Как найти длину дуги единичной окружности

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Введение. Длина дуги окружности

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы вспомним, что такое окружность, круг и части круга и числовая окружность. Дадим определение радиана и рассмотрим окружность с единичным радиусом. Далее рассмотрим четыре четверти окружности и решим несколько примеров на нахождение длины дуги единичной окружности.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть уроки:

Урок “Длина дуги числовой окружности”

Краткое описание документа:

В 10 классе изучается числовая окружность. В содержание курса по данной теме входит урок «Длина дуги числовой окружности». Как и любой другой урок по математике, это занятие требует особых средств обучения, которые будут не только наглядными но и наиболее эффективными.

Данный урок длится 7: 11 минут. Примерно столько же времени требуется учителю, чтобы рассказать новый материал обучающимся. Но в этом случае учителю не придется перебирать множество литературы, пересматривать учебники в поиске самого главного по данной теме. Автор данного видеоурока позаботился о свободе учителя, собрал здесь самый свежий, полезный и главный материал.

Урок начинается с повторения формулы, по которой находится длина окружности. Но единичная окружность имеет радиус, равный 1, поэтому автор выводит для этого случая свою формулу, вычисляя, в конечном итоге, определенное значение длины числовой окружности. После этого вводится понятие длины дуги числовой окружности на примере единичной окружности.

После рассмотренной теории предлагается закрепить информацию с помощью примера. По условию необходимо найти длины дуг окружности, если в этой окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра. При этом в задаче есть еще дополнительные сведения, которые помогут более точно найти искомую величину. Пример рассматривается с подробным объяснением решения. Здесь присутствует рисунок, иллюстрирующий суть задачи, математическая запись, развивающая математическую грамотность обучающихся, и логически построенное объяснение каждого этапа решения задачи.

Далее рассматривается не менее наглядный пример, где также необходимо найти длины дуг окружностей. Решение задачи имеет четкую структуру. Здесь имеется иллюстрация. Автор подробно поясняет все, что происходит на экране, все решение, и что, откуда берется.

После этого автор вводит проблему, которую постепенно приводит к решению. Рассказ автора сопровождается иллюстрациями, вся работа отмечается на рисунке, параллельно с этим ведется запись, которая приводит к решению проблемы.

Получив очередную порцию теоретических знаний, обучающимся предлагается рассмотреть пример по этой теории. Здесь необходимо найти, в какой четверти находится точка числовой окружности. И этот пример сопровождается иллюстрациями. Решение расписано подробно, автор комментирует каждое действие, которое происходит на экране.

Здесь урок приходит к завершению. Но на занятии должно оставаться время, чтобы закрепить материал по данной теме. Учителю необходимо подобрать такой материал по способностям обучающихся.

Тема нашего урока «ДЛИНА ДУГИ ЧИСЛОВОЙ ОКРУЖНОСТИ»

Известно, что длина окружности L вычисляется по формуле L =2πR (эль равно два пи эр), где π≈3,14 , R – радиус окружности. Для единичной окружности R=1, значит L =2π≈6,28 (эль равно два пи и приблизительно равно шесть целых двадцать восемь сотых).

Следовательно, длина половины дуги окружности АС и BD будет равна π, а длина дуги четверти окружности АВ, BC, СD, DA будет равна .

Рассмотрим примеры на нахождение длины дуги числовой окружности.

ПРИМЕР 1. В единичной окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра: горизонтальный СА и вертикальный DB. Дуга АВ разделена точкой Е пополам, а точками O и F – на три равные части

(рис 1). Чему равны длины дуг EВ, OF, FВ, EO?

Решение. Так как дуга АВ – это четвертая часть длины окружности, то ее длина равна . Точкой E дуга АВ была разделена на две равные части, значит, дуги АE и EВ равны, их длины тоже равны. То есть АE = EВ=.

Точками F и O разбили дугу АВ на три равные части, то есть

АF = FO = OВ = ׃ 3 = .( равно пи на два деленное на три равно пи на шесть).

Длину дуги FВ можно найти как удвоенное произведение длины дуги АF .

FВ = 2 ∙ = ( равно два умножить на пи на шесть равно два пи на шесть равно пи на три).

И найдем длину дуги EO. Длину этой дуги можно получить из дуги EВ отбрасыванием дуги OВ. То есть EO = EВ – OВ = –= .( равно пи на четыре минус пи на шесть равно пи на двенадцать).

ПРИМЕР 2. Вторая четверть единичной окружности разделена на две равные части точкой М (рис), а четвертая четверть разделена на три равные части точками К и Р. Чему равны длины дуг МD, АК, АР, КВ, МР,РМ?

