Как найти длину кривой по формуле

Длина дуги кривой

Краткая теория

---

Длина дуги в прямоугольных координатах

Длина

 дуги гладкой
кривой

, содержащейся между двумя точками с абсциссами

 и

, равна:

Длина дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана уравнениями в
параметрической форме

 и

(

 и

 – непрерывно
дифференцируемые функции)

то длина дуги

 кривой равна:

где

 и

 – значения
параметра, соответствующие концам дуги.

Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах

Если гладкая кривая задана
уравнением

 в полярных
координатах

 и

, то длина дуги

 равна:

где

 и

 – значения
полярного угла в крайних точках дуги.

Примеры решения задач

---

Задача 1

Вычислите
длину дуги кривой.

Решение

Длину дуги можно вычислить по
формуле:

Преобразуем подынтегральную функцию:

Искомая длина дуги кривой:

Ответ:

---

Задача 2

Вычислите
длину дуги кривой.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Длину дуги
кривой можно вычислить по формуле:

Ответ:

---

Задача 3

Найти
длин дуги кривой

Решение

Длину
дуги кривой, заданной параметрически, можно найти по формуле:

Ответ:

---

Задача 4

Вычислить
длину дуги кривой:

Решение

Длина
дуги кривой, заданной в полярных координатах:

Ответ:

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) — числовая характеристика протяжённости этой кривой^[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).

Определение[править | править код]

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Например, пусть непрерывная кривая в трёхмерном пространстве задана параметрически:

(1)

где , все три функции непрерывны и нет кратных точек, то есть разным значениям соответствуют разные точки кривой. Построим всевозможные разбиения параметрического интервала на отрезков: . Соединение точек кривой отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных^[2].

Связанные определения[править | править код]

• Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая. Снежинка Коха — классический пример ограниченной, но неспрямляемой кривой; более того, любая, сколь угодно малая её дуга неспрямляема^[3].
• Параметризация кривой длиной её дуги называется естественной.
• Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции, определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).

Свойства[править | править код]

• Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна.

• В математическом анализе выводится формула для вычисления длины отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы:

(2)

Формула подразумевает, что и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.

В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

.

В полярных координатах :

• Формула Крофтона позволяет связать длину кривой на плоскости и интеграл числа её пересечений с прямыми по естественной мере на пространстве прямых.

История[править | править код]

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми»^[4][5].

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

Вариации и обобщения[править | править код]

Риманово пространство[править | править код]

В n-мерном римановом пространстве с координатами кривая задаётся параметрическими уравнениями:

,

((3))

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

,

где : — метрический тензор.
Пример: кривая на поверхности в .

Общее метрическое пространство[править | править код]

В более общем случае произвольного метрического пространства длиной кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой определяется согласно формуле:

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям отрезка .

См. также[править | править код]

• Дифференциальная геометрия кривых
• Объём
• Определённый интеграл
• Площадь
• Дуга окружности
• Кривая Пеано

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
• Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.
• Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.

При вычислении любой длины следует помнить, что это величина конечная, то есть просто число. Если имеется в виду длина дуги кривой, то такая задача решается с помощью определенного интеграла (в плоском случае) или криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Дуга АВ будет обозначаться UАВ.

Первый случай (плоский). Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ (см. рис. 1а). Для решения этой задачи разбейте рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В результате UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдете длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получите результат, приведенный на рисунке 1b.

Как вычислить длину кривой

Второй случай (дуга UАВ задана параметрически). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на отрезке этом отрезке. Найдите их дифференциалы. dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставьте эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесите dt из квадратного корня под интегралом, положите х(α)=а, x(β)=b и придете к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).

Третий случай. Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ) Полярный угол φ при прохождении дуги изменяется от α до β. Функция ρ(φ)) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще всего использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберите φ в качестве параметра и подставьте в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ y=ρsinφ. Продифференцируйте эти формулы и подставьте квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получите формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).

Четвертый случай (пространственная кривая, заданная параметрически). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Криволинейные интегралы вычисляют переводом их в обычные определенные. В результате ответ останется практическим таким же как и случае два, с тем лишь отличием, что под корнем появится добавочное слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).

