Алгебра
7 класс
Урок № 11
Длина отрезка. Координатная ось
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
• Действительное число как мера длины отрезка.
• Координатная ось.
• Точки с действительными координатами на числовой оси.
• Сравнение действительных чисел на числовой оси.
Тезаурус:
Измерение длины отрезка – это сравнение длины отрезка с выбранной единицей измерения.
Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка. Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.
Для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
Отрезок, принятый за единицу измерения, называется единичным отрезком.
Прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью.
Координатой точки Р, лежащей на оси Ох, называется действительное число х = ±ОР, взятое со знаком «плюс», если точка Р лежит на положительной полуоси, и со знаком «минус», если эта точка лежит на отрицательной полуоси (где ОР означает длину отрезка ОР).
Основная литература:
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
Дополнительная литература:
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Длина отрезка
Рассмотрим несколько примеров измерения длины отрезка.
За единицу измерения возьмём 1 дм.
Длина отрезка АВ = 2 дм
Это значит, что на отрезке АВ укладывается ровно 2 дм.
Пусть длина отрезка АВ будет > 2дм, например, 2,1 дм
Пусть следующий отрезок имеет длину 2,14 дм.
Можно указать, что длина отрезка АВ ≈ 2,1дм с точностью до 0,1дм с недостатком.
Далее можно рассматривать отрезок
АВ ≈ 2,14 дм с точность до 0,01 и т.д.
В таких случаях длина отрезка АВ может быть выражена приближённо. Точное значение длины отрезка АВ выражается бесконечной десятичной дробью: AB = a0, a1, a2, a3… Говорят, что отрезок AB имеет длину a, где a = a0, a1, a2, a3…
Подведём итог.
Если задан единичный отрезок, то произвольный отрезок АВ имеет длину, равную некоторому положительному действительному числу а.
Верно обратное утверждение:
если задано любое положительное действительное число а, то можно указать отрезок АВ, длина которого равна этому числу.
Координатная ось
Далее зададим прямую, на которой выбрано положительное направление, начальная точка отсчета О и единичный отрезок.
Её называют координатной осью.
Точка О делит координатную ось на два луча. Один из них, идущий от точки О в положительном направлении, называют положительной полуосью, другой – отрицательной полуосью.
Каждой точке координатной оси поставим в соответствие действительное число х по следующему правилу:
начальной точке поставим в соответствие число ноль;
точке А, если она находится на положительном луче, поставим в соответствие число х, равное длине отрезка ОА.
Точке В, если она находится на отрицательном луче, поставим в соответствие отрицательное число х, равное длине отрезка ОВ, взятой со знаком «–».
На рисунке изображена координатная ось ОХ, где О – начало отсчёта.
Таким образом,
• каждой точке оси соответствует действительное число – координата этой точки;
• две различные точки А и В оси имеют разные координаты х1 и х2;
• каждое действительное число есть координата некоторой точки оси.
Это означает, что установлено взаимно – однозначное соответствие между точками оси и действительными числами.
Замечание: ранее на координатной прямой нами рассматривались точки, имеющие рациональные координаты. Теперь каждой точке соответствует действительное число.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
Задача 1. Длина отрезка
Дано: А (2,6), В (-3,8)
Найдите: длину АВ, координату точки С – середины АВ.
Решение:
1. Чтобы найти длину отрезка надо из большей координаты вычесть меньшую, т.е. 2,6 – (-3,8) = 2,6 + 3,8 = 6,4
2. Чтобы найти координаты середины отрезка, надо сложить координаты и разделить на 2, т.е. (-3,8 +2,6) : 2 = -1,2 : 2 = -0,6.
Ответ: АВ = 6,4; С(-0,6).
Задача 2. Координатная ось.
Дано: на координатной оси расположены точки a, b, c.
Сравните:
1) a и b
Число a больше b, т.к. оно правее.
2) c – a и 0
Число c меньше a, значит, разность отрицательная, т.е.
c – a< 0
3) b • c и 0
Числа b и c отрицательные, значит, их произведение – число положительное, т.е. b • c > 0.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Найти длину вертикального или горизонтального отрезка на координатной плоскости можно с помощью координат, а вот сделать это с диагональным отрезком сложнее. Длину диагонального отрезка можно вычислить по формуле, которая основана на теореме Пифагора, где гипотенузой прямоугольного треугольника является наш диагональный отрезок.[1]
С помощью этой формулы можно быстро найти длину любого отрезка на координатной плоскости.
-
1
Запишите формулу для вычисления длины. Формула:
, где — длина отрезка, — координаты начальной точки отрезка, — координаты конечной точки отрезка.[2]
-
2
Найдите координаты точек отрезка. Возможно, они будут даны. Если нет, найдите их по осям Х и Y.[3]
-
3
Подставьте координаты в формулу. Будьте внимательны и подставьте значения соответствующих переменных. Две координаты
должны находится внутри первой пары скобок, а две координаты — внутри второй пары скобок.[4]
Реклама
-
1
Выполните вычитание в скобках. Сделайте это, потому что операции в скобках имеют приоритет.[5]
-
2
Возведите в квадрат полученные значения. В нашем случае возведение в степень — это вторая по важности операция.[6]
-
3
Сложите числа под знаком корня. Делайте вычисления так, как будто работаете с целыми числами.
