Как найти длину множества - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Мера множества

Понятие меры множества является далеко идущим обобщением понятия длины отрезка. В простейшем случае (которым только мы и будем заниматься) задача состоит в том, чтобы дать определение длины не только для отрезков, но также и для более сложных точечных множеств, расположенных на прямой.

Примем за единицу измерения отрезок [0,1] . Тогда длина произвольного отрезка [a,b] , очевидно, равна b-a . Точно так же если имеется два непересекающихся отрезка [a_1,b_1] и [a_2,b_2] , то под длиной множества , состоящего из этих двух отрезков, естественно понимать число (b_1-a_1)+(b_2-a_2) . Однако далеко не так ясно, что следует понимать под длиной множества более сложной природы, расположенного на прямой; например, чему равна длина канторова множества. Отсюда вывод: понятие длины множества, расположенного на прямой, нуждается в строгом математическом определении.

Задача определения длины множеств, или, как говорят еще, задача измерения множеств, весьма важна, так как она имеет существенное значение для обобщения понятия интеграла. Понятие меры множества применяется и в других вопросах теории функций, а также в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе и т.д.

Ниже излагается определение меры множеств, предложенное французским математиком А. Лебегом и лежащее в основе данного им определения интеграла.

Мера открытого и замкнутого множества

Начнем с определения меры произвольного открытого или замкнутого множества. Как уже отмечалось, всякое открытое множество на прямой является конечной или счетной суммой попарно не пересекающихся интервалов.

Мерой открытого множества называется сумма длин составляющих его интервалов.

Таким образом, если $textstyle{G=sum(a_i,b_i)}$ и интервалы попарно не пересекаются, то мера равна $textstyle{sum(b_i-a_i)}$ . Обозначая вообще меру множества через mu E , можем написать $textstyle{mu G=sum(b_i-a_i)}$ . В частности, мера одного интервала равна его длине mu(a,b)=b-a .

Всякое замкнутое множество , содержащееся в отрезке [a,b] и такое, что концы отрезка [a,b] принадлежат , получается из отрезка [a,b] путем удаления из него некоторого открытого множества . В соответствии с этим мерой замкнутого множества Fsubseteq[a,b] , где ain F,~bin F , называется разность между длиной отрезка [a,b] и мерой открытого множества , дополнительного к (относительно отрезка [a,b] ).

Итак,

mu F=(b-a)-mu G.~~~~~~~~~(2)

Нетрудно усмотреть, что, согласно этому определению, мера произвольного отрезка равна его длине mu[a,b]=b-a , а мера множества, состоящего из конечного числа точек, равна нулю.

Определение меры множества

Для того чтобы дать определение меры множеств более общей природы, чем открытые и замкнутые, нам понадобится одно вспомогательное понятие. Пусть — некоторое множество, лежащее на отрезке [a,b] . Рассмотрим всевозможные покрытия множества , т. е. всевозможные открытые множества V(E) , содержащие . Мера каждого из множеств V(E) уже определена. Совокупность мер всех множеств V(E) есть некоторое множество положительных чисел. Это множество чисел ограничено снизу (хотя бы числом 0) и потому имеет нижнюю грань, которую мы обозначим через mu_e E . Число mu_e E называется внешней мерой множества .

Пусть mu_e E — внешняя мера множества , а mu_e CE — внешняя мера его дополнения относительно отрезка [a,b] .

Если удовлетворяется соотношение

mu_eE+mu_eCE=b-a,~~~~~~~~~(3)

то множество называется измеримым, а число mu_eE — его мерой: mu E=mu_eE ; если соотношение (3) не удовлетворяется, то говорят, что множество неизмеримо; неизмеримое множество не имеет меры.

Отметим, что всегда

mu_eE+mu_eCEgeqslant b-a.~~~~~~~~(4)

Сделаем несколько пояснений. Длина простейших множеств (например, интервалов и отрезков) обладает рядом замечательных свойств. Укажем важнейшие из них.

1. Если множества E_1 и измеримы и E_1subseteq E , то mu E_1leqslant mu E , т.е. мера части множества не превосходит меры всего множества .

