Как найти длину окружности 6 класс математика

Математика

6 класс

Урок № 76

Длина окружности. Площадь круга

Перечень рассматриваемых вопросов:

• окружность, круг и их элементы: радиус, диаметр, хорда;
• понятие длины окружности, площади круга;
• задачи на вычисление длины окружности и площади круга.

Тезаурус

Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, которую называют центром окружности.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Радиус – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.

Длина окружности вычисляется по формулам: С = πd или С = 2πR, где π ≈ 3, 14 – иррациональное число.

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Окружность

Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, которая называется центром окружности.

Элементы окружности: центр, радиус, диаметр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.

Ещё в древности было установлено, что какой бы ни была окружность, отношение её длины к её диаметру является постоянным числом. Сейчас это число обозначают греческой буквой π. (читается – «пи»)

Как измерить дину окружности?

Можно взять сантиметровую ленту (если нет ленты, можно воспользоваться нитью или полоской бумаги).

Можно прокатить кольцо по ровной поверхности, сделав полный оборот.

Проверьте, верно ли, что отношение длины окружности к диаметру ≈ 3?

Возьмите несколько круглых предметов (тарелка, стакан, игрушечное колесо и др.).

Результаты измерений можно записать в таблицу в тетради.

Закон для более точного вычисления числа π очень сложен. В настоящее время значение π для точных расчётов в строительстве, авиационной или космической промышленности находят при помощи компьютера.

Вспомните, что π – это иррациональное число, которое выражается бесконечной непериодической дробью.

π = 3,141592653589793238…

При решении обычных задач используют приближенное значение

π ≈ 3,14

иногда используют π ≈ 3

Обозначим длину окружности буквой С, а её диаметр – буквой d, и запишем формулу:

Следовательно, справедливы формулы:

С = πd или С = 2πR

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

С помощью числа π вычисляют площадь круга.

S = πR²

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Впишите верный ответ.

Радиус круга равен 5 см. Найдите длину окружности С, площадь круга S.

Решение

С = 2πR = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 = 31,4 (см).

S = πR² = 3,14 ∙ 5² = 3,14 ∙ 25 = 78,5 (см²).

Ответ: 31,4 см; 78,5 см.

Тип 2. Множественный выбор

Вычислите площади заштрихованных фигур (размер 1 клетки равен 1 см²).

Варианты ответов

34,24 см²

84,78 см²

50,24 см²

113,04 см²

Фигура 1

Из круга вырезали квадрат.

S_круга = πR² = 3,14 ∙ 4² = 3,14 ∙ 16 = 50,24 (см²).

S_{квадрата} = а² = 4² = 16 (см²).

S_{заштрих} = 50,24 – 16 = 34,24 (см²).

Фигура 2

Из круга вырезали круг.

S₁ = πR² = 3,14 ∙ 6² = 3,14 ∙ 36 = 113,04 (см²).

S₂ = πR² = 3,14 ∙ 3² = 3,14 ∙ 9 = 28,26 (см²).

S_{заштрих} = 113,04 – 28,26 = 84,78 (см²).

Выбираем ответы: 34,24 см² и 84,78 см².

Сегодня мы говорим про окружность и круг, друзья мои. У многих шестиклассников, да и не только у них, возникают трудности с этой темой. А она-то как раз и есть ваш реальный шанс на получение хорошей отметки. Да, есть там одна заковырка. Вот она не нравится ребятам. Но я сейчас подробно всё расскажу. Давайте приступим)))

Сначала дам несколько определений. Они очень лёгкие, просто посмотрите:

Есть окружность, а есть круг:

Определения, ребята, есть у вас в учебнике. Их надо знать наизусть, учителя это любят. Выучите их, пожалуйста. А я вам простыми словами расскажу, чтобы совсем понятно было.

• Окружность – это линия на бумаге или ещё где-нибудь. На асфальте мелом, например.
• Круг – это часть листа (плоскости).

Как отличить круг от окружности?

Круг я могу вырезать ножницами и у меня в руках будет круглый кусок бумаги. А линию я вам как вырежу?!

Окружность нельзя вырезать ножницами! Она же линия!

