Конус — тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.
Треугольник (POA) вращается вокруг стороны (PO).
(PO) — ось конуса и высота конуса.
(P) — вершина конуса.
(PA) — образующая конуса.
Круг с центром (O) — основание конуса.
(AO) — радиус основания конуса.
Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось (PO) конуса.
Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник.
(APB) — осевое сечение конуса.
— углы между образующими и основанием конуса.
Для конуса построим развёртку боковой поверхности. Это круговой сектор.
Сектор имеет длину дуги, равную длине окружности в основании конуса
2πR
, угол развёртки боковой поверхности
α
.
В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.
Образующая конуса (l) является радиусом сектора.
Таким образом, боковая поверхность конуса является частью полного круга с радиусом (l):
Длина дуги также является частью длины полной окружности с радиусом (l), но в то же время длина дуги — это длина окружности основания конуса с радиусом (R).
Сравним выражения длины дуги и выразим
α
через (R):
2πl⋅α360°=2πR;α=2πR⋅360°2πl=R⋅360°l.
Получаем ещё одну формулу боковой поверхности конуса; не используется угол развёртки боковой поверхности:
.
Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых — конус, а другую часть называют усечённым конусом.
Также усечённый конус можно рассматривать как тело вращения, которое образовалось в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны (которая перпендикулярна к основанию трапеции) или в результате вращения равнобедренной трапеции вокруг высоты, проведённой через серединные точки оснований трапеции.
— ось конуса и высота конуса.
Круги с центрами (O) и
O1
— основания усечённого конуса.
(AO) и
A1O1
— радиусы оснований конуса.
Осевое сечение конуса — это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось
OO1
конуса.
Осевое сечение конуса — это равнобедренная трапеция.
— осевое сечение конуса.
Боковая поверхность определяется как разность боковой поверхности данного конуса и отсечённого конуса:
Sбок.=πR⋅PA−πr⋅PA1=πR⋅PA1+AA1−πr⋅PA1==πR⋅PA1+πR⋅AA1−πr⋅PA1==πR⋅l+πR−πr⋅PA1.
Так как
ΔPAO∼ΔPA1O1
, то стороны их пропорциональны:
PAPA1=Rr;l+PA1PA1=Rr;r⋅l+PA1=R⋅PA1;rl=R⋅PA1−r⋅PA1;PA1⋅R−r=rl;PA1=rlR−r.
Таким образом получаем формулу боковой поверхности усечённого конуса, которая содержит радиусы оснований и образующую усечённого конуса:
Sбок.=πRl+π⋅PA1⋅R−r=πRl+π⋅rlR−r⋅R−r;Sбок.=πRl+πrl=πl⋅R+r.
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.
- Определение дуги сектора круга
-
Формулы для нахождения длины дуги сектора
- Через центральный угол в градусах и радиус
- Через угол сектора в радианах и радиус
- Примеры задач
Определение дуги сектора круга
Дуга – это участок между двумя точками на окружности.
Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.
На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).
- OA = OB = R (r);
- α – угол сектора или центральный угол.
Формулы для нахождения длины дуги сектора
Через центральный угол в градусах и радиус
Длина (L) дуги сектора равняется числу π, умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.
Примечание: в расчетах используется число π, приблизительно равное 3,14.
Через угол сектора в радианах и радиус
Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (aрад).
Примеры задач
Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.
Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:
Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.
Решение
Для начала вычислим угол в радианах:
1 радиан ≈ 57,2958°
Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59° (2 рад ⋅ 57,2958°).
Тип C10 № 140 
i
Найдите величину угла кругового сектора, представляющего собой развертку боковой поверхности конуса с образующей, равной 8 см, если боковая поверхность конуса в 4 раза больше площади его основания.
Спрятать решение
Решение.
