Как найти длину кривой в геодезии

Круговые кривые. Железнодорожные линии (также и автомобильные дороги) в плане состоят из прямолинейных участков, сопряжённых между собой кривыми. Наиболее простой и распространённой формой кривой является дуга окружности. Такие кривые носят название круговых кривых. На железных дорогах применяют круговые кривые со следующими радиусами: 4000, 3000, 2000, 1800, 1500, 1200, 1000, 800, 700, 600, 500, 400 и 300 м. Радиус кривой выбирают при проектировании дороги, руководствуясь конкретными техническими условиями.

Главными точками кривой, определяющими её положение на местности, являются вершина угла ВУ, начало кривой НК, середина кривой СК и конец кривой КК (рис. 15.3).

Рис. 15.3 Схема круговой кривой

Основные элементы кривой – её радиус R и угол поворота a. К основным элементам относятся также:

– тангенс кривой Т (или касательная) – отрезок прямой между вершиной угла и началом или концом кривой;

– кривая К – длина кривой от начала кривой до её конца;

– биссектриса кривой Б – отрезок от вершины угла до середины кривой;

– домер Д – разность между длиной двух тангенсов и кривой.

Во время изысканий угол a измеряют, а радиус R назначают. Остальные элементы вычисляют по формулам, вытекающим из прямоугольного треугольника с вершинами ВУ, НК, О (центр окружности):

Т = R×tg(a/2); К = R×a = p R a°¤180°; Б = R [sec(a/2) – 1], (15.1)

где a° – угол поворота в градусах.

Домер вычисляют по формуле

. (15.2)

Вместо вычислений по формулам можно воспользоваться таблицами для разбивки кривых на железных дорогах, где по заданным радиусу и углу поворота сразу находят значения Т, К, Б и Д.

В месте поворота трассы пикетаж ведётся по кривой. Пикетажное положение главных точек кривой определяют по формулам:

ПК НК = ПК ВУ – Т; ПК КК = ПК НК + К; ПК СК = ПК НК + К/2. (15.3)

Правильность вычислений контролируют по формулам:

ПК КК = ПК ВУ + Т – Д; ПК СК = ПК ВУ + Д/2. (15.4)

Пример.

Измерено a = 18°19¢ и задан радиус R = 600 м. Вершина угла расположена на пикете 6 + 36,00.

По формулам (15.1) и (15.2) или по таблицам находим элементы кривой: Т = 96,73 м; К = 191,81 м; Д = 1,65 м; Б = 7,75 м.

Вычислим пикетажное положение главных точек:

Контроль:

ПК ВУ 6 + 36,00 ПК ВУ 6 + 36,00

– Т 96,73 + Т 96,73

ПК НК 5 + 39,27 7 + 32,73

+ К 1 + 91,81 – Д 1,65

ПК КК 7 + 31,08 ПК КК 7 + 31,08

ПК НК 5 + 39,27 ПК ВУ 6 + 36,00

+ К/2 95,90 – Д/2 0,82

ПК СК 6 + 35,17 ПК СК 6 + 35,18

Переходные кривые. Непосредственное сопряжение прямого участка пути с круговой кривой приводит к тому, что во время движения поезда в месте сопряжения внезапно возникает центробежная сила F, прямо пропорциональная квадрату скорости движения v и обратно пропорциональная радиусу кривой . Чтобы обеспечить постепенное нарастание центробежной силы, между прямой и круговой кривой вставляют переходную кривую, радиус кривизны r которой плавно изменяется от ¥ до R. Если положить, чтобы центробежная сила менялась пропорционально расстоянию s от начала кривой, то получим

,

где s и r – текущие значения расстояния от начала переходной кривой и ее радиуса кривизны;

R – радиус кривизны в конце переходной кривой.

Индексом k отмечены значения переменных в конце переходной кривой.

Для радиуса кривизны переходной кривой в текущей точке i найдём:

r = lR/s, (15.5)

где через l обозначена длина переходной кривой s_k. Кривая, описываемая уравнением (15.5), в математике называется клотоидой, или радиоидальной спиралью.

Угол поворота трассы на переходной кривой. На бесконечно малом отрезке кривой ds (рис. 15.4, а) происходит поворот трассы на угол

.

Подставляя выражение радиуса кривизны r из (15.5), получим

.

Выполним интегрирование от начала кривой НК, где j = 0 и s = 0, до текущей точки i:

,

откуда

Rlj = s²/2.

