серединных перпендикуляров сторон полученного треугольника. Эта точка 
Эта точка, являясь центром окружности, показывает месторасположение станции. Расстояние между центром и любой из заданных точек является радиусом окружности, 
Уравнение окружности: 
Заметка. Определив линейные уравнения, соответствующие серединным перпендикулярам, можно найти координаты центра окружности решением системы уравнений.
Координаты точек, находящихся на окружности, и тригонометрические отношения
Если точка 
при повороте радиуса 
вокруг точки 
против движения часовой стрелки на угол 
преобразуется в точку 
то 
Для координат точки 
соответствующей углу поворота 
на окружности, верны формулы 
В этих формулах – угол, отсчитываемый от положительной оси 
против движения часовой стрелки. Если точка 
не находится на оси ординат, то 
.
Синусы смежных углов равны, а косинусы взаимно противоположны.
Из этих формул при 
почленным делением получаем:
С помощью формул, приведенных выше, вычисление синуса, косинуса, тангенса для тупого угла можно свести к вычислению синуса, косинуса, тангенса острого угла, соответственно.
Сектор и сегмент
Сектор часть круга, ограниченная центральным углом, образованным двумя радиусами и соответствующей этому углу дугой. Площадь сектора, соответствующего центральному углу, составляет ту часть площади круга, которую составляет центральный угол от полного угла.
Например, часть круга, соответствующая центральному углу 
, составляет 
часть всего круга. Так как площадь круга 
, то площадь этого сектора будет 
Сегмент часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой.
Площадь сектора
Площадь сектора: 
Площадь сегмента: 
Указание: При нахождении площади сегмента, соответствующего большей дуге, к площади соответствующего сектора прибавляется площадь 
- Эллипс
- Гипербола
- Парабола
- Многогранник
- Сфера в геометрии
- Шар в геометрии
- Правильные многогранники в геометрии
- Многогранники
Arc length is defined as the distance between the two points placed on the circumference of the circle and measured along the circumference. Arc length is the curved distance along the circumference of the circle. Length of the arc between two points is always greater than the chord between those two points.
What is Arc Length?
The arc length is defined as the circular distance between two points along the circumference of the circle. The length of the arc is directly dependent on the radius and central angle of the circle. The central angle is the angle subtended by the endpoints of the arc to the center of the circle. It is denoted by θ. It is measured both in degrees and radians. The figure given below shows the arc AB when the radius is r and the central angle is θ.
Arc Length Formula
Length of the arc is calculated using different formulas, the formula used is based on the central angle of the arc. Central angle is measured in degrees or radians, and accordingly, the length of an arc of the circle is calculated. For a circle, the formula for arc length formula is θ times the radius of the circle.
| Arc Length Formula (θ in degrees) | s = 2×π×r ×(θ/360°) |
| Arc Length Formula (θ in radians) | s = θ × r |
| Arc Length Formula (Integral Form) | s = ∫√(1 + (dy/dx)2dx |
There are different cases that are used accordingly to find the required Arc Length
Case 1: When Radius and Angle are given
Formula to calculate the length of an arc is given by:
L = 2πr × (θ / 360)… (1)
where
r is the radius of the circle
θ is the angle in degrees
L is the Arc lengthArc length when the angle is represented in radians
1 radian = π/180°
Substituting the value of radian in equation (1)
L = 2πr × (θ × / 360)
L = r θ…(2)
where,
r is the radius of the circle
θ is the angle in radians.
Case 2: When Area and Central Angle of the Arc are given
Formula to calculate the length of an arc is given by:
L = 2πr × (θ / 360)
where,
r is the radius of the circle
θ is the angle in degreesWe need to find the radius of the circle from the given area. After finding the radius, we will substitute the value of radius in the formula.
Area of the circle = πr2
Example: If area of the circle is 314 m2 and centeral angle of the arc is π radian find the length of the arc.
Sloution:
πr2 = 314 m2
r2 = 314/π (π = 3.14)
r2 = 314/3.14
r2 = 100
r = √100 = 10 m
Length of the arc with angle π radians will be:
L = r θ
L = 10 × π
L = 10 × 3.1415
L = 31.415 m
The value of r can be used in the same formula, as discussed above.
Case 3: Arc length In Integral Form
Arc length in integral form is given by:
L = ∫√(1 + (dy/dx)2)dx
where,
Y is the f(x) function
limit of integral is [a, b]
How to Find Arc Length?
