Как найти длину дуги функции

При вычислении любой длины следует помнить, что это величина конечная, то есть просто число. Если имеется в виду длина дуги кривой, то такая задача решается с помощью определенного интеграла (в плоском случае) или криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Дуга АВ будет обозначаться UАВ.

Первый случай (плоский). Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ (см. рис. 1а). Для решения этой задачи разбейте рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В результате UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдете длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получите результат, приведенный на рисунке 1b.
1_5254fef39271a5254fef392758[1]

Как вычислить длину кривой

Второй случай (дуга UАВ задана параметрически). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на отрезке этом отрезке. Найдите их дифференциалы. dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставьте эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесите dt из квадратного корня под интегралом, положите х(α)=а, x(β)=b и придете к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).

Третий случай. Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ) Полярный угол φ при прохождении дуги изменяется от α до β. Функция ρ(φ)) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще всего использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберите φ в качестве параметра и подставьте в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ y=ρsinφ. Продифференцируйте эти формулы и подставьте квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получите формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).

Четвертый случай (пространственная кривая, заданная параметрически). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Криволинейные интегралы вычисляют переводом их в обычные определенные. В результате ответ останется практическим таким же как и случае два, с тем лишь отличием, что под корнем появится добавочное слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).

Примеры:

Пример 1. Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у’ = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками х0 = а, х1…, хn = b (х0 < x1 < …< хn) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183).  Пустьэтим точкам соответствуют точки М0 = А, M1,…,Mn =В на кривой АВ. Проведем хорды М0M1, M1M2,…, Мn-1Мn, длины которых обозначим соответственно через ΔL1, AL2,…, ΔLn. Получим ломаную M0M1M2 … Mn-ιMn, длина которой равна Ln=ΔL1 + ΔL2+…+ ΔLn =

2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL1 можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δxi и Δуi:

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δуi=ƒ'(сi)•Δхi, где ci є (xi-1;xi). Поэтому

а длина всей ломаной M0M1… Мn равна

3.Длина l кривой АВ, по определению, равна

.

Заметим, что при ΔLi0 также и Δxi 0 ΔLi =и, следовательно, |Δxi|<ΔLi).

Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δxi 0:

Таким образом,или в сокращенной записи l =

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) — непрерывныефункции с непрерывными производными и х(а) = а, х(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой x = x(t),dx = x'(t)dt,

Пример 2. Определить длину окружности x2 + y2 = r2. Решение. Вычислим сначала длину четвертой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги AB будет, откуда,следовательно,

Длина всей окружности L = 2πr.

Пример 3. Найти длину дуги кривой y2 = x3 от x = 0 до x = 1 (y > 0). Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем y’ = (3/2)x1/2, откуда

Пример 4.     Пусть кривая лежит в плоскости x0y и описывается уравнением y = f(x).

     Для нахождения длины дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами a и b, разобьем дугу на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было аппроксимируовать прямолинейным участком (см. рисунок 1).


Рис. 1. Аппроксимация элемента дуги кривой прямолинейным участком.

      Длину dL бесконечно малого участка можно выразить через dx и dy с помощью теоремы Пифагора:

(1)

где y ‘  – производная функции y = f(x)  по переменной x.

      Длина дуги равна сумме длин составляющих ее элементов:

.

Пример 5.

Приближение длины дуги эллипса с помощью ломаных

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) — числовая характеристика протяжённости этой кривой[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).

Определение[править | править код]

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Например, пусть непрерывная кривая gamma в трёхмерном пространстве задана параметрически:

x=x(t),quad y=y(t),quad z=z(t) (1)

Приближение кривой ломаными

где {displaystyle aleqslant tleqslant b}, все три функции непрерывны и нет кратных точек, то есть разным значениям t соответствуют разные точки кривой. Построим всевозможные разбиения параметрического интервала [a,b] на m отрезков: {displaystyle a=t_{0}<t_{1}<dots <t_{m}=b}. Соединение точек кривой {displaystyle gamma (t_{0}),dots ,gamma (t_{m})} отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных[2].