б)

а)

Рис. 15.4 Схема переходной кривой:

а – углы поворота трассы: φ – в текущей точке i, β – в конце

переходной кривой (точка КПК); б – приращения координат

Из полученного уравнения вытекают формулы:

; ; l = 2Rb, (15.6)

где b – угол поворота трассы в конце переходной кривой;

l – длина переходной кривой;

R – радиус кривизны в конце переходной кривой, равный радиусу следующей за нею круговой кривой.

Координаты точки переходной кривой. Совместим начало координат с началом переходной кривой и направим ось x по касательной к ней (см. рис. 15.4, а). Бесконечно малому приращению дуги кривой соответствуют бесконечно малые приращения координат (рис. 15.4, б):

dx = cosj×ds; dy = sinj×ds. (15.7)

Разложим синус и косинус в ряд и, удержав в разложениях по два члена, подставим в них выражения для j из (15.6):

cosj = 1-j²/2 = 1 – s⁴/(8R²l²);

sinj = j – j³/6 = s²/(2Rl) – s⁶/(48R³l³).

Подставляя полученные выражения в (15.7) и выполняя интегрирование, найдём:

; (15.8)

. (15.9)

Смещение начала кривой (сдвижка). На рис. 15.5 дуга НК-КПК представляет собой переходную кривую, переходящую после точки КПК в круговую. Продолжим круговую кривую до точки Q, где её направление, параллельно оси x. Обозначим через m смещение, параллельное оси x, начала переходной кривой относительно точки Q, в которой начиналась бы круговая кривая при отсутствии переходной. Через p обозначим смещение в перпендикулярном направлении. Из рис. 15.5 видно:

,

где x_КПК и y_КПК – координаты конца переходной кривой, вычисляемые по формулам (15.8) и (15.9) с аргументом s = l .

Сочетание круговой кривой с переходными. На рис. 15.6 показана кривая, поворачивающая трассу на угол a и состоящая из круговой части с радиусом R и двух переходных кривых одинаковой длины l.

Рис. 15. 5 Смещение начала переходной кривой	Рис. 15.6 Сопряжение круговой кривой с переходными

Если бы не было переходных кривых, в образованный прямыми линиями трассы угол была бы вписана дуга окружности радиуса R, равная Q-СК-Q₁ и имеющая длину K = Ra.

При наличии переходных кривых на каждой из них происходит поворот трассы на угол b, отчего на долю круговой кривой приходится поворот на угол a-2b. Поэтому суммарная длина кривой равна

K_c = R (a-2b) + 2l = Ra – 2Rb + 2l = K – l + 2l = K + l.

Тангенс и биссектриса определяются по формулам:

Т_с = T + m + T_p; Б_c = Б + Б_p,

где Т_p = ptg(a/2); Б_p = psec(a/2).

Домер в этом случае равен

.

В полевых условиях значения m, Т_p и Б_p вычисляют на микрокалькуляторе или выбирают из таблиц для разбивки кривых на железных дорогах. Пикетажное положение главных точек кривой вычисляют по формулам, аналогичным (15.3) и (15.4).

Для
построения профиля необходимо вычислить
элементы кривой: Т –
тангенс,
К – кривая, Д – домер, Б – биссектриса.

Элементы кривой
вычисляются по формулам:

Тангенс
; Кривая;

Домер
; Биссектриса

,

где R
– радиус
кривой, м; 
– угол
поворота трассы.

Пример вычисления
элементов кривой.

В
примере вершина угла поворота пк 4 + 33,
угол поворота 
= 43
26
и радиус кривой R
= 150 м.

Тангенс

м;

Кривая
м;

Домер
м;

Биссектриса
м.

2.7 Вычисление пикетажного значения главных точек кривой

Главные
точки кривой – это начало кривой (НК),
середина кривой (СК) и конец кривой (КК).
Пикетажное значение показывает расстояние
от начала трассы (НТ) до соответствующей
точки.

Вычисление
пикетажного значения главных точек
кривой выполняется по формулам:

пк НК = пк ВУ – Т;

пкКК = пкНК + К;

пкСК = пкНК +0,5К

Контроль: пкКК =
пкВУ + Т – Д;

пкКК = пкСК +0,5К.

Пример вычисления
пикетажных значений главных точек
кривой.