Примеры:

Пример 1. Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у’ = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками х₀ = а, х₁…, х_n = b (х₀ < x₁ < …< х_n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183).  Пустьэтим точкам соответствуют точки М₀ = А, M₁,…,M_n =В на кривой АВ. Проведем хорды М₀M₁, M₁M₂,…, М_n-1М_n, длины которых обозначим соответственно через ΔL₁, AL₂,…, ΔL_n. Получим ломаную M₀M₁M₂ … M_n-ιM_n, длина которой равна L_n=ΔL₁ + ΔL₂+…+ ΔL_n =

2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL₁ можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δx_i и Δу_i:

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δу_i=ƒ'(с_i)•Δх_i, где ci є (x_i-1;x_i). Поэтому

а длина всей ломаной M₀M₁… М_n равна

3.Длина l кривой АВ, по определению, равна

.

Заметим, что при ΔL_i→0 также и Δx_i →0 ΔLi =и, следовательно, |Δx_i|<ΔL_i).

Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δx_i→ 0:

Таким образом,или в сокращенной записи l =

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) — непрерывныефункции с непрерывными производными и х(а) = а, х(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой x = x(t),dx = x'(t)dt,

Пример 5.

2.1. Определение спрямляемой кривой и длины кривой

Пусть
на плоскости задана кривая
.
Разобьём эту кривую точкаминачастей и впишем в кривую ломаную,
соединяющую эти точки. Длинаэтой ломанной равна сумме длин
прямолинейных звеньев, соединяющих
точки разбиения:.
Устремим теперь количествоточек разбиения к бесконечности так,
чтобы максимальная длина звенастремилась к нулю. Если при этом
существует конечный предел последовательности
длин ломаных,
не зависящий от способа разбиения
кривой, то кривая называется спрямляемой,
а значение этого предела называется
длиной кривой.

2.2. Длина кривой в декартовых координатах

Пусть
теперь кривая

_– график
функции
,
имеющей непрерывную производную,.
Тогда длина кривой, заданной декартовым
уравнением,,
определяется формулой.

Типовой
пример

Найти
длину отрезка параболы
от точкидо точки.

►Здесь
,
поэтому

◄.

2.3.
Кривая задана параметрически
.
Заменим впеременнуюна переменную.
Так как,
то.
Итак, длина кривой, заданной параметрически,
определяется формулой.

Типовой
пример

Вычислить
длину дуги кривой, заданной параметрическими
уравнениями
.

►Используем
формулу
.
Вычислим,.

Тогда
.◄

2.4. Кривая задана в полярных координатах

Случай,
когда кривая задаётся уравнением
,,
легко сводится к предыдущему. Так как,
то, рассматривая полярный уголкак параметр, получим,

поэтому

.

Типовой
пример

Найти
длину кардиоиды
.

►Имеем
,
поэтому.
Ответ явно бессмысленен. Где ошибка?
Ошибка в том, что упущен знак модуля при
извлечении корня из.
Правильное решение:

Однако,
как и в предыдущих случаях, проще
воспользоваться симметрией фигуры,
найти длину верхней ветви и удвоить её:
◄

3. Объёмы тел вращения

3.1.
Вычисление объёма тела по площадям
поперечных сечений
Пусть тело
расположено в пространстве между
плоскостямии,
и дляизвестна площадь его поперечного сечения.
Объём этого тела.

3.2. Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси

Если
объём
получается в результате вращения кривой,,
вокруг оси,
то, очевидно,,
поэтому.

Типовой
пример

Вычислить
объем тела, полученного вращением кривых
ивокруг оси.

►Выполним
рисунок

Находим
точку пересечения кривых:
;
;

.
Объем искомого тела получится вычитанием
из объема тела, полученного вращением
кривой
,
объема тела, полученного вращением
кривой:

ед.
куб. 
ед. куб. ◄

3.3.
Объём тела, получающийся при вращении
сектора, ограниченного кривой
и двумя полярными радиусамии,
вокруг полярной осинаходится
по формуле
.

