Как найти длину касательной проведенной к окружности

Определение формулы касательной к окружности

Коэффициенты окружности

Точка на окружности, через которую надо провести касательную

Общая формула окружности

Уравнение касательной в указанной точке

Касательная к окружности

Если не использовать понятие производной, и взять объяснение из учебников середины прошлого века, то “Касательная к окружности – это прямая пересекающая окружность в двух совпадающих точках”

Окружность на плоскости может быть представлена в виде нескольких исходных данных

1. В виде координат центра окружности (x0,y0) и её радиуса R.

2. В виде общего уравнения

В виде параметрического вида и в полярных координатах мы рассматривать не будем, так как там формулы тоже на базируются на координатах центра окружности и радиусе.

Наша задача, зная параметры окружности и точку принадлежащую этой окружности вычислить параметры касательной к этой окружности.

Эта задача, является частным решением более общего калькулятор касательная к кривой второго порядка

Итак, если окружность выражена формулой

Уравнение касательной к окружности если нам известны параметры общего уравнения таково:

Таким образом, зная все коэффициенты, мы очень легко найдем уравнение касательной в заданной точке.

ВАЖНО: При указании точки, она должна быть обязательно(!!) принадлежать окружности,
и не быть точкой в какой либо стороне. В противном случае, уравнение касательной будет неверным.

Примеры

Вычислить уравнение касательной в точке (13.8, 0) к окружности выраженной формулой

Касательная к окружности

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.

Понятие касательной к окружности и основные свойства касательной проиллюстрированы ниже на рисунке.

. Угол равен , где — центр окружности. Его сторона касается окружности. Найдите величину меньшей дуги окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол — прямой. Из треугольника получим, что угол равен градуса. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается, значит, величина дуги — тоже градуса.

. Найдите угол , если его сторона касается окружности, — центр окружности, а большая дуга окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.

Это чуть более сложная задача. Центральный угол опирается на дугу , следовательно, он равен градусов. Тогда угол равен . Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, значит, угол — прямой. Тогда угол равен .

. Хорда стягивает дугу окружности в . Найдите угол между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку . Ответ дайте в градусах.

Проведем радиус в точку касания, а также радиус . Угол равен . Треугольник — равнобедренный. Нетрудно найти, что угол равен градуса, и тогда угол равен градусов, то есть половине угловой величины дуги .

Получается, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

. К окружности, вписанной в треугольник , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны , , . Найдите периметр данного треугольника.

Вспомним еще одно важное свойство касательных к окружности:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Периметр треугольника — это сумма всех его сторон. Обратите внимание на точки на нашем чертеже, являющиеся вершинами шестиугольника. Из каждой такой точки проведены два отрезка касательных к окружности. Отметьте на чертеже такие равные отрезки. Еще лучше, если одинаковые отрезки вы будете отмечать одним цветом. Постарайтесь увидеть, как периметр треугольника складывается из периметров отсеченных треугольников.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Вот более сложная задача из вариантов ЕГЭ:

. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна . Его периметр равен . Найдите радиус этой окружности.

Обратите внимание — в условии даже не сказано, сколько сторон у этого многоугольника. Видимо, это неважно. Пусть их будет пять, как на рисунке.
Окружность касается всех сторон многоугольника. Отметьте центр окружности — точку — и проведите перпендикулярные сторонам радиусы в точки касания.

Соедините точку с вершинами . Получились треугольники и .
Очевидно, что площадь многоугольника .
Как вы думаете, чему равны высоты всех этих треугольников и как, пользуясь этим, найти радиус окружности?

Касательная к окружности

Определение 1. Прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

На рисунке 1 прямая l является касательной к окружности с центром O, а точка M является точкой касания прямой и окружности.

Свойство касательной

Теорема 1 (Теорема о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания прямой и окружности.