Длина дуги циклоиды (s) в зависимости от её параметра (θ)

Связанные определения[править | править код]

  • Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая. Снежинка Коха — классический пример ограниченной, но неспрямляемой кривой; более того, любая, сколь угодно малая её дуга неспрямляема[3].
  • Параметризация кривой длиной её дуги называется естественной.
  • Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции, определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).

Свойства[править | править код]

  • Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна.
  • В математическом анализе выводится формула для вычисления длины s отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы:
s=int limits _{a}^{b}{sqrt  {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}},dt (2)
Формула подразумевает, что aleqslant b и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.
В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

s=int limits _{a}^{b}{sqrt  {sum limits _{{k=1}}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)}},dt.
{displaystyle s=int limits _{a}^{b}{sqrt {1+(f'(x))^{2}}},dx.}
В полярных координатах (r,varphi ):

s=int limits _{a}^{b}{sqrt  {r^{2}+left({frac  {dr}{dvarphi }}right)^{2}}},dvarphi .
  • Формула Крофтона позволяет связать длину кривой на плоскости и интеграл числа её пересечений с прямыми по естественной мере на пространстве прямых.

История[править | править код]

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми»[4][5].

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

Вариации и обобщения[править | править код]

Риманово пространство[править | править код]

В n-мерном римановом пространстве с координатами x^{1}cdots x^{n} кривая задаётся параметрическими уравнениями:

x^{i}=x^{i}(t)qquad qquad , ((3))

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

s=int limits _{a}^{b}{sqrt  {g_{{ij}}{dx^{i} over dt}{dx^{j} over dt}}},dt,

где : g_{ij} — метрический тензор.
Пример: кривая на поверхности в mathbb {R} ^{3}.

Общее метрическое пространство[править | править код]

В более общем случае произвольного метрического пространства (X,rho) длиной S кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой gamma :[a,b]to X определяется согласно формуле:

s=sup sum limits _{{k=0}}^{m}rho (gamma (x_{{k+1}}),gamma (x_{k})),

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям a=x_{0}<x_{1}<dots <x_{m}=b отрезка [a,b].

См. также[править | править код]

  • Дифференциальная геометрия кривых
  • Объём
  • Определённый интеграл
  • Площадь
  • Дуга окружности
  • Кривая Пеано

Примечания[править | править код]

  1. Длина // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
  2. Шибинский, 2007, с. 199.
  3. Шибинский, 2007, с. 201—202.
  4. Ренэ Декарт. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта / Перевод, примечания и статьи А. П. Юшкевича. — М.Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 49. — 297 с. — (Классики естествознания).
  5. Оригинал цитаты на французском языке: «la proportion qui est entre les droites et les courbes n’étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes», см. Descartes, René. Discours de la méthode…. — 1637. — С. 340.

Литература[править | править код]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
  • Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.
  • Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.

Длина дуги кривой

Краткая теория


Длина дуги в прямоугольных координатах

Длина

 дуги гладкой
кривой

, содержащейся между двумя точками с абсциссами

 и

, равна:

Длина дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана уравнениями в
параметрической форме

 и

(

 и

 – непрерывно
дифференцируемые функции)

то длина дуги

 кривой равна:

где

 и

 – значения
параметра, соответствующие концам дуги.

Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах

Если гладкая кривая задана
уравнением

 в полярных
координатах

 и

, то длина дуги

 равна:

где

 и

 – значения
полярного угла в крайних точках дуги.

Примеры решения задач


Задача 1

Вычислите
длину дуги кривой.