Пусть R — радиус основания конуса (R>0), L — образующая конуса, L = 8 см. Тогда 
Так как площадь боковой поверхности в четыре раза больше площади основания, то имеем: 
Найдем длину окружности основания конуса и длину дуги сектора:
Поскольку длина этой дуги равна длине окружности в основании конуса, то 
Ответ: 
В этом простом онлайн-калькуляторе для нахождения величин сектора круга можно быстро определить длину дуги сектора, зная площадь, периметр или центральный угол сектора. Для этого нужно заполнить по одному пустующему слота в калькуляторах окружности и сектора окружности, после чего нажать на кнопку “Рассчитать”. В результате высветятся все недостающие значения вместе с формулами.
Калькулятор окружности:
Достаточно заполнить только одну ячейку — остальное калькулятор посчитает сам.
Периметр или длина окружности (P)
Калькулятор сектора окружности:
Достаточно ввести только одно значение и указать радиус окружности — остальное калькулятор посчитает сам.
Центральный угол сектора в градусах (α)
Площадь сектора окружности (S1)
Калькулятор сегмента окружности:
Достаточно ввести только одно* значение и указать радиус окружности — остальное калькулятор посчитает сам.
Исключения:
* – при известном периметре (P2) нужно дополнительно указать длину дуги (l1) или хорды (c).
* – при известной площади (S2) нужно дополнительно указать длину хорды (c) или высоты (h).
Угол сегмента в градусах (α1)
Площадь сегмента окружности (S2)
Округление:
* – обязательно заполнить
Конусом (прямым круговым конусом) называется тело, состоящее из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
Конус является телом вращения.
Конус
Рис.1
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.
Конус — тело, которое ограничено конической поверхностью и плоскостью, на которой лежат концы образующих конической поверхности.
Коническая поверхность — поверхность, которая образуется движением отрезка, один из концов которого неподвижен, а другой перемещается на плоскости вдоль некоторой кривой. Отрезки называют образующими конической поверхности, а кривую – направляющей. Неподвижная точка – вершина конической поверхности.
Боковая поверхность конуса — часть конической поверхности, ограниченная плоскостью.
Основание конуса — часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью конуса.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания (См.Рис.1). В противном случае, конус называется наклонным. В школьном курсе изучается прямой круговой конус.
Круговой конус — конус, у которого в основании круг.
Прямой круговой конус (просто конус) — круговой конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром круга, лежащего в основании, перпендикулярна плоскости основания.
Ось конуса — прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Высота конуса — отрезок оси конуса, соединяющий вершину конуса с центром основания.
Конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет.
Образующие конуса совпадают с образующими конической поверхности.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.
См.Рис.2.
Рис.2
Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Площадь боковой поверхности (круглого) конуса равна произведению половины длины окружности основания (C) на образующую (l):
$$S_{бок}=frac{1}{2}cdot Cl=picdot rl$$
, где r – радиус основания, l – длина образующей.
Площадь полной поверхности конуса — сумма площадей основания конуса и его боковой поверхности, которая записывается формулой:
$$S_{полн}=picdot r(l+r)$$
, где r — радиус основания, l — длина образующей.
Объем всякого конуса равен трети произведения площади основания (S) на высоту (h):
$$V=frac{1}{3}cdot Sh$$
Объем круглого конуса:
$$V=frac{1}{3}cdot Sh=frac{1}{3}cdotpi r^2 cdot h$$
Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания.
См.Рис.3.
Усечённый конус
Рис.3
Формулы для усечённого конуса (См.Рис.4):
$$ S_{бок}=picdot lcdot (R+r)
\ S_{полн}=S_{бок}+pi(R^2+r^2)
\ V=frac{1}{3}picdot h(R^2+Rcdot r+r^2)
$$
Усечённый конус
Рис.4
Пример 1. Высота конуса равна 4 , а длина образующей – 5. Найдите диаметр основания конуса.
Видео-решение.
Высота конуса равна 4 , а длина образующей – 5. Найдите диаметр основания конуса.