По
приведенным исходным данным пикетажные
значения главных точек кривой принимают
значения:

пк НК = пк ВУ – Т =
пк 4+33 – 59,74 = 3+73,26

пкКК
= пкНК + К = 373,26 + 113,65 = 486,91

пкСК
= пкНК +0,5К = пк 3+73,26 + 0,5 
113,65 = 430,08

Контроль:

пкКК
= пкВУ + Т – Д = пк 4 +33 +59,74 – 5,83 = 486,91

пкКК
= пкСК +0,5К = 430,08 + 0,5 
113,65 = 486,90

2.8 Построение продольного профиля

Профиль строится
на миллиметровой бумаге формата А3.
Масштаб для построения продольного
профиля по горизонтали и вертикали
различный. Для обеспечения наглядности
обычно вертикальный масштаб в 10 раз
крупнее горизонтального. В индивидуальном
задании указываются масштабы для
построения профиля. Профиль строится
с использованием специальной таблицы
– сетки профиля. Ее размеры (в мм) и графы
приведены на рис.
7.

Рис 7. Сетка профиля

Профиль располагается
выше сетки профиля. При его построении
это необходимо учесть. Общий вид профиля
приведен на рис. 9.

Построение профиля
начинается с графы «Расстояния».
В этой графе указываются пикетные и
плюсовые точки. С учетом горизонтального
масштаба строятся полные пикеты по 100
м. В графе они отмечаются вертикальными
линиями. Если между пикетами есть
плюсовые точки, они также наносятся в
эту графу и подписываются расстояния
между ними (рис. 8).

Рис. 8. Заполнение
графы «Расстояния» и «Пикеты»

В примере, между
пикетами 5 и 6 расположены две плюсовые
точки: +37 и +75. Расстояния подписываются
37и38(75 – 37 = 38 м) и25(100 – 75
м). Сумма отрезков 37 + 38 + 25 = 100 м (Рис.8).

Затем заполняется
графа «Пикеты».
В этой графе подписываются пикеты около
вертикальных линий, начиная с пикета 0
(пк0) (рис. 8).

Графа «Развернутый
план трассы»
заполняется по данным пикетажа
(пикетажной книжки). По середине графы
проводится ось дороги условно развернутая
в прямую линию. Вдоль линии наносится
план местности, прилегающий к трассе и
все объекты, которые находятся в полосе
25 м влево и вправо от оси трассы,
показываются границы между угодьями и
строения. В точках, соответствующих
вершинам углов поворота показывается
направление поворота трассы (вправо
или влево). Вместо условных знаков
допускается писать соответствующее
название: «луг», «лес» и т. д. (рис. 10).

Рис. 10. Заполнение
графы «Развернутый план трассы»

Графа «Прямые
и кривые в плане»
заполняется по результатам вычисления
пикетажных значений главных точек
кривых (Рис.11). В графе проводится прямая
линия на расстоянии 10 мм от нижней
границы. По пикетажному значению точки
«Начало кривой» она наносится на профиль
с учетом горизонтального масштаба на
линии пикетажа. От линии пикетажа
опускается перпендикуляр на ось дороги,
которая проводится вдоль графы. До точки
«Начало кривой» трасса показывается
прямой линией. Аналогично показывается
точка «Конец кривой». От нее трасса так
же показывается прямой. Между точками
«Начало кривой» и «Конец кривой» ось
дороги прерывается и кривая показывается
скобой. Если поворот правый, то скоба
направлена вверх, если поворот левый,
то скоба обращена вниз.

Рис. 11. Заполнение
графы «Прямые и кривые в плане»

Вдоль перпендикуляров
от пикетажной линии до оси дороги у
точек «Начало кривой» и «Конец кривой»
подписываются расстояния от заднего
пикета до точки и от точки до переднего
пикета.

Внутри кривой
выписываются угол поворота трассы ,
радиус R,
тангенс Т, кривая К, домер Д, биссектриса
Б.

Над
серединой каждой прямой вставки
записывают ее длину, а под ней дирекционный
угол или румб. Начальное направление
трассы выдается в задании. После поворота
трассы направление меняется. Ориентирующий
угол вычисляется по формулам зависимости
дирекционного угла и румба. В нашем
примере применяется формула второй
четверти:

_пк0-НК
= r
+ 180
= 6215
+ 180
= 24215;

_КК-ПК7
= _пк0-НК
+
= 43
26
= 285
41.
r
= 360
– 285
41
= 7419(сз).