Решение

Длину дуги можно вычислить по
формуле:

Преобразуем подынтегральную функцию:

Искомая длина дуги кривой:

Ответ:


Задача 2

Вычислите
длину дуги кривой.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Длину дуги
кривой можно вычислить по формуле:

Ответ:


Задача 3

Найти
длин дуги кривой

Решение

Длину
дуги кривой, заданной параметрически, можно найти по формуле:

Ответ:


Задача 4

Вычислить
длину дуги кривой:

Решение

Длина
дуги кривой, заданной в полярных координатах:

Ответ:

Автор статьи

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение длины дуги кривой

Рассмотрим в пространстве дугу $cup AB$ некоторой кривой. Точками $M_{0} $, $M_{1} $, $M_{2} $, …. , $M_{n-1} $, $M_{n} $ разобьем её на $n$ произвольных последовательных участков. Соединим соседние точки отрезками прямых и получим вписанную в дугу $cup AB$ ломаную, в которой $M_{0} $ совпадает с точкой $A$, а $M_{n} $ совпадает с точкой $B$. Эта ломаная состоит из звеньев $M_{0} M_{1} $, $M_{1} M_{2} $, …. , $M_{i-1} M_{i} $, …. , $M_{n-1} M_{n} $.

Длина дуги и ее производная

Обозначим длины звеньев этой ломаной следующим образом: длина $M_{0} M_{1} =Delta ; l_{1} $, длина $M_{1} M_{2} =Delta ; l_{2} $, …. , длина $M_{i-1} M_{i} =Delta ; l_{i} $, …. , длина $M_{n-1} M_{n} =Delta ; l_{n} $. Тогда периметр этой ломаной $l_{n} =Delta ; l_{1} +Delta ; l_{2} +ldots +Delta ; l_{i} +ldots +Delta ; l_{n} $ или просто $l_{n} =sum limits _{i=1}^{n}Delta ; l_{i} $.

Будем уменьшать длины всех звеньев за счет увеличения их количества. При этом форма ломаной будет приближается к форме дуги кривой.

На этом основании длина дуги кривой определяется так: длиной $l$ дуги называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной при неограниченном увеличении числа её звеньев и при стремлении к нулю наибольшей из длин её звеньев.

Соответствующее выражение имеет вид: $l=mathop{lim }limits_{max ; Delta ; l_{i} to 0} sum limits _{i=1}^{n}Delta ; l_{i} $.

Определение

Кривые, для которых этот предел существует, называются спрямляемыми.

Формулы для длины дуги плоской кривой

Пусть кривая задана между своими точками $A$ и $B$ на отрезке $left[a,; bright]$ уравнением в явном виде $y=fleft(xright)$, где $fleft(xright)$ — непрерывная функция с непрерывной первой производной на этом отрезке. В этом случае длина дуги кривой между точками точками $A$ и $B$ вычисляется по формуле $l=int limits _{a}^{b}sqrt{1+y’^{2} } cdot dx $.

«Длина дуги и ее производная» 👇

Задача 1

Найти длину дуги цепной линии $y=frac{1}{2} cdot left(e^{x} +e^{-x} right)$ на отрезке $left[0,; 1right]$.

Находим производную:

[y’=left(frac{1}{2} cdot left(e^{x} +e^{-x} right)right)^{{‘} } =frac{1}{2} cdot left(e^{x} -e^{-x} right).]

Вычисляем:

[1+y’^{2} =1+left(frac{1}{2} cdot left(e^{x} -e^{-x} right)right)^{2} =1+frac{1}{4} cdot left(e^{2cdot x} -2cdot e^{x} cdot e^{-x} +e^{-2cdot x} right)=]

[=1+frac{1}{4} cdot left(e^{2cdot x} -2+e^{-2cdot x} right)=frac{1}{4} cdot left(e^{x} +e^{-x} right)^{2} ;]

[sqrt{1+y’^{2} } =frac{1}{2} cdot left(e^{x} +e^{-x} right).]

Находим длину дуги:

[l=int limits _{a}^{b}sqrt{1+y’^{2} } cdot dx =int limits _{0}^{1}frac{1}{2} cdot left(e^{x} +e^{-x} right)cdot dx =frac{1}{2} cdot left[e^{x} -e^{-x} right]_{0}^{1} =]

[=frac{1}{2} cdot left(left(e^{1} -e^{-1} right)-left(e^{0} -e^{-0} right)right)=frac{e-e^{-1} }{2} .]