Дальше. У вас будут две формулы. Я знаю, что их три, на самом деле – две. Расскажу попозже. Сначала основные определения простыми словами дам:

А это диаметр. Присмотритесь: вам ничего не показалось?)))

Вы молодцы, если вам показалось, что один диаметр – это ДВА РАДИУСА! Так и есть!

Значит, вот эти две формулы одинаковые.

Запомните: один диаметр – это два радиуса! Один радиус – это половина диаметра! Если знаете диаметр – радиус тоже знаете!!! И наоборот!

Что такое C в этой формуле? Это длина окружности. Если я возьму окружность, мысленно её разрежу и разогну, то получится прямая. Тогда я смогу померить её длину. А можно и не разрезать. Возьмите сантиметровую ленту у бабушки или у мамы. Потом найдите чашку на кухне, отметьте точку (незаметно, чтобы потом смыть) и действуйте по схеме:

Есть ещё формула площади круга:

Тоже легко. В статье я уже не буду об этом писать. А вот видео, в нём я задачи разбираю для шестиклассников, именно на эту тему. Там про площадь круга рассказываю подробно. Для других классов тоже подойдёт, кто не понял, забыл или не успел)))

Подведём итог. Если вы будете знать наизусть определение диаметра и радиуса, если вы будете знать 2 формулы (а на самом деле одну!) длины окружности и одну формулу площади круга, то по этой теме у вас точно будет не ниже четвёрки, друзья мои школьники.

Если статья показалась вам полезной, поставьте, пожалуйста, оценку. Она поможет мне дальше помогать вам)))

Вот здесь кое-что про борьбу со списыванием с сайта ГДЗ

А вот здесь – как учить стихи

P. S.: Про число “ПИ” я ничего не говорила в этой статье. Но в видео я про него рассказываю. Это фантастическое, просто удивительное число!!!!! Но мне места не хватило, В другой раз…

Возьмем циркуль. Установим ножку циркуля с иглой в точку «O», а ножку циркуля с
карандашом будем вращать вокруг этой точки. Таким образом, мы получим замкнутую
линию. Такую замкнутую линию называют — окружность.

Рассмотрим более подробно окружность. Разберёмся, что называют центром,
радиусом и диаметром окружности.

• (·)O — называется центром окружности.
• Отрезок, который соединяет
  центр и любую точку окружности, называется радиусом окружности.
  Радиус окружности обозначается буквой «R». На рисунке выше —
  это отрезок «OA».
• Отрезок, который соединяет
  две точки окружности и проходит через её центр, называется
  диаметром окружности.

  Диаметр окружности обозначается буквой «D».
  На рисунке выше — это отрезок «BC».

  На рисунке также видно, что диаметр равен двум радиусам. Поэтому
  справедливо выражение «D = 2R».

Число π и длина окружности

Прежде чем разобраться, как считается длина окружности, необходимо выяснить, что
такое число π (читается как «Пи»), которое
так часто упоминают на уроках.

В далекие времена математики Древней Греции внимательно изучали окружность
и пришли к выводу, что длина окружности и её диаметр взаимосвязаны.

Число «Пи» относится к числам, точное значение которых записать невозможно
ни с помощью обыкновенных дробей, ни с помощью десятичных дробей. Нам
для наших вычислений достаточно использовать значение π,

округленное до разряда сотых
π ≈ 3,14…

Теперь, зная, что такое число π, мы
можем записать формулу длины окружности.

Как найти длину окружности

Чтобы закрепить полученные знания, решим задачу на окружности.

Разбор примера

Условие задачи:

Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число
π
округлите до сотых.

Воспользуемся формулой длины окружности:

C = 2πR
≈ 2 · 3,14 · 24 ≈ 150,72 см

Разберем обратную задачу, когда мы знаем длину
окружности, а нас просят найти её диаметр.

Разбор примера

Условие задачи:

Определите диаметр окружности, если
её длина равна 56,52 дм.
(π ≈ 3,14).

Выразим из формулы длины окружности диаметр.

C = πD
D = С / π

D = 56,52 / 3,14 = 18 дм

Хорда и дуга окружности

На рисунке ниже отметим на окружности две точки «A» и «B». Эти точки делят окружность
на две части, каждую из которых называют дугой.
Это синяя дуга «AB» и черная дуга «AB».
Точки «A» и «B» называют концами дуг.