Решение. Очевидно, что длины дуг АВ, ВС, СD, DА равны между собой и равны пи на два. ВМ равно МС и равно пи на четыре, а DК равно КР равно РА и равно пи на шесть. Следовательно, МD = МС + СD= + = ( эм дэ равно сумме эм сэ и сэ дэ равно сумме пи на четыре и пи на два равно три пи на четыре)

АК = АВ + ВС + СD + DК = + + + = ( а ка равно сумме дуг а бэ, бэ сэ, сэ дэ, дэ ка равно пи на два плюс пи на два плюс пи на два плюс пи на шесть равно пять пи на три)

АР = АВ + ВС + СD + DР= 3∙ +2 ∙ = ( а пэ равно сумме дуг а бэ, бэ сэ, сэ дэ и дэ рэ равно сумме утроенного пи на два и удвоенного пи на шесть равно одиннадцать пи на шесть)

КВ = КР + РА + АВ = + + = ( ка бэ равно сумме дуг ка пэ, рэ а, а бэ рано сумме пи на шесть, пи на шесть и пи на два равно пять пи на шесть)

МР = МС + СD + DК + КР = + + + = ( эм пэ равно сумме дуг эм сэ, сэ дэ, дэ ка, ка пэ равно тринадцать пи на двенадцать)

РМ = РА + АВ + ВМ = + + = ( длина дуги пэ эм равна сумме длин дуг пэ а, а бэ, бэ эм равно сумме пи на шесть , пи на два и пи на четыре равно одиннадцать пи на двенадцать).

В разобранных примерах длины дуг были выражены некоторыми долями числа пи. Это и понятно, ведь длина единичной окружности равна два пи. Возникает вопрос: можно ли найти на единичной окружности такую точку Е₁( е один), чтобы длина дуги АЕ₁( а е один) была равна 1( единице). Поскольку π ≈ 3,14 ; ≈ 1,05; ≈ 0,79 , то единица больше чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три. Рассуждая аналогично, можно найти точку Е₂ , чтобы АЕ₂ =2 , Е₃, чтобы АЕ₃=3 и т. д. Приблизительно отметим эти точки на единичной окружности , предварительно разделив каждую из четвертей на три равные части (рис.)

ПРИМЕР 3. Какой четверти числовой окружности принадлежит точка 30?

Решение. Нужно представить число 30 в виде t + 2πk (тэ плюс два пи ка) и подберем значение ка так, чтобы число тэ попало в отрезок [ 0, 2π] ( от нуля до двух пи включая эти числа). Поскольку 2π≈ 6,28 и 2πk ≈ 6,28k (два пи приблизительно равно шесть целых двадцать восемь сотых и два пи ка приблизительно равно шесть целых двадцать восемь сотых ка), то надо подобрать целое число k(ка) так, чтобы число шесть целых двадцать восемь сотых ка оказалось как можно ближе к числу 30. Очевидно, что ка равно четыре. Значит, 30 = 4,88 + 6,28 ∙ 4 (тридцать равно четыре целые восемьдесят восемь сотых плюс шесть целых двадцать восемь сотых, умноженное на четыре). Точка 4,88 находится в четвертой четверти, значит и точка 30 принадлежит четвертой четверти.

[spoiler title=”источники:”]

http://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/vvedenie-dlina-dugi-okruzhnosti

http://urokimatematiki.ru/urok-dlina-dugi-chislovoy-okruzhnosti-832.html

[/spoiler]

Определение окружности

Окружностью (см. Рис. 1) называется множество всех точек плоскости, которые равноудалены от одной точки (центра).

Рис. 1. Окружность

Длина дуги

Длина любой кривой (в том числе и дуги) приближённо описывается ломаной, вершины которой находятся на этой кривой. Если неограниченно измельчить звенья ломаной, то получим длину кривой (см. Рис. 2).

Рис. 2. Длина дуги окружности описывается ломаной

Длина окружности

Пусть дана окружность. Если изменить все радиусы данной окружности в  раз, получим новую окружность, все размеры которой также изменятся в  раз. Следовательно, отношение длины окружности к её диаметру будет числом постоянным:

Такое отношение назвали числом пи (). Это число примерно равно 3,14.

Выразим из этого выражения длину окружности (l):

 , где R – радиус окружности.

 – длина окружности

Исходя из этой формулы, при :

 – длина единичной окружности

Необходимо ввести такую единицу измерения угла, чтобы полный угол был равен . Такой единицей измерения угла является радиан.

Определение радиана

Угол в один радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см. Рис. 3).