Графа «Отметки
земли»
заполняется из «Ведомости геометрического
нивелирования». Отметки выписываются
к соответствующим пикетам и плюсовым
точкам с точностью 0,01 м.

ВНИМАНИЕ: «иксовые»
точки в построении не участвуют и их
отметки не
выписываются (рис.
2).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Расчет кривой одного радиуса приведен в табл. 10.

В графу 1 этой таблицы даются номера делений (точек). Отрицательные деления в этой графе получились потому, что деления 0, 10, 20 и т.д. было целесообразно совместить с пикетами.

В графу 2 выписываются данные пикетажа. В нее же при расчете выписываются значения СК (середины кривой) НПК, КПК и др.

В графу 3 выписываются из журнала съемки кривой величины измеренных стрел в миллиметрах. Если выписать сюда удвоенную величину измеренных стрел, освобождаясь тем самым от половинок миллиметров, то величины в графах 4, 5 и последующих будут также удвоены и, следовательно, в графе 9 будут получены величины сдвижек и тогда надобность в графе 10 отпадет.

В графе 4 подсчитывается последовательно сумма стрел. Сумма стрел для последнего деления должна равняться итогу графы 3.

В графе 5 подсчитывается момент стрел (сумма сумм стрел). Для этого нулевое значение из графы 4 (против деления — 3) выписывают в графу 5 на одну строку ниже (против деления — 2).

Затем величины граф 4 и 5 этой строки (против деления — 2) суммируют — 2 + 0 = —2 и записывают в графу 5 на одну строку ниже (против деления — 1); то же делают для следующей строки +8 — 2 = 6 и так до конца.

При суммировании нужно учитывать знак у отрицательных стрел.

Величина момента стрел относительно последней точки М52 (которая не выписывается) должна быть равна итогу графы 4. Подсчитывают также итог графы 5 (1 446 401).

В графах с 6 по 10 выписываются расчетные данные.

Прежде чем определять расчетную величину стрелы круговой кривой в графе 6, необходимо выяснить, с какой кривой мы имеем дело: одного ли она радиуса или составная, есть ли переходные кривые и одинаковая ли их длина.

Представление о кривой может сложиться из рассмотрения данных графы 3 и более наглядно — по графику стрел.

Наколку графика стрел на миллиметровке достаточно делать частично, на участках, где происходит резкое изменение величин стрел: на участках переходных кривых и в местах изменения радиуса составных кривых.

В нашем примере можно считать, что кривая описана одним радиусом с переходными кривыми длиной около 5 делений в начале и около 4 делений в конце (рис. 51):

Поэтому определяем общий угол поворота кривой и ее середину по формулам (III. 24) и (III. 34):

Это значение отмечаем в графе 2.

Предварительно расчетную величину стрелы изгиба можно определить как
среднее значение на участке круговой кривой между делениями 5 и 45, а именно:

С большим приближением при натурных переходных кривых расчетную стрелу изгиба можно определить по формуле:

гдеМ_а
— момент стрел относительно точки
а на участке круговой кривой;

М_б
— то же, относительно точки б;

М_ср—то же, относительно средней точки между а
и б;
n
— число делений между точками а
и б
(аналогично рис. 42).

Выбирая участок, например, между точками
5 и
45, будем иметь:

Определенная по формуле (III. 38) величина стрелы несколько отличается от среднего значения.

Необходимо заметить, что формула (III. 38) не учитывает влияния переходной кривой на длину круговой кривой: уменьшения ее длины за счет сдвижки или соответственно увеличения расчетной стрелы изгиба.

Для достижения минимальных рихтовок
следует назначать такую расчетную длину переходных кривых, чтобы она была близка натурной их длине.

Полагая, что по условиям движения длину переходной кривой в нашем случае можно принять не менее 80 м, т.е. l = 8 делений, что больше натурной длины переходных кривых, находим сдвижку круговой кривой по формуле (III. 37):

Теперь имеются все данные для того, чтобы определить окончательно длину круговой кривой (в пределах НК — КК; рис. 51) и по ней величины стрел в каждом делении.

Эта длина, в которой уже учитываются проектные переходные кривые, определяется по формулам:

Подставляя величины в формулу, найдем:

Расчетная стрела изгиба для такой длины круговой кривой согласно формуле (III.30) будет равна:

Радиус круговой кривой определится по формуле (III.28):

Находим положение начала переходной кривой:

Положение НПК отмечаем в графе 2.

