Как найти длину нити маятника по формуле

Спрятать решение

Источник: ГИА-2012. Ма­те­ма­ти­ка. Кон­троль­ная ра­бо­та.(1 вар)

Спрятать решение

·

Прототип задания

·

Помощь

Начать проверочный тест

Период колебания математического маятника (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле $T=2sqrt{l}$, где $l$ – длина нити в метрах. Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 7 секунд.

Из формулы периода колебания математического маятника $T=2sqrt{l}$ выразим длину нити:

$sqrt{l}=T:2$

$l=T^{2}:4$

Зная, что $Т=7$ с, получаем:

$l=7^{2}:4$

$l=49:4=12,25$ (м)

На поверхности Земли выраженный в секундах период колебаний математического маятника определяется по формуле

Т = 2Pi(l/g)^0,5,

в которой Pi = 3,14…, g = 9,8 м/с^2 – ускорение свободного падения в данной точке земной поверхности, l – длина маятника, выраженная в метрах.

Принимая, что Pi приближённо равно g^0,5, используют упрощённую формулу

Т = 2*l^0,5,

из которой следует, что

l = (T/2)^2,

и при данном по условию задачи Т = 3 с получается, что

l = (3/2)^2 = 2,25 с.

Ответ: 2,25 с.

в избранное

ссылка

отблагодарить

1. Механические колебания
2. Математический маятник
3. Параметры колебаний математического маятника
4. Задачи
5. Лабораторная работа №4. Исследование колебаний математического маятника

п.1. Механические колебания

Кроме прямолинейного и криволинейного движения, с которыми мы уже познакомились, существует еще один вид механического движения – колебательный.

Механические колебания – это движения тел, которые в той или иной степени повторяются через определенные промежутки времени.

Примеры колебательных движений:

• движение маятника в часах;
• колебание автомобиля на рессорах;
• покачивание деревьев на ветру;
• раскачивание качели;
• сокращения сердца и легких;
• движение крыльев насекомых и птиц.

п.2. Математический маятник

Математическим маятником называют тело, подвешенное на длинной нерастяжимой нити, размеры которого значительно меньше длины нити.
Нить считается нерастяжимой и невесомой, а тело – материальной точкой на этой нити.

В положении равновесия тело (шарик) находится внизу. Отклонение от положения равновесия называют смещением тела, обозначают буквой x и измеряют в метрах (в СИ). Наибольшее смещение маятника от положения равновесия называют амплитудой колебаний, обозначают буквой A. В проекции на горизонтальную ось OX смещение изменяется в интервале (-Aleq xleq A). В положении равновесия x=0. Если маятник после смещения в положение 1, прошел положение равновесия 2, отклонился в положение 3, опять прошел положение 2, и вернулся в положение 1, говорят, что маятник совершил полное колебание.

п.3. Параметры колебаний математического маятника

Период колебаний математического маятника – это время, за которое маятник совершает одно полное колебание. Период колебаний равен: $$ T=2pisqrt{frac Lg} $$ где (L) – длина маятника, (g) – ускорение свободного падения.
На поверхности Земли (gapprox 9,8 м/с^2)

Частота колебаний математического маятника – это количество полных колебаний, которые маятник совершает за единицу времени: $$ f=frac 1T=frac{1}{2pi}sqrt{frac gL} $$

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины
Период в СИ измеряют в секундах, частоту – в герцах: 1 Гц=1 c^-1
Формула для периода колебаний справедлива для небольших отклонений маятника (на угол порядка 15-20° от положения равновесия).

п.4. Задачи

п.5. Лабораторная работа №4. Исследование колебаний математического маятника

Цель работы
Исследовать, от каких величин зависит период колебаний математического маятника.

Теоретические сведения
При малых отклонениях (порядка 15-20° от вертикали) период колебаний математического маятника определяется формулой: $$ T=2pisqrt{frac Lg} $$ где (L) – длина маятника, (g) – ускорение свободного падения.
Для работы принять (gapprox 9,80665 м/с^2).
При заданном периоде колебаний для длины маятника получаем: $$ L=gleft(frac{T}{2pi}right)^2 $$

Приборы и материалы
Два лабораторных грузика по 100 г, крепкая нить (1,5-2 м), линейка (30-50 см), штатив, секундомер.

Ход работы
1. Рассчитайте длину нитей, необходимых для создания маятников с периодами колебаний (T_1=1 с; T_2=2 с).
2. Закрепите один грузик на нити и подвесьте его на штативе так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине (L_1).
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний. Повторите опыт 5 раз. Проведите расчеты для определения периода колебаний (T_{1 эксп}) по методике, изложенной в лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
4. Теперь подвесьте грузик так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине (L_2). Повторите серию из 5 экспериментов и определите (T_{2 эксп}).
5. При длине подвеса (L_2) подвесьте к первому грузику второй. Повторите серию из 5 экспериментов и определите (T ‘). Сравните (T ‘) и (T_{2 эксп}).
6. Сделайте выводы о проделанной работе.

Определение (T_{1 эксп})
Инструментальная погрешность секундомера (d=frac{triangle}{2}=0,1 c)
Время 10 колебаний

begin{gather*} t_{cp}=frac{50}{5}=10\ triangle_{cp}=frac 15=0,2 end{gather*} Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,2right}=0,2 text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: begin{gather*} t=t_0pmtriangle t, t=(10,0pm 0,2) c end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_{1 эксп}=frac{1}{10}(t_0pmtriangle t), T_{1 эксп}=(1,00pm 0,02) c $$ Относительная погрешность измерений: $$ delta_T=frac{triangle T}{T_{1 эксп}}cdot 100text{%}=frac{0,02}{1}cdot 100text{%}=2,0text{%} $$

Определение (T_{2 эксп})
Время 10 колебаний

begin{gather*} t_{cp}=frac{99,5}{5}=19,9\ triangle_{cp}=frac 15=0,2 end{gather*} Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,2right}=0,2 text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: begin{gather*} t=t_0pmtriangle t, t=(19,9pm 0,2) c end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_{2 эксп}=frac{1}{10}(t_0pmtriangle t), T_{2 эксп}=(1,99pm 0,02) c $$ Относительная погрешность измерений: $$ delta_T=frac{triangle T}{T_{2 эксп}}cdot 100text{%}=frac{0,02}{1,99}cdot 100text{%}approx 1,0text{%} $$

Определение (T ‘) (с двумя грузиками)
Время 10 колебаний

begin{gather*} t_{cp}=frac{99,8}{5}=19,96\ triangle_{cp}=frac{1,24}{5}approx 0,25 end{gather*} Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,25right}=0,25 text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: begin{gather*} t=t_0pmtriangle t, t=(19,96pm 0,25) c end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T’=frac{1}{10}(t_0pmtriangle t), T’=(1,996pm 0,025) c $$ Относительная погрешность измерений: $$ delta_T=frac{triangle T}{T’}cdot 100text{%}=frac{0,025}{1,996}cdot 100text{%}approx 1,3text{%} $$

Полученные на опыте интервалы для (T_{2 эксп}) и (T’) (одинаковая длина нити (L_2) и разные массы грузиков – 100 г и 200 г соответственно): begin{gather*} 1,97leq T_{2 эксп}leq 2,01\ 1,971leq T’leq 2,021 end{gather*} Таким образом, (T_{2 эксп}approx T’), т.е. период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.