Как найти длину хорды сферы

Бывают случаи в жизни, когда знания, полученные во время школьного обучения, очень полезны. Хотя во время учебы эти сведения казались скучными и ненужными. Например, как можно использовать информацию о том, как находится длина хорды? Можно предположить, что для специальностей, не связанных с точными науками, такие знания малопригодны. Однако можно привести много примеров (от конструирования новогоднего костюма до сложного устройства аэроплана), когда навыки решения задач по геометрии являются нелишними.

Понятие «хорда»

Данное слово означает «струна» в переводе с языка родины Гомера. Оно было введено математиками древнего периода.

Хордой обозначают в разделе элементарной геометрии часть прямой линии, которая объединяет две любые точки какой-либо кривой (окружности, параболы или эллипса). Другими словами, данный связующий геометрический элемент находится на прямой, пересекающей заданную кривую в нескольких точках. В случае окружности длина хорды заключена между двумя точками этой фигуры.

Часть плоскости, ограниченная прямой, пересекающей окружность, и ее дугой называют сегментом. Можно отметить, что с приближением к центру длина хорды увеличивается. Часть окружности, находящуюся между двумя точками пересечения данной прямой, называют дугой. Ее мерой измерения является центральный угол. Вершина данной геометрической фигуры находится в середине круга, а стороны упираются в точки пересечения хорды с окружностью.

Свойства и формулы

Длина хорды окружности может быть вычислена по следующим условным выражениям:

L =D×Sinβ или L=D×Sin(1/2α), где β – угол при вершине вписанного треугольника;

D – диаметр окружности;

α – центральный угол.

Можно выделить некоторые свойства данного отрезка, а также других фигур, связанных с ним. Эти моменты приведены в следующем списке:

• Любые хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра, имеют равные длины, при этом обратное утверждение также верно.
• Все углы, которые вписаны в окружность и опираются на общий отрезок, который объединяет две точки (при этом их вершины находятся в одной стороне от данного элемента), являются идентичными по величине.
• Самая большая хорда является диаметром.
• Сумма любых двух углов, если они опираются на данный отрезок, но при этом их вершины лежат в разных сторонах относительно него, составляет 180^о.
• Большая хорда – по сравнению с аналогичным, но меньшим элементом – лежит ближе к середине данной геометрической фигуры.
• Все углы, которые вписаны и опираются на диаметр, равны 90˚.

Другие вычисления

Чтобы найти длину дуги окружности, которая заключена между концами хорды, можно использовать формулу Гюйгенса. Для этого необходимо провести такие действия:

1. Обозначим искомую величину р, а хорда, ограничивающая данную часть окружности, будет иметь название АВ.
2. Найдем середину отрезка АВ и к ней поставим перпендикуляр. Можно отметить, что диаметр окружности, проведенный через центр хорды, образует с ней прямой угол. Верно и обратное утверждение. При этом точку, где диаметр, проходя через середину хорды, соприкасается с окружностью, обозначим М.
3. Тогда отрезки АМ и ВМ можно назвать соответственно, как l и L.
4. Длина дуги может быть вычислена по следующей формуле: р≈2l+1/3(2l-L). Можно отметить, что относительная погрешность данного выражения при возрастании угла увеличивается. Так, при 60˚ она составляет 0,5%, а для дуги, равной 45˚, эта величина уменьшается до 0,02%.

Длина хорды может использоваться в различных сферах. Например, при расчетах и конструировании фланцевых соединений, которые широко распространены в технике. Также можно увидеть вычисление этой величины в баллистике для определения расстояния полета пули и так далее.

Формула длины хорды окружности

Определение хорды

Хорда – это отрезок, который соединяет две точки заданной кривой. Хорда может быть у дуги, окружности, эллипса и т.д.
На рисунке хорда обозначена как отрезок AB красного цвета . Оба его конца находятся на окружности

Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом .

Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой – с другой стороны.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности – самая длинная хорда окружности.

Свойства хорды к окружности

• Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны. Верно и обратное – если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны
• Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше. Верно и обратное
• Наибольшая возможная хорда является диаметром
• Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности

• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное – если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам
• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Верно и обратное – если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу

• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное – если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам
• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное – если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
• Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное – если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Свойства хорды и вписанного угла

Свойства хорды и центрального угла

Формулы нахождения хорды

Обозначения в формулах:
l – длина хорды
α – величина центрального угла
R – радиус окружности
d – длина перпендикуляра, проведенного от центра окружности к хорде

Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.

Решение задач

Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.

Задача.

Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ.

Решение.

Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x

Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда

2х * 3х = 5 * 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10

Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.

Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то

3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30

Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165

Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Откуда углы треугольника равны:

90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5

Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;

[spoiler title=”источники:”]

http://www-formula.ru/circle-chord-l

http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson318/

[/spoiler]

Геометрия круга

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии?..

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.

• Окружность — линия, ограничивающая круг.
• Дуга — часть окружности.
• Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
• Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Интересующие нас величины и их обозначения:

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

• Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
• Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
• Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

1. Даны диаметр D и длина дуги L

;     длина хорды ;
высота сегмента ;    центральный угол .

2. Даны диаметр D и длина хорды X

;     длина дуги ;
высота сегмента ;    центральный угол .

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол .

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

;     длина дуги ;
длина хорды ;    высота сегмента .

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

;     длина дуги ;
длина хорды ;    центральный угол .

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

;     диаметр ;
длина хорды ;    высота сегмента .

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

;     длина дуги ;
диаметр ;    высота сегмента .

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

;     длина дуги ;
диаметр ;    центральный угол .

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

;     диаметр ;
длина дуги ;    длина хорды .

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X

7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности ;
площадь круга ;
площадь сектора ;
площадь сегмента ;

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

Программа Segment

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?