Соединим точки «A» и «B» отрезком. Полученный отрезок называют
хордой.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Длина окружности

• Длина окружности
• Задачи на длину окружности
• Задачи на площадь круга

Длина окружности

Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в  3,14 раза.  Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква  π  (пи):

Таким образом, длину окружности  (C)  можно вычислить, умножив константу  π  на диаметр  (D),  или умножив  π  на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

C = πD = 2πR,

где  C  — длина окружности,  π  — константа,  D  — диаметр окружности,  R  — радиус окружности.

Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Задачи на длину окружности

Задачи на площадь круга

На этом уроке мы познакомимся с числом .
Выведем формулу длины окружности. Научимся решать задачи с использованием
формулы длины окружности.

Ещё в 5-ом классе вы познакомились с одной
замечательной линией, как окружность и её элементами. Наверняка
вы уже хорошо научились строить окружности с помощью циркуля.

Но не всегда такой прибор, как циркуль существовал в
нашей жизни. Как вы думаете, можно ли начертить окружность без циркуля?
Конечно, да!

Давайте проведём небольшой опыт. Возьмём монетку,
положим её на лист бумаги и проведём по её контуру карандашом.

Смотрите, на листе остался след. Что это за фигура?
Да! Это окружность! С помощью линейки можно измерить её диаметр.

Диаметр нашей монетки равен 5,5
см.

Скажите, а можно ли измерить длину самой окружности?
Ведь линейку к ней не приложишь.

Но можно поступить иначе. Если взять нитку, обмотать
ею монетку, потом разрезать эту нитку и измерить ее линейкой, то получим длину
окружности. Проделаем это с нашей монеткой.

Смотрите, длина окружности монеты равна 17,27 см.

Ещё чтобы вы имели представление о длине окружности,
можно взять кольцо, сделанное из проволоки, разрезать его и разогнуть
проволоку. Линия, которая у нас получится и отображает длину окружности.

Можно заметить, что длина нитки примерно в 3 раза больше длины диаметра монеты.

Обозначим длину окружности буквой С, а её диаметр буквой D. Оказывается, какую бы окружность мы ни
взяли, частное от деления С на D всегда одно и то же. Сначала было
замечено, что длина любой окружности примерно в 3 раза
больше диаметра. Затем этот результат был уточнен – в  раза,
но и тогда математики знали, что это число тоже не является точным.

Чтобы не было проблем при записях расчётов,
математики Древней Греции стали обозначать его греческой буквой  (читается
«пи» – начальная буква греческого слова perimetron,
которое и означает «окружность»).

Было доказано, что число
 относится
к таким числам, точное значение которых записать невозможно ни с помощью обыкновенных,
ни с помощью десятичных дробей.

Можно записать приближённое значение числа  с
точностью до миллионных, до миллиардных. Поэтому в формулах используют букву , а для
практических вычислений его приближённое значение.

Определение

Отношение длины окружности к длине её
диаметра является одним и тем же числом для любой окружности.

Обозначив длину окружности буквой С, а её диаметр буквой D, получаем:

Обычно формулу длины окружности записывают через
радиус

Заметим, что число  – это отношение
длины окружности к длине её диаметра.

Задача

В Лондоне была построена самая большая в мире
часовая башня, которая имеет название Биг-Бен. Длина диаметра циферблата часов
на башне равна 7 метров. Определите длину
окружности часов, если число  ≈
3,14.
Ответ округлите с точностью до целых.

Решение:

Задача

Минутная стрелка описывает окружность длиной 18 см. Определите длину минутной стрелки, если
число  =
3,14.
Результат округлите до десятых.

Решение:

Задача

Спортсмен пробежал расстояние 42000 м, причём сделал полных 105 оборотов. Определите радиус стадиона, границей
которого является беговая дорожка, по которой бежал спортсмен. Число  =
3,14.
Результат округлите до целых.

Решение:

Итоги

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с интересным
числом ,
вывели формулу длины окружности и научились решать задачи с использованием этой
формулы.