-
4
Вычислите длину отрезка
. Для этого извлеките корень из полученной суммы чисел.
Реклама
Советы
- Не путайте эту формулу с другими, например, с формулой для вычисления углового коэффициента или с линейным уравнением.
- Помните о порядке выполнения математических операций. Сначала вычтите, затем возведите в квадрат, затем сложите, а затем извлеките квадратный корень.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 24 315 раз.
Была ли эта статья полезной?
Как найти длину отрезка
Пусть отрезок задан двумя точками в плоскости координат, тогда можно найти его длину с помощью теоремы Пифагора.
Инструкция
Пусть заданы координаты концов отрезка (x1; y1) и (x2; y2). Начертите отрезок в системе координат.
Опустите перпендикуляры из концов отрезка на оси X и Y. Отрезки, отмеченные на рисунке красным, являются проекциями исходного отрезка на оси координат.
Если выполнить параллельный перенос, отрезков-проекций к концам отрезков, то получится прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут являться перенесенные проекции, а гипотенузой – сам отрезок AB.
Длины проекций легко вычисляются. Длина проекции на ось Y будет равна y2-y1, а длина проекции на ось X – x2-x1. Тогда по теореме Пифагора |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)², где |AB| – длина отрезка.
Представив эту схему нахождения длины отрезка в общем случае, легко вычислять длину отрезка, не строя отрезок. Посчитаем длину отрезка, координаты концов которого (1;3) и (2;5). Тогда |AB|² = (2 – 1)² + (5 – 3)² = 1 + 4 = 5, таким образом длина искомого отрезка равна 5^1/2.
Видео по теме
Источники:
- Длина отрезка
- что такое длина отрезка
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Длина отрезка. Координатная ось
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
• Действительное число как мера длины отрезка.
• Точки с действительными координатами на числовой оси.
• Сравнение действительных чисел на числовой оси.
Измерение длины отрезка – это сравнение длины отрезка с выбранной единицей измерения.
Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка. Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.
Для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
Отрезок, принятый за единицу измерения, называется единичным отрезком.
Прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью.
Координатой точки Р, лежащей на оси Ох, называется действительное число х = ±ОР, взятое со знаком «плюс», если точка Р лежит на положительной полуоси, и со знаком «минус», если эта точка лежит на отрицательной полуоси (где ОР означает длину отрезка ОР).
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Рассмотрим несколько примеров измерения длины отрезка.
За единицу измерения возьмём 1 дм.
Длина отрезка АВ = 2 дм
Это значит, что на отрезке АВ укладывается ровно 2 дм.
Пусть длина отрезка АВ будет > 2дм, например, 2,1 дм
Пусть следующий отрезок имеет длину 2,14 дм.
Можно указать, что длина отрезка АВ ≈ 2,1дм с точностью до 0,1дм с недостатком.
Далее можно рассматривать отрезок
АВ ≈ 2,14 дм с точность до 0,01 и т.д.
В таких случаях длина отрезка АВ может быть выражена приближённо. Точное значение длины отрезка АВ выражается бесконечной десятичной дробью: AB = a0, a1, a2, a3… Говорят, что отрезок AB имеет длину a, где a = a0, a1, a2, a3…
Если задан единичный отрезок, то произвольный отрезок АВ имеет длину, равную некоторому положительному действительному числу а.
Верно обратное утверждение:
если задано любое положительное действительное число а, то можно указать отрезок АВ, длина которого равна этому числу.
Далее зададим прямую, на которой выбрано положительное направление, начальная точка отсчета О и единичный отрезок.
Её называют координатной осью.
Точка О делит координатную ось на два луча. Один из них, идущий от точки О в положительном направлении, называют положительной полуосью, другой – отрицательной полуосью.
Каждой точке координатной оси поставим в соответствие действительное число х по следующему правилу:
начальной точке поставим в соответствие число ноль;
точке А, если она находится на положительном луче, поставим в соответствие число х, равное длине отрезка ОА.
Точке В, если она находится на отрицательном луче, поставим в соответствие отрицательное число х, равное длине отрезка ОВ, взятой со знаком «–».
На рисунке изображена координатная ось ОХ, где О – начало отсчёта.
• каждой точке оси соответствует действительное число – координата этой точки;
• две различные точки А и В оси имеют разные координаты х1 и х2;
• каждое действительное число есть координата некоторой точки оси.
Это означает, что установлено взаимно – однозначное соответствие между точками оси и действительными числами.