2. Если множества E_1 и E_2 измеримы, то множество E=E_1+E_2 измеримо и mu(E_1+E_2)leqslantmu E_1+mu E_2 , т.е. мера суммы не превосходит суммы мер слагаемых.

3. Если множества $E_i,~iinmathbb{N}$ измеримы и попарно не пересекаются, E_iE_j=varnothing~(ine j) , то их сумма $textstyle{E=sum E_i}$ измерима и $textstyle{mu!left(sum E_iright)=summu E_i}$ , т.е. мера конечной или счетной суммы попарно непересекающихся множеств равна сумме мер слагаемых. Это свойство меры называется ее полной аддитивностью.

4. Мера множества не меняется, если его сдвинуть как твердое тело.

Желательно, чтобы основные свойства длины сохранялись и для более общего понятия меры множеств. Но, как можно совершенно строго показать, это оказывается невозможным, если приписывать меру произвольному множеству точек на прямой. Поэтому-то в данном выше определении и появляются множества, имеющие меру или измеримые, и множества, не имеющие меры или неизмеримые. Впрочем, класс измеримых множеств настолько широк, что это обстоятельство не вносит каких-либо существенных неудобств. Даже построение примера неизмеримого множества представляет известные трудности.

Приведем несколько примеров измеримых множеств.

Мера канторова совершенного множества

При построении канторового множества из отрезка [0,1] выбрасывается сперва один смежный интервал длины 1/3 , затем два смежных интервала длины 1/9 , затем четыре смежных интервала длины 1/27 и т. д. Вообще, на -м. шаге выбрасывается $2^{n-1}$ смежных интервалов длины $3^{-n}$ . Таким образом, сумма длин всех выброшенных интервалов равна

$S=frac{1}{3}+frac{2}{9}+frac{4}{27}+cdots+frac{2^{n-1}}{3^n}+cdots=sum_{n=1}^{infty}frac{2^{n-1}}{3^n}.$

Члены этого ряда представляют собою геометрическую прогрессию с первым членом 1/3 и знаменателем 2/3 . Поэтому сумма ряда равна $frac{1/3}{1-2/3}=1$ .

Итак, сумма длин всех смежных к канторовому множеству интервалов равна 1. Иначе говоря, мера дополнительного к канторовому множеству открытого множества равна 1. Поэтому само множество имеет меру mu P=1-mu G=1-1=0 .

Как показывает этот пример, множество может иметь мощность континуума и тем не менее иметь меру, равную нулю.

Мера множества R всех рациональных точек отрезка [0, 1]

Покажем прежде всего, что mu_e R=0 . Как известно, множество счетно. Расположим точки множества в последовательность

r_1,r_2,ldots,r_n,ldots

Далее, зададим varepsilon>0 и окружим точку r_n интервалом delta_n длины $frac{varepsilon}{2^n}$ . Сумма $textstyle{delta= sumdelta_n}$ есть открытое множество, покрывающее . Интервалы delta_n могут пересекаться, поэтому

$mu(delta)=mu!left(sum_{n=1}^{infty}delta_nright)leqslantsum_{n=1}^{infty}mudelta_n=sum_{n=1}^{infty}frac{varepsilon}{2^n}=varepsilon.$

Так как varepsilon можно выбрать сколь угодно малым, то mu_eR=0 .

Далее, согласно (3) имеем mu_eR+mu_eCRgeqslant1 , т. е. . Так как содержится в отрезке [0,1] , то mu_eCRleqslant1 .

Итак, mu_eR+mu_eCR=1 , откуда

mu R=0,quadmu CR=1.~~~~~~~~~(5)

Этот пример показывает, что множество может быть всюду плотным на некотором отрезке и тем не менее иметь меру, равную нулю.

Множества меры нуль во многих вопросах теории функций не играют никакой роли, и ими следует пренебрегать. Например, функция f(x) интегрируема по Риману в том и только в том случае, если она ограничена и множество её точек разрыва имеет меру нуль. Можно было бы привести значительное число таких примеров.