Use the steps given below to find the Arc length of the given arc.
Step 1: Mark the central angle and length of the radius of the given arc.
Step 2: Use the formula as given above according to the value of the angle in degrees or radians accordingly.
Step 3: Simplify the above equation to get the required answer.
Also, Check
- Equation of a Circle
- Degrees To Radians
- Radians to Degrees
Solved Examples on Arc Length
Example 1: Find the length of the arc with a radius of 2m and angle π/2 radians.
Solution:
The formula to calculate the length of the arc is given by:
L = r θ
Where,
L is the length of the arc
Given: r = 2m and θ = π/2 radians
Length of arc = 2 × π/2
Length of arc = π
(π = 3.1415)
Length of arc = 3.1415 m
Thus, the length of the arc is 3.1415 m.
Example 2: Find the length of the arc of function f(x) = 8 between x =2 and x = 4.
Solution:
The formula to calculate the arc length for the function is given by:
L = ∫√(1 + (dy/dx)2)dx
The limit of integral is [a, b]
Substituting the values a = 2, b = 4, and y = 6 or dy/dx = 0 in the above formula,
L = ∫√(1 + (0)2)dx
L = ∫√1 dx
L = ∫1 dx
L = x
(Integral of 1 is x)
The limit of integral is [2, 4]
L = (4 – 2)
L = 2
Thus, the length of the arc of function f(x) = 8 between x = 2 and x = 4 is 2.
Example 3: Find the length of the arc with a radius of 5cm and an angle of 60°.
Solution:
The formula to calculate the length of the arc is given by:
L = 2πr × (θ / 360)
Where,
L is the length of the arc
Given: r = 5cm and θ = 60°
Length of arc = 2πr × (60 / 360)
Length of arc = 2πr × 1/6
Length of arc = 2 × 3.1415 × 5/6
(π = 3.1415)
Length of arc = 5.235cm
Thus, the length of the arc is 5.235cm
Example 4: Find the length of the arc with a radius of 0.5m and an angle of π/4 radians.
Solution:
The formula to calculate the length of the arc is given by:
L = r θ
Where,
L is the length of the arc
Given: r = 0.5m and θ = π/4 radians
Length of arc = 0.5 × π/4
Length of arc = 0.392 m
(π = 3.1415)
Thus, the length of the arc is 0.392 m
Example 5: Find the length of the arc with a radius of 10cm and an angle of 135°.
Solution:
The formula to calculate the length of the arc is given by:
L = 2πr × (θ / 360)
Where,
L is the length of the arc
Given: r = 10cm and θ = 135°
Length of arc = 2πr × (135/360)
Length of arc = (2 × 3.1415 × 10 × 135)/360°
(π = 3.1415)
Length of arc = 23.56cm
Thus, the length of the arc is 23.56cm.
Example 6: Find the length of the arc with a radius of 20mm and angle π/6 radians.
Solution:
The formula to calculate the length of the arc is given by:
L = r θ
Where,
L is the length of the arc
Given: r = 20mm and θ = π/6 radians
Length of arc = 20 × π/6
Length of arc = 10.47 mm
(π = 3.1415)
Thus, the length of the arc is 10.47 mm
Example 7: Find the length of the arc with a radius of 2 cm and an angle of 90°.
Solution:
The formula to calculate the length of the arc is given by:
L = 2πr × (θ / 360)
Where,
L is the length of the arc
Given: r = 2cm and θ = 90°
Length of arc = 2πr × (90 / 360)
Length of arc = 2πr × 1/4
Length of arc = 2 ×3.1415 × 2 × 1/4
(π = 3.1415)
Length of arc = 3.1415 cm
Thus, the length of the arc is 3.1415 cm.
FAQs on Arc Length
Question 1: What is the Arc Length of a Circle?
Answer:
Arc length of a circle is the length made by the arc which is measured along its circimference.
Question 2: Length of the arc is measured in which unit?
Answer:
Length of arc is of a circle is either measured in m or in cm.
Question 3: Does arc length is measured in radians?
Answer:
Angles are measured in radians and arc length is a measurement of distance, thus it cannot be measured in radians.
Question 4: How do you find the circumference if the arc length (l) and central angle (θ) are given?
Answer:
When arc length (l) and central angle (θ) is given then the circumference by the formula
Arc Length (L) / Circumference = θ/360º
Last Updated :
20 Jan, 2023
Like Article
Save Article