Доказательство. Пусть l касательная к окружности с центром O и M − точка касания прямой и окружности (Рис.1). Докажем, что ( small l ⊥ OM .)

Предположим, что радиус OM является наклонной к прямой l. Поскольку перпендикуляр, проведенной из точки O к прямой l меньше наклонной OM, от центра окружности до прямой l меньше радиуса окружности. Тогда прямая l и окружность имеют две общие точки (см. статью Взаимное расположение прямой и окружности). Но касательная не может иметь с окружностью две общие точки. Получили противоречие. Следовательно прямая l пенрпендикулярна к радиусу OM.

Рассмотрим две касательные к окружности с центром O, которые проходят через точку A и касаются окружности в точках B и C (Рис.2). Отрезки AB и AC называются отрезками касательных, проведенных из точки A.

Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через данную точку и центр окружности.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 2. По теореме 1 касательные AC и AB перпендикулярны радиусам OC и OB, соответственно. Тогда углы 3 и 4 прямые, а треугольники ACO и ABO, прямоугольные. Эти треугольники равны по катету (OC=OB) и гипотенузе (сторона AO− общая) (подробнее см. в статье Прямоугольный треугольник. Онлайн калькулятор). Тогда AB=AC и ( small angle 1=angle 2 .) Что и требовалось доказать.

Теорема, обратная теореме о свойстве касательной

Теорема 3. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащей на окружности и перпенжикулярна к этому радиусу, то эта прямая является касательной.

Доказательство. По условию теоремы данный радиус является перпендикуляром от центра окружности к данной прямой. То есть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку (теорема 2 статьи Взаимное расположение прямой и окружности). Но это означает, что данная прямая является касательной к окружности (Определение 1).

Построение касательной к окружности

Задача 1. Через точку M окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.3).

Решение. Проведем прямую p через точки O и M. На прямой p из точки M отложим отрезок MN равной OM. Построим две окружности с центрами O и N и одинаковыми радиусами ON. Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую l. Полученная прямая является касательным к окружности с центром O и радиусом OM.

Задача 2. Через точку A не принадлежащая к окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.5).

Решение. Проведем прямую p через точки O и A (Рис.6). Найдем среднюю точку отрезка OA и обозначим буквой K. Постоим окружность с центром K радиусом KO=KA. Найдем точки пересечения этой окружности с окружностью с центром O. Получим точки B и C. Через точки A и C проведем прямую m. Через точки A и B проведем прямую n. Прямые m и n являются касательными к окружности с центром O.

[spoiler title=”источники:”]

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/kasatelnaya-k-okruzhnosti-i-svojstva-otrezkov-kasatelnyx/

http://matworld.ru/geometry/kasatelnaya-k-okruzhnosti.php

[/spoiler]

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Строгое определение[править | править код]

Замечание[править | править код]

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку . Угол между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

где обозначает тангенс, а  — коэффициент наклона касательной.
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей[править | править код]

Пусть и Тогда прямая линия, проходящая через точки и задаётся уравнением

Эта прямая проходит через точку для любого и её угол наклона удовлетворяет уравнению

В силу существования производной функции в точке переходя к пределу при получаем, что существует предел

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

Прямая, проходящая через точку и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий задаётся уравнением касательной:

Касательная к окружности[править | править код]

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства[править | править код]

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщения[править | править код]

Односторонние полукасательные[править | править код]

См. также[править | править код]

• Дифференцируемая функция
• Касательное пространство
• Нормаль, бинормаль
• Теорема о секущих

Литература[править | править код]

• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.
• Касательная // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.

Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги», написано в теме «Окружность. Вписанный угол».

Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу. 

То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!

Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор. Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

Смотри, хорда ( displaystyle AB) разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла ( displaystyle BAC), а другая дуга – внутри угла ( displaystyle BAD).

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что ( displaystyle angle CAB) равен ПОЛОВИНЕ угла ( displaystyle AOB), ( displaystyle angle DAB) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла ( displaystyle AOB).