Измеримые функции

Переходим к одному из наиболее блестящих приложений понятия меры множеств, а именно к описанию того класса функций, с которыми фактически оперирует математический анализ и теория функций. Точная постановка задачи такова. Если последовательность функций ${f_n(x)}$ , заданных на некотором множестве , сходится в каждой точке , кроме, быть может, точек множества mathbb{N} меры нуль, то будем говорить, что последовательность ${f_n(x)}$ сходится почти всюду.

Какие функции можно получить из непрерывных функций путем повторного применения операции построения предела почти всюду сходящейся последовательности функций и алгебраических операций?

Для ответа на этот вопрос нам потребуется несколько новых понятий.

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве и alpha — произвольное действительное число. Обозначим через E[f(x)>alpha] множество тех точек , для которых . Например, если функция f(x) определена на отрезке [0,1] и на этом отрезке f(x)=x , то множества равны [0,1] для alpha<0 , равны (alpha,1] для 0leqslantalpha<1 и пусты для alpha>1 .

Функция f(x) , определенная на некотором множестве , называется измеримой, если само множество измеримо и для любого действительного числа alpha измеримо множество E[f(x)>alpha] .

Можно показать, что произвольная непрерывная функция, заданная на отрезке, измерима. Однако к числу измеримых функций принадлежат также и многие разрывные функции, например функция Дирихле, равная 1 для иррациональных точек отрезка [0,1] и равная 0 для остальных точек этого отрезка.

Отметим без доказательства, что измеримые функции обладают следующими свойствами.

1. Если f(x) и varphi(x) — измеримые функции, определенные на одном и том же множестве , то функции

f+varphi,quad f-varphi,quad fcdotvarphi и $frac{f}{varphi}$

также измеримы (последняя, если varphine0 ).

Это свойство показывает, что алгебраические операции над измеримыми функциями снова приводят к измеримым функциям.

2. Если последовательность измеримых функций ${f_n(x)}$ , определенных на множестве , сходится почти всюду к функции f(x) , то эта функция также измерима.

Таким образом, операция построения предела почти всюду сходящейся последовательности измеримых функций вновь приводит к измеримым функциям.

Эти свойства измеримых функций были установлены Лебегом. Глубокое исследование измеримых функций было произведено советскими математиками Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным. В частности, Н. Н. Лузин показал, что всякую измеримую функцию, заданную на отрезке, можно превратить в непрерывную, изменив ее значения на некотором множестве сколь угодно малой меры.

Этот классический результат Н. Н. Лузина и перечисленные выше свойства измеримых функций позволяют показать, что измеримые функции и представляют собой тот класс функций, о котором шла речь в начале этого пункта. Измеримые функции имеют также большое значение для теории интегрирования, именно, понятие интеграла может быть обобщено таким образом, чтобы всякая ограниченная измеримая функция оказалась интегрируемой. Подробнее об этом рассказывается в разделе интеграл Лебега.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Макеты страниц

Примем за единицу измерения отрезок Тогда длина произвольного отрезка очевидно, равна Точно так же если имеется два непересекающихся отрезка то под длиной множества Е, состоящего из этих двух отрезков, естественно понимать число Однако далеко не так ясно, что следует понимать под длиной множества более сложной природы, расположенного на прямой; например, чему равна длина канторова множества Р, рассмотренного в § 4 этой главы? Отсюда вывод: понятие длины множества, расположенного на прямой, нуждается в строгом математическом определении.

Мера открытого и замкнутого множества.

Начнем с определения меры произвольного открытого или замкнутого множества. Как уже отмечалось в § 4, всякое открытое множество на прямой является конечной или счетной суммой попарно не пересекающихся интервалов.

Мерой открытого множества называется сумма длин составляющих его интервалов.

Таким образом, если

и интервалы попарно не пересекаются, то мера равна Обозначая вообще меру множества Е через можем написать

В частности, мера одного интервала равна его длине

Всякое замкнутое множество содержащееся в отрезке а такое, что концы отрезка принадлежат получается из отрезка путем удаления из него некоторого открытого множества . В соответствии с этим мерой замкнутого множества называется разность между длиной отрезка и мерой открытого множества дополнительного к F (относительно ).

