Как найти длину дуги формула 6 класс

Дуга окружности – это фрагмент окружности. Если на окружности отметить две точки A И B, то она разобьётся на 2 части, называемые дугами окружности.

Для того, чтобы найти длину дуги окружности, необходимо использовать значение центрального угла, измеряемого в радианах или градусах.

---

Существует 2 формулы длины дуги окружности:

1) Если дан центральный угол в радианах: l = R*α, где R – радиус, α – величина угла AOB в радианах.

2) Если дан центральный угол в градусах: l = R*π*C/180, где R – радиус, C – величина угла AOB в градусах.

---

Пример

Дано:

1) радиус окружности R = 6 дм.

2) центральный угол AOB = 45°.

Найти:

Длину дуги AB.

Решение:

l = 6*3,14*1/4 дм. = 4,71 дм.

Как найти длину дуги окружности ?

r – радиус окружности

α – угол AOB, в градусах

Формула длины дуги ( L ):

Калькулятор для расчета длины дуги окружности :

Формулы для окружности и круга:

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность
Дуга
Круг
Сектор
Сегмент
Правильный многоугольник

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

,

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Длина окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги

если величина угла α выражена в радианах

,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Длина окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Длина дуги

На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности — через радиус и угол между ними и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькуляторов, которые используют эти формулы.

Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.resolventa.ru/demo/diaggia6.htm

http://mnogoformul.ru/dlina-dugi

[/spoiler]

Как найти длину дуги окружности ?

Возьмем циркуль. Установим ножку циркуля с иглой в точку «O», а ножку циркуля с
карандашом будем вращать вокруг этой точки. Таким образом, мы получим замкнутую
линию. Такую замкнутую линию называют — окружность.

Рассмотрим более подробно окружность. Разберёмся, что называют центром,
радиусом и диаметром окружности.

• (·)O — называется центром окружности.
• Отрезок, который соединяет
  центр и любую точку окружности, называется радиусом окружности.
  Радиус окружности обозначается буквой «R». На рисунке выше —
  это отрезок «OA».
• Отрезок, который соединяет
  две точки окружности и проходит через её центр, называется
  диаметром окружности.

  Диаметр окружности обозначается буквой «D».
  На рисунке выше — это отрезок «BC».

  На рисунке также видно, что диаметр равен двум радиусам. Поэтому
  справедливо выражение «D = 2R».

Число π и длина окружности

Прежде чем разобраться, как считается длина окружности, необходимо выяснить, что
такое число π (читается как «Пи»), которое
так часто упоминают на уроках.

В далекие времена математики Древней Греции внимательно изучали окружность
и пришли к выводу, что длина окружности и её диаметр взаимосвязаны.

Число «Пи» относится к числам, точное значение которых записать невозможно
ни с помощью обыкновенных дробей, ни с помощью десятичных дробей. Нам
для наших вычислений достаточно использовать значение π,

округленное до разряда сотых
π ≈ 3,14…

Теперь, зная, что такое число π, мы
можем записать формулу длины окружности.

Как найти длину окружности

Чтобы закрепить полученные знания, решим задачу на окружности.

Разбор примера

Условие задачи:

Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число
π
округлите до сотых.

Воспользуемся формулой длины окружности:

C = 2πR
≈ 2 · 3,14 · 24 ≈ 150,72 см

Разберем обратную задачу, когда мы знаем длину
окружности, а нас просят найти её диаметр.

Разбор примера

Условие задачи:

Определите диаметр окружности, если
её длина равна 56,52 дм.
(π ≈ 3,14).

Выразим из формулы длины окружности диаметр.

C = πD
D = С / π

D = 56,52 / 3,14 = 18 дм

Хорда и дуга окружности

На рисунке ниже отметим на окружности две точки «A» и «B». Эти точки делят окружность
на две части, каждую из которых называют дугой.
Это синяя дуга «AB» и черная дуга «AB».
Точки «A» и «B» называют концами дуг.

Соединим точки «A» и «B» отрезком. Полученный отрезок называют
хордой.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---