Замечание: ранее на координатной прямой нами рассматривались точки, имеющие рациональные координаты. Теперь каждой точке соответствует действительное число.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
Задача 1. Длина отрезка
Найдите: длину АВ, координату точки С – середины АВ.
1. Чтобы найти длину отрезка надо из большей координаты вычесть меньшую, т.е. 2,6 – (-3,8) = 2,6 + 3,8 = 6,4
2. Чтобы найти координаты середины отрезка, надо сложить координаты и разделить на 2, т.е. (-3,8 +2,6) : 2 = -1,2 : 2 = -0,6.
Ответ: АВ = 6,4; С(-0,6).
Задача 2. Координатная ось.
Дано: на координатной оси расположены точки a, b, c.
Число a больше b, т.к. оно правее.
Число c меньше a, значит, разность отрицательная, т.е.
Отрезок. Формула длины отрезка.
Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.
Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).
В данном примере вектор AB задан координатами (х2— х1, y2— y1). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:
Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек
Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов(х1y1) и (х2,у2).
Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.
Установим длину этих проекций.
На ось у длина проекции равна y2 – y1, а на ось х длина проекции равна х2 – х1. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)².
В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.
Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.
Как вычислить длину отрезка зная координаты
Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.
Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2) . На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.
Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1, а на ось Х длина проекции равна x2-x1. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.
Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 – 1)² + (5 – 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.
Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.
Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.
Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.
Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:
Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.
Отрезком обозначают ограниченный двумя точками участок прямой. Точки – концы отрезка.
Общеизвестный факт, что каждая точка А плоскости имеет свои координаты (х, у).
В данном примере вектор AB задан координатами (х2— х1, y2— y1). Квадрат длины вектора будет равен сумме квадратов его координат. Следовательно, расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора АВ, вычисляется согласно формуле:
Эта формула длины отрезка предоставляет возможность рассчитывать расстояние между двумя произвольными точками плоскости, при условии, что известны координаты этих точек
Вышеуказанную формулу длины отрезка можно доказать и другим способом. В системе координат заданы координаты крайних точек отрезка координатами его концов(х1y1) и (х2,у2).
Прочертим прямые лини через эти точки перпендикулярно к осям координат, в результате имеем прямоугольный треугольник. Первоначальный отрезок является гипотенузой образовавшегося треугольника. Катеты треугольника сформированы отрезками, их длиной будет проекция гипотенузы на оси координат.
Установим длину этих проекций.
На ось у длина проекции равна y2 – y1, а на ось х длина проекции равна х2 – х1. На основании теоремы Пифагора видим, что |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)².
В рассмотренном случае |AB| выступает длиной отрезка.
Вычислим длину отрезка АВ, для этого извлечем квадратный корень. Результатом является все та же формула длины отрезков по известным координатам конца и начала.
Этот онлайн калькулятор рассчитывает длину отрезка и координаты середины отрезка (средней точки) по декартовым координатам концов отрезка. Отрезок и средняя точка отображаются на графике, также на графике показан графический способ нахождения середины отрезка.
Эта страница существует благодаря следующим персонам
Timur
- Статья : Расчет длины отрезка и координат середины отрезка по двум точкам – Автор, Переводчик en – ru
- Калькулятор : Расчет длины отрезка и координат середины отрезка по двум точкам – Автор, Переводчик en – ru
Этот онлайн калькулятор рассчитывает длину отрезка и координаты середины отрезка по введенным декартовым координатам двух точек – концов отрезка.
Формула вычисления расстояния между двумя точками и это формула длины гипотенузы прямоугольного треугольника . Координаты середины отрезка – среднее арифметическое координат точек .
Отрезок и средняя точка отображаются на графике. Также среднюю точку можно найти построением. Для этого на графике надо построить две дуги с центрами на концах отрезка и с радиусом равным длине отрезка. Затем надо построить прямую линию между точками пересечения дуг. Эта линия пересечет исходный отрезок в середине.
[spoiler title=”источники:”]
http://www.calc.ru/Formula-Dliny-Otrezka.html
http://planshet-info.ru/kompjutery/kak-vychislit-dlinu-otrezka-znaja-koordinaty
[/spoiler]
Факт 1.
(bullet) Если (A_1(x_1;y_1)) и (A_2(x_2;y_2)) – две точки на плоскости, (O) – середина отрезка (A_1A_2), то верны следующие формулы для длины отрезка (A_1A_2) и координат середины (O):
Факт 2.
(bullet) Сложение двух векторов:
1. Правильно треугольника: отложить вектор (vec b) от конца вектора (vec a), тогда (vec a+vec b) будет равен вектору, начало которого совпадает с началом вектора (vec a), а конец совпадает с концом вектора (vec b).
2. Правильно параллелограмма: отложить вектор (vec b) от начала вектора (vec a), построить на данных векторах параллелограмм. Тогда (vec a+vec b) – вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, выходящей из начала векторов (vec a) и (vec b).