Итак,

Нетрудно усмотреть, что, согласно этому определению, мера произвольного отрезка равна его длине

а мера множества, состоящего из конечного числа точек, равна пулю.

Источник

На этом уроке мы познакомимся с ещё одним типом данных в Python, множеством (по-английски – set). Множество – это неупорядоченный набор уникальных элементов. Этими двумя характеристиками множество и отличается от списков. Для освежения в памяти, можете заглянуть на урок Работа со списками в Python.

Создание множества в Python

Множества выводятся в фигурных скобках, через запятую.

a = {1, 3, 5, 7} print(a) {1, 3, 5, 7}

А если мы так запишем – продублируем все элементы. Поскольку множество не должно содержать повторяющиеся элементы, то все дубли были автоматически удалены.

# целые числа b = {1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7 } print(b) {1, 3, 5, 7}


# строки

c = {'ok', 'no', 'yes', 'ok', 'no', 'yes'}

print(c)

{'ok', 'no', 'yes'}

Преобразование строки в множество

Функция set разбивает строку на символы, а из символов формирует множество. Мы видим, что символы на выходе расположились в случайном порядке и убрались дубли (буква о). Обратите внимание, что строка заключена в круглые скобки. Вспоминаем, что после функции всегда идут круглые скобки.

d = set('множество') print(d) {'о', 'ж', 'т', 'н', 'с', 'м', 'е', 'в'}

Преобразование списка в множество

f = set([11, 12, 13, 14, 12, 13]) print(f) {11, 12, 13, 14}





  


                       
  




e = set(['list', 'set', 'and', 'set'])

print(e)

{'and', 'list', 'set'}

Создание пустого множества

q = set() print(q) set()

Добавление элемента в множество

Метод add добавит элемент в множество. При попытке добавить дублирующий элемент, ничего не изменится.

w = {3, 4, 9} w.add(11) print(w) {11, 9, 3, 4}

Если нужно добавить в множество одновременно несколько элементов, то используют метод update.

t = {5, 6, 10} t.update([12, 15, 17]) print(t) {5, 6, 10, 12, 15, 17}

Удаление элемента из множества

Метод discard удаляет указанный элемент в скобках.

y = {20, 21, 22} y.discard(21) print(y) {20, 22}

Метод remove делает тоже самое.

p = {27, 28, 29} p.remove(27) print(p) {28, 29}

Но разница между двумя методами все же есть. При попытке удаления несуществующего элемента методом discard никакой ошибки не будет. А при удалении с помощью метода remove, возникнет ошибка.

u = {23, 24, 25} u.discard(26) print(u) {24, 25, 23}


s = {27, 28, 29}

s.remove(30)

print(s)

KeyError: 30

Метод pop удаляет случайный элемент, аргументы внутри скобок не передаются.

g = {27, 28, 29} g.pop() print(g) {28, 29}

Метод clear очищает все элементы множества.

h = {31, 32, 33} h.clear() print(h) set()

Найти длину множества в Python

Функция len подсчитает количество элементов в множестве.

k = {34, 35, 36, 37} print(len(k)) 4

Пересечение множеств в Python

Оператор амперсанд (&) ищет одинаковые элементы в нескольких множествах и формирует новое множество, состоящее из пересекаемых элементов. Если пересекаемых элементов нет, то выводится пустое множество.

l = {38, 39, 40, 41} z = {42, 39, 40, 43} print(l & z) {40, 39}


x = {44, 45, 46, 47}

c = {48, 49, 50, 51}

print(x & c)

set()

Объединение множеств в Python

Оператор вертикальная черта (|) объединяет элементы нескольких множеств в одно, удаляя дубли.

v = {52, 53, 54, 55} b = {55, 56, 57, 58} print(v | b) {52, 53, 54, 55, 56, 57, 58}

Метод union является аналогичным способом объединения множеств.

n = {59, 60, 61} m = {62, 63, 64} print(n.union(m)) {64, 59, 60, 61, 62, 63}

Сравнение множеств в Python

Результат сравнения вернет True, если элементы одного множества,
идентичны элементам другого множества.

one = {71, 72, 73} two = {71, 72, 73} print(one == two) True


q = {65, 66, 67}

z = {68, 69, 70}

print(q == z)

False

В множестве нельзя к элементам обратиться по индексу, ведь коллекция неупорядоченная.

