Как найти длину между двумя точками координат

Как найти длину между двумя точками координат

The length of the line segment connecting two points is defined as the distance between them. The length of the line segment connecting the specified coordinates can be used to compute the distance between two points in coordinate geometry. Let’s look at the formula for calculating the distance between two points in a two-dimensional or three-dimensional plane.

What is the Distance Between Two Points?

The distance of the line segment connecting any two points is the distance between them. There is only one line that connects two points. As a result, the distance between two points may be computed by determining the length of the line segment that connects the two spots. For example, if A and B are two points and A B = 20 cm, it implies the distance between A and B is 20 cm.

The length of the line segment connecting two points is the distance between them (but this CANNOT be the length of the curve joining them). It is important to note that the distance between two places is always positive.

Distance Between Two Points Formula

The distance formula is used to determine the distance between two points using the provided coordinates. We use the 2D distance formula or the Euclidean distance formula to calculate the distance between any two points in the 2-D plane.

Formula for Distance Between Two Points

The formula for the distance, d, between two points whose coordinates are (x1, y1) and (x2, y2) is

d = sqrt{[(x_2 - x_1 )^2 +(y_2 - y_1)^2]}

This is called the Distance Formula.

To find the distance between two points given in 3-D plane, we can apply the 3D distance formula, given as,

d = sqrt{[(x_2 - x_1 )^2 +(y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1 )^2]}

Derivation of Formula for Distance Between Two Points

To obtain the formula for calculating the distance between two points on a two-dimensional plane, assume there are two points with the coordinates, A (x1,y1) and B (x2,y2). Following that, we will suppose that the line segment connecting A and B is AB = d. We will now plot the specified points on the coordinate plane and connect them with a line.

Next, we will construct a right-angled triangle using AB as the hypotenuse. 

Using Pythagoras Theorem,

AB2 = AC2 + BC2

d2 = (x2​−x1​)2 + (y2​−y1​)2

Here, the vertical distance between the given points is | y2 – y1| 

The horizontal distance between the given points is | x2 – x1 |

d = sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2] }  (Taking square root on both sides)

Thus, the distance formula to find the distance between two points is proved.

Using similar steps and concept, we can also derive the formula to find the distance between two points given in the 3D plane.

Steps to find the distance between two points

The following steps may be used to determine the distance between two places using the provided coordinates:

  • Make a note of the coordinates of the two given points on the coordinate plane as follows: A(x1,y1) and B(x2,y2).
  • We may use the distance formula to calculate the distance between two places, d = sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2]}.
  • Express the given answer in units.

Note: We can apply the 3D distance formula in case the two points are given in 3D plane,

Sample Problems

Problem 1: Find the distance between the two points with the coordinates given as, A(1,5) and B (2,7).

Solution:

Let (x1, y1) be (2,7) and (x2, y2) be (1,5).

The distance d between the points : d = sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2]}

implies sqrt{[(2-1)^2 + (7-5)^2]}

implies sqrt{[1^2 + 2^2]}

implies sqrt{(1+4)} = sqrt{5} units

The distance between the two points is √5 units.

Problem 2: Find the distance between the two points with the coordinates given as, P (2,-6,2) and Q(7, 3, 1).

Solution:

Let (x1, y1, z1) be P (2,-6,2) and (x2, y2, z2) be Q (7,3,1).

The distance d between the points P and Q : d = sqrt{[(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2+(z_2-z_1)^2]}

implies sqrt{(7-2)^2+(3-(-6))^2+(1-2)^2)}

implies sqrt{ 5^2+9^2+(-1)^2}

implies sqrt{25+81+1}

implies sqrt{107} units

Problem 3: Prove that the vertices of a right-angled triangle are the points (3, 4), (7, 4), and (3, 8).

Solution:

Let us say the given points be:

P = (3, 4)

Q = (7, 4)

R = (3, 8)

Now, we will find each vertices of the right-angle triangle by distance formula.