;

Рис. 3. Угол в один радиан

Связь между радианом и градусом

Формула длины окружности , следовательно, в одну окружность укладывается  радиусов (см. Рис. 4). Поэтому:

 

 

Рис. 4. В одну окружность укладывается  радиусов

По полученной формуле можно переводить радианы в градусы или градусы в радианы. Например:

1. 

2. 

3. 

Формула длины дуги окружности

Дано: ;  (см. Рис. 5).

Найти: .

Решение

Рис. 5. Длина дуги окружности

Дуга – это часть всей окружности. Длина окружности равна , в окружности укладывается  радиан, следовательно, длина дуги окружности, которая соответствует углу в один радиан, равна:

В  всего  радиан, поэтому длина дуги окружности, соответствующая углу в  радиан, равна:

 

Если , то:

 

Ответ:  – формула длины дуги окружности.

Задача 1

Дано: окружность радиуса  (см. Рис. 6).

Найти: 1. Длину дуги ; 2. Длину дуги , если .

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Решение

1. Так как окружность единичная, то её длина равна . Длина дуги  составляет  длины всей окружности. Поэтому её длина равна: 

2. Длина дуги единичной окружности равна:

 

Поэтому:

Ответ: 1. ; 2. .

Задача 2

Дано: окружность радиуса . Каждая четверть разделена пополам (см. Рис. 7).

Найти: 1. ; ; 2. ; 3. ; 4. .

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Решение

Из предыдущей задачи известно, что длина четверти окружности равна . Следовательно:

1. 

2. 

3. 

4.  соответствует развёрнутому углу, то есть половина длины окружности, следовательно: 

Ответ: 1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Задача 3

Дано: окружность радиуса .  (см. Рис. 8)

Найти: 1. ; ; 2. ; .

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Решение

1. Длина дуги  равна , следовательно: 

2. 

Ответ: 1. ; 2. ; .

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт aal100.narod.ru (Источник)

2. Интернет-сайт tvlad.ru (Источник)

Домашнее задание

1. Задание 11.3, 11.10, 11.13 (стр. 69–70) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник)

2. Найдите радианные меры углов параллелограмма ABCD, если .

3. Найдите длину дуги окружности радиуса 1 см, отвечающей центральному углу: 1. 30°; 2. 45°; 3. 120°.

Содержание:

На рисунке 2 изображены колебания маятника и показан график функции, описывающей смещение маятника от положения равновесия в зависимости от времени. Изучение процесса колебания маятника, а также многих других процессов в физике (механические, электромагнитные колебания, волны и т. д.) приводит к необходимости рассматривать тригонометрические функции действительного аргумента.

Для изучения тригонометрических функций используется понятие единичной окружности.

Единичная окружность в тригонометрии

Единичную окружность называют также координатной окружностью.

Определение единичной окружности

Определение:

Окружность на координатной плоскости единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 3) называется единичной окружностью.

Для того чтобы задать координатную окружность, нужно указать:

• начало отсчета — точку
• направление движения точки по окружности (против часовой стрелки — положительное, а по часовой стрелке — отрицательное (рис. 4)).

Точки на окружности будем получать путем поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на заданный угол.

Точка (рис. 5) получена поворотом

Таким образом, при повороте точки вокруг начала координат на угол в заданном направлении получается точка единичной окружности.

Пример №1

Построить на единичной окружности точку

Решение:

Точку получаем поворотом против часовой стрелки точки вокруг начала координат на угол (рис. 6).

Пример №2

Построить на единичной окружности точку

Решение:

Точку получаем поворотом по часовой стрелке точки вокруг начала координат на угол (рис. 7).

Пример №3

Построить на единичной окружности точку:

Решение:

а) Так как поворот на соответствует одному полному обороту, то необходимо выполнить поворот точки против часовой стрелки на (полный оборот). Точка совпадет с точкой (рис. 8, а).

б) Так как то необходимо выполнить один полный оборот и еще поворот точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (рис. 8, б).

в) Так как то необходимо выполнить два полных оборота и еще поворот точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (рис. 8, в).

Пример №4

Построить на единичной окружности точку

Решение:

Так как то необходимо выполнить три полных оборота и еще поворот точки вокруг начала координат по часовой стрелке на угол (рис. 9).

Радианное измерение углов

По формуле длины окружности получим, что длина единичной окружности равна

На единичной окружности (рис. 10) легко отметить точки соответствующие углам поворота (четверть окружности), (половина окружности), (три четверти окружности), (вся окружность).