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим. ( displaystyle OA) – радиус, ( displaystyle AC) – касательная.

Значит, ( displaystyle angle OAC=90{}^circ ).

Поэтому:( displaystyle angle 1=90{}^circ -angle 4).

Но ( displaystyle angle 2=angle 1) (( displaystyle OA) и ( displaystyle OB) – радиусы)( displaystyle angle 2=90{}^circ -angle 4).

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника ( displaystyle AOB) равна ( displaystyle 180{}^circ ).

Пишем:

Короче:

Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что ( displaystyle angle OAC=90{}^circ ).

Равенство отрезков касательных

Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.

То есть, на нашем рисунке, ( displaystyle AB=AC).

И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Вот, убедись.

Проведём радиусы ( displaystyle OB) и ( displaystyle OC) и соединим ( displaystyle O) и ( displaystyle A).

( displaystyle OB) – радиус.

( displaystyle AB) – касательная, значит, ( displaystyle OBbot AB).
Ну, и так же ( displaystyle OCbot AC).

Получилось два прямоугольных треугольника ( displaystyle AOB) и ( displaystyle AOC), у которых:

( displaystyle Rightarrow Delta AOB = Delta AOC)

(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).

Но раз ( displaystyle Delta AOB=Delta AOC,) то( displaystyle AB=AC). УРА!

И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.

И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.

Для любой прямой ( displaystyle AD), пересекающей окружность,( displaystyle ADcdot AC=A{{B}^{2}}), где ( displaystyle AB) – отрезок касательной.

Хитроумными словами об этом говорят так:

«Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».

Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:

Что такое касательная к окружности

8 июля 2018

• Домашняя работа
• Ответы и решения

Определение. Касательная к окружности — это прямая на плоскости, имеющая ровно одну общую точку с окружностью.

Вот парочка примеров:

На этом можно было бы закончить, однако практика показывает, что недостаточно просто зазубрить определение — нужно научиться видеть касательные на чертежах, знать их свойства и вдобавок как следует попрактиковаться в применении этих свойств, решая реальные задачи. Всем этим всем мы сегодня и займёмся.

Основные свойства касательных

Для того, чтобы решать любые задачи, нужно знать четыре ключевых свойства. Два из них описаны в любом справочнике / учебнике, а вот последние два — про них как-то забывают, а зря.

1. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны

Чуть выше мы уже говорили про две касательных, проведённых из одной точки M. Так вот:

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны.

2. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания

Ещё раз посмотрим на картинку, представленную выше. Проведём радиусы OAи OB, после чего обнаружим, что углы OAMи OBM — прямые.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Этот факт можно использовать без доказательства в любой задаче:

Кстати, заметьте: если провести отрезок OM, то мы получим два равных треугольника: OAM и OBM.

3. Соотношение между касательной и секущей

А вот это уже факт посерьёзнее, и большинство школьников его не знают. Рассмотрим касательную и секущую, которые проходят через одну и ту же общую точку M. Естественно, секущая даст нам два отрезка: внутри окружности (отрезок BC — его ещё называют хордой) и снаружи (его так и называют — внешняя часть MC).

Произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной

4. Угол между касательной и хордой

Ещё более продвинутый факт, который часто используется для решения сложных задач. Очень рекомендую взять на вооружение.

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.

Откуда берётся точка B? В реальных задачах она обычно «всплывает» где-то в условии. Поэтому важно научиться распознавать данную конфигурацию на чертежах.

Смотрите также:

1. Вписанный угол в геометрии
2. Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям
3. Геометрическая вероятность
4. Задача 18: метод симметричных корней
5. Задача B2 про комиссию в терминале
6. Значение тригонометрических функций

Общие сведения

Важно знать терминологию, соотношения и теоремы для решения задач этого класса. Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с ней только одну точку соприкосновения. Прямая — это линия, не имеющая границ, т. е. она ничем не ограничена. Окружностью называется геометрическое место точек, удаленных от центра на одинаковые расстояния.