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями $x=xleft(tright)$ и $y=yleft(tright)$, $alpha le tle beta $. Предположим, что функции $x=xleft(tright)$ и $y=yleft(tright)$ и их производные непрерывны при $alpha le tle beta $, причем $x’left(tright)ne 0$. В этом случае длина дуги кривой вычисляется по формуле $l=int limits _{alpha }^{beta }sqrt{left(x’left(tright)right)^{2} +left(y’left(tright)right)^{2} } cdot dt $.

Задача 2

Найти длину одной арки циклоиды $x=t-sin t$, $y=1-cos t$, $0le tle 2cdot pi $.

Находим производные:

[x’=left(t-sin tright)^{{‘} } =1-cos t; y’=left(1-cos tright)^{{‘} } =sin t.]

Вычисляем:

[left(x’right)^{2} +left(y’right)^{2} =left(1-cos tright)^{2} +left(sin tright)^{2} =2cdot left(1-cos tright)=4cdot sin ^{2} frac{t}{2} .]

Находим длину дуги:

[l=int limits _{0}^{2cdot pi }sqrt{4cdot sin ^{2} frac{t}{2} } cdot dt =2cdot int limits _{0}^{2cdot pi }sin frac{t}{2} cdot dt =-4cdot left[cos frac{t}{2} right]_{0}^{2cdot pi } =]

[=-4cdot left(cos frac{2cdot pi }{2} -cos frac{0}{2} right)=-4cdot left(-1-1right)=8.]

Пусть кривая задана в полярных координатах $rho =rho left(phi right)$, $alpha le phi le beta $. Предположим, что функция $rho =rho left(phi right)$ и её производная непрерывны при $alpha le phi le beta $. В этом случае длина дуги кривой вычисляется по формуле $l=int limits _{alpha }^{beta }sqrt{rho ^{2} +rho ‘^{2} } cdot dphi $.

Задача 3

Найти длину кардиоиды $rho =1+cos phi $.

Так как кардиоида симметрична относительно полярной оси, то изменяя полярный угол $phi $ от $0$ до $pi $, мы получим половину длины кардиоиды.

Находим производную: $rho ‘=-sin phi $.

Вычисляем:

[rho ^{2} +rho ‘^{2} =left(1+cos phi right)^{2} +left(-sin phi right)^{2} =2cdot left(1+cos phi right).]

Находим половину длины кардиоиды:

[frac{l}{2} =int limits _{0}^{pi }sqrt{2cdot left(1+cos phi right)} cdot dphi =2cdot int limits _{0}^{pi }cos frac{phi }{2} cdot dphi =4cdot left[sin frac{phi }{2} right]_{0}^{pi } =4cdot sin frac{pi }{2} =4.]

Полная длина кардиоиды $l=8$.

Производная и дифференциал дуги

Пусть в формуле $l=int limits _{a}^{b}sqrt{1+left(f’left(xright)right)^{2} } cdot dx $ для длины дуги кривой, заданной в виде $y=fleft(xright)$, $ale xle b$, нижняя граница интеграла $a$ остается постоянной, а верхняя граница изменяется и равна $x$.

При этом длина дуги $lleft(xright)=int limits _{a}^{x}sqrt{1+left(f’left(tright)right)^{2} } cdot dt $ будет функцией верхней границы (переменная интегрирования переобозначена, чтобы не путать её с верхней границей).

В соответствии с теоремой о производной интеграла по верхней границе производная этой функции имеет вид $l’left(xright)=sqrt{1+left(f’left(xright)right)^{2} } $.

Отсюда получаем дифференциал дуги:

$dlleft(xright)=l’left(xright)cdot dx=sqrt{1+left(f’left(xright)right)^{2} } cdot dx$, откуда $dl=sqrt{1+y’^{2} } cdot dx$ или $dl=sqrt{dx^{2} +dy^{2} } $.

При параметрическом задании функции $x=xleft(tright)$ и $y=yleft(tright)$, $alpha le tle beta $ дифференциал дуги имеет вид $dl=sqrt{left(x’left(tright)right)^{2} +left(y’left(tright)right)^{2} } cdot dt$.