Определяем положение конца (начала) второй переходной кривой:

Отмечаем КПК в графе 2.

Зная положение переходных кривых, легко находим величины стрел изгиба в их пределах. Так как величина стрелы в пределах переходной кривой изменяется по закону прямой, то расчетные стрелы, очевидно, будут равны:

и т.д. на всем протяжении этой переходной кривой.

Концевая переходная кривая

Аналогично для концевой переходной кривой:

и т.д.

Такой подсчет целесообразно делать на логарифмической линейке.

Читайте продолжение в следующей статье.

§

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

По МДК 01.01. Технология производства полевых геодезических работ

Количество часов: 6

Тема занятия: «Определение элементов кривой и координат для детальной разбивки»

Наименование работы: расчетно-графическая работа.

Цель занятия:

-закрепление и развитие знаний, полученных при изучении теоретического материала по модулю;

– приобретение профессиональных навыков и умений по производству полевых геодезических работ;

– выполнить расчет элементов кривой и вычислить координаты для ее детальной разбивки, составить схему.

Приобретаемые умения и навыки:

– выполнения полевых геодезических работ на производственном участке;

– обрабатывать результаты полевых измерений;

– рассчитывать координаты опорных точек;

– осуществлять контроль производства геодезических работ;

Учебно-методическое оснащение рабочего места:

1. Инструкционно-технологическая карта.

2. Методические рекомендации.

3. Исходные данные (индивидуально).

Особые правила техники безопасности:

Инструкция по технике безопасности при выполнении камеральных работ.

Правила техники безопасности при выполнении чертежных работ.

Литература

Согласно пункта 4.2 рабочей программы ПМ 01

Исходные данные:

Вариант №__________

1. Пикетажное наименование вершины угла поворота ВУ ___________________

2. Измеренный угол поворота β = ______________

3. Радиус поворота R = _____________

Порядок выполнения практической работы

На всех линейных сооружениях, предназначенных для движения транспорта, в местах изменения направления трассы для сопряжения прямых участков с целью плавного и постепенного поворота движущего транспортного средства устраивают закругления или кривые. Закругления могут быть любыми. Простейшим является дуга окружности определенного радиуса, т.е. круговая кривая.

Конкретное решение о применении радиусов автомобильных, железнодорожных и других кривых принимают в соответствии с конкретными условиями и строительно-техническими нормами того или иного сооружения.

Разбивочные работы круговых кривых делятся на два этапа:

1. Разбивка главных точек круговой кривой выполняется одновременно с разбивкой пикетажа. Цель – определить пикетажное наименование конца кривой и затем продолжить разбивку пикетажа.

2. Детальная разбивка кривых – выполняется в период строительства.

Круговая кривая характеризуется четырьмя главными точками и шестью основными элементами.

Главными точками кривой, которые определяют положение кривой на местности, являются:

– вершина угла ВУ;

– начало кривой НК;

– середина кривой СК;

– конец кривой КК.

Рис.1 Главные точки кривой.

Основными элементами кривой, которые определяют положение главных точек, являются:

– угол поворота трассы – α;

– радиус закругления – R;

– длина кривой вставки – К;

– тангенсы – Т;

– биссектриса – Б;

– домер – Д.

Все линейные величины выражаются в метрах до сотых.

Во время изысканий угол α вычисляют, а радиус R назначают. Остальные элементы находят по формулам, вытекающим из прямоугольного треугольника с вершинами ВУ, НК, О (рис. 1).

Ход работы

1. Вычисляем угол поворота трассы – α:

α = 180⁰ – β

______________________________________________________________________________________

2. Вычисляем тангенс по формуле:

Т = R*tg*α/2

____________________________________________________________________________________

3. Вычисляем длину кривой по формуле:

K = α/180⁰*πR

_____________________________________________________________________________________

4. Вычисляем биссектрису по формуле:

Б = R(sek α/2 – 1) = (√R² + T² )– R

_____________________________________________________________________________________

5. Вычисляем домер по формуле:

D = 2T – K

__________________________________________________________________________________________

Все элементы кривой можно вычислить по вышеприведенным формулам. Но так как Т, K, Б и Д находятся в прямой зависимости от угла поворота и радиуса, то для их определения составлены специальные таблицы которыми пользуются для быстрой разбивки кривых.

