Версия для печати и копирования в MS Word
1
2
3
На рисунке изображен график производной функции 
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции 
В ответе укажите длину наибольшего из них.
4
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
5
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
6
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
7
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
8
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
9
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
10
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
11
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
12
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
13
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
14
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
15
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
16
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
17
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
18
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
19
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
20
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
21
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
22
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
23
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
24
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
25
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
26
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
27
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
28
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
29
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
30
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
31
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
32
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
33
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
34
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
35
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
36
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
37
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
38
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
39
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
40
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
41
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
42
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
43
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
44
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
45
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
46
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
47
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
48
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
49
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
50
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
51
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
52
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
53
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
54
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
55
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
56
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
57
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
58
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
59
На рисунке изображен график производной функции
определенной на интервале 
Найдите промежутки убывания функции
В ответе укажите длину наибольшего из них.
Дата: 2015-07-28
3289
Категория: Производная
Метка: ЕГЭ-№7
27500. На рисунке изображен график у=f′(x)— производной функции f(x), определенной на интервале (–2;12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна. Это интервалы (–1;5) – его длинна равна 6 и (7;11) – его длина равна 4.
Длина наибольшего из них 6.
Ответ: 6
Используя этот сайт, Вы соглашаетесь с тем, что мы сохраняем и используем файлы cookies, а также используем похожие технологии для улучшения работы сайта.
Ok
Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.
Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.
Возрастание и убывание функции на интервале
Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1 равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.
Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.
Точки экстремума, экстремумы функции
Точка х0 называется точкой максимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≥f(x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается ymax.
Точка х0 называется точкой минимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≤f(x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида ymin.
Окрестностями точки х0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.
Достаточные условия возрастания и убывания функции
Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.
Первое достаточное условие экстремума
Пусть задана функция y=f(x), которая дифференцируема в ε окрестности точки x0, причем имеет непрерывность в заданной точке x0. Отсюда получаем, что
- когда f'(x)>0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)<0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой максимума;
- когда f'(x)<0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)>0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой минимума.
Иначе говоря, получим их условия постановки знака:
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на +, значит, точка называется минимумом.
Алгоритм для нахождения точек экстремума
Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:
- найти область определения;
- найти производную функции на этой области;
- определить нули и точки, где функция не существует;
- определение знака производной на интервалах;
- выбрать точки, где функция меняет знак.
Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.
Найти точки максимума и минимума заданной функции y=2(x+1)2x-2.
Решение
Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х=2. Для начала найдем производную функции и получим:
y’=2x+12x-2’=2·x+12’·(x-2)-(x+1)2·(x-2)'(x-2)2==2·2·(x+1)·(x+1)’·(x-2)-(x+1)2·1(x-2)2=2·2·(x+1)·(x-2)-(x+2)2(x-2)2==2·(x+1)·(x-5)(x-2)2
Отсюда видим, что нули функции – это х=-1, х=5, х=2, то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:
Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х=-2, х=0, х=3, х=6.
Получаем, что
y'(-2)=2·(x+1)·(x-5)(x-2)2x=-2=2·(-2+1)·(-2-5)(-2-2)2=2·716=78>0, значит, интервал -∞; -1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что
y'(0)=2·(0+1)·0-50-22=2·-54=-52<0y'(3)=2·(3+1)·(3-5)(3-2)2=2·-81=-16<0y'(6)=2·(6+1)·(6-5)(6-2)2=2·716=78>0
Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.
Получим, что в точке х=-1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на -. По первому признаку имеем, что х=-1 является точкой максимума, значит получаем
ymax=y(-1)=2·(x+1)2x-2x=-1=2·(-1+1)2-1-2=0
Точка х=5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид
ymin=y(5)=2·(x+1)2x-2x=5=2·(5+1)25-2=24
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(-1)=0, ymin=y(5)=24.
Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.
Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.
Решение.
Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
-16×3-2×2-223x-8, x<016×3-2×2+223x-8, x≥0
После чего необходимо найти производную:
y’=16×3-2×2-223x-8′, x<016×3-2×2+223x-8′, x>0y’=-12×2-4x-223, x<012×2-4x+223, x>0
Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
lim y’x→0-0=lim yx→0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x→0+0=lim yx→0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223
Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем
lim yx→0-0=limx→0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx→0+0=limx→0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8
Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
-12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43×1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0
12×2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0
Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что
y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12×2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12×2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12×2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0
Изображение на прямой имеет вид
Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233
Перейдем к вычислению минимумов:
ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273
Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273
Графическое изображение
Ответ:
ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273
Второй признак экстремума функции
Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f”(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f”(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.
Найти максимумы и минимумы функции y=8xx+1.