Создано 13.11.2019 10:42:12
Михаил Русаков

Копирование материалов разрешается только с указанием автора (Михаил Русаков) и индексируемой прямой ссылкой на сайт (http://myrusakov.ru)!

Добавляйтесь ко мне в друзья ВКонтакте: http://vk.com/myrusakov.
Если Вы хотите дать оценку мне и моей работе, то напишите её в моей группе: http://vk.com/rusakovmy.

Если Вы не хотите пропустить новые материалы на сайте,
то Вы можете подписаться на обновления: Подписаться на обновления

Если у Вас остались какие-либо вопросы, либо у Вас есть желание высказаться по поводу этой статьи, то Вы можете оставить свой комментарий внизу страницы.

Если Вам понравился сайт, то разместите ссылку на него (у себя на сайте, на форуме, в контакте):

Источник

Операция len(sets) вернет количество элементов в множестве sets (кардинальное число множества sets).

Эта операция поддерживается как неизменяемыми frozenset, так изменяемыми множествами set.

>>> x = {'july', 'aug', 'june', 'jan', 
         'may', 'march', 'dec', 'feb', 
         'oct', 'sep', 'nov', 'apr'}
>>> len(x)
# 12

>>> x = frozenset({0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9})
>>> len(x)
# 8

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Мера.

Мера множества — неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера – это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому множеству (из некоторого семейства множеств) некоторое неотрицательное число. Кроме неотрицательности мера, как функция, должна также обладать свойством аддитивности – мера объединения непересекающихся множеств должна равняться сумме их мер. Необходимо отметить, что не всякое множество измеримо – для каждой функции меры обычно подразумевается некоторое семейство множеств (называемых измеримыми по данной мере), для которых мера существует.

Частным случаем меры является мера Лебега для подмножеств R^n , обобщающая понятие объёма (или площади или длины, если n=2 или соответственно) на случай множеств, более общих, чем просто ограниченных гладкой поверхностью.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Счётно-аддитивная мера
- 1.2 Замечания
- 1.3 Измеримые и неизмеримые множества
2 Связанные определения
3 Свойства
- 3.1 Свойства счетно-аддитивных мер
4 Примеры
5 Продолжение мер
- 5.1 Продолжение с полукольца
- 5.2 Пример
6 Вариации и обобщения
7 Литература

Определения

Пусть задано множество с некоторым выделенным классом подмножеств . Обычно предполагается, что данный класс подмножеств является как минимум полукольцом (иногда кольцом или алгеброй).

Функция называется мерой (иногда объёмом), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

— мера пустого множества равна нулю;
Для любых непересекающихся множеств

— мера объединения непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств (аддитивность, конечная аддитивность).

Первая аксиома является удобной, но в некотором смысле “избыточной”. Достаточно предположить что существует хотя бы одно множество с конечной мерой, из чего будет следовать, что мера пустого множества будет равна нулю (в противном случае добавление к любому множеству конечной меры пустого множества изменило бы меру, несмотря на то, что множество не изменилось).

Непосредственно из второй аксиомы следует, что мера объединения любого конечного числа непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств:

$muleft(bigcuplimits_{i=1}^n A_iright)=sumlimits_{i=1}^n mu(A_i)$

Счётно-аддитивная мера

Из (конечной) аддитивности меры в общем случае не следует, что аналогичное свойство выполнено и для счетного объединения непересекающихся множеств. Выделяют специальный важный класс мер, называемых счетно-аддитивными мерами.

Пусть задано множество с выделенной sigma -алгеброй .

Функция называется счётно-аддитивной (или -аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

(-аддитивность) Если ${E_n}_{n=1}^inftysubsetmathcal{F}$ — счётное семейство попарно непересекающихся множеств из , то есть , то

$muleft(bigcuplimits_{n=1}^infty E_nright)=sumlimits_{n=1}^inftymu(E_n)$

Замечания

Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно-аддитивная мера.
Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.
Если мера всего пространства конечна, то есть , то такая мера сама по себе называется конечной. В противном случае мера бесконечна.

Измеримые и неизмеримые множества

Обычно измеримые относительно заданной меры множества составляют собственный подкласс в классе всех подмножеств пространства . И хотя существует несколько общих схем, позволяющих продолжать меры на большие классы измеримых множеств, иногда продолжение меры возможно лишь ценой утраты уникальных свойств исходной меры. Например, мера Лебега в конечномерных евклидовых пространствах является инвариантной относительно движений этого пространства. Всякое продолжение меры Лебега на класс всех подмножеств евклидова пространства уже не может быть инвариантным даже относительно одних только сдвигов (смотри Пример неизмеримого множества). Так что с практической точки зрения такие продолжения теряют всякую ценность.

На прямой и двумерной плоскости существует бесконечное число расширений лебеговой меры с Борелевской -алгебры, на множество всех ограниченных подмножеств, сохраняющее конечную аддитивность меры и такую, что конгруэнтные множества имеют равную меру. Начиная с размерности 3, это сделать невозможно.

Связанные определения

Свойства

Из определения следует, что мера обладает как минимум следующими свойствами (предполагается, что мера задана как минимум на полукольце множеств):

Мера пустого множества равна нулю
- Это свойство, либо предполагается в определении меры в качестве аксиомы, либо предполагается, что существует хотя бы одно множество, мера которого конечна. Непосредственно из этого и следует, что мера пустого множества должна быть равна нулю (иначе добавление пустого множества к множеству конечной меры увеличит меру этого множества, хотя множество при этом не изменится). Случай бесконечности меры всех множеств не представляет никакого интереса и практического смысла. Поэтому наличие множеств конечной меры подразумевается изначально.
- Из равенства меры множества нулю в общем случае не следует, что это множество пусто. Принято говорить о множествах меры ноль.

Монотонность — мера подмножества не больше меры самого множества

Это интуитивно понятное свойство – чем “меньше” множество, тем меньше его “размер”.

Мера разности вложенных множеств равна разности мер этих множеств

Мера суммы (объединения) двух произвольных множеств равна сумме мер этих множеств минус мера их пересечения:

Свойства счетно-аддитивных мер

Счетно-аддитивные меры, в дополнение к указанным, обладают также следующими свойствами.

Счётная монотонность означает, что мера подмножества счетного объединения множеств не больше суммы мер этих множеств:

$Asubseteq bigcup^infty_{i=1}A_i Rightarrow mu(A) leqslant sum^infty_{i=1} mu(A_i)$

Примеры

Мера Жордана — пример конечно-аддитивной меры.
Мера Лебега — пример счетно-аддитивной меры.
Вероятность — пример конечной меры.
Мера Хаусдорфа
Мера Стилтьеса
Мера Бореля
Мера Хаара
Ультрафильтр может быть определён как конечно-аддитивная мера со значениями в множестве из двух элементов

Продолжение мер

Определять меру в явном виде на каждом множестве из соответствующей сигма-алгебры (кольца или алгебры) множеств зачастую сложно и не нужно, поскольку меру достаточно определить на каком-нибудь классе измеримых множеств, а затем с помощью стандартных процедур (и при известных условиях) продолжить на кольцо, алгебру или сигма-алгебру множеств, порождённые этим классом.

Продолжение с полукольца

Класс измеримых множеств по своей структуре должен быть кольцом множеств (если мера аддитивна) или сигма-алгеброй множеств (если мера счётно-аддитивна), однако для задания меры, в обоих случаях её достаточно определить на полукольце множеств — тогда мера единственным образом может быть продолжена на минимальное кольцо (минимальную сигма-алгебру) множеств, содержащее исходное полукольцо.