AB=sqrt{(7-3)^2+(4-4)^2}=sqrt{4^2}=4units  

BC=sqrt{(3-7)^2+(8-4)^2}=sqrt{(-4)^2+4^2}=4sqrt{2}units

AC=sqrt{(3-3)^2+(8-4)^2}=sqrt{4^2}=4units

As we know the length of the sided of the right-angled triangle, by Pythagoras Theorem;

AB2 + AC2 = BC2

42+42=(4√2​)2

16+16 = 32⟹32 = 32

This proves that ABC is a right-angle triangle.

Distance Between Two Points in Complex Plane

The distance between two points in a complex plane or two complex numbers z1​=a+ib and z2​=c+id in the complex ⟹1−2k=9+4k plane is the distance between points (a, b) and (c, d), given as,

| z_2 - z_1 |= sqrt{[(a − c)^2 + (b − d)^2]}

Problem 4: Find the distance between the two complex numbers z1 ​= 2−5i and z2 ​= 7+7i

Solution:

Here, we have two complex numbers  z1 = 2-5i and z2 = 7+7i.

The distance between these complex numbers is equidistance to the two points in the plane, with coordinates, (2,-5) and (7,7).

Thus, distance between the two points is

 implies sqrt{(7-2)^2+(7-(-5))^2}

implies sqrt{5^2+12^2}implies sqrt{25+144}

implies sqrt{169}implies13 units

Hence, the distance between two complex numbers z_1=2-5i and z_2=7+7i is 13 units.

Problem 5: A complex number ω is 6 units apart from z1 = -3 – i and 6 units apart from z2 = 3 + 5i. Check whether the triangle formed by ω, z1, z2 is right – angled or not.

Solution:

There are 3 complex numbers ω, z1, z2.

As we know the distance between ω and z1 is 6 units and distance between ω and z2 is 6 units.

Given,  ω, z1 = 6 units

ω, z2 = 6 units

Now, we will find the distance between z1 and z2 by using distance formula.

z_1z_2=sqrt{(3-(-3)+(5-(-1))}

implies sqrt{6^2+6^2}  implies sqrt{36+36}implies sqrt{72}

implies 6sqrt{2} units.

By Pythagoras Theorem, we have;

(z1​z2​)2=(ωz1​​)2+(ωz2)​2

implies (6sqrt{2})^2=6^2+6^2

implies 72=36+36implies 72=72

Hence, we conclude that the given triangle is right-angle triangle.

Problem 6: Find a point on the x-axis that is equidistant from the points (1, -2) and (-2, -3).

Solution:

We know that any point on the x-axis has an y-coordinate of 0. As a result, we consider the point equidistant from the provided points to be (k,0). i.e., Distance between ( k,0) and (1, -2) = Distance between (k, 0) and (-2, -3).

 implies sqrt{[(1-k)^2 + (-2-0)^2]} = sqrt{[(-2-k)^2 + (-3-0)^2]}

implies 12 + k^2 -2k + 4 = 4+ k^2 +4k + 9

implies 1-2k= 9+ 4k

implies   -4k-2k= 9-1

implies -6k=8

  implies k=frac{-4}{3}

Therefore, the required point is (k, 0) =  (frac{-4}{3}, 0).

Источник


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Представьте расстояние между двумя точками в виде отрезка прямой линии, соединяющего эти точки. Длину этого отрезка можно найти по формуле: √(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}.

Шаги

  1. Изображение с названием Find the Distance Between Two Points Step 2

    1

    Определите координаты двух точек, расстояние между которыми вы хотите вычислить. Обозначим их Точка 1 (x1,y1) и Точка 2 (x2,y2). Неважно, как именно вы обозначите точки, главное, не перепутать их координаты при расчетах.[1]

    • x1 − это горизонтальная координата (вдоль оси x) Точки 1, а x2 − горизонтальная координата Точки 2. Соответственно, y1 − вертикальная координата (вдоль оси y) Точки 1, и y2 − вертикальная координата Точки 2.
    • Возьмем, например, точки (3,2) и (7,8). Если мы примем, что (3,2) − это (x1,y1), тогда (7,8) − это (x2,y2).