6. Вычисляем пикетажные значения главных точек кривой, то есть определяем на каких пикетах и плюсовых точках они находятся. Для этого используем ниже следующие формулы:

НК = ВУ – Т =_______________________________________________________________________________

КК = НК + К=_______________________________________________________________________________

СК = НК + К/2=______________________________________________________________________________

Контроль:

КК = ВУ + Т – Д = ___________________________________________________________________________

КК = ВУ – Т + К =___________________________________________________________________________

СК = КК – К/2 =_____________________________________________________________________________

Расхождения в расчетах по двум формулам должны быть не более 0,01 м.

7. Вычерчиваем схему, на которую наносим все вычисленные величины и пикетажные наименования, необходимые для закрепления главных точек кривой и дальнейшей разбивки трассы.

Вывод:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Выполнил:____________________________________________________________________________

Исходные данные к практической работе:

«Определение элементов кривой и координат для детальной разбивки»

2. Определение координат для детальной разбивки кривой.

По трем главным точкам НК, СК и КК точно построить кривую на местности невозможно, поэтому при строительстве трассы её обозначают рядом дополнительных точек. Данные работы называются детальной разбивкой кривой.

Расстояние между соседними точками на кривой  К  при детальной разбивке зависит от её радиуса R и характера сооружения, однако чем меньше R кривой, тем меньше значение К тем меньше промежутки k.

–  если R > 500 м, то  k = 20 м;

– если 500 > R > 100 м, то k = 10 м;

– если R ≤ 100 м, то k = 5 м.

Задание № 2 Определить координаты для детальной разбивки кривой применяя способ прямоугольных координат от тангенсов.

Ход работы:

1. За начало координат принимаем точку М – НК начало круговой кривой.

2. Тангенс МА принимаем за ось абсцисс (Х), а радиус МО за ось ординат (У).

3. Положение точки N, кривой в принятой системе  координат определяется абсциссой X₁ и ординатой Y₁.

4. Из прямоугольника ON1  находим Х₁ и У₁ используя формулы:

5. Угол φ находим в зависимости от длины дуги k, через которую производится разбивка кривой, используя формулу:

________________ φ = ______________________________________________

6. Для точек 2, 3 и т.д. координаты вычисляем, подставляя в вышеприведенные формулы углы 2φ, 3φ и т.д. до середины кривой:

7. На основании вычислений строим чертеж детальной разбивки круговой кривой способом прямоугольных координат. Масштаб подобран индивидуально:__1:_________

Вдоль тангенсов (ось абсцисс) откладываем длины х, восстанавливаем прямой угол в полученной точке. Точка 1 круговой кривой фиксируется расстоянием у, отмеренным по перпендикуляру. Так же получем другие точки круговой кривой. Вторую половину круговой кривой разбиваем от ее конца, выполняя аналогичные действия и используя значения х и у, полученные для первой половины.

Таблица 1 – Вычисление координат для детальной разбивки кривой

точки

Формула для Хп

Координаты по Х

Формула для Уп

Координаты по У

№ точки

1

Х₁=Rφ

У₁=2R ² φ/2

2

Х₂=R2φ

У₂=2R ² φ

3

Х₃=R3φ

У₃=2R ² 3φ/2

4

Х₄=R4φ

У₄=2R ² 4φ/2

5

Х₅=R5φ

У₅=2R ² 5φ/2

6

Х₆=R6φ

У₆=2R ² 6φ/2

7

Х₇=R7φ

У₇=2R ² 7φ/2

8

Х₈=R8φ

У₈=2R ² 8φ/2

9

Х₉=R9φ

У₉=2R ² 9φ/2

10

Х₁₀=R10φ

У₁₀=2R ² 10φ/2

11

Х₁₁=R11φ

У₁₁=2R ² 11φ/2

12

Х₁₂=R12φ

У₁₂=2R ² 12φ/2

13

Х₁₃=R13φ

У₁₃=2R ² 13φ/2

14

Х₁₄=R14φ

У₁₄=2R ² 14φ/2

Вывод:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Выполнил:____________________________________________________________________________

Расчет элементов кривой. Тангенсы, хорда, биссектриса, домер, длина кривой.

Опубликовано 6 лет назад. Просмотров с момента размещения на сайте 109979

Также, Вас может заинтересовать: