Математика
6 класс
Урок № 76
Длина окружности. Площадь круга
Перечень рассматриваемых вопросов:
- окружность, круг и их элементы: радиус, диаметр, хорда;
- понятие длины окружности, площади круга;
- задачи на вычисление длины окружности и площади круга.
Тезаурус
Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, которую называют центром окружности.
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Радиус – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности.
Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности.
Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.
Длина окружности вычисляется по формулам: С = πd или С = 2πR, где π ≈ 3, 14 – иррациональное число.
Обязательная литература:
- Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.
Дополнительная литература:
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Окружность
Окружность – это множество всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, которая называется центром окружности.
Элементы окружности: центр, радиус, диаметр.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.
Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.
Ещё в древности было установлено, что какой бы ни была окружность, отношение её длины к её диаметру является постоянным числом. Сейчас это число обозначают греческой буквой π. (читается – «пи»)
Как измерить дину окружности?
Можно взять сантиметровую ленту (если нет ленты, можно воспользоваться нитью или полоской бумаги).
Можно прокатить кольцо по ровной поверхности, сделав полный оборот.
Проверьте, верно ли, что отношение длины окружности к диаметру ≈ 3?
Возьмите несколько круглых предметов (тарелка, стакан, игрушечное колесо и др.).
Результаты измерений можно записать в таблицу в тетради.
Закон для более точного вычисления числа π очень сложен. В настоящее время значение π для точных расчётов в строительстве, авиационной или космической промышленности находят при помощи компьютера.
Вспомните, что π – это иррациональное число, которое выражается бесконечной непериодической дробью.
π = 3,141592653589793238…
При решении обычных задач используют приближенное значение
π ≈ 3,14
иногда используют π ≈ 3
Обозначим длину окружности буквой С, а её диаметр – буквой d, и запишем формулу:
Следовательно, справедливы формулы:
С = πd или С = 2πR
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
С помощью числа π вычисляют площадь круга.
S = πR2
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте
Впишите верный ответ.
Радиус круга равен 5 см. Найдите длину окружности С, площадь круга S.
Решение
С = 2πR = 2 ∙ 3,14 ∙ 5 = 31,4 (см).
S = πR2 = 3,14 ∙ 52 = 3,14 ∙ 25 = 78,5 (см2).
Ответ: 31,4 см; 78,5 см.
Тип 2. Множественный выбор
Вычислите площади заштрихованных фигур (размер 1 клетки равен 1 см2).
Варианты ответов
34,24 см2
84,78 см2
50,24 см2
113,04 см2
Фигура 1
Из круга вырезали квадрат.
Sкруга = πR2 = 3,14 ∙ 42 = 3,14 ∙ 16 = 50,24 (см2).
Sквадрата = а2 = 42 = 16 (см2).
Sзаштрих = 50,24 – 16 = 34,24 (см2).
Фигура 2
Из круга вырезали круг.
S1 = πR2 = 3,14 ∙ 62 = 3,14 ∙ 36 = 113,04 (см2).
S2 = πR2 = 3,14 ∙ 32 = 3,14 ∙ 9 = 28,26 (см2).
Sзаштрих = 113,04 – 28,26 = 84,78 (см2).
Выбираем ответы: 34,24 см2 и 84,78 см2.
Сегодня мы говорим про окружность и круг, друзья мои. У многих шестиклассников, да и не только у них, возникают трудности с этой темой. А она-то как раз и есть ваш реальный шанс на получение хорошей отметки. Да, есть там одна заковырка. Вот она не нравится ребятам. Но я сейчас подробно всё расскажу. Давайте приступим)))
Сначала дам несколько определений. Они очень лёгкие, просто посмотрите:
Есть окружность, а есть круг:
Определения, ребята, есть у вас в учебнике. Их надо знать наизусть, учителя это любят. Выучите их, пожалуйста. А я вам простыми словами расскажу, чтобы совсем понятно было.
- Окружность – это линия на бумаге или ещё где-нибудь. На асфальте мелом, например.
- Круг – это часть листа (плоскости).
Как отличить круг от окружности?
Круг я могу вырезать ножницами и у меня в руках будет круглый кусок бумаги. А линию я вам как вырежу?!
Окружность нельзя вырезать ножницами! Она же линия!
Дальше. У вас будут две формулы. Я знаю, что их три, на самом деле – две. Расскажу попозже. Сначала основные определения простыми словами дам:
А это диаметр. Присмотритесь: вам ничего не показалось?)))
Вы молодцы, если вам показалось, что один диаметр – это ДВА РАДИУСА! Так и есть!
Значит, вот эти две формулы одинаковые.
Запомните: один диаметр – это два радиуса! Один радиус – это половина диаметра! Если знаете диаметр – радиус тоже знаете!!! И наоборот!
Что такое C в этой формуле? Это длина окружности. Если я возьму окружность, мысленно её разрежу и разогну, то получится прямая. Тогда я смогу померить её длину. А можно и не разрезать. Возьмите сантиметровую ленту у бабушки или у мамы. Потом найдите чашку на кухне, отметьте точку (незаметно, чтобы потом смыть) и действуйте по схеме:
Есть ещё формула площади круга:
Тоже легко. В статье я уже не буду об этом писать. А вот видео, в нём я задачи разбираю для шестиклассников, именно на эту тему. Там про площадь круга рассказываю подробно. Для других классов тоже подойдёт, кто не понял, забыл или не успел)))
Подведём итог. Если вы будете знать наизусть определение диаметра и радиуса, если вы будете знать 2 формулы (а на самом деле одну!) длины окружности и одну формулу площади круга, то по этой теме у вас точно будет не ниже четвёрки, друзья мои школьники.
Если статья показалась вам полезной, поставьте, пожалуйста, оценку. Она поможет мне дальше помогать вам)))
Вот здесь кое-что про борьбу со списыванием с сайта ГДЗ
А вот здесь – как учить стихи
P. S.: Про число “ПИ” я ничего не говорила в этой статье. Но в видео я про него рассказываю. Это фантастическое, просто удивительное число!!!!! Но мне места не хватило, В другой раз…
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления длины окружности
Формула
Чтобы найти длину окружности, нужно либо диаметр окружности умножить на
$pi approx 3,1415926535 dots$, либо найти удвоенное произведение радиуса и числа
$pi$.
То есть нужно воспользоваться одной из формул:
$l=2 pi r text { или } l=pi d$
Здесь $r$ – это радиус заданной окружности,
а $d$ – диаметр,
$pi approx 3,1415926535 dots$. Радиусом окружности – отрезок, который соединяет центр
окружности с точкой окружности. Диаметром называют отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Число
$pi$ – математическая константа , выражающая
отношение длины окружности к длине её диаметра.
Примеры вычисления длины окружности
Пример
Задание. Найти длину окружности, диаметр которой равен 3 см.
Решение. Для вычисления длины заданной окружности воспользуемся формулой
$$l=pi d$$
Подставляя в неё исходные данные, получим:
$l=3 pi approx 3.14 cdot 3=9.42$ (см)
Ответ. $l=3 pi approx 9.42$ (см)
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороною
$a=4 sqrt{3}$ дм.
Решение. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен
$R=frac{a}{sqrt{3}}$. В нашем случае он будет равен
$R=frac{4 sqrt{3}}{sqrt{3}}=4$ (дм)
Для нахождения длины рассматриваемой окружности воспользуемся формулой
$l=2 pi r$
Подставляя в нее найденное значение радиуса и значение
$pi approx 3.14 ldots$, окончательно получим
$l=2 cdot pi cdot 4 approx 8 cdot 3,14=25,12$ (дм)
Ответ. $l=8 pi approx 25,12$ (дм)
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Каким образом можно вычислить длину окружности при условии, что площадь
круга (S) является известной величиной?
Площадь круга (S) рассчитывается путем умножения числа Пи на длину его
радиуса (R), возведенную в квадратную степень (S = ПR²). Из указанного
равенства можно выразить радиус:
R² = S/ П
Если избавиться от квадратной степени, то получится:
R = √(S/П)
Длина окружности (L) рассчитывается путем умножения числа Пи на длину
радиуса, и последующего умножения на два полученного в результате числа:
L = 2ПR
Если R = √(S/П), то L = 2П*√(S/П)
Каким образом можно найти длину окружности, диаметр которой составляет 2 см?
Длина окружности (L) представляет собой число, которое получено в
результате умножения числа Пи на диаметр данной окружности:
L = П*D
В конкретном случае:
L = 3,14*2 = 6,28 см.
Ответ: Длина окружности с диаметром 2 см составляет 6,28 см.
Дан квадрат, вокруг которого описана окружность. Ее длина составляет 12 Пи
см. Как можно найти длину окружности, вписанной в этот же квадрат?
Известно, что длина окружности (L) рассчитывается путем умножения на два
произведения числа Пи и длины ее радиуса (R). Формула выглядит так:
2ПиR
Из данной формулы можно выразить радиус
R = 12пи/2пи = 6 см
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 6 см.
Теперь можно вычислить сторону квадрата, вокруг которого описана данная
окружность. Ее длина составляет R корней из 2:
а = 6 корней из 2.
Рассчитываем длину малого радиуса (r), который равен половине длины
стороны квадрата:
r = а/2 = 6 корней из 2/2 = 3 корней из 2.
Длина окружности, вписанной в квадрат, рассчитывается по той же формуле:
L = 6 корней из 2 Пи.
Каким образом можно вычислить длину окружности, а также найти ее площадь,
при условии, что радиус этой окружности равен 30 см?
Радиус окружности, равный 30 см, обозначается как R.
Площадь окружности можно найти, умножив число Пи на квадрат длины ее
радиуса:
S = πR²
Подставим в формулу известные величины:
S = π*30² = 900π см. кв.
Длина окружности обозначается как С и рассчитывается путем умножения на 2
произведения числа Пи и ее радиуса:
C = 2πR
Снова подставляем в формулу величины, которые известны:
C = 2π*30 = 60π см
Ответ: Площадь окружности равна 900π см², а ее длина составляет 60π см.
Дана окружность, в которую вписан правильный треугольник. Его площадь
составляет 12√3 см кв. Как можно вычислить длину окружности в данном случае?
По условию задачи известно, что треугольник является правильным, что
означает равенство всех его трех сторон. В данном случае его площадь может
быть рассчитана по следующей формуле:
S = а^2 * √3 ÷ 4
Зная площадь, мы получаем возможность вычислить длину стороны а. Она будет
равна ± √48. Учитывая то, что сторона не может быть отрицательной
величиной, можно говорить о том, что сторона а равна √48.
После того как длина стороны стала известна, можно приступить к вычислению
площади описанной и вписанной окружности. Для этого не достает еще одного
элемента – длины радиуса.
Радиус описанной окружности (R) равен длине стороны треугольника,
разделенной на √3:
R = √48 ÷ √3 = 4 см.
Радиус вписанной окружности (r) можно получить, разделив на 2 радиус
описанной окружности:
r = 4/2 = 2 см.
Вычисленные длины радиусов вписанной и описанной окружностей позволяют
определить ее длину ℓ, которая равна произведению числа Пи и радиуса
окружности, умноженному на 2:
ℓ = 2πR
В нашем случае длина описанной окружности рассчитывается как:
ℓ= 2πR = 2π4 = 8π
Длина вписанной окружности будет составлять:
ℓ= 2πR = 2π2 = 4π
Известно, что радиус окружности равен 12 см. Как вычислить ее площадь и
длину при Пи=3,14?
В условии задачи говорится о том, что радиус окружности R равен 12 см. Ее
длина может быть вычислена посредством умножения на 2 произведения длины
радиуса и числа Пи:
C=2πR
Известно, что число Пи – это константа, равная 3,14. Тогда длина
окружности (С)высчитывается следующим образом:
C=2*3*12=72 см
Площадь окружности можно найти, умножив число Пи на длину ее радиуса,
возведенную в квадратную степень:
S=πR²=3,14*12²=3,14*144=452,16 см кв.
Как можно вычислить радиус окружности и ее диаметр, если известно, что ее
длина составляет 20 Пи см?
По условию задачи длина окружности равна 20 Пи см. Зная формулу, по
которой вычисляется длина окружности, можно записать следующее равенство:
2Пи = 2ПиR
Можно сократить Пи в обеих частях записанного равенства, в результате чего
получится, что:
2R = 20
Теперь высчитаем, чему равна длина радиуса окружности:
R = 20/2 = 10 см.
Длина диаметра равна длине радиуса, умноженной на 2:
D = R*2 = 10*2 = 20 cм.
Длина дуги окружности составляет 6Пи см, при этом ее градусная мера равна
120 градусов. Каким образом можно вычислить радиус окружности?
Полная градусная мера любой окружности равна 360 градусов. В случае,
описанном в задании, градусная мера окружности составляет 120 градусов,
что равно 1/3 части 360 градусов. Это позволяет сделать вывод о том, что
длина окружности (L) может быть рассчитана следующим образом:
L = 6Пи * 3 = 18Пи
Формула, по которой вычисляется длина окружности, выглядит так:
L =2пR
Из данной формулы можно выразить радиус (R):
R = L/2Пи
В заданном случае длина радиуса будет равна:
18Пи/2Пи = 9 см.
Как на радиус окружности повлияет увеличение ее длины на 9,42 см?
Обозначим прежнюю длину окружности как L, а новую – как L₁. Тогда можно
записать следующее равенство:
L₁ – L = 9,42 см
Прежний радиус окружности примем за R, а новый ее радиус, который
получится в результате увеличения длины, обозначим как R₁. Для того чтобы
вычислить ее значение, следует сначала записать формулу, по которой
вычисляется прежняя длина данной окружности:
L = 2πR
Тогда формула для вычисления новой длины окружности будет иметь такой вид:
L + 9,42 = 2πR₁
Отнимем от новой длины старую, и в итоге получим:
2πR₁ – 2πR = 9,42 см.
Перенесем 2Пи из левой части равенства в правую:
R₁ – R = 9,42 : 2π = 1,5 см.
Ответ: В результате увеличения длины окружности на 9,42 см ее радиус
станет больше на 1,5 см.
Как можно вычислить радиус окружности, вписанной в правильный треугольник,
зная то, что площадь данного треугольника превышает площадь окружности на
27√3-9π?
Радиус окружности, которая вписана в правильный треугольник, обозначим r.
Ее площадь (S) является произведением числа Пи и квадрата ее радиуса:
S = πr²
В случае треугольника, все стороны которого одинаковы, радиус вписанной в
него окружности равен третьей части высоты, являющейся также и медианой.
Площадь правильного треугольника рассчитывается так:
Sтр = (1/2)*(2r/tg30)*3r = (1/2)*(2r√3)*3r = 3√3r².
Согласно условию задачи 3√3r² = πr² + 27√3 – 9π.
Перенесем πr² из левой части равенства в правую, изменив его знак на
противоположный:
3√3r² – πr² = 27√3 – 9π
Вынесем в правой части равенства r² за скобки. То же самое сделаем с
числом 9 в левой части равенства:
r²(3√3 – π) = 9(3√3 – π)
Сокращаем в обеих частях одинаковый множитель (3√3 – π) и получаем:
r² = 9
Таким образом, радиус окружности равен корню квадратному из 9:
r =3 см.
Дано две окружности, радиус одной из которых пятикратно превышает радиус
другой. Каким образом вычислить радиус каждой из этих окружностей, если
известно, что диаметр второй из окружностей на 240 мм меньше, чем диаметр
первой?
Обозначим радиус второй окружности буквой х. В данном случае радиус первой
окружности нужно обозначить как 5х. Известно, что разница между длинами
диаметров двух окружностей равна 240 мм. На основании этого можно
составить следующее равенство:
5х-х=240:2, что равно 4х=120
Теперь можно найти значение х:
х=120:4=30 мм.
Таким образом, радиус второй окружности равен 30 мм. Это позволяет
вычислить радиус первой окружности, который в 5 раз больше радиуса второй
из них:
30*5=150 мм.
Как можно высчитать радиус окружности, когда известна ее градусная мера и
длина дуги?
Длина дуги обозначена как L. В качестве обозначения ее градусной меры
используется α. Через R обозначена длина радиуса данной окружности.
Формула расчета длины дуги выглядит так:
L = πR · α / 180°
Это же равенство может быть переписано следующим образом:
πR · α = L · 180°
Отсюда выведем радиус:
R = L · 180° / (π·α).
Как высчитать радиус окружности, длина дуги которой составляет 3,14 см, а ее
градусная мера равна 18 градусам?
Длина окружности (L) равна произведению числа Пи и радиуса, которое
умножено на 2:
L = 2Пиr
Согласно заданию, длина дуги равна 3,14, что равно значению константы Пи.
Дуга способна поместиться в длине окружности 2 пи r/пи =2 r раз
Подставив в равенство значения, которые известны, мы получим:
360:18=20 раз
Длина окружности будет равна:
3,14*20=20Пи
2Пиr = 20Пи
Сократим 2Пи в каждой из частей равенства и получим, что:
r=10 см.
Площадь круга составляет 169Пи см. Чему равна длина окружности в данном
случае?
Для решения поставленной задачи следует записать формулу расчета площади
круга:
S=πr2
Эта величина указана в задании, и составляет 169Пи. Это значит, что:
πr2 = 169π
Можно сократить одинаковый множитель Пи в обеих частях равенства:
r2= 169
r = √169 = 13 см.
Длина окружности обозначена С. Она считается по следующей формуле:
С = 2πr
Длина радиуса уже известна, и ее можно подставить в формулу расчета длины
окружности:
С = 2* π*13 = 26π см.
В окружность вписан квадрат площадью 36 дм кв. Чему в этом случае будет
равна площадь круга и длина окружности?
Известно, что площадь круга представляет собой величину, равную длине
стороны этого квадрата, возведенной во вторую степень Sкв = а². Это
значит, что в данном случае а² = 36 дм. Для того чтобы найти значение а,
нужно извлечь квадратный корень из 36:
а = √36 = 6 дм.
Длина диагонали (d) квадрата считается по приведенной ниже формуле:
d = a√2 = 6√2 дм.
Радиус (R)окружности, которая описана около квадрата, равен половине длины
ее диагонали:
R = d/2 = 3√2 дм.
Площадь круга можно посчитать, умножив число Пи на квадрат его радиуса:
S = πR² = π · (3√2)² = 18π дм. кв.
Длина окружности рассчитывается посредством умножения на два числа Пи,
после чего полученное число умножается на длину радиуса окружности:
C = 2πR = 2π · 3√2 = 6√2π дм.
Длина окружности составляет 3,5 дм. Диаметр второй окружности равен 5/7 ее
диаметра. Как вычислить длину второй окружности?
Ниже записана формула, которая используется для того, чтобы рассчитать
длину окружности:
С = Пи*d,
где Пи – это константа, равная 3,14, а d – это диаметр окружности.
Отношение длины первой окружности к длине второй окружности равно
отношению их диаметров:
C/C1 = d/d1
d1 = 5/7 d
В условии сказано, что длина первой окружности С = 3,5 дм. Таким образом:
C1 = 5/7 *C = 5/7 * 3,5 = 2,5 дм.
Длина радиуса окружности составляет 14 см. Какова будет ее длина при
условии, что П=22/7?
Для того чтобы узнать длину окружности (C), следует воспользоваться
формулой, предназначенной для ее расчета. Она выглядит так:
C = П*R*2
Если подставить в эту формулу величины, которые даны по условию задачи, то
получим:
22/7*14*2=22/7*28/1=88 см.
Ответ: Длина окружности равна 88 см.
Какой будет длина окружности при условии, что ее половина составляет 25,5
см?
Длина окружности равна длине ее половины, умноженной на 2. Это значит, что
в данном случае нужно умножить число 25,5, обозначающее половину длины
окружности, на 2:
25,5*2 = 51 см.
Круг имеет площадь Пи м кв. Какова будет длина окружности данного круга?
Для вычисления длины окружности необходимо число Пи умножить на два и
умножить на длину его радиуса (2πR). Для данной задачи это будет выглядеть
следующим образом:
2π · 3√2 = 6√2π дм.
Для того чтобы посчитать площадь круга, необходимо умножить число Пи на
радиус, взятый в квадрат (S = πR²). По условию задачи площадь круга равна
Пи м кв. Это значит, что:
πR² = π
Из данного равенства можно выразить R
R – √π/π = 1
Зная длину радиуса, можно переходить к вычислению длины окружности (С):
C = 2πR = 2π x 1 = 2π
Ответ: Длина окружности равна 2π.
Какова формула длины окружности, при условии, что длина ее радиуса
составляет R?
С целью вычисления длины окружности (С) используется приведенная ниже
формула:
C=2πR
Ее составляющими является постоянное число Пи и радиус окружности (R),
длину которой необходимо вычислить.
Какова формула расчета длины окружности, диаметр которой составляет 15 см?
Если длина диаметра окружности является известной величиной, то его нужно
умножить на постоянное число Пи, равное 3,14, для того чтобы найти длину
этой окружности. Формула выглядит так:
С = πD
В условии говорится, что диаметр окружности равен 15 см:
С = 3,14 * 15 = 47,1 cм.
Ответ: Длина окружности равна 47,1 см.
В результате деления длины окружности на величину ее диаметра получается
число, приблизительно равное 22/7. Каким образом можно высчитать длину
окружности с диаметром 10 см?
Для расчета длины окружности (С) нужно знать длину ее радиуса (R) или
диаметра (d). Тогда могут быть использованы следующие формулы:
C = 2πR или C = πd
По условию задания d = 10 см, а π = 22/7. Тогда длина окружности будет
равна:
C = πd = (22/7) * 10 = 220/7 ≈ 31,4 см.
В каком виде представлены формулы, которые используются для вычисления
площади круга и длины окружности (через диаметр и через радиус)?
В случае, если длина диаметра (d) или длина радиуса (R) окружности
известны, то эти величины можно использовать для нахождения длины
окружности. При этом следует воспользоваться одной из формул:
С=πd или С=2πR.
Эти величины также помогут вычислить площадь круга. Формулы выглядят
следующим образом:
S=πr² или S=π(d2)².
Можно ли вычислить длину диаметра окружности, если известна только ее длина?
Нужно записать формулу расчета длины окружности, для того чтобы понять,
существует ли взаимосвязь между этой величиной и диаметром окружности:
L = π·d
Очевидно, что длина окружности является результатом умножения числа Пи на
длину ее диаметра.
Если длина окружности известна, то ее можно использовать для определения
диаметра (d). Это можно сделать следующим образом:
d = L/π.
Во сколько раз длина окружности превышает ее диаметр, и в каком виде
представлена формула ее расчета через диаметр?
Длину окружности (С) можно рассчитать через диаметр (d), если
воспользоваться нижеприведенной формулой:
С = π*d
Это формула демонстрирует, что длина окружности больше длины ее диаметра в
π раз. Именно отношение длины окружности к величине ее диаметра и является
числом π.
Какова формула вычисления отношения длины окружности к величине, означающей
ее диаметр?
Число π представляет собой константу, которая получается в результате
деления длины окружности (С) на ее диаметр (d). В виде формулы это
выглядит так:
π = С/d
Площадь круга составляет 185 см кв. Как вычислить 30% от длины окружности
при заданных исходных?
Располагая информацией о том, что площадь круга равна произведению числа
Пи и квадрата ее радиуса (S=πr²), можно через нее выразить радиус:
r² = S/π = 185/π
Избавляемся от квадратной степени:
r = √(185/π) см.
Следующим шагом в решении задачи станет вычисление длины окружности,
которая находится путем умножения на 2 числа Пи и радиуса окружности:
С=2πr= C=2π√(185/π) = 2√(185π) см.
На последнем этапе находим 30%. Принимаем всю длину окружности за 100%:
2√(185π) – 100%
х – 30%
Тогда х можно найти следующим образом:
х=(30*2√(185π))/100 = 0,6√(185π) см.
Как выглядят формулы определения длины окружности через радиус и через
диаметр? В какое количество раз длина диаметра окружности меньше ее длины?
Существует две формулы, которые предназначены для расчета длины окружности
(С). Они отличаются друг от друга тем, что элементом одной из них является
радиус (r), а другой – диаметр (D):
C=2Пr и C=ПD.
Для того чтобы понять, во сколько раз длина окружности превышает длину ее
диаметра, нужно произвести деление этих величин:
С/D
В результате получается число Пи, которое является постоянным и имеет
значение примерно 3,14.
Длина окружности, обозначаемая как L, может быть вычислена при условии, что
известен ее диаметр (D). При этом следует воспользоваться формулой L = Пи*D.
Можно ли использовать данную формулу с целью вычисления длины диаметра
окружности, длина которой составляет 126 м. (число Пи считать равным 3)?
Формула расчета длины окружности (С) через диаметр (D) выглядит так:
С = Пи*D
Исходя из условий задания, это равенство может быть записано в следующем
виде:
126=3*D
Отсюда можно выразить диаметр:
D=126:3=42 м.
Читать дальше: как найти периметр квадрата.
8 способов найти длину окружности
Выбирайте формулу, ориентируясь на известные величины.
1. Как найти длину окружности через диаметр
Просто умножьте диаметр на число пи.
- O — искомая длина окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- d —диаметр окружности.
2. Как найти длину окружности через радиус
Умножьте число пи на два радиуса.
- O — искомая длина окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- r — радиус окружности.
3. Как вычислить длину окружности через площадь круга
Умножьте число пи на четыре площади круга.
Найдите корень из результата.
- O — искомая длина окружности.
- S – площадь круга. Напомним, кругом называют плоскость внутри окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
4. Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
Умножьте число пи на диагональ.
- O — искомая длина окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- d – любая диагональ прямоугольника.
5. Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
Умножьте число пи на сторону квадрата.
- O — искомая длина окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- a – любая сторона квадрата.
6. Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
Перемножьте стороны треугольника.
Поделите результат на площадь и на два.
Умножьте полученное число на пи.
- O — искомая длина окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- S – площадь треугольника.
- a, b, c – стороны треугольника.
7. Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
Поделите площадь треугольника на его полупериметр.
Умножьте результат на число пи и на два.
- O — искомая длина окружности.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- S – площадь треугольника.
- p – полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).
8. Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
Разделите 180 градусов на количество сторон многоугольника.
Найдите синус полученного числа.
Разделите сторону многоугольника на результат.
Умножьте получившееся число на пи.
- O — искомая длина окружности.
- a — сторона правильного многоугольника. Напомним, в правильном многоугольнике все стороны равны.
- π (пи) — константа, равная 3,14.
- N — количество сторон многоугольника. К примеру, если в задаче фигурирует пятиугольник, как на изображении выше, N будет равняться 5.
Читайте также 📐✏️🎓
- Как найти периметр прямоугольника
- 8 способов найти периметр треугольника
- 7 способов найти площадь прямоугольника
- Как перевести обычную дробь в десятичную
- Как освоить устный счёт школьникам и взрослым
Возьмем циркуль. Установим ножку циркуля с иглой в точку «O», а ножку циркуля с
карандашом будем вращать вокруг этой точки. Таким образом, мы получим замкнутую
линию. Такую замкнутую линию называют — окружность.
Рассмотрим более подробно окружность. Разберёмся, что называют центром,
радиусом и диаметром окружности.
- (·)O — называется центром окружности.
- Отрезок, который соединяет
центр и любую точку окружности, называется радиусом окружности.
Радиус окружности обозначается буквой «R». На рисунке выше —
это отрезок «OA». - Отрезок, который соединяет
две точки окружности и проходит через её центр, называется
диаметром окружности.Диаметр окружности обозначается буквой «D».
На рисунке выше — это отрезок «BC».На рисунке также видно, что диаметр равен двум радиусам. Поэтому
справедливо выражение «D = 2R».
Число π и длина окружности
Прежде чем разобраться, как считается длина окружности, необходимо выяснить, что
такое число π (читается как «Пи»), которое
так часто упоминают на уроках.
В далекие времена математики Древней Греции внимательно изучали окружность
и пришли к выводу, что длина окружности и её диаметр взаимосвязаны.
Запомните!
Отношение длины окружности к её диаметру является одинаковым
для всех
окружностей и обозначается греческой буквой π
(«Пи»).
π ≈ 3,14…
Число «Пи» относится к числам, точное значение которых записать невозможно
ни с помощью обыкновенных дробей, ни с помощью десятичных дробей. Нам
для наших вычислений достаточно использовать значение π,
округленное до разряда сотых
π ≈ 3,14…
Теперь, зная, что такое число π, мы
можем записать формулу длины окружности.
Запомните!
Длина окружности
— это произведение числа π
и диаметра окружности.
Длина окружности обозначается буквой «С» (читается как «Це»).
C = πD
C = 2πR
, так как D = 2R
Как найти длину окружности
Чтобы закрепить полученные знания, решим задачу на окружности.
Разбор примера
Условие задачи:
Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число
π
округлите до сотых.
Воспользуемся формулой длины окружности:
C = 2πR
≈ 2 · 3,14 · 24 ≈ 150,72 см
Разберем обратную задачу, когда мы знаем длину
окружности, а нас просят найти её диаметр.
Разбор примера
Условие задачи:
Определите диаметр окружности, если
её длина равна 56,52 дм.
(π ≈ 3,14).
Выразим из формулы длины окружности диаметр.
C = πD
D = С / π
D = 56,52 / 3,14 = 18 дм
Хорда и дуга окружности
На рисунке ниже отметим на окружности две точки «A» и «B». Эти точки делят окружность
на две части, каждую из которых называют дугой.
Это синяя дуга «AB» и черная дуга «AB».
Точки «A» и «B» называют концами дуг.
Соединим точки «A» и «B» отрезком. Полученный отрезок называют
хордой.
Важно!
Точки «A» и «B» делят окружность на две дуги. Поэтому важно
понимать, какую дугу вы имеете в виду, когда пишите дуга «AB».
Для того чтобы избежать путаницы, часто вводят дополнительную точку на
нужной дуге и обращаются к ней по трем точкам.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
3 мая 2020 в 10:27
Владислав Заступневич
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Владислав Заступневич
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
, Радиус одной окружности равен 12 см, а второй-36см.Чему равно отношения длины первой окружности к длине второй окружности?
0
Спасибо
Ответить
6 мая 2020 в 15:48
Ответ для Владислав Заступневич
Галина Федотова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
Галина Федотова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 3
С=2πR
если длину одной окружности разделить на дилну другой, то 2π сократится, следовательно длины будут относится так же как радиусы, то есть 12:36=
0
Спасибо
Ответить
22 сентября 2016 в 19:03
Вика Камалова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Вика Камалова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Помогите 2) чему равен деаметр если радиус равен а)12см б)10 децеметров
1) начертить окружность радиусом а)2 см пот буквой б)4см 5мм (начертиь!)
3)Чему равен радиус если деаметр равен а)6см б)9см в)12м
СРОЧНО СЕГОДНЯ! ПРОШУ!!!
0
Спасибо
Ответить
23 сентября 2016 в 14:51
Ответ для Вика Камалова
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Радиус равен половине диаметра. Обратно диаметр равен двум радиусам. Подробнее здесь.
1) а) 12см · 2=24см б)10дм · 2 = 20дм
2) ответил в теме.
3) а) 6см: 2 = 3см б) 9см: 2 = 4см 5 мм в)12м: 2 = 6м
0
Спасибо
Ответить
22 сентября 2016 в 18:54
Вика Камалова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Вика Камалова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
1)Начертить окружность радиусом а)2 см пот буквой б)4 см 5 мм
0
Спасибо
Ответить
23 сентября 2016 в 14:46
Ответ для Вика Камалова
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Радиус окружности это расстояние от центра до любой точки окружности. Подробнее можно посмотреть вот здесь. На линейке циркулем отмеряем необходимый радиус и чертим окружность.
0
Спасибо
Ответить
24 января 2016 в 13:45
Инна Шабрашина
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 5
Инна Шабрашина
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 5
Длина окружности и площадь круга.
Я не понимаю как найти площадь круга.
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 10:56
Ответ для Инна Шабрашина
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
0
Спасибо
Ответить
7 сентября 2015 в 21:08
Игорь Желтоновский
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Игорь Желтоновский
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
радиус — 2,1 м.Найти длинну круга и его площадь(помогите плз)
0
Спасибо
Ответить
2 сентября 2016 в 15:18
Ответ для Игорь Желтоновский
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Длина окружности(l) вычисляется по формуле: l=2?r
Площадь круга(S) вычисляется по формуле: S=?r2
Подставляем значения и считаем, приняв ?=3,14
l=2 · 3,14 · 2,1 = 13,188
S = 3,14 · 2,12=13,8474
Более подробно можно прочитать здесь: math-prosto.ru/index.php?page=pages/circle/square_of_circle.php
0
Спасибо
Ответить