  2. Изображение с названием Find the Distance Between Two Points Step 1

    2

    Ознакомьтесь с формулой для вычисления расстояния. Эта формула позволяет найти длину прямого отрезка, соединяющего две точки, Точку 1 и Точку 2. Длина этого отрезка равна квадратному корню от суммы квадратов расстояний между точками по горизонтали и вертикали. Проще говоря, это квадратный корень из (x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}.[2]

  3. Изображение с названием Find the Distance Between Two Points Step 3

    3

    Найдите, чему равны расстояния между точками по горизонтали и вертикали. Расстояние по вертикали найдем в виде разности y2 – y1. Соответственно, расстояние по горизонтали составит x2 – x1. Не волнуйтесь, если в результате вычитания вы получите отрицательное значение. Следующим шагом будет возведение найденных расстояний в квадрат, что в любом случае даст положительное целое число.[3]

    • Найдите расстояние вдоль оси y. Для нашего примера с точками (3,2) и (7,8), где координаты (3,2) соответствуют Точке 1, а координаты (7,8) − Точке 2, находим: (y2 – y1) = 8 – 2 = 6. Это значит, что расстояние между нашими точками по оси y равно шести единицам длины.
    • Найдите расстояние вдоль оси x. Для нашего примера с точками (3,2) и (7,8) получаем: (x2 – x1) = 7 – 3 = 4. Это значит, что по оси x наши точки разделяет расстояние, равное четырем единицам длины.

  4. Изображение с названием Find the Distance Between Two Points Step 4

    4

    Возведите оба значения в квадрат. Необходимо по отдельности возвести в квадрат расстояние вдоль оси x, равное (x2 – x1), и расстояние вдоль оси y, составляющее (y2 – y1):

    • 6^{2}=36
    • 4^{2}=16

  5. Изображение с названием Find the Distance Between Two Points Step 5

    5

    Сложите полученные значения. В результате вы найдете квадрат диагонали, то есть расстояния между двумя точками. В нашем примере для точек с координатами (3,2) и (7,8) находим: (7 – 3) в квадрате равно 36, и (8 – 2) в квадрате равно 16. Складывая, получаем 36 + 16 = 52.

  6. Изображение с названием Find the Distance Between Two Points Step 6

    6

    Извлеките квадратный корень из найденной величины. Это последний шаг. Расстояние между двумя точками равно квадратному корню от суммы квадратов расстояний вдоль оси x и вдоль оси y.[4]

    • Для нашего примера находим: расстояние между точками (3,2) и (7,8) равно корню квадратному из 52, то есть примерно 7,21 единицы длины.

    Реклама

Советы

  • Не страшно, если в результате вычитания y2 – y1 или x2 – x1 у вас получилось отрицательное значение. Поскольку затем разность возводится в квадрат, расстояние все равно будет равно положительному числу.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 89 246 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Определение 1

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Расстояние между точками на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.

Расстояние между точками на координатной прямой

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4111.

Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна  11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то OA=xA (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то OA=-xA . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа xA.

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

  • 0, если точка совпадает с началом координат;
  • xA , если xA>0;
  • -xA , если xA<0 .

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой xA: OA=xA

Расстояние между точками на координатной прямой

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B, лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты xA и xB : AB=xB-xA.

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние между точками на плоскости

Исходные данные: точки A и B, лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с заданными координатами: A(xA, yA) и B(xB, yB) .

Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат Ox и Oy и получим в результате точки проекции: Ax, Ay, Bx, By. Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

– если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

– если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ox (оси абсцисс), то точки и совпадают, а |АВ| = |АyBy|. Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то AyBy=yB-yA , а, следовательно AB=AyBy=yB-yA.

Расстояние между точками на плоскости

– если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси Oy (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: AB=AxBx=xB-xA

Расстояние между точками на плоскости

– если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Расстояние между точками на плоскости

Мы видим, что треугольник АВС  является прямоугольным по построению. При этом AC=AxBx и BC=AyBy. Используя теорему Пифагора, составим равенство: AB2=AC2+BC2⇔AB2=AxBx2+AyBy2 , а затем преобразуем его: AB=AxBx2+AyBy2=xB-xA2+yB-yA2=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+02=0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+(yB-yA)2=yB-yA

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(xB-xA)2+02=xB-xA

Расстояние между точками в пространстве

Исходные данные: прямоугольная система координат Oxyz с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay,  Az, Bx, By, Bz

Расстояние между точками в пространстве

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: AxBx, AyBy и AzBz

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

AxBx=xB-xA, AyBy=yB-yA, AzBz=zB-zA

Преобразуем выражение:

AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2==(xB-xA)2+(yB-yA)2+zB-zA2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

– точки совпадают;

– лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Пример 1

Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A(1-2) и B(11+2) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B.

Решение

  1. Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно OA=1-2=2-1
  2. Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: AB=11+2-(1-2)=10+22

Ответ: OA=2-1, AB=10+22

Пример 2

Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней   A(1, -1) и B (λ+1, 3) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние АВ будет равно 5.

Решение

Чтобы найти расстояние между точками A и B, необходимо использовать формулу AB=(xB-xA)2+yB-yA2

Подставив реальные значения координат, получим:AB=(λ+1-1)2+(3-(-1))2=λ2+16

А также используем имеющееся условие, что АВ=5 и тогда будет верным равенство:

λ2+16=5λ2+16=25λ=±3

Ответ:  АВ = 5, если λ=±3 .

Пример 3

Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат Oxyz и лежащие в нем точки  A (1, 2, 3) и B-7, -2, 4 .

Решение

 Для решения задачи используем формулу AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2

Подставив реальные значения, получим: AB=(-7-1)2+(-2-2)2+(4-3)2=81=9 

Ответ: |АВ| = 9

Источник

На этой странице находится все необходимое, чтобы найти расстояние между двумя точками. Просто введите координаты точек и получите ответ и подробное решение с помощью наших онлайн-калькуляторов. Кроме того на сайте можно найти координаты середины отрезка.

Расстояние между двумя точками – это длина отрезка, соединяющего эти точки.

Формула расстояния между двумя точками на плоскости:

d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}}

xa и ya – координаты первой точки A,

xb и yb – координаты второй точки B

Нахождение расстояния между двумя точками на плоскости сводится к решению треугольника, а точнее – нахождению его гипотенузы. Для этого используется теорема Пифагора. Посмотрите на рисунок.

Вывод формулы расстояния между двумя точками

Соединив отрезком точки A и B, а также опустив перпендикуляры на оси мы получим треугольник ABC. В этом треугольнике стороны AC и BC являются катетами прямоугольного треугольника, а AB – его гипотенузой. Длины катетов AC и BC найти довольно просто:

AC = xb – xa

BC = yb – ya

Осталось применить теорему Пифагора и получить сторону AB, которая является гипотенузой прямоугольного треугольника и расстоянием между точками A и B:

AB=sqrt{{AC}^2 + {BC^2}}

Подставив вместо отрезков AC и BC их длины, получим итоговую формулу расстояния между двумя точками:

AB=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}} или d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}}

Формула расстояния между двумя точками в пространстве:

{d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2} + {(z_b – z_a)^2}}}

xa, ya и za – координаты первой точки A,

xb, yb и zb – координаты второй точки B

Примеры задач на вычисление середины отрезка

Задача 1

Найдите расстояние между точками А и В, если А(2; 7), В(-2; 7).

Решение

Подставим координаты точек в формулу расстояния между двумя точками на плоскости и вычислим результат:

d=sqrt{{(x_b – x_a)}^2 + {(y_b – y_a)^2}} = sqrt{{(-2 – 2)}^2 + {(7 – 7)^2}} = sqrt{{-4}^2 + {0^2}} = sqrt{16 + 0} = sqrt{16} = 4

Мы получили расстояние между точками и оно равно 4.

Ответ: 4.

Проверим результат с помощью калькулятора .

Источник

Расстояние между двумя точками, формула

Расстояние между двумя точками
Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками A1(x1;y1) и

A2(x2;y2)

в прямоугольной системе координат выражается формулой:

[ d = sqrt{(x_2-x_1)^{2} + (y_2-y_1)^{2}} ]

Порядок точек не играет роли. Расстояние считается положительным. поэтому корень берется с одним знаком (плюс).

Вычислить, найти расстояние между двумя точками по формуле (1)

x1  y1 
x2  y2 

Вычислить

нажмите кнопку для расчета

Расстояние между двумя точками

 стр. 138
Источник

Добавить комментарий