Как найти длину медианы через координаты точек - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Найти медиану треугольника по координатам вершин

Как найти медиану если даны координаты вершин треугольника?

Чтобы найти медиану треугольника по координатам его вершин, применим формулы координат середины отрезка и формулу расстояния между точками.

Рассмотрим нахождение медианы на конкретном примере.

Дано: ΔABC,

A(-11;12), B(3;8), C(-1;6),

AF — медиана.

Найти: AF

Решение:

1) Так как AF — медиана треугольника ABC, то F — середина BC.

По формулам координат середины отрезка:

$[x_F = frac{{x_B + x_C }}{2} = frac{{3 + ( - 1)}}{2} = 1;]$

$[y_F = frac{{y_B + y_C }}{2} = frac{{8 + 6}}{2} = 7.]$

Итак, F(1;7).

2) По формуле расстояния между точками

$[AF = sqrt {(x_F - x_A )^2 + (y_F - y_A )^2 } ]$

$[AF = sqrt {(1 - ( - 11))^2 + (7 - 12)^2 } = ]$

$[= sqrt {12^2 + ( - 5)^2 } = sqrt {144 + 25} = sqrt {169} = 13.]$

Ответ: 13.

Источник

Лучший ответ

0 Голосов

Posted Декабрь 5, 2013 by Вячеслав Моргун

1. Вычислить длину медианы АМ.
Для нахождения длины медианы найдем координату точки M, зная координаты точки A найдем расстояние между этими точками, которое рассчитывается по формуле $$d = sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} quad (1)$$Найдем координаты точки M, которая находится по середине между точками B(1;-1) и C(3;5), координаты рассчитываются по формуле $$M(frac{x_B+x_C}{2};frac{y_B+y_C}{2})$$ подставляем значения координат и получаем $$M(frac{1+3}{2};frac{-1+5}{2}) => M(2;2)$$ Найдем длину медианы, подставим координаты точек в формулу (1) $$d_{AM} = sqrt{(8-2)^2+(0-2)^2} = 2sqrt{10}$$

2. Уравнение медианы AM.
Известны две точки A и M через которые проходит медиана. Для составления уравнения медианы, воспользуемся формула уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $$frac{x-x_1}{x_2-x_1}=frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$ Подставляем координаты точек и получаем уравнение медианы$$frac{x-8}{2-8}=frac{y-0}{2-0} => y = -frac{1}{3}x+frac{8}{3}$$

3. Наносим полученные точки и уравнение прямой на декартовую систему координат.

Другие ответы

Источник

Уравнение медианы треугольника

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A₁, B₁, C₁.

Уравнение медианы AA₁ будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A₁(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA₁: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B₁ — середины отрезка AC

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B₁(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB₁ можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C₁ — середины отрезка BC:

Отсюда уравнение медианы CC₁ : y=0,8x-4,6.

Длина медианы треугольника

Медиана треугольника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.

Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной из каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в центре треугольника. В случае равнобедренного и равностороннего треугольников, медиана делит пополам любой угол в вершине у которого две смежные стороны равны.

Калькулятор длины медианы треугольника

Онлайн калькулятор расчета длины медианы треугольника при условии, что известны координаты его вершин. Нахождение длины трех медиан треугольника

Формула расчета длины медианы

a,b,c — Длина сторон треугольника.

Пример расчета медиан:

Даны точки A( 1 , 5 ), B( 8 , 9 ) и C( 5 , 6 ). Найдите медианы треугольника.

Получаем:

A( 1 , 5 ) B( 8 , 9 ) C( 5 , 6 )

Решение:

Шаг 1:

Найдем длину сторон a,b,c используя формулу

Найдем длину стороны A между точками B( 8 , 9 ) and C( 5 , 6 )

a = √((5 — 8) 2 + (6 — 9) 2 )= 4.242

Найдем длину стороны B между точками C( 5 , 6 ) и A( 1 , 5 )

b = √((1 — 5) 2 + (5 — 6) 2) = 4.123

Найдем длину стороны C между точками A( 1 , 5 ) и B( 8 , 9 )

c = √((8 — 1) 2 + (9 — 5) 2) = 8.062

Шаг 2:

Полученные значения a,b,c применяем в формулы

m_a = (1/2) √2c 2 + 2b 2 — a 2

m_b = (1/2) √(2c 2 + 2a 2 — b 2 )

m_c = (1/2) √(2a 2 + 2b 2 — c 2 )

m_a = (1/2)√(2(8.062) 2 + 2(4.123) 2 — 4.242 2 )= 6.042
m_b = (1/2)√(2(8.062) 2 + 2(4.242) 2 — 4.123 2 )= 6.103
m_c = (1/2)√2(4.242) 2 + 2(4.123) 2 — 8.062 2 = 1.118

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

[spoiler title=”источники:”]

http://wpcalc.com/median-triangle/

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/mediana.htm

[/spoiler]

Источник

Уравнение медианы треугольника

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A₁, B₁, C₁.

Уравнение медианы AA₁ будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A₁(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA₁: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B₁ — середины отрезка AC

3) Координаты точки C₁ — середины отрезка BC:

Отсюда уравнение медианы CC₁ : y=0,8x-4,6.

Длина медианы треугольника