Следует отметить, что касательные бывают внешними и внутренними. Внешней называет прямая линия, проходящая с внешней стороны окружности. Внутренние касательные пересекают отрезок, который соединяет центры двух окружностей. Последний тип прямых не существует, когда два круга пересекаются. Касательные нужно уметь правильно строить, поскольку от этого зависит правильность решения задачи.

Построение касательных

Для построения касательной к окружности следует на последней отметить произвольную точку. Затем необходимо через нее провести прямую. Нужно отметить, что у круга может быть несколько таких прямых. Когда даны две окружности, тогда можно проводить не только внешние, но и внутренние. Существует определенный алгоритм, по которому можно построить первый тип:

1. Начертить 2 окружности с центрами в точках О1 и О2. При этом должно соблюдаться условие r1 > r2, где r1 и r2 — радиусы I и II соответственно.
2. Нарисовать III окружность с центром в О1 и радиусом r3 = r1 — r2.
3. Провести 2 касательные из точки О2 к III. Они параллельны искомым, поскольку радиусы I и II уменьшаются на r2.

Существует более простая модель построения таких прямых. Для этого следует начертить один круг, а затем отметить две произвольные точки на его противоположных сторонах. Далее начертить II круг, превышающий I по радиусу. Отметить на нем точки, воспользовавшись подобием, т. е. они должны быть в тех же местах, что и на I. Затем провести прямые, которые должны соприкасаться с I и II кругами только в одной точке.

Для построения внутренних касательных существует определенная методика. В интернете можно найти много информации. В одних источниках алгоритм построения является сложным, а в других — простым. Однако есть один метод, позволяющий осуществить данную операцию. Специалисты описали его на «понятном» языке для новичков. Суть методики заключается в следующем:

1. Необходимо построить два круга, которые не пересекаются, с радиусами r1 и r2. Расстояния между ними должно составлять r1 + r2.
2. Соединить их центры (середины) отрезком.
3. Отметить на нем среднюю точку, которая делит его на две равные части.
4. Через точку, полученную на третьем шаге методики, провести прямую. Она должна иметь только одну точку соприкосновения с I и II окружностями.
5. Аналогично провести еще одну прямую.
6. Искомые прямые являются внутренними касательными.

Далее нужно рассмотреть некоторые свойства, на основании которых можно решать задачи и доказывать геометрические тождества.

Основные свойства

Свойства — утверждения, полученные в результате доказательства теорем о касательной к окружности. Первые нет необходимости доказывать, поскольку об этом уже позаботились математики. Они выделяют всего 4 свойства касательных к окружности:

1. Если провести из одной точки две касательные к некоторой окружности, то отрезки, лежащие на них, будут равны. Искомый угол будет делиться радиусом пополам.
2. Любая касательная и радиус, проведенный к ее точке, образуют прямой угол. Справедливо и обратное утверждение: радиус, который проведен в точку касания, перпендикулярен данной прямой.
3. Вся секущая, умноженная на свою внешнюю часть, равна квадрату расстояния касательной, которая проведена из общей с ней точки.
4. Образованный угол между касательной и секущей, эквивалентен градусной мере угла, который опирается на образованную хорду.

Для рассмотрения I свойства необходимо начертить окружность с центром О1. Затем нужно отметить точку М вне окружности. Из М провести одну прямую, которая соприкасается с кругом в точке А. Такую же операцию следует проделать и для другой касательной. Точку соприкосновения назвать В. Отрезки АМ и ВМ равны между собой.

Если провести радиусы к точкам А и В, то можно сделать вывод, что углы являются прямыми. Чтобы понять третье свойство, необходимо начертить окружность и отметить некоторую точку М за ее пределами. После этого следует из искомой точки провести секущую и касательную. Первой называется прямая, проходящая через окружность и пересекающая ее в двух точках. Для касательной точку соприкосновения необходимо обозначить А. Тогда секущая пересекает круг в точках В (ближняя) и С (дальняя). В результате этого получается такое соотношение: АМ ² = АВ * МС.