Решение
Для начала находим область определения. Получаем, что
D(y): x≥0x≠-1⇔x≥0
Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим
y’=8xx+1’=8·x’·(x+1)-x·(x+1)'(x+1)2==8·12x·(x+1)-x·1(x+1)2=4·x+1-2x(x+1)2·x=4·-x+1(x+1)2·x
При х=1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х=1. Получаем:
y”=4·-x+1(x+1)2·x’==4·(-x+1)’·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12·x'(x+1)4·x==4·(-1)·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12’·x+(x+1)2·x'(x+1)4·x==4·-(x+1)2x-(-x+1)·2x+1(x+1)’x+(x+1)22x(x+1)4·x==-(x+1)2x-(-x+1)·x+1·2x+x+12x(x+1)4·x==2·3×2-6x-1x+13·x3⇒y”(1)=2·3·12-6·1-1(1+1)3·(1)3=2·-48=-1<0
Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х=1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид ymax=y(1)=811+1=4.
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(1)=4..
Третье достаточное условие экстремума
Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f”(x0)=f”'(x0)=…=fn(x0)=0.
Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.
Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4.
Решение
Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что
y’=116x+13′(x-3)4+(x+1)3x-34’==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5)
Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что
y”=116x+12(x-3)3(7x-5)’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)y”(-1)=0y”57=-368642401<0y”(3)=0
Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<0.
Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что
y”’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)’==18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)y”'(-1)=96≠0y”'(3)=0
Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)≠0. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:
y(4)=18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)’==12(105×3-405×2+315x+57)y(4)(3)=96>0
Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции.
Графическое изображение
Ответ: x2=57 является точкой максимума, x3=3 – точкой минимума заданной функции.
Интервалы возрастания и убывания функции
С помощью данного сервиса можно найти интервалы возрастания и убывания функции в онлайн режиме с оформлением решения в Word.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Исследование функции с помощью производной
Определение: Точка х0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)>f(x).
Определение: Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0 выполняется неравенство: f(x0)<f(x).
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.
Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f′(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной
- Найти производную функции f′(x).
- Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.
- Исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.
- Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.
- Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.
С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.
Пример №1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x)=x3–3x2.
Решение: Найдем первую производную функции f′(x)=3x2–6x.
Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение 3x2–6x=0; 3x(x-2)=0 ;x = 0, x = 2
Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.
| x | (-∞, 0) | 0 | (0, 2) | 2 | (2, +∞) |
| f′(x) | + | 0 | – | 0 | + |
| f(x) | возрастает | max | убывает | min | возрастает |
f(0) = 03 – 3*02 = 0
f(2) = 23 – 3*22 = -4
Ответ: Функция возрастает при x∈(-∞ ; 0)∪(2; +∞); функция убывает при x∈(0;2);
точка минимума функции (2;-4); точка максимума функции (0;0).
Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной
- Найти производную f′(x).
- Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f′(x)=0.
- Найти вторую производную f″(x).
- Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
- Вычислить значения функции в точках экстремума.
Отсюда следует, что дважды дифференцируемая функция f(x) выпукла на отрезке [a, b], если вторая производная f”(x) ≥ 0 при всех х [a, b].
Все вычисления можно проделать в онлайн режиме.
Пример №2. Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию: f(x) = x2 – 2x – 3.
Решение: Находим производную: f′(x) = 2x – 2.
Решая уравнение f′(x) = 0, получим стационарную точку х=1. Найдем теперь вторую производную: f″(x) = 2.
Так как вторая производная в стационарной точке положительна, f″(1) = 2 > 0, то при x = 1 функция имеет минимум: fmin = f(1) = -4.
Ответ: Точка минимума имеет координаты (1; -4).
Вспомним зависимость между знаком производной и поведением функции:
| Знак производной | Поведение функции |
| Если (displaystyle f^{prime}(x_0)> 0) для любого (displaystyle x_0in (a;, b)) | то функция (displaystyle f(x)) возрастает на (displaystyle (a;, b)) |
| Если (displaystyle f^{prime}(x_0)< 0) для любого (displaystyle x_0in (a;, b)) |
то функция (displaystyle f(x)) убывает на (displaystyle (a;, b)) |
Найдем промежутки возрастания и убывания (displaystyle f(x){small.})
Отметим точки, в которых график пересекает ось (displaystyle rm OX{small,}) то есть точки, где (displaystyle f^{prime}(x_0)= 0{small : })
График разбился на интервалы, где (displaystyle f^{prime}(x_0)> 0) и (displaystyle f^{prime}(x_0)< 0{small :})
Для интервалов знакопостоянства (displaystyle f^{prime}(x_0)) отметим промежутки возрастания и убывания (displaystyle f(x){small:})
Найдем длину получившихся интервалов убывания функции:
Получаем, что длина наибольшего интервала убывания равна (displaystyle 6{small.})
Ответ: (displaystyle 6{small.})
Замечание / комментарий
При переходе через точки, где (displaystyle f^{prime}(x)) равна нулю, производная меняет знак.
Значит, это точки экстремума.
А точки экстремума не включаются в промежутки возрастания или убывания функции.
