Как найти длину лэп

В общем случае сопротивление в точке питания А длинной линии А—В зависит как от длины линии, так и от характера нагрузки в точке В . В случае, когда длина линии равна $l=nfrac<lambda><2>$, сопротивление в точке А равно сопротивлению в точке В , т. е. Z ₁ = Z ₂ .

В случае, когда длина линии $l=frac<lambda(2n+1)><4>$, происходит трансформация сопротивления. Так, например, если Z₂=∞ (линия разомкнута), то входное сопротивление Z₁=0, и наоборот, если Z₂=0 (линия коротко замкнута), то Z₁=∞.

Еще раз подчеркнем, что входное сопротивление линии зависит как от характера нагрузки, так и от электрической длины линии, которая является функцией длины волны Так как с этими закономерностями приходится сталкиваться достаточно часто при проектировании линий питания и элементов фазирования антенных систем, авторы рекомендуют их тщательно изучить и запомнить. В какой-то мере читателю в этом помогут рис. 2.35 и 2.36, на которых представлен характер изменения входного сопротивления разомкнутой и коротко замкнутой линий при изменении их длины.

Входное сопротивление линии

В общем случае нагрузка линии может носить комплексный характер, т. е. $Z_2=R_2+iX_2$ . Тогда входное сопротивление такой линии согласно [2] $$beginZ_1=Z_0frac>>endtag<2.82>$$

Формула (2.82) справедлива для линий без потерь.

Введем теперь отношение волнового сопротивления линии к сопротивлению нагрузки Z ₂ и обозначим эту величину через $$begins=fracendtag<2.83а>$$

Формулой (2.83а) следует пользоваться, если $$|Z_0|geqslant<|Z_2|>$$ Если же $$|Z_2geqslant<|Z_0|>$$ , то тогда $$begins=fracendlabel<2.83б>$$

Теперь, используя введенное соотношение, формулу (2.82) можно записать в виде $$beginZ_1=Z_0,frac<cos+i,ssin>+isin>endtag<2.84>$$

Эти трудные на первый взгляд формулы достаточно просты для конкретных расчетов. Применим их на конкретном примере.

Пример. На рис. 2.37 приведена линия длиной l=2 м, имеющая волновое сопротивление Z₀=300 Ом. Эта линия нагружена на последовательно включенные емкость С=20 пФ и сопротивление R₂=200 Ом. Рассчитаем входное сопротивление Z₁ этой линии для волны λ = 10 м (f=30 МГц).

2. Сопротивление нагрузки $Z_2=R_2-i,X_C=(200-i,265);Ом$.

4. Входное сопротивление линии, рассчитываемое по формуле (2.82), $Z_1=300,frac<(200-i,265)+i,300,tg72^circ><300+i,(200-i,265),tg72^circ>=(116<,>2+i,113<,>1);Ом$

Таким образом, сопротивление нагрузки $Z_2=(200-i,265);Ом$, обусловленное последовательно включенными емкостью и сопротивлением, трансформируется с помощью двухметровой линии, работающей на частоте 30 МГц, во входную нагрузку $Z_1=(116<,>2+i,113<,>1);Ом$, которая соответствует последовательно включенным сопротивлению (другой величины) и индуктивности L . Поэтому на рис. 2.37 между рассчитываемой линией и ее эквивалентом был по ставлен знак тождества. Индуктивность, сопротивление которой на частоте 30 МГц составляет 113,1 Ом, $L=frac<113<,>1><2pi>cdot<30>cdot<10^6>=0<,>602;мкГн$.

Для облегчения расчетов величин X _L и Х _C можно воспользоваться номограммами, приведенными на рис. 2.38.

Особо рассмотрим один частный случай, вытекающий из общей формулы (2.82), а именно длина линии l =λ/4 . В этом случае формула (2.82) значительно упрощается и принимает вид $$beginZ_1=fracendtag<2.87>$$

Эту формулу следует запомнить, так как она достаточно часто будет встречаться на практике. Сейчас применим эту формулу для конкретных примеров.

Пример 1. Требуется рассчитать входное сопротивление линии с волновым сопротивлением Z₀=300 Ом, нагруженной на антенну с Z₂=600 Ом, если длина линии l = λ/4 . Получаем $Z_1=frac<300^2><605>=150;Ом$.

Пример 2. Требуется рассчитать волновое сопротивление четвертьволновой линии, согласующей два коаксиальных кабеля с сопротивлениями Z₁=50 Ом и Z₂=75 Ом. Расчет проведем по формуле $Z_0=sqrt$.Подставляя в эту формулу исходные значения, получим, что Z₀=61,2 Ом.

При проведении подобных расчетов удобно пользоваться номограммой, приведенной на рис. 2.39.

Нагруженные длинные линии могут быть рассмотрены как резонансные контура. Характер изменения нагрузки в таком контуре при изменении длины линии приведен на рис. 2.36. Резонанс в линии наступает, если длина линии l = n λ/4 . Для других длин, отличных от n λ/4 , линия представляет собой или индуктивность, или емкость.

Если длина короткозамкнутой на конце линии l λ/4 , то ее сопротивление носит индуктивный характер и определяется по формуле $$beginX_L=Z_0tgendtag<2.88>$$

В частном случае при l = λ/8 имеем: $klapproxfrac<pi><4>=45^circ$ и $tg=l$. Следовательно, X _L = Z ₀ . Другими словами, короткозамкнутая линия длиной l = λ/8 является индуктивностью, значение которой $L=frac<omega>$.

Если длина разомкнутой линии l λ/4 , то ее сопротивление носит емкостный характер и определяется по формуле $$beginX_C=Z_0tgendtag<2.89>$$

В частном случае, когда l = λ/8 , линия представляет собой емкость, значение которой $C=frac<1><omega>$.