Числа – это радианная мера углов, градусная мера которых соответственно равна

Угол в 1 радиан (от лат. radius — луч, радиус) — это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

На рисунке 11 отмечена точка единичной окружности, соответствующая углу в 1 радиан. Длина дуги единичной окружности, соответствующей углу в 1 радиан, равна 1.

Так как радиан соответствует то градусная мера угла в 1 радиан равна:

Сокращенное обозначение радиана «рад» чаще всего опускают.

Чтобы выразить радианную меру угла в градусной, число умножить на

Например,

На рисунке 12 показано соответствие между градусной и радианной мерой некоторых углов.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №5

Построить на единичной окружности точку

Решение:

Точку получаем поворотом против часовой стрелки точки вокруг начала координат на угол (рис. 13).

В зависимости от того, в какую четверть координатной плоскости попадает точка говорят, что в такой же четверти находится угол

Например, углы находятся в первой четверти, углы и находятся во второй четверти, углы находятся в третьей четверти, а угол находится в четвертой четверти (рис. 14).

Углы соответствуют границам четвертей.

Пример №6

Определите, в какой четверти находится угол 3 рад.

Решение:

Так как то данный угол находится во второй четверти.

Примеры заданий и их решения

Пример №7

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки вокруг начала координат на угол:

Решение.

а) Точку получаем поворотом против часовой стрелки точки вокруг начала координат на угол (рис. 15, а).

б) Точку получаем поворотом по часовой стрелке точки вокруг начала координат на угол (см. рис. 15, а).

в) Точку получаем поворотом по часовой стрелке точки вокруг начала координат на угол 90° (рис. 15, б).

г) Точку получаем поворотом против часовой стрелки точки вокруг начала координат на угол (см. рис. 15, б).

Пример №8

Покажите, что точки:

— единичной окружности совпадают.

Решение:

а) Поскольку то, для того чтобы получить точку нужно выполнить один полный оборот и еще поворот точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (рис. 16, а).

Пример №9

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки вокруг начала координат на угол:

Решение:

а) Так как то выполним один полный оборот и еще поворот точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (рис. 17, а).

б) Так как то выполним три полных оборота и еще поворот точки вокруг начала координат по часовой стрелке на угол (рис. 17, б).

Пример №10

Запишите все углы для которых точка совпадает с точкой:

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точку Так как, например, и т. п., то точки единичной окружности совпадают с точкой единичной окружности. Очевидно, что существует бесконечно много углов для которых точки единичной окружности совпадают. Эти углы могут быть получены в результате поворота точки на целое число полных оборотов по или против часовой стрелки (рис. 18), таким образом,

Пример №11

На единичной окружности отметьте точку, получаемую поворотом точки вокруг начала координат на угол:

Решение:

а) Так как то выполним поворот точки вокруг начала координат на угол (рис. 19, а).

б) Поскольку то точка совпадает с точкой (рис. 19, б).

l – длина окружности.

l = 2π R , где π ≈ 3,14 ;

R – радиус окружности.

R = 1, значит l  = 2π ≈ 6,28 .

АС = BD = π ;

Пример 1. В единичной окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра: горизонтальный AC и вертикальный BD . Дуга АВ разделена точкой Е пополам, а точками O и F – на три равные части. Чему равны длины дуг E В, OF , F В, EO ?

Решение.

АВ :

А E

= E В

O

E

= OB

F

= FO

А F

II

I

III

IV

Пример 2. Вторая четверть единичной окружности разделена на две равные части точкой М , а четвёртая четверть разделена на три равные части точками К и Р. Чему равны длины дуг МD, АК, АР, КВ, МР, РМ ?

= DA

= CD

BC

А B =

Решение.

BM =

MC

M

= PA

= KP

DK

I

II

MC

MD =

+ CD

III

IV

P

+ BC

+ DK =

+ CD

А K =

AB

K

Пример 2. Вторая четверть единичной окружности разделена на две равные части точкой М, а четвёртая четверть разделена на три равные части точками К и Р. Чему равны длины дуг МD, АК, АР, КВ, МР, РМ ?

Решение.

+ DP =

+ CD

AB

+ BC

А P =

M

KP

KB =

+ PA

+ AB =

II

I

+ DK

+ KP =

+ CD

MC

MP =

IV

III

P

+ AB

+ BM

PM =

PA

K

π ≈ 3,14 ;

0

π ≈ 3,14 ;

7

Пример 3. Какой четверти числовой окружности принадлежит точка 30?

Решение.

t + 2π k,

30

2π ≈ 6,28; 2π k ≈ 6,28k

k = 4 ;

II

I

30 = 4,88 + 6,28 ∙ 4 ;

IV

III