При задании функции в полярных координатах $rho =rho left(phi right)$, $alpha le phi le beta $ дифференциал дуги имеет вид $dl=sqrt{rho ^{2} +rho ‘^{2} } cdot dphi $.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Вычисление
длины дуги кривой в декартовых координатах.
Введем понятие длины дуги. Пусть на
плоскости введена кривая, являющаяся
графиком непрерывной функциина отрезке.
Разобьем отрезокточками наnчастей.
Из каждой точкивосстановим перпендикуляр к осиOx;
тогда дугаABразобьется
наnчастей точками(рис.4). Заменим каждый участок дугиучастком прямой.

Определение.Длиной дуги называется пределL,
к которому стремится длина ломаной,
вписанной в дугуAB, при
стремлении к нулю наибольшей из ее
сторон,
а значит, и при,
т.е.

(8)

Рис. 4 Рис.5

Пусть
функция
и ее производнаянепрерывны на отрезке.
Согласно теореме Пифагора имеем.
Обозначим.
Так каки,
то на основании теоремы Лагранжа получим

.

Тогда
.
В следствие непрерывности производнойсуществует предел (8) интегральной суммы.
Таким образом,

(9)

По
определению предел (9) равен определенному
интегралу от функции
на отрезке:

.
(10)

Это и
есть формула для вычисления длины дуги.

Пример
4. Найти длину дуги кривой
,
отсеченной прямой(рис.5).

Решение.
Найдем производную функции y=f(x),
заданной неявно соотношением;
имеем,
откудаВ силу симметрии достаточно вычислить
длину половины кривой.
По формуле (10) получим

,
при.

Вычисление
дуги плоской кривой, заданной в
параметрической форме.
Рассмотрим
параметрически заданную кривуюгде– непрерывные и имеющие непрерывные
производные функции, причем.
Пусть.
В интеграле (10) произведем подстановку;
так как,
то получим

.
(11)

Пример
5. Найти длину окружности радиуса R.

Решение.
Уравнения окружности в параметрической
форме имеют вид
Найдем четвертую часть длины окружности.
По формуле (11) имеем

Что
согласуется с общеизвестным результатом.

Вычисление
длины дуги плоской кривой в полярных
координатах.
Воспользуемся формулами
перехода от полярных координат к
декартовым:(учли,
что радиусrесть функция
полярного угла). Эти уравнения можно
рассматривать, как параметрические
уравнения кривой при изменении параметрав пределах.
Тогда по формуле (11) находим

.
(12)

3. Вычисление объемов и площадей поверхностей вращения.

Пусть
криволинейная трапеция, ограниченная
графиком непрерывной функции y=f(x),
осьюOxи прямымиx=a,x=b, вращается
вокруг осиOx.

(рис.6)

Найдем
объем Vполученного тела
вращения. Ясно, что произвольное
поперечное сечение этого тела представляет
собой круг. Площадь круга, образованного
при сечении тела вращения плоскостьюx=x, есть.
Тогда используя формулу,
получим

(13)

Если
криволинейная трапеция, ограниченная
непрерывной функцией
,
осьюOyи прямымиy=aиy=b, вращается
вокруг осиOy, то объем
полученного тела вычисляется по формуле

(14)

Пример
6. Найти объем конуса с радиусом основания
Rи высотойh.

Решение.
Конус можно считать телом, полученным
вращением прямоугольного треугольника
с катетами hиRотносительно осиOx. Найдем
уравнение гипотенузы этого треугольника.
Имеемy=kx,
где.
По формуле (13) получим

Вычисление
площади поверхности тела вращения.

Определение.Площадью поверхности
тела, полученного при вращении дугиABвокруг осиOxназывается
предел,
к которому стремится площадь поверхности,
образованной вращением вокруг осиOxломаной,
вписанной в дугуAB, при
стремлении к нулю наибольшей из ее
сторон,
а значит, и при,
т.е..

Формула для вычисления площади поверхности
вращения вокруг оси Ox

(15)

Если
кривая вращается вокруг оси Oy,
то формула имеет вид

(16)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #

    02.04.2015132.61 Кб1013.doc

  • #
  • #

    02.04.2015310.78 Кб5914.doc

  • #
  • #
  • #

    02.04.2015390.66 Кб2316.doc

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Добавить комментарий