Как найти длину медианы пирамиды

В этом уроке приведены определение и свойства правильной треугольной пирамиды и ее частного случая – тетраэдра (см. ниже). Ссылки на примеры решения задач приведены в конце урока.

Определение

Правильная треугольная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

На рисунке обозначены:
ABC – Основание пирамиды
OS – Высота
KS – Апофема
OK – радиус окружности, вписанной в основание
AO – радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды
SKO – двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)

Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).

Свойства правильной треугольной пирамиды:

• боковые ребра правильной пирамиды равны
• все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками
• в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу
• если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3  (пи делить на 3 или 60 градусов ).
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
• вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника,, который является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан

Формулы для правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

где

V – объем правильной пирамиды, имеющей в основании правильный (равносторонний) треугольник
h – высота пирамиды
a – длина стороны основания пирамиды
R – радиус описанной окружности
r – радиус вписанной окружности

Поскольку правильная треугольная пирамида является частным случаем правильной пирамиды, то формулы, которые верны для правильной пирамиды, верны и для правильной треугольной – см. формулы для правильной пирамиды.

Примеры решения задач:

• Нахождение периметра правильной треугольной пирамиды 
• Вычисление объема 
• Нахождение площади поверхности   

Тетраэдр

Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр.

Тетраэдр – это правильный многогранник (правильная треугольная пирамида) у которой все грани являются правильными треугольниками.

У тетраэдра:

• Все грани равны
• 4 грани, 4 вершины и 6 ребер
• Все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

Медиана тетраэдра – это отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, противолежащего вершине)

Бимедиана тетраэдра – это отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер (соединяющий середины сторон треугольника, являющегося одной из граней тетраэдра)

Высота тетраэдра – это отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани (то есть является высотой, проведенной от любой грани, также совпадает с центром описанной окружности).

Тетраэдр обладает следующими свойствами:

• Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке
• Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины
• Эта точка делит бимедианы пополам

Площадь, объем, высота, радиус вписанной и описанной окружности и другие формулы для тетраэдра

См. пример задачи: формулы и свойства тетраэдра.

0
 

 Пирамида с равнобедренным треугольником в основании |

Описание курса

| Периметр основания правильной треугольной пирамиды 

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Как найти уравнение медианы пирамиды

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет – тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку “Зарегистрироваться” вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.

Пирамида в геометрии – элементы, формулы, свойства с примерами

Вы уже знакомы с пирамидой, т. е. многогранником, одна грань которого является многоугольником, а остальные грани-треугольники имеют общую вершину.

Треугольные грани пирамиды, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями, а эту общую вершину — вершиной пирамиды. Ребра боковых граней, сходящиеся в вершине пирамиды, называют боковыми ребрами пирамиды. Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называют основанием пирамиды (рис. 107).

Пирамиды разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Пирамида, изображенная на рисунке 107, — пятиугольная, а на рисунке 108, — восьмиугольная. Треугольную пирамиду называют еще тетраэдром. У тетраэдра все грани являются треугольниками (рис. 109).

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 108 показана высота

Плоскость, проходящая через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащие одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение пирамиды диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 111 показано диагональное сечение шестиугольной пирамиды.

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника, называется правильной пирамидой (рис. 112).

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды.

Отметим, что в правильной пирамиде:

• боковые ребра равны;
• боковые грани равны;
• апофемы, равны;
• двугранные углы при основании равны;
• двугранные углы при боковых ребрах равны;
• каждая точка высоты равноудалена от вершин основания;
• каждая точка высоты равноудалена от ребер основания;
• каждая точка высоты равноудалена от боковых граней.

Отметим, что если в пирамиде равны все:

• боковые ребра, то около ее основания можно описать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 113);
• двугранные углы при основании, то в это основание можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 114).

Боковые грани составляют боковую поверхность пирамиды, а боковые грани вместе с основанием — полную поверхность пирамиды.

Вы знаете, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы.

Теорема 1.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

• а) боковые ребра и высота разделяются на пропорциональные части;
• б) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
• в) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Используя рисунок 115, докажите эту теорему самостоятельно.

Секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды, разделяет ее на две части (рис. 116). Одна из этих частей также является пирамидой, а другая — многогранником, который называется усеченной пирамидой.

Параллельные грани усеченной пирамиды называются ее основаниями (рис. 117). Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники, стороны которых попарно параллельны, поэтому ее боковые грани являются трапециями.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания пирамиды к плоскости другого основания.

Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой усеченной пирамиды. На рисунке 118 показана четырехугольная правильная усеченная пирамида и одна из ее апофем.

Теорема 2.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований и апофемы:

Доказательство:

Пусть есть правильная -угольная усеченная пирамида (рис. 119). Пусть и — соответственно периметры нижнего и верхнего оснований и — апофема пирамиды.

Боковая поверхность данной пирамиды состоит из равных трапеций. Пусть и — основания одной из этих трапеций, тогда ее площадь равна . Учитывая, что боковая поверхность пирамиды состоит из таких трапеций, получим, что

Теперь установим формулу для вычисления объема пирамиды.

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Теорема 3.

Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Доказательство:

Пусть есть две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами (рис. 120). Разделим высоты одной и другой пирамид на долей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основаниям. Этим самым пирамиды разделяются на частей. Для каждой части первой пирамиды построим наибольшие по объему призмы, целиком содержащиеся в пирамиде, а для каждой части другой пирамиды — наименьшие по объему призмы, целиком содержащие эту часть.