Типовой
пример

Найти
объём тора, полученного вращением
окружности
вокруг полярной оси.

►

.◄

4. Площадь поверхности вращения

Площадь
поверхности вращения, образующейся при
вращении вокруг оси
дифференцируемой кривой, определяется
по формулам (в зависимости от способа
задания кривой)

(–
длина окружности кольца,–
его ширина).

Типовой
пример

Найти
площадь тора, образующегося при вращении
окружности
вокруг оси.

►Имеем
.◄

§4. Определенный интеграл в экономике

1. Экономический смысл определенного интеграла

Пусть
функция
описывает изменение производительности
некоторого производства с течением
времени. Найдем объем продукции,
произведенной за промежуток времени.
Если производительность не изменяется
с течением времени (– постоянная функция), то объем продукции,
произведенной за некоторый промежуток
времени,
задается формулой.
В общем случае справедливо равенство,
где,
которое оказывается тем более точным,
чем меньше.
Разобьем отрезокна промежутки времени точками:.
Для величины объема продукции,
произведенной за промежуток времени,
имеем,
где,,.

Тогда

При стремлении
к нулю каждое из использованных
приближенных равенств становится все
более точным, поэтому
.

Используя
определение определенного интеграла,
окончательно получаем:
,
т.е. если
– производительность труда в момент,
то

есть объем выпускаемой продукции за
промежуток
.

Величина
и объем продукции, произведенной за
промежуток
,
численно равны площади под графиком
функции,
описывающей изменение производительности
труда с течением времени, на промежутке.

Пример

Известно,
что численность населения определяется
формулой
,
где
–
число жителей в начальный момент
времени. Известно также, что потребление
населением в единицу времени некоторого
продукта пропорционально числу жителей.
Пусть коэффициент пропорциональности
равен
,
тогда функция потреблениябудет иметь вид:.
Найти объем продукта, необходимого для
потребления на промежуток времени.

►В
малый промежуток времени
количество жителей будем считать
постоянным, следовательно, за этот
элементарный промежуток времени
потребляется количество продукта.
Интегрируя это равенство, получим
количествопродукта, необходимое для населения на
весь промежуток времени отдо
.◄

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Определение длины дуги кривой

Рассмотрим в пространстве дугу $cup AB$ некоторой кривой. Точками $M_{0} $, $M_{1} $, $M_{2} $, …. , $M_{n-1} $, $M_{n} $ разобьем её на $n$ произвольных последовательных участков. Соединим соседние точки отрезками прямых и получим вписанную в дугу $cup AB$ ломаную, в которой $M_{0} $ совпадает с точкой $A$, а $M_{n} $ совпадает с точкой $B$. Эта ломаная состоит из звеньев $M_{0} M_{1} $, $M_{1} M_{2} $, …. , $M_{i-1} M_{i} $, …. , $M_{n-1} M_{n} $.

Обозначим длины звеньев этой ломаной следующим образом: длина $M_{0} M_{1} =Delta ; l_{1} $, длина $M_{1} M_{2} =Delta ; l_{2} $, …. , длина $M_{i-1} M_{i} =Delta ; l_{i} $, …. , длина $M_{n-1} M_{n} =Delta ; l_{n} $. Тогда периметр этой ломаной $l_{n} =Delta ; l_{1} +Delta ; l_{2} +ldots +Delta ; l_{i} +ldots +Delta ; l_{n} $ или просто $l_{n} =sum limits _{i=1}^{n}Delta ; l_{i} $.

Будем уменьшать длины всех звеньев за счет увеличения их количества. При этом форма ломаной будет приближается к форме дуги кривой.

На этом основании длина дуги кривой определяется так: длиной $l$ дуги называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной при неограниченном увеличении числа её звеньев и при стремлении к нулю наибольшей из длин её звеньев.

Соответствующее выражение имеет вид: $l=mathop{lim }limits_{max ; Delta ; l_{i} to 0} sum limits _{i=1}^{n}Delta ; l_{i} $.

«Длина дуги и ее производная» 👇