Как найти длину окружности видеоурок 6 класс - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

§ 1 История измерения длины окружности
§ 2 Формула длины окружности

§ 1 История измерения длины окружности

В этом уроке познакомимся с формулой длины окружности.

Одним из великих изобретений человечества является колесо. Историки утверждают, что колесо появилось еще в V веке до нашей эры. Сначала оно было глиняным, затем стало деревянным, а потом у колеса появились железные спицы и ободок.

Математической моделью колеса является окружность, поэтому геометрия колеса основана на геометрии окружности.

Окружность – это геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от ее центра. Вспомним, отрезок соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, называется радиусом. Отрезок, соединящий две точки окружности и проходящий через ее центр – это диаметр.

Чтобы у телеги все четыре колеса были одинаковыми, требовалось измерять их диаметр или радиус. Окружности с одинаковыми диаметрами или радиусами при наложении совпадают.

Деревянные колеса быстро стирались, и тогда придумали обивать их железным ободком. Но как узнать длину железной полоски, которая станет ободком? Для этого нужно измерить длину окружности колеса. Можно взять веревочку, приложить ее по внешней стороне колеса, потом измерить длину веревки, вот и получится длина окружности.

Сравнивая длину окружности колеса и его диаметр, заметили, что соотношение данных измерений всегда приблизительно одинаковое.

Сначала считали, что длина окружности в 3 раза больше ее диаметра.

Математики Древней Греции стали обозначать соотношение длины окружности и ее диаметра буквой.

Было доказано, что число, обозначаемое этой буквой, относится к числам, точное значение которых невозможно записать в виде обыкновенной или десятичной дроби.

Необычность этого числа в том, что его нет ни среди целых, ни среди дробных чисел. Поэтому в математике его округляют.

Например, округленное число пи до разряда стомиллиардных: 3,14159265359.

Нам для решения задач достаточно округлить это число до сотых, т.е.

А на компьютере для более точных расчетов можно вычислить значение числа πи практически с любой точностью.

§ 2 Формула длины окружности

Выяснив, что соотношение длины окружности и ее диаметра равно числу π, можно найти длину окружности колеса.

Для этого нужно найти произведение диаметра окружности и числа π.

Обозначив длину окружности буквой С, а диаметр – буквой D, запишем формулу: C = πD

Часто в задачах даны размеры радиуса, а не диаметра.

Вспомним диаметр – это удвоенный радиус.

Тогда длину окружности можно найти по формуле C = 2πR, где R – радиус окружности.

Перейдем к практической части.

Дана окружность, диаметр которой равен 6,3 см.

Найдите длину этой окружности.

Выпишем данные: D = 6.3 см, π≈3,14, нужно найти С.

Подставим данные в формулу C = πD, получим С = π∙6,3; π≈3,14.

Значит С = 3,14 ∙ 6,3 = 19,782 см.

Итак, на этом уроке Вы познакомились с формулой длины окружности и научились ее применять при решении задач.

Список использованной литературы:

Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича//автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина. 2009.
Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2013.
Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений/Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др./ под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина; Рос.акад.наук, Рос.акад.образования, М.: Просвещение, 2010.
Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013.
Математика. 6 кл.: учебник/Г.К. Муравин, О.В. Муравина. – М.: Дрофа, 2014.

Использованные изображения:

Источник

Представим
себе такую историю…

–
Паша, чем ты занимаешься? – спросил у друга Саша.

–
Решил обновить шины на моём велосипеде, – ответил Паша. – Чтобы купить новые,
мне нужно знать размер колеса.

–
И как же ты узнаешь этот размер? – решил уточнить Саша.

–
Для этого мне нужно измерить длину шины велосипедного колеса, – ответил Паша.

–
А как измерить эту длину? – удивился Саша. – Ты же не будешь для этого резать
шину?

–
Да это же совсем просто! – улыбнулся Паша. – Я взял сантиметровую ленту у мамы
и ей измерил длину шины.

–
И точно, всё просто! – согласился Саша. – И что же у тебя вышло?

–
Длина шины моего колеса равна 189 сантиметрам.

–
Это значит, размер твоего велосипедного колеса 189 сантиметров? – решил
уточнить Саша.

–
Нет, – ответил Паша, – а вот чтобы выяснить размер велосипедного колеса, нужно
как-то из длины шины выразить диаметр. А как это сделать, я не знаю.

–
Ну чего же ты расстраиваешься?! – воскликнул Саша. – Давай спросим у Мудряша.
Он точно сможет нам помочь.

–
Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и
выполним устные задания, – предложил Мудряш.

–
Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было
получиться!

–
Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Всё правильно. Чтобы
выяснить, какой размер у велосипедного колеса, нужно знать его диаметр. Но для
начала давайте определим, какую форму имеет велосипедное колесо.

–
Велосипедное колесо имеет форму окружности, – ответили мальчишки.

–
Верно! – согласился Мудряш. – Зная длину окружности, можно вычислить её
диаметр.

–
А как измерить длину окружности? – решили спросить мальчишки. – Ведь длину окружности
не измеряешь сантиметровой лентой. Да и разрезать её не получится, чтобы
измерить линейкой.

–
Изобретательный ум человека придумал много способов решения этой задачи, –
начал Мудряш. – Обозначим длину окружности буквой l.
Несложно догадаться, что длина l
окружности зависит от длины её диаметра d,
а именно: чем больше диаметр, тем больше будет длина окружности. Другими
словами, длина окружности прямо пропорциональна её диаметру.

Но,
оказывается, для всех окружностей отношение длины окружности к её диаметру
является одним и тем же числом .

Это
число обозначают греческой буквой. Читают эту букву .
Это начальная буква греческого слова perimetron, которое и означает
«окружность». Запомните! Отношение длины окружности к её диаметру
равно числу .
Отсюда можем записать, что длину окружности можно вычислить по формуле .
Вы уже знаете, что диаметр в 2 раза больше радиуса, следовательно, можно
получить ещё одну формулу для вычисления длины окружности: .

–
Тогда получается, чтобы выразить диаметр окружности, а в моём случае — диаметр
велосипедного колеса, – начал Паша, – нужно длину окружности разделить на это
число ?

–
Правильно! – ответил Мудряш.

–
Но разве можно разделить число на букву? – спросил Паша. – Или это загадочное
число имеет
какое-то значение?

–
Давайте немного коснёмся истории, – предложил Мудряш. – Ещё в Древнем Египте
было замечено, что длина окружности примерно в 3 раза больше её диаметра, то
есть древние египтяне считали, что число .
Затем древние учёные установили, что число .
Позднее выяснилось, что –
это достаточно точное, но всё-таки приблизительное значение числа .
Со временем великий древнегреческий учёный Архимед доказал, что число .
Французский математик Франсуа Виет вычислил значение числа с
девятью правильными знаками после запятой ().
А вот уже в 18 веке математики установили, что число относится
к таким числам, точное значение которых записать невозможно ни с помощью
обыкновенных, ни с помощью десятичных дробей, то есть число нельзя
представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической
десятичной дроби. Оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью.
Учёные до сих пор проявляют большой интерес к числу .
С появлением современных компьютеров можно вычислить число с
огромной точностью. Так, например, в 1987 году благодаря расчётам на компьютере
братья Чудновские вывели число с
миллионом символов после запятой. В 2009 году учёные из Японии рассчитали на
суперкомпьютере значение числа с
двумя с половиной миллионами знаков после запятой. В этом же году программист
из Франции Фабрис Беллар с помощью компьютера получил 2 699 999 990 000
символов после запятой. Только представьте себе, его расчёты длились 131 день.

–
Ого! – воскликнули ребята. – Это число такое
большущее!

–
Не пугайтесь числа ,
– продолжил Мудряш. – При вычислениях мы чаще всего будем использовать
приближённое значение числа с
точностью до сотых, то есть .

–
Тогда получается, что диаметр моего велосипедного колеса равен 189 разделить на
3,14, – начал считать Паша, – и приближённо равен 60 сантиметрам.

–
Молодец! – похвалил Пашу Мудряш. – Кстати, с помощью нашего интересного числа можно
вычислить ещё и площадь круга. Запомните! Площадь круга радиуса
вычисляется
по формуле: .
Для вывода этой формулы наших математических знаний пока ещё недостаточно. Как
получают эту формулу, вы узнаете в старших классах. Поэтому пока для решения
задач мы будем использовать готовую формулу.

–
А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько
заданий.

Задание
первое: найдите длину окружности, если известно, что: её
радиус равен 24 сантиметрам; её диаметр равен 9,5 дециметра. Число округлите
до сотых.

Решение: мы
знаем, что длина окружности вычисляется по формуле .
Подставим наши значения в формулу. Посчитаем. Получим, что длина окружности приближённо
равна 150,72 сантиметра.

Перейдём
к следующему условию. Нам известен диаметр окружности. Мы знаем, что длину
окружности можно вычислить по формуле .
Подставим наши значения. Посчитаем. И получим, что длина окружности приближённо
равна 29,83 дециметра.

Задание
второе: найдите диаметр колеса велосипеда, если известно, что
на расстоянии 450 метров оно сделало 150 оборотов. Число округлите
до сотых. Результат округлите до сотых метра.

Решение: для
начала вычислим, чему равна длина окружности колеса. Так как на расстоянии 450
метров колесо сделало 150 оборотов, то 1 оборот колеса равен 3 метрам. Полный
оборот колеса – это и есть длина окружности. А теперь вычислим диаметр колеса.
Из формулы длины окружности выразим диаметр .
Подставим наши значения. Получим, что диаметр колеса примерно равен 0,955
метра. В условии задачи сказано, что ответ нужно округлить со сотых. Так как
после округляемого разряда стоит цифра 5, то к разряду сотых добавим 1.
Получим, что диаметр колеса приближённо равен 0,96 метра. Запишем ответ.

Задание
третье: вычислите площадь круга, если его диаметр равен 6
сантиметрам. Число округлите
до сотых.

Решение: мы
знаем, что площадь круга можно вычислить по формуле .
Диаметр круга в 2 раза больше его радиуса. Следовательно, радиус нашего круга
равен 3 сантиметрам. Подставим наши значения в формулу площади круга.
Посчитаем. Получим, что площадь круга приближённо равна 28,26 см².

И
последнее задание: Сторона квадрата равна 8 сантиметрам. Найдите
площадь закрашенной части круга. Число округлите
до целых.

Решение: по
рисунку видно, что сторона квадрата является диаметром круга. Значит, диаметр
круга равен 8 сантиметрам. Мы знаем, что площадь круга можно вычислить по
формуле .
Так как диаметр круга в 2 раза больше его радиуса, то радиус нашего круга равен
4 сантиметрам. Подставим наши значения в формулу площади круга. Посчитаем.
Получим, что площадь всего круга приближённо равна 48 см². По
условию задачи нам нужно выяснить, чему равна площадь закрашенной части круга.
Нетрудно заметить, что эта закрашенная часть составляет половину круга. Значит,
площадь закрашенной части круга приближённо равна 24 см². Не забудем
записать ответ.