Пусть начальный класс измеримых множеств $mathcal{F}_0$ имеет структуру полукольца: содержит пустое множество и для любых множеств A и B из $mathcal{F}_0$ их разность допускает конечное разбиение на измеримые множества из $mathcal{F}_0$ , то есть найдётся конечный набор непересекающихся множеств из $mathcal{F}_0$ , таких что

Asetminus B = C_1 cup C_2 cup dots cup C_n

Пусть означает класс всех подмножеств рассматриваемого пространства, допускающих конечное разбиение на множества из $mathcal{F}_0$ . Класс замкнут относительно операций разности, пересечения и объединения множеств, и таким образом, является кольцом множеств, содержащим $mathcal{F}_0$ (причём, очевидно, минимальным). Всякая аддитивная функция на $mathcal{F}_0$ однозначно продолжается до аддитивной функции на , если и только если её значения согласованы на $mathcal{F}_0$ . Это требование означает, что для любых наборов непересекающихся множеств и из $mathcal{F}_0$ , если совпадает их объединение, то должна совпадать и сумма их мер:

Если $bigcuplimits_{i=1}^{n}A_i = bigcuplimits_{j=1}^{m}B_j$

, то $sumlimits_{i=1}^{n}mu(A_i) = sumlimits_{j=1}^{m}mu(B_j)$

Пример

Пусть $mathcal{F}_1$ и $mathcal{F}_2$ — классы измеримых множеств на пространствах X_1 и X_2 , имеющие структуру полукольца. Множества вида , где $Ain mathcal{F}_1$ , $Bin mathcal{F}_2$ образуют полукольцо множеств на пространстве .

Если на $mathcal{F}_1$ и $mathcal{F}_2$ заданы меры mu_1 и mu_2 , то на определена аддитивная функция , удовлетворяющая требованию согласованности. Её продолжение на минимальное кольцо, содержащее , называется прямым произведением мер mu_1 и mu_2 и обозначается . Если исходные меры были сигма-аддитивны на своих областях определения, то и мера будет сигма-аддитивной. Эта мера используется в теории кратных интегралов (смотри Теорема Фубини).

Вариации и обобщения

Сигма-конечная мера
Заряд (теория меры)
Термин “мера” может означать любую конечно-аддитивную с областью значений абелева полугруппа. Для счётно-аддитивной меры естественная область значений — топологическая абелева полугруппа (топология нужна для того, чтобы можно было говорить о сходимости ряда из мер счётного числа измеримых частей, на которые в определении счётной аддитивности разбивается измеримое множество).
- Примером нечисловой меры является мера со значениями в линейном пространстве, в частности, проекторонозначная мера, участвующая в геометрической формулировке спектральной теоремы.

Литература

Вулих, Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). — М.: Наука, 1973. — 352 с.

П. Халмош. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953. — 282 с. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787 (книга в 2011 году является библиографической редкостью)
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа Наука, 1976.
Богачев В.И., Основы теории меры, 2-е изд., в двух томах, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва–Ижевск, 2006.
В.И. Богачев, О.Г. Смолянов. Действительный и функциональный анализ. Издательства: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Институт компьютерных исследований, 2009 г. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6.
Богачев В.И., Гауссовские меры, Наука, Москва, 1997.
Богачев В.И., Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, Москва, 2008.

Источник

Мера множества

Мера открытого и замкнутого множества

Определение меры множества

Мера канторова совершенного множества

Мера множества R всех рациональных точек отрезка [0, 1]

Измеримые функции

Мера открытого и замкнутого множества.

Создание множества в Python

Преобразование строки в множество

Преобразование списка в множество

Создание пустого множества

Добавление элемента в множество

Удаление элемента из множества

Найти длину множества в Python

Пересечение множеств в Python

Объединение множеств в Python

Сравнение множеств в Python

Содержание

Определения

Счётно-аддитивная мера

Замечания

Измеримые и неизмеримые множества

Связанные определения

Свойства

Свойства счетно-аддитивных мер

Примеры

Продолжение мер

Продолжение с полукольца

Пример

Вариации и обобщения

Литература

Вам также может понравиться

Как составить локальную смету по шагово

Как найти а15 в арифметической прогрессии формула

Как найти приключения на даче

Добавить комментарий Отменить ответ