В согласующих устройствах отрезки длинной линии часто используются в качестве индуктивности или емкости. Для удобства расчета можно пользоваться графиками, приведенными на рис. 2.40.

Пример. Требуется найти входное сопротивление короткозамкнутой линии длиной l=15 см, имеющей коэффициент укорочения K=0,905 и волновое сопротивление Z₀=300 Ом для длины волны λ=2 м (150 МГц).

1. Электрическая длина линии определяется по формуле (2.12): l _э =l / K= 15/0,905=16,6 см=0,166 м .

2. Фазовый сдвиг вдоль линии определяется по формуле (2.14): kl =2π l /λ=2π·0,166/2=0,52 рад или kl =2π l /λ=360°·0,083=29,9° .

3. Сопротивление X _L= Z ₀ tg 29,9°=300·0,577= 173 Ом .

4. Индуктивность Z = X _L/ ω = 173/2π·150·10 6 =0,183 мкГн.

5. Та же самая линия, только разомкнутая, имеет сопротивление X _C =Z ₀ctg 29,9°=300·1,73=520 Ом , что эквивалентно емкости С=1/ω Х _C=2,04 пф .

При проведении подобных расчетов удобно пользоваться графиками, приведенными на рис. 2.40.Так, например, для фазового сдвига kl= 30° по графикам на рис. 2.40 определяем, что X _L /Z ₀ = 0,57 и X _C/ Z ₀=1,75 . Следовательно, X _L = 300·0,57=171 Ом и X _C=300·1,75=525 Ом . Тогда, пользуясь графиками, приведенными на рис. 2.38, находим, что L =0,19 мкГн и С =2,1 пФ . Эти результаты отличаются (с малой погрешностью) от приведенных расчетных данных. Однако полученная точность определения параметров L и С является достаточной для целей практики.

Отметим еще одно обстоятельство, вытекающее из ранее приведенных рассуждений о различном характере разомкнутой и замкнутой линий. Речь идет о способе измерения волнового сопротивления линии. Для этого достаточно определить эквивалентные индуктивности и емкости при короткозамкнутой и разомкнутой линиях. Эти измерения, как известно, провести нетрудно. Тогда, зная значения измеренных L и С , можно вычислить волновое сопротивление линии: $$beginZ_0=sqrt=sqrt<frac>endtag<2.90>$$

В реальных линиях всегда присутствуют потери. Это обстоятельство, как было показано ранее [см. формулу (2.35)], приводит к изменению значения волнового сопротивления линии. Кроме того, наличие потерь приводит к изменению характера распределения вдоль линии падающей, а также отраженной волны. На рис. 2.41 показано влияние затухания на характер распределения напряжения вдоль длинной линии.

Длинная линия как резонансный контур

В диапазоне УКВ длинная линия может быть использована в качестве резонансного контура. Добротность такого контура (при малом уровне потерь) [19] $$beginQ=frac<2pi>=frac<2alpha>endtag<2.91>$$ где k — волновое число; α — затухание.

Для коаксиальной линии, как это было показано ранее, минимальные потери соответствуют условию D / d= 3,6 , т. е. волновому сопротивлению Z ₀=77 Ом . На рис. 2.42 приведены графики добротности как функции внешнего диаметра коаксиального кабеля и частоты. Эти графики построены для коаксиальной линии, выполненной из меди и имеющей воздушную изоляцию.

Целесообразно обратить внимание на следующую информацию:

1. Входное сопротивление четвертьволновой линии без потерь или линии, длина которой кратна (2 n +1)λ/4 , имеет следующие значения: для короткозамкнутой Z₁=∞ (параллельный резонансный контур), для разомкнутой Z₁=0 (последовательный резонансный контур).

2. Для линии с потерями входное сопротивление четвертьволновой линии определяется по следующим формулам: для последовательного резонансного контура $$beginZ_1=Z_0(2n+1)frac<pi><4>Qapprox>endtag<2.92>$$ для параллельного резонансного контура $$beginZ_1=frac<4,Z_0Q><2n+1>piapproxfrac<alpha>endtag<2.93>$$

3. Частотная характеристика четвертьволновой линии вблизи резонансной частоты очень похожа на обычную частотную зависимость при резонансе контура с добротностью Q . Однако следует иметь в виду, что входное сопротивление длинной линии в этой области изменяется несколько иным образом, чем сопротивление резонансного контура, образованного сосредоточенными индуктивностью и емкостью.

При небольшом отклонении частоты Δf от резонансной частоты f _рез появляется дополнительный фазовый сдвиг $$begindelta=frac<(2n+1)pi><4>-frac<2piDeltal>endtag<2.94>$$

Изменение входного сопротивления при небольшом отклонении частоты Δf от резонансной зависит как от длины линии l и ее затухания α , так и от дополнительного фазового сдвига δ . Для последовательного резонансного контура входное сопротивление $$beginZ_<вх>approxsqrt<(alpha)^2+delta^2>=alphaZ_0sqrt<1+left(frac<delta><alpha>right)^2>endtag<2.95>$$ для параллельного резонансного контура $$beginZ_<вх>approxleft[(alpha)^2+delta^2right]^<-frac<1><2>>=frac<alphasqrt<1+left(frac<delta><alpha>right)^2>>endtag<2.96>$$

Из анализа этих формул следует, что при условии $alpha=delta$ входное сопротивление линии, соответствующее последовательному резонансному контуру, в 1,4 раза больше, чем значение Z ₁ , рассчитанное по формуле (2.92). Более полную информацию по данному вопросу можно найти в [19, 20].

Источник