Когда для произвольной окружности существуют касательная и секущая, тогда между ними образуется некоторый угол.

Хорда, полученная в результате прохождения через окружность, образует также угол. Он опирается на искомую хорду и является вписанным. Следовательно, по свойству градусные меры углов равны между собой. Далее нужно разобрать частные случаи, на основании которых можно сделать вывод о количестве касательных.

Когда окружность вписана в ромб, тогда их точки касания нужно рассматривать по первому свойству. Радиус окружности можно найти по следующим формулам:

1. Через диагонали (d1, d2) и сторону (a): r = (d1 * d2) / 4а.
2. Только по диагоналям: r = (d1 * d2) / [(d1)^2 + (d2)^2]^(½).

Следует отметить, что у ромба две диагонали. Они различаются по размеру. Одна из них больше другой (d1 > d2).

Частные случаи

В некоторых задачах нужно определить количество касательных у двух окружностей. Можно выполнить ряд сложных и трудоемких доказательств. В результате этого будет потрачено много времени, а можно воспользоваться уже готовыми дополнительными свойствами:

1. Четыре касательных: круги не соприкасаются, т. е. d > r1 + r2 (значение диаметра больше суммы радиусов r1 и r2).
2. Две общие внешние и одна внутренняя: окружности соприкасаются только в одной точке (d = r1 + r2).
3. Только две внешние: пересечение окружностей в двух точках (|r1 — r2| < d < r1 + r2).
4. Одна общая внешняя: окружности касаются внутри друг друга (d = |r1 — r2|).
5. Отсутствуют: один круг находится внутри другого (d < |r1 — r2|).

В последнем случае любая касательная будет являться секущей для другой окружности. Существует еще одно положение, когда окружности совпадают. Тогда любая касательная считается общей. В высшей математике разбирается также «отрицательный» радиус. Тогда вышеперечисленные свойства можно править следующим образом:

1. Нет касательных: окружности не соприкасаются, и для них выполняется условие d < – (r1 + r2).
2. Две внутренние (общие) и одна внешняя: круги соприкасаются в одной точке (d = -r1 — r2).
3. Одна пара внутренних: пересечение в 2 точках (|r1 — r2| > d > – r1 — r2).
4. Внутренняя общая (одна): соприкасаются внутри (d = |r2 — r1|).
5. Четыре: при d > |r1 — r2|.

Когда заданы окружности, радиус одной из которых равен 0, тогда «нулевой» круг эквивалентен двойной точке. Прямая является двойной и проходит через эту точку. В этом случае математики определяют всего две внешних. Если r1 = r2 = 0, то всего 4 внешних общих касательных. Далее для решения задач нужно разобрать доказательства некоторых свойств.

Доказательства утверждений

Очень важно знать доказательства некоторых свойств и теорем, поскольку одним из типов задач считаются упражнения повышенной сложности, требующие логических расчетов в общем виде. Например, нужно доказать, что касательная образует с радиусом, проведенным к точке касания, прямой угол. Существует тип доказательства от противного.

Для этого следует предположить, что искомый угол не равен 90 градусам. Пусть дана некоторая касательная р. Она имеет с кругом общую точку А. Нужно провести к ней перпендикуляр (радиус). Далее нужно провести из центра О отрезок ОВ на р. Образуется прямоугольный треугольник АВО с гипотенузой ОВ. Если опираться на утверждение от противного, то гипотенуза будет меньше катета (d < r). Однако радиус не может быть больше диаметра, поскольку он рассчитывается по следующей формуле: d = 2 * r. Следовательно, утверждение доказано.

Аналогично доказывается и обратное свойство. Его формулировка имеет такой вид: прямая, проходящая под прямым углом через точку, которая образована радиусом, является касательной. В этом случае можно доказывать не от противного. Расстояние от прямой до центра окружности эквивалентно некоторой величине и является радиусом. Из определения следует, что прямая и окружность имеют общую точку, и только одну. Следовательно, она и есть касательная.

Доказательство об отрезках, проведенных из одной точки, тоже нужно разобрать, поскольку такой прием применяется в решении сложных задач. Отрезки равны между собой и образуют с прямой, проведенной к центру круга, эквивалентные углы.

Следует выполнить построение окружности с центром Р. Далее нужно обозначить точку А за ее пределами и провести из нее лучи-касательные к искомой окружности. Они образуют на круге точки А и В. Кроме того, следует доказать равенство углов ОАВ и САО. При построении образовалось два треугольника ОВА и ОСА. Фигуры являются прямоугольными на основании свойства о касательной и радиусе.

Далее необходимо доказать равенство фигур ОВА и ОСА. Это сделать довольно просто: гипотенуза — общая, катеты ОВ и ОС равны (радиусы) и углы АВО = АСО = 90. Следовательно, они равны по первому признаку, а также эквивалентны друг другу стороны АВ и АС. Кроме того, угол ОАВ = САО. Утверждение доказано. Гипотенуза является также и биссектрисой. В некоторых источниках можно встретить доказательство равенства тангенсов углов.

Пример решения задачи

Нужно составить уравнения касательных к окружности (описанной графиком функции х ² + y ² = 2x + 6y + 19), проходящих через координаты х =0 у= -14. Для решения задачи следует действовать по такому алгоритму:

1. Перенести все слагаемые, кроме 19, в левую сторону: х ² + y ² — 2x — 6y = 19.
2. Выделить полный квадрат для окончательной записи уравнения окружности: х ² — 2x + 1 — 1 + y ² — 6y +9 — 9 = (х — 1)^2 + (y — 3)^2 = 29.
3. Уравнение прямой, проходящей через (0;-14) в общем виде: y — (-14) = k * (x — 0) или у = кх — 14.
4. Составить систему уравнений: (х — 1)^2 + (y — 3)^2 = 29 и у = кх — 14.
5. Подставить второе в первое: (х — 1)^2 + (кх — 14 — 3)^2 = 29.
6. Упростить выражение: (х — 1)^2 + (кх — 14 — 3)^2 — 29 = х ² — 2x + 1 +k ² * x ² — 34kx + 289 — 29 = (1 + k ² ) * x ² — 2 * (17k + 1) + 261.
7. Решением уравнения должен быть один корень: D/4 = 0.
8. Упростить тождество: D/4 = (-(17k + 1))^2 — 261 (1 + k ² ) = 289k ² + 34k + 1 — 261 — 261k ² = 28k ² + 34k — 260 = 0.
9. Найти значение D: 17 ² — 28 * (-260) = 289 + 7280 = 7569.
10. Первый коэффициент к1 = (-17 — 87) / 28 = -26/7.
11. Коэффициент к2 = (-17 + 87) / 28 = 5/2.
12. Записать уравнения прямых с учетом к1 и к2: у1 = (-26/7) * х — 14 (26х + 7у + 98 = 0) и у2 = (5/2) * х — 14 (5х — 2у — 28 = 0).

Следует отметить, что уравнение окружности с радиусом, равным единице, описывается функцией x² + y ² = 1. Эта запись применяется для решения задач в общем виде. Прямая — функция, описанная прямой пропорциональностью у = кх + b. Чтобы связать окружность и касательные, нужно составить систему уравнений. Этот математический ход объясняется тем, что у функций должны быть общие решения (точка на окружности). После решения можно выполнить проверочные вычисления, подставив корни в систему.

Таким образом, для решения задач об окружности и касательной следует знать общие понятия, а также основные свойства и теоремы.