Пусть и — объемы первой и второй пирамид, a и — суммарные объемы призм, построенных для этих пирамид. При счете от оснований пирамид призма в -й части первой пирамиды равновелика призме для -й части второй пирамиды, так как у этих призм равновелики основания и равные высоты. Поэтому объем больше объема на объем первой призмы, у которой основанием является основание второй пирамиды, а высота равна , где — высота пирамиды (см. рис. 120), т.е. , или , где — площадь основания пирамиды. Теперь учтем, что , a . Поэтому , или . При увеличении значения переменной значение выражения стремится к нулю, а это означает, что , или

Такие же рассуждения можно провести, если первую и вторую пирамиды поменять ролями. В результате получим неравенство

Из неравенств (1) и (2) следует, что .

Теорема 4.

Объем пирамиды равен третьей доле произведения площади ее основания и высоты:

Доказательство:

Пусть есть треугольная пирамида (рис. 121). Достроим ее до призмы с основанием (рис. 122). Отделим от призмы данную пирамиду, получится четырехугольная пирамида (рис. 122 и 123). Диагональная плоскость разделяет ее на две пирамиды и , у которых одна и та же высота, проведенная из вершины , и равные основания и . Поэтому, в соответствии с теоремой 3, пирамиды и равновелики. Сравним пирамиду с данной пирамидой . У них равные основания и и высоты, проведенные из вершин и , поэтому эти пирамиды также равновелики. Получается, что все три пирамиды , и равновелики. Поскольку объем призмы равен произведению площади основания и высоты призмы , которая равна высоте пирамиды , то объем пирамиды , т. е. третьей части призмы , равен третьей доле этого объема, т. е. .

Пусть теперь есть произвольная пирамида (рис. 124). Через диагонали основания , выходящие из одной вершины , проведем диагональные сечения, они разделят данную пирамиду на треугольные пирамиды . Поскольку все они имеют общую высоту , то

Пример:

Найдем объем усеченной пирамиды, нижнее и верхнее основания которой имеют площади и , а высота равна (рис. 125).

Для этого достроим данную усеченную пирамиду до полной. Пусть высота дополнительной пирамиды равна . Искомый объем можно найти как разность объемов полной и дополнительной пирамид:

Чтобы найти высоту , используем установленное в теореме 1 утверждение о том, что площади сечений пирамиды относятся как квадраты их расстояний от вершины:

Решим это уравнение, учитывая, что и — положительные числа:

Таким образом, объем усеченной пирамиды равен третьей доле произведения высоты пирамиды и суммы площадей и оснований пирамиды и их среднего геометрического .

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия Аналитическая геометрия Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Конус в геометрии
• Сфера в геометрии
• Шар в геометрии
• Правильные многогранники в геометрии
• Возникновение геометрии
• Призма в геометрии
• Цилиндр в геометрии
• Стереометрия – формулы, определение и вычисление

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

[spoiler title=”источники:”]

http://reshka.feniks.help/vysshaya-matematika/analiticheskaja-geometrija/dany-koordinaty-vershin-piramidy

http://www.evkova.org/piramida

[/spoiler]

Продолжаем рассматривать задачи входящие в ЕГЭ по математике. Мы уже исследовали задачи, где в условии дан составной многогранник и требуется найти расстояние между двумя данными точками либо угол.  

Пирамида — это многогранник, основание которого является многоугольником, остальные грани — треугольники, при чём они имеют общую вершину.

Правильная пирамида — это пирамида в основании которой лежит правильный многоугольник, а его вершина проецируется в центр основания.

Правильная четырехугольная пирамида — снованием является квадрат.Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).

ML — апофема
∠MLO — двугранный угол при основании пирамиды
∠MCO — угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды

В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на решение правильной пирамиды. Требуется найти какой-либо элемент, площадь боковой поверхности, объём, высоту. Разумеется, необходимо знать теорему Пифагора, формулу площади боковой поверхности пирамиды, формулу для нахождения объёма пирамиды.

В статье «Общий обзор. Формулы стереометрии!»  представлены формулы, которые необходимы для решения задач по стереометрии. Итак, задачи:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O  — центр основания, S вершина, SO = 51,  AC = 136. Найдите боковое ребро SC.

В данном случае в основании лежит квадрат. Это означает, что диагонали AC и BD равны, они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отметим, что в правильной пирамиде высота опущенная из её вершины проходит через центр основания пирамиды. Таким образом, SO является высотой, а  треугольник SOC прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора:

Как извлекать корень из большого числа описано здесь.

Ответ: 85

Решите самостоятельно:

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD  точка O  — центр основания, S вершина, SO = 4, AC = 6. Найдите боковое ребро SC.

Посмотреть решение 

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O  — центр основания, S вершина, SC = 5, AC = 6. Найдите длину отрезка SO.

Посмотреть решение 

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина,  SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC.

Посмотреть решение

В правильной треугольной пирамиде SABC  R — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что AB = 7, а SR = 16. Найдите площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (апофема это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины):

Или можно сказать так: площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей трёх боковых граней. Боковыми гранями в правильной треугольной пирамиде являются равные по площади треугольники. В данном  случае:

Ответ: 168

Решите самостоятельно:

В правильной треугольной пирамиде SABC  R — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

Посмотреть решение

В правильной треугольной пирамиде SABC R  — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что AB = 1, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка SR.

Посмотреть решение

В правильной треугольной пирамиде SABC  L  — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.

Посмотреть решение

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 25, объем пирамиды равен 100. Найдите длину отрезка MS.

Основание пирамиды — равносторонний треугольник. Поэтому M является центром основания, а MS — высотой правильной пирамиды SABC. Объем пирамиды SABC равен:

Ответ: 12

Решите самостоятельно:

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка MS.

Посмотреть решение

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.

Посмотреть решение

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Объем пирамиды равен 1, MS = 1. Найдите площадь треугольника ABC.

Посмотреть решение

На этом закончим. Как видите, задачи решаются в одно-два действия. В будущем рассмотрим  с вами другие задачи из данной части, где даны тела вращения, не